GraphingPolynomials | MathModel.uz

5.3-bo'lim: Ko'phadlarni grafik qilish

Ushbu bo'limda biz umumiy ko'phadning taxminiy eskizini olish usulini ko'rib chiqamiz. Bizga kerak bo'ladigan yagona haqiqiy ma'lumot bu polinom uchun barcha nollarning to'liq ro'yxati (shu jumladan ko'plik).

Ushbu bo'limda bizga nollar ro'yxati beriladi yoki ularni topish oson bo'ladi. Keyingida biz ko'pchilik polinomlar uchun ro'yxatning katta qismini aniqlash usuliga o'tamiz. Biz birinchi navbatda grafik chizamiz, chunki polinomning barcha nollarini topish usuli biroz uzun bo'lishi mumkin va biz polinomning nollarini topishda bu bo'limning tafsilotlarini yashirishni xohlamaymiz.

Keling, juft ko'phadlar grafigi bilan boshlaylik.

There are two graphs in this image. The domain of the graph on the left is from -5 to 5 while the range is from -400 to 400. The graph starts at approximately (-5,400) in the 2nd quadrant and decreases into the 3rd quadrant to a valley at approximately (-3,-180). It then increases and passes through the origin into the 1st quadrant horizontally. The graph increases from this point to a peak at approximately (3,180) and then decreases into the 4th quadrant ending at approximately (5,-400). The domain of the graph on the right is from -5 to 5 while the range is from -30 to 100. The graph starts at approximately (-5,100) in the 2nd quadrant and decreases into the 3rd quadrant to a valley at approximately (-3,-20). It then increases back into the 2nd quadrant to a peak at (0, 30). It then passes into the 1st quadrant and decreases into the 4th quadrant to a valley at approximately (3,-20). It then increases back into the 1st quadrant ending at approximately (5,100).

Ushbu polinomlar uchun tenglamalar haqida tashvishlanmang. Biz ularni polinomlar haqidagi ba'zi fikrlarni tasvirlash uchun ishlatishimiz uchungina beramiz.

Birinchidan, grafiklar chiroyli va silliq ekanligiga e'tibor bering. Grafikda hech qanday teshik yoki tanaffus yo'q va grafikda o'tkir burchaklar yo'q. Polinomlarning grafiklari har doim chiroyli silliq egri chiziqlar bo'ladi.

Ikkinchidan, grafik yo'nalishini oshirishdan kamayish yoki pasayishdan o'sishga qarab o'zgarib turadigan "qo'ng'iroqlar" deb ataladi. burilish nuqtalari. Agar polinom $n$ darajasiga ega ekanligini bilsak, grafikda eng ko'p $n - 1$ burilish nuqtalari bo'lishini bilib olamiz.

Bu haqiqiy grafik jarayonga ko'p yordam bermasa ham, bu yaxshi tekshiruv bo'ladi. Agar bizda 5 burilish nuqtasi bo'lgan to'rtinchi darajali polinom bo'lsa, biz noto'g'ri ish qilganimizni bilib olamiz, chunki to'rtinchi darajali polinomda 3 dan ortiq burilish nuqtasi bo'lmaydi.

Keyinchalik, polinom grafigining $x$-kesishlari va polinomning nollari o'rtasidagi munosabatni o'rganishimiz kerak. ni topish uchun buni eslang $x$-kesishmalar funktsiyaning tenglamasini yechishimiz kerak

\[P\left( x \right) = 0\]

Shuningdek, $x = r$ $P\left( r \right) = 0$ taqdim etilgan $P\left( x \right)$ polinomining noli ekanligini eslang. Ammo bu $x = r$ ham $P\left( x \right) = 0$ uchun yechim ekanligini anglatadi.

Boshqacha qilib aytganda, ko'phadning nollari ham x-grafaning kesishuvlari. Shuni ham yodda tutingki, $x$-kesishmalar $x$ o'qini kesib o'tishi mumkin yoki ular o'qni kesib o'tmasdan shunchaki $x$ o'qiga tegishi mumkin.

Yuqoridagi grafiklardan ham e'tibor bering, $x$-kesishmalar $x$ o'qini kesib o'tganda tekislanishi yoki $x$ o'qi orqali burchak ostida o'tishi mumkin.

Quyidagi fakt bu fikrlarning barchasini nolning ko'pligi bilan bog'laydi.

