14.1-bo'lim: Tangens tekisliklar va chiziqli yaqinlashishlar
Ilgari biz ko'rgan \({f_x}\) va \({f_y}\) ikkita qisman hosilalarini qanday qilib izlar qiyaliklari deb hisoblash mumkin. Ushbu bo'limda biz ushbu fikrni biroz kengaytirmoqchimiz. \(z = f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasining grafigi \({\mathbb{R}^3}\) (uch o'lchovli fazo)dagi sirtdir va shuning uchun biz endi nuqta sifatida sirtga "tangens" bo'lgan tekislik haqida o'ylashni boshlashimiz mumkin.
Keling, \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) nuqtasidan boshlaylik va keling, \({C_1}\) \(y = {y_0}\) samolyoti uchun \(f\left( {x,y} \right)\) izini ifodalaylik (i.e. \(x\) ning \(y\) bilan oʻzgarishiga ruxsat beramiz) va biz \({C_2}\) ga \(x = {x_0}\) samolyoti uchun \(f\left( {x,y} \right)\) izini koʻrsatishiga ruxsat beramiz (i.e. \(y\) o'zgarmas \(x\) bilan o'zgarishiga ruxsat berish). Endi biz \({f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) tangens chiziqning \({C_1}\) iziga qiyaligi va \({f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) esa \({C_2}\) iziga teginish chizig‘ining qiyaligi ekanligini bilamiz. Shunday qilib, \({L_1}\) \({C_1}\) iziga teguvchi chiziq bo‘lsin va \({L_2}\) \({C_2}\) iziga teginish chizig‘i bo‘lsin.
Keyin tangens tekislik \({L_1}\) va \({L_2}\) ikkita chiziqni o'z ichiga olgan tekislik bo'ladi. Geometrik jihatdan bu tekislik hisob I-dagi tangens chiziq bilan bir xil maqsadga xizmat qiladi. Egri chiziqqa teguvchi chiziq o'sha nuqtada egri chiziqqa tegib turgan va ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi egri chiziqqa "parallel" bo'lgan chiziq edi. Sirtga teginish tekisliklari - bu nuqtada sirtga shunchaki tegib turadigan va nuqtada sirtga "parallel" bo'lgan tekisliklar. E'tibor bering, bu bizga samolyotda bo'lgan nuqtani beradi. Tangens tekislik va sirt \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) da tegib turganligi sababli quyidagi nuqta ham sirtda, ham tekislikda bo'ladi.
\[\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) = \left( {{x_0},{y_0},f\left( {{x_0},{y_0}} \right)} \right)\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa teginish tekisligining tenglamasini aniqlashdir. Biz bilish tekislikning umumiy tenglamasi quyidagicha berilgan:
\[a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\]Bu erda \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) - bu bizda mavjud bo'lgan tekislikdagi nuqta. Keling, buni biroz qayta yozaylik. Biz \(x\) shartlarini va \(y\) shartlarini boshqa tomonga o'tkazamiz va ikkala tomonni \(c\) ga bo'lamiz. Buni qilish,
\[z - {z_0} = - \frac{a}{c}\left( {x - {x_0}} \right) - \frac{b}{c}\left( {y - {y_0}} \right)\]Keling, yozuvni biroz soddalashtirish uchun konstantalarning nomini o'zgartiraylik. Keling, ularni quyidagicha nomlaymiz,
\[A = - \frac{a}{c}\hspace{0.25in}B = - \frac{b}{c}\]Ushbu nomni o'zgartirish bilan tangens tekislik tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
\[z - {z_0} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right)\]va biz \(A\) va \(B\) uchun qiymatlarni aniqlashimiz kerak.
