7.2-bo'lim: Bir jinsli differentsial tenglamalar
2 kabind differensial tenglamalarni tartiblang, agar biz birinchi navbatda bir jinsli differentsial tenglamani yecha olmasak, bir hil bo'lmagan differentsial tenglamani yecha olmaymiz. Shuningdek, biz doimiy koeffitsientli differentsial tenglamalar bilan cheklanishimiz kerak, chunki doimiy bo'lmagan koeffitsientli differentsial tenglamalarni echish juda qiyin va shuning uchun biz ularni bu erda muhokama qilmaymiz. Xuddi shunday, biz faqat chiziqli differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, keling, quyidagi differentsial tenglamadan boshlaylik,
\[{a_n}{y^{\left( n \right)}} + {a_{n - 1}}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_1}y' + {a_0}y = 0\]Endi, ushbu differentsial tenglamaning yechimlari \(y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{r\,t}}\) ko'rinishida bo'ladi, deb faraz qiling va uni differentsial tenglamaga kiriting va biz biroz soddalashtiramiz,
\[{{\bf{e}}^{r\,t}}\left( {{a_n}{r^n} + {a_{n - 1}}{r^{n - 1}} + \cdots + {a_1}r + {a_0}} \right) = 0\]va shuning uchun bu nolga teng bo'lishi uchun biz buni talab qilishimiz kerak
\[{a_n}{r^n} + {a_{n - 1}}{r^{n - 1}} + \cdots + {a_1}r + {a_0} = 0\]Bu deyiladi xarakterli polinom/tenglama va uning ildizlari/yechimlari bizga differentsial tenglamaning yechimlarini beradi. Biz bilish Bu, shu jumladan takroriy ildizlar, \(n\)th darajali polinom (bizda mavjud) \(n\) ildizlariga ega bo'ladi. Shunday qilib, biz bu erda ildiz otish uchun mavjud bo'lgan barcha imkoniyatlardan o'tishimiz kerak.
Bu erda biz \(n\) bilan qanday ishlashimizdagi farqlarni ko'ra boshlaymizth 2 ga nisbatan tartibli differentsial tenglamalarnd tartibli differentsial tenglamalar. Hali ham uchta asosiy holat mavjud: haqiqiy aniq ildizlar, takroriy ildizlar va murakkab ildizlar (garchi bular endi biz ko'rib turganimizdek takrorlanishi mumkin). 2 dand tartibli differensial tenglamalar har bir differensial tenglama ushbu holatlardan faqat bittasini o'z ichiga olishi mumkin. Biroq, endi bunday bo'lishi shart emas. Ushbu holatlarning har birini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarga juda oson ega bo'lishimiz mumkin.
Masalan, bizda 9 bor, deylikth tartibli differentsial tenglama. Ildizlarning to'liq ro'yxati 3 ta ildizga ega bo'lishi mumkin, ular ro'yxatda faqat bir marta uchraydi (i.e. haqiqiy aniq ildizlar), ko'pligi 4 bo'lgan ildiz (i.e. ro'yxatda 4 marta uchraydi) va murakkab konjugat ildizlar to'plami (esda tuting, chunki koeffitsientlar barcha haqiqiy murakkab ildizlar har doim konjugat juftlikda bo'ladi).
Shunday qilib, har bir \(n\) uchunth tartibli differentsial tenglama uchun biz \(n\) chiziqli mustaqil funktsiyalar to'plamini yaratishimiz kerak (i.e. yechimlarning asosiy to'plami) umumiy yechimni olish uchun. Keyingi ishda biz har bir holatdan olinadigan echimlarni muhokama qilamiz, ammo umumiy yechimni yaratish uchun hamma narsani birlashtirganimizda, biz haqiqatan ham asosiy echimlar to'plamini olishimizni tekshirishni sizga qoldiramiz. Eslatib o'tamiz, buning uchun biz buni tekshirishimiz kerak Vronskiy nolga teng emas.
Shunday qilib, keling, bu erda ishni boshlaylik. Xarakteristik tenglamaning ildizlari ro'yxatida bizda \({r_{\,1}},{r_{\,2}}, \ldots ,{r_{\,k}}\) bor va ular ro'yxatda faqat bir marta uchraydi, deb faraz qilishdan boshlaylik. Bularning har birining yechimi shunday bo'ladi:
\[{{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,t}},\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{r_{\,k}}\,t}}\]Haqiqiy aniq ildizlar uchun bu erda haqiqatan ham yangi narsa yo'q.