Nollarning ko'pligi

Agar $x = r$ $k$ ko'pligi bilan $P\left( x \right)$ polinomining nolga teng bo'lsa, u holda,

Agar $k$ g'alati bo'lsa, $x = r$ ga mos keladigan $x$-kesishmasi $x$ o'qini kesib o'tadi.
Agar $k$ teng bo'lsa, $x = r$ ga mos keluvchi $x$ kesishmasi faqat $x$ o'qiga tegadi va uni kesib o'tmaydi.

Bundan tashqari, agar $k > 1$ bo'lsa, grafik $x = r$ da tekislanadi.

Va nihoyat, $x$ ning ijobiy yoki salbiy ma'noda kattalashishiga imkon berganiga e'tibor bering (i.e. Grafikning ikkala uchida) u holda grafik bog'lanmagan holda oshadi yoki chegaralanmagan holda kamayadi. Bu har doim har bir polinom bilan sodir bo'ladi va biz grafikning so'nggi nuqtalarida nima sodir bo'lishini aniqlash uchun quyidagi testdan foydalanishimiz mumkin.

Etakchi koeffitsient testi

Faraz qilaylik, $P\left( x \right)$ $n$ darajali ko‘phad bo‘lsin. Shunday qilib, biz bilamizki, polinom quyidagicha ko'rinishi kerak:

\[P\left( x \right) = a{x^n} + \cdots \]

Polinomda boshqa atamalar bor yoki yo‘qligini bilmaymiz, lekin biz bilamizki, birinchi atama sanab o‘tilgan bo‘lishi kerak, chunki u $n$ darajasiga ega. Endi bizda grafik oxiridagi $P\left( x \right)$ grafigi haqida quyidagi faktlar mavjud.

Agar $a > 0$ va $n$ teng bo'lsa, $P\left( x \right)$ grafigi ikkala so'nggi nuqtada chegaralanmagan holda ortadi. Bunga yaxshi misol - ning grafigi x².
Agar $a > 0$ va $n$ toq bo'lsa, $P\left( x \right)$ grafigi o'ng uchida chegaralanmagan holda ortadi va chap uchida chegaralanmagan holda kamayadi. Bunga yaxshi misol - ning grafigi x³.
$There are no tick marks on the x or y-axis on this graph. This is just a typical $x^{3}$ graph. It starts in the lower left corner of the 3rd quadrant and increases until it passes through the origin horizontally and then increases up into the upper right corner of the 1st quadrant.$
Agar $a < 0$ va $n$ teng bo'lsa, $P\left( x \right)$ grafigi ikkala so'nggi nuqtada chegaralanmagan holda kamayadi. Bunga yaxshi misol grafigi -x².
Agar $a < 0$ va $n$ toq bo'lsa, $P\left( x \right)$ grafigi o'ng uchida chegarasiz kamayadi va chap uchida chegarasiz ortadi. Bunga yaxshi misol grafigi -x³.
$There are no tick marks on the x or y-axis on this graph. This is just a typical $x^{3}$ graph except it have been flipped around the x-axis. It starts in the upper left corner of the 2nd quadrant and decreases until it passes through the origin horizontally and then decreases down into the lower right corner of the 4th quadrant.$

Xo'sh, endi biz hamma narsani yo'lga qo'yganimizdan so'ng, biz nihoyat polinom grafigining taxminiy eskizini olish jarayonini bera olamiz.

Polinomning grafigini tuzish jarayoni

Ko'phadning barcha nollarini va ularning ko'pligini aniqlang. Yuqoridagi faktdan foydalanib, har bir nolga mos keluvchi $x$-kesishmasi $x$ o'qini kesib o'tishini yoki unga shunchaki tegib ketishini va $x$-kesishma tekislanishi yoki yo'qligini aniqlash uchun foydalaning.
$y$-kesishmasini aniqlang, $\left( {0,P\left( 0 \right)} \right)$.
Grafik oxiridagi polinomning harakatini aniqlash uchun etakchi koeffitsient testidan foydalaning.
Yana bir nechta nuqtalarni chizing. Bu ataylab noaniq qoldirilgan. Qancha ko'p nuqta chizsangiz, eskiz shunchalik yaxshi bo'ladi. Hech bo'lmaganda grafikning ikkala uchida kamida bitta va har bir nol juftligi orasida kamida bitta nuqtani chizishingiz kerak.

Biz uni ishlatishga harakat qilishdan oldin bu jarayon haqida tezkor ogohlantirishimiz kerak. Bu jarayon barcha nollarni haqiqiy sonlar deb hisoblaydi. Agar murakkab nollar bo'lsa, bu jarayon grafikning juda muhim xususiyatlarini o'tkazib yuborishi mumkin.