Keling, avvalo \(y\) ni o‘zgarmagan holda ushlab tursak nima bo‘lishini o‘ylab ko‘raylik, i.e. Agar \(y = {y_0}\) deb faraz qilsak. Bunday holda, tangens tekislik tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
\[z - {z_0} = A\left( {x - {x_0}} \right)\]Bu chiziq tenglamasi va bu chiziq \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) yuzasiga tegishi kerak (chunki u tangens tekislikning bir qismidir). Bundan tashqari, ushbu chiziq \(y = {y_0}\) (i.e. sobit) va \(A\) bu chiziqning qiyaligidir. Ammo, agar biz bu haqda o'ylab ko'rsak, bu \({C_1}\) ning tangensi aynan shunday bo'ladi, \(y = {y_0}\) deb faraz qilingan \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) yuzasiga tangens chiziq. Boshqacha aytganda,
\[z - {z_0} = A\left( {x - {x_0}} \right)\]bu \({L_1}\) uchun tenglama va biz \({L_1}\) qiyaligi \({f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) tomonidan berilganligini bilamiz. Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
\[A = {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\]Agar \(x\) ni \(x = {x_0}\) da o‘rnatib qo‘ysak, tangens tekislikning tenglamasi shunday bo‘ladi:
\[z - {z_0} = B\left( {y - {y_0}} \right)\]Biroq, yuqoridagiga o'xshash dalil orqali biz bu \({L_2}\) tenglamasidan boshqa narsa emasligini va uning qiyaligi \(B\) yoki \({f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[B = {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\]\(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) da \(z = f\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan sirtga teginish tekisligi tenglamasi quyidagicha:
\[z - {z_0} = {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\]Bundan tashqari, agar biz \({z_0} = f\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) faktidan foydalansak, tangens tekislik tenglamasini quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
\[\begin{align*}z - f\left( {{x_0},{y_0}} \right) & = {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\\ z & = f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\end{align*}\]Keyingida biz ushbu formulaning osonroq chiqarilishini (aslida umumiyroq formulani) ko'ramiz, shuning uchun agar siz ushbu argumentga to'liq amal qilmagan bo'lsangiz, yaxshiroq hosilani ko'rish uchun o'sha vaqtgacha turing.
Yechim
Haqiqatan ham bu erda bir nechta lotinlarni olish va tezkor baholashdan boshqa ko'p ish yo'q.
\[\begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = \ln \left( {2x + y} \right)\hspace{0.25in}& {z_0}& = f\left( { - 1,3} \right) = \ln \left( 1 \right) = 0\\ {f_x}\left( {x,y} \right) & = \frac{2}{{2x + y}}\hspace{0.25in} &{f_x}\left( { - 1,3} \right) & = 2\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = \frac{1}{{2x + y}}\hspace{0.25in} & {f_y}\left( { - 1,3} \right) & = 1\end{align*}\]U holda tekislikning tenglamasi,
\[\begin{align*}z - 0 & = 2\left( {x + 1} \right) + \left( 1 \right)\left( {y - 3} \right)\\ z & = 2x + y - 1\end{align*}\]Tangens tekisliklarining yaxshi qo'llanilishi shundan iboratki, ular bizga nuqta yaqinidagi sirtni taxmin qilish yo'lini beradi. Agar biz \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) nuqtasiga yaqin bo'lsak, tangens tekislik bu nuqtadagi funktsiyaga deyarli yaqinlashishi kerak. Shuning uchun biz belgilaymiz chiziqli yaqinlashish to be,
\[L\left( {x,y} \right) = f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\]va agar biz \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) "yaqinida" bo'lsak, biz bunga ega bo'lishimiz kerak,
\[f\left( {x,y} \right) \approx L\left( {x,y} \right) = f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\]Yechim
Shunday qilib, biz haqiqatan ham tangens tekislikni so'raymiz, shuning uchun uni topamiz.
\[\begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = 3 + \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9}\hspace{0.25in} & f\left( { - 4,3} \right) & = 3 + 1 + 1 = 5\\ {f_x}\left( {x,y} \right) & = \frac{x}{8}\hspace{0.25in} & {f_x}\left( { - 4,3} \right) & = - \frac{1}{2}\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = \frac{{2y}}{9}\hspace{0.25in} & {f_y}\left( { - 4,3} \right) & = \frac{2}{3}\end{align*}\]Tangens tekislik yoki chiziqli yaqinlashish, u holda,
\[L\left( {x,y} \right) = 5 - \frac{1}{2}\left( {x + 4} \right) + \frac{2}{3}\left( {y - 3} \right)\]Malumot uchun bu erda sirtning eskizi va teginish tekisligi/chiziqli yaqinlashish.