Keling, bir nechta polinomlarni chizamiz.

1-misol $P\left( x \right) = 5{x^5} - 20{x^4} + 5{x^3} + 50{x^2} - 20x - 40$ grafigini chizing.

Yechim

Ushbu ko'phadning nollari va ko'paytmalarini oldingisida topdik bo'limi shuning uchun biz ularni ma'lumot olish uchun bu erda yozamiz.

\[\begin{align*}x & = - 1 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 2}}} \right)\\ x & = 2 & \hspace{0.25in}&\left( {{\mbox{multiplicity 3}}} \right)\end{align*}\]

Shunday qilib, biz bilamizki, $x = - 1$ $x$ o'qiga tegib, uni kesib o'tmaydi va $x = 2$ $x$ o'qini kesib o'tadi va bu shunday qilganidek tekis bo'ladi, chunki ko'plik 1 dan katta. 1.

Keyinchalik, $y$-kesishmasi $\left( {0, - 40} \right)$.

Koeffitsient 5^th daraja a'zosi musbat va daraja g'alati bo'lgani uchun biz bilamizki, bu ko'phad o'ng uchida bog'lanmagan holda ortadi va chap uchida chegaralanmagan holda kamayadi.

Va nihoyat, biz polinomni bir necha nuqtada baholashimiz kerak. Biz tanlagan fikrlar unchalik muhim emas. Biz shunchaki yuqorida bayon qilingan jarayondagi ko'rsatmalarga muvofiq ballarni tanlashni istaymiz va ularni baholash juda oson bo'ladi. Bu erda ba'zi fikrlar mavjud. Baholarni tekshirishni sizga qoldiramiz.

\[P\left( { - 2} \right) = - 320\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}P\left( 1 \right) = - 20\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}P\left( 3 \right) = 80\]

Endi grafikning eskizini chizish uchun biz chap tomondan boshlaymiz va o'ng tomonda harakat qilamiz. Birinchidan, biz $x$ ni tobora salbiy holga keltirganimiz sababli, chap tomonda grafik chegaralanmagan holda kamayishini bilamiz. va bu biz $x = - 2$ da baholagan fikrga mos keladi.

Shunday qilib, biz o'ngga o'tganimizdan so'ng, funktsiya $x = - 2$ da o'sib boradi va biz birinchi nuqtaga yetguncha oshirishda davom etamiz. x-$x = - 1$ da tutash. Ushbu nuqtada biz bilamizki, grafik faqat $x$ o'qiga tegib, uni kesib o'tmasdan turib, tekis bo'ladi. Bu $x = -1$ da grafik burilish nuqtasi bo'lishi kerakligini anglatadi.

Grafik endi o'ngga o'tganimizda pasaymoqda. Shunga qaramay, bu biz duch keladigan navbatdagi nuqtaga mos keladi, $y$-kesish.

Endi, bizda mavjud bo'lgan keyingi nuqtaga ko'ra, $x = 1$, grafik $x = 0$ va $x = 1$ o'rtasida yana bir burilish nuqtasiga ega bo'lishi kerak, chunki grafik $x = 1$ da $x = 0$ ga qaraganda yuqoriroq. Bu burilish nuqtasi qayerda sodir bo'lishini bu darajada aniqlash juda qiyin, shuning uchun biz uni topishga harakat qilishdan tashvishlanmaymiz. Aslida, bu nuqtani aniqlash uchun odatda ba'zi Hisob-kitoblar kerak bo'ladi.

Shunday qilib, biz o'ngga o'tamiz va funktsiya ortib bormoqda. Keyingi nuqta $x = 2$ da $x$ kesishuvidir va bu o‘q $x$ o‘qini kesib o‘tadi, shuning uchun biz bu yerda birinchi $x$ kesishuvidagi kabi burilish nuqtasi bo‘lmasligini bilamiz. Bundan tashqari, grafik $x$ o'qiga tegsa, tekis bo'ladi, chunki ko'plik birdan katta. Shunday qilib, biz $x = 3$ da funktsiyani baholagan yakuniy nuqtaga yetgunimizcha, grafik $x$ o'qiga tegib, qisqacha tekislanib, shu nuqta orqali o'sishda davom etadi.

Shu nuqtada biz barcha $x$ kesishmalariga erishdik va biz bilamizki, grafik o‘ng tomonda chegaralanmagan holda oshadi va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo‘lgan yagona narsa o‘sib borayotgan egri chiziq bo‘ylab eskiz qilish kabi ko‘rinadi.

Mana polinomning eskizi.

The domain of this graph is from -3 to 4 while the range is from -400 to 150. The graph starts in the 3rd quadrant at (-2,-320) and increases to a peak at (-1,0). It then decreases to a valley at (0,-40) and increases up through the point (1,-20) and crosses the x-axis horizontally at (2,0) and then continues to increase ending at (3,80).

E'tibor bering, nuqtalarni oxirida chizishning sabablaridan biri grafikning qanchalik tez ortib borayotganini yoki kamayishini ko'rishdir. Baholashlardan ko'rishimiz mumkinki, grafik chap tomonda o'ng tomonda o'sgandan ko'ra tezroq pasaymoqda.

Mayli, keling, boshqa polinomni ko'rib chiqaylik. Bu safar biz nollarni topish jarayonini oxirigacha davom ettiramiz.

2-misol $P\left( x \right) = {x^4} - {x^3} - 6{x^2}$ grafigini chizing.

Yechim

Birinchidan, biz nollarni aniqlashimiz va ularning ko'paytmalarini olishimiz uchun ushbu ko'phadni imkon qadar ko'proq faktorga kiritishimiz kerak.

\[P\left( x \right) = {x^4} - {x^3} - 6{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - x - 6} \right) = {x^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\]

Bu erda nollarning ro'yxati va ularning ko'pligi.

\[\begin{align*}x & = - 2 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\\ x & = 0 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 2}}} \right)\\ x & = 3 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\end{align*}\]

Shunday qilib, $x = - 2$ va $x = 3$ dagi nollar $x$ o‘qini kesib o‘tuvchi $x$ kesishmalariga mos keladi, chunki ularning ko‘pligi toq va buni burchak ostida bajaradi, chunki ularning ko‘pligi kamida 2 EMAS. ko'plik teng, lekin $x$ o'qiga tegsa, tekis bo'ladi, chunki ko'plik birdan katta.

$y$-kesishmasi $\left( {0,0} \right)$ va bu ham $x$-kesishma ekanligiga e'tibor bering.

Koeffitsient 4^th daraja atamasi musbat va shuning uchun ham daraja bo'lgani uchun biz bilamizki, polinom grafikning ikkala uchida ham chegaralanmagan holda ortadi.

Va nihoyat, bu erda ba'zi funktsiyalarni baholash.

\[P\left( { - 3} \right) = 54\hspace{0.25in}P\left( { - 1} \right) = - 4\hspace{0.25in}P\left( 1 \right) = - 6\hspace{0.25in}P\left( 4 \right) = 96\]

Endi, chap tomondan boshlab, biz $x$ ni tobora salbiyroq qilishimiz bilan, funktsiya chegaralanmagan holda oshishi kerakligini bilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz o'ngga o'tsak, grafik aslida pasayadi.

$x = - 3$ da grafik pasayib boradi va biz $x = - 2$ da birinchi $x$-kesishmasini bosganimizda pasayishda davom etadi, chunki bu $x$-kesishmasi $x$ o‘qini kesib o‘tishini bilamiz.

Keyinchalik, keyingi $x$-kesishmasi $x = 0$-da bo'lgani uchun, grafik yana bu $x$-kesishmasiga ko'tarilishi uchun biror joyda burilish nuqtasiga ega bo'lishimiz kerak. Shunga qaramay, biz bu burilish nuqtasi qayerda ekanligi haqida tashvishlanmaymiz.

$x = 0$-da $x$-kesishmasiga borganimizdan so'ng, biz burilish nuqtasiga ega bo'lishimiz kerakligini bilamiz, chunki bu $x$-kesishmasi $x$ o'qini kesib o'tmaydi. Shunday qilib, $x = 0$ ning o'ng tomonida grafik endi pasayadi. Ammo esda tutingki, ko'plik birdan katta bo'lgani uchun u $x$ o'qiga tegib turganda tekis bo'ladi.

Grafik $x = 3$ da keyingi $x$ kesishuvi uchun $x$ o'qiga qaytishi uchun u boshqa burilish nuqtasiga (ba'zi bir noma'lum nuqtada) tegmaguncha pasayishda davom etadi. Bu yakuniy $x$-kesishmasi va grafik bu nuqtada o'sib borayotganligi sababli, bu nuqtada chegarasiz o'sishi kerak.

Bu erda grafikning eskizi.

The domain of this graph is from -4 to 5 while the range is from -20 to 110. The graph starts in the 2nd quadrant at (-3,54) and decreases passing through the x-axis at (-2,0) into the 3rd quadrant and hits a valley at approximately (-1.5, -5). It then increases to a peak at the origin and then decreases into the 4th quadrant passing through the point (1,-6) and hitting a valley at approximately (2,-18). Finally it increases passing through the x-axis at (3,0) into the 1st quadrant ending at (4,96).

3-misol $P\left( x \right) = - {x^5} + 4{x^3}$ grafigini chizing.

Yechim

Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz buni imkon qadar ko'proq hisobga olishimiz kerak.

\[P\left( x \right) = - {x^5} + 4{x^3} = - \left( {{x^5} - 4{x^3}} \right) = - {x^3}\left( {{x^2} - 4} \right) = - {x^3}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\]

E'tibor bering, biz faktoringning qolgan qismini biroz osonlashtirish uchun birinchi navbatda minus belgisini ajratdik. Bu erda barcha nollarning ro'yxati va ularning ko'pligi.

\[\begin{align*}x & = - 2 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\\ x & = 0 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 3}}} \right)\\ x & = 2 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{multiplicity 1}}} \right)\end{align*}\]

Shunday qilib, uchta nol ham $x$ o'qini kesib o'tuvchi $x$ kesishmalariga to'g'ri keladi, chunki ularning barcha ko'paytmalari g'alati, ammo faqat $x = 0$ da $x$ kesmalari tekislanadi.

$y$-kesishmasi $\left( {0,0} \right)$ va oldingi misolda bo'lgani kabi, bu ham $x$-kesishdir.

Bu holda koeffitsient 5 ga teng^th daraja atamasi manfiy va shuning uchun daraja toq bo'lgani uchun grafik chap tomonda chegaralanmagan holda ortadi va o'ng tomonda chegaralanmagan holda kamayadi.

Bu erda ba'zi funktsiyalarni baholash.

\[P\left( { - 3} \right) = 135\hspace{0.25in}\,\,\,P\left( { - 1} \right) = - 3\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,P\left( 1 \right) = 3\hspace{0.25in}P\left( 3 \right) = - 135\]

Yaxshi, bu grafik avvalgi grafik kabi boshlanadi. Chap tomonda grafik pasayib, biz o'ngga o'tsak va $x = - 2$ da birinchi $x$-kesishmasi orqali kamayadi, chunki bu $x$-kesishma $x$ o'qini kesib o'tishini biling.

Endi bir nuqtada biz burilish nuqtasiga erishamiz, shunda grafik $x = 0$ da keyingi $x$-kesishmasiga qaytishi mumkin va grafik shu nuqta orqali o‘sishda davom etadi, chunki u ham $x$ o‘qini kesib o‘tadi. Shuni ham yodda tutingki, bu nuqtada grafik tekis bo'lishi kerak, chunki ko'plik birdan katta.

Nihoyat, grafik yana bir burilish nuqtasiga etib boradi va pasayishni boshlaydi, shuning uchun u $x = 2$ da yakuniy $x$-kesishuviga qaytishi mumkin. Biz bilamizki, grafik cheklanmagan holda kamayadi.

Mana bu polinomning eskizi.

The domain of this graph is from -4 to 4 while the range is from -20 to 20. The graph starts in the 2nd quadrant at approximately (-2.5,20) and decreases passing through the x-axis at (-2,0) into the 3rd quadrant and hits a valley at approximately (-1.5, -6). It then increases up through the point (-1,-3) and then passing through the origin horizontally into the 1st quadrant. It goes though the point (1,3) reaches a peak at approximately (1.5,6). It then decreases passing through the x-axis at (2,0) into 4th quadrant ending at approximately (2.5,-20).

Ushbu misollarda biz ishlatgan jarayonni o'rganish qiyin bo'lishi mumkin. Natijalarni to'g'ri talqin qilishni o'rganish uchun vaqt kerak.

Bundan tashqari, turli joylarda ta'kidlanganidek, biz bu erda hal qila olmaydigan bir nechta vaziyatlar mavjud. Ko'pgina burilish nuqtalarini topish uchun bizga hisob-kitoblar kerak bo'ladi, bizda aniq yo'q. Bundan tashqari, jarayon bizda barcha nollarga ega bo'lishini va ularning barchasi haqiqiy raqamlar bo'lishini talab qiladi.

Biroq, bu kamchiliklarga qaramay, jarayon bizga hech bo'lmaganda polinom grafigi qanday ko'rinishi haqida tasavvur berishi mumkin.