Endi takrorlangan ildizlarni ko'rib chiqaylik. Bu erda natija biz ishning tabiiy davomidir ko'rgan 2 dand buyurtma ishi. Faraz qilaylik, \(r\) \(k\) ko'plikning ildizi (i.e. \(r\) ildizlar ro'yxatida \(k\) marta uchraydi). Keyin biz differensial tenglamaning quyidagi \(k\) yechimlarini olamiz,
\[{{\bf{e}}^{r\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{r\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{r\,t}}\]Shunday qilib, takroriy ildizlar uchun biz jami \(k\) yechimiga ega bo'lmagunimizcha, birinchisidan keyingi har bir yechim uchun \(t\) qo'shamiz. Shunga qaramay, biz bu haqiqatda chiziqli mustaqil echimlar to'plami ekanligini tekshirish uchun Wronskianni hisoblashni sizga qoldiramiz.
Nihoyat, biz murakkab ildizlar bilan shug'ullanishimiz kerak. Bu erda eng katta muammo shundaki, biz endi 4 uchun takroriy murakkab ildizlarga ega bo'lishimiz mumkinth tartibli yoki undan yuqori differensial tenglamalar. Biz \(r = \lambda \pm \mu \,i\) ildizlar ro'yxatida faqat bir marta uchraydi, deb faraz qilishdan boshlaymiz. Bunday holda biz ikkita standart echimni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right)\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right)\]Keling, \(r = \lambda \pm \mu \,i\) da \(k\) ning ko'pligi bor deb faraz qilaylik (i.e. ular ildizlar ro'yxatida \(k\) marta uchraydi). Bunday holda, biz 2\(k\) kompleks qiymatli echimlarning quyidagi to'plamini olish uchun yuqoridagi takroriy ildizlardan foydalanishimiz mumkin,
\[\begin{align*}&{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}}\\ & {{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}}\end{align*}\]Albatta, muammo shundaki, biz haqiqatan ham haqiqiy echimlarni xohlaymiz. Shunday qilib, eslang, ular bir marta sodir bo'lganda, biz faqat foydalanishimiz kerak edi Eyler formulasi birinchisida, so'ngra ikkita haqiqiy baholi echimni olish uchun haqiqiy va xayoliy qismni oling. Biz bu yerda xuddi shu ishni qilamiz va yuqoridagi murakkab qiymatli yechimlarning birinchi to‘plamida Eyler formulasidan foydalanamiz, har birini haqiqiy va xayoliy qismlarga bo‘lib, quyidagi 2\(k\) real qiymatli yechimlar to‘plamiga erishamiz.
\[\begin{align*}&{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in} \cdots ,\\ & \hspace{3.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\,\,\,\,\,\,\,{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right)\end{align*}\]Yana bir bor, bular aslida yechimlarning asosiy to‘plamini tashkil etishini tekshirishni sizga qoldiramiz.
Bu erda bir nechta tezkor misollar bilan ishlashdan oldin, xarakterli polinom endi kamida 3 bo'lishini ta'kidlashimiz kerak.rd darajali polinom va ularning ildizlarini qo'lda topish ko'pincha juda qiyin va vaqt talab qiladigan jarayondir va ko'p hollarda ildizlar oqilona bo'lmasa (i.e. \(\frac{p}{q}\) shaklida) ularning barchasini qo'lda topish deyarli imkonsiz bo'lishi mumkin. Polinomning barcha ratsional ildizlarini aniqlash jarayonini ko'rish uchun tekshiring Polinomlarning nollarini topish Algebra eslatmalarida sahifa. Amalda esa, biz odatda barcha ildizlarni topish uchun Maple yoki Mathematica kabi hisoblash vositalaridan foydalanamiz.
Shunday qilib, keling, hech bo'lmaganda bu erda muhokama qilingan ba'zi fikrlarni tasvirlash uchun bu erda bir nechta misol keltiramiz.
Yechim
Xarakteristik tenglama,
\[{r^3} - 5{r^2} - 22r + 56 = \left( {r + 4} \right)\left( {r - 2} \right)\left( {r - 7} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{r_{\,1}} = - 4,\,\,\,{r_{\,2}} = 2,\,\,\,{r_{\,3}} = 7\]Shunday qilib, bizda uchta haqiqiy ildiz bor va shuning uchun umumiy yechim:
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 4t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{2t}} + {c_3}{{\bf{e}}^{7t}}\]Bir necha marta farqlash va dastlabki shartlarni qo'llash koeffitsientlarni topish uchun biz hal qilishimiz kerak bo'lgan quyidagi tenglamalar sistemasini beradi.
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,1 = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} + {c_3}}\\{ - 2 = y'\left( 0 \right) = - 4{c_1} + 2{c_2} + 7{c_3}}\\{ - 4 = y''\left( 0 \right) = 16{c_1} + 4{c_2} + 49{c_3}}\end{array}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{l}}{{c_1} = \frac{{14}}{{33}}}\\{{c_2} = \frac{{13}}{{15}}}\\{{c_3} = - \frac{{16}}{{55}}}\end{array}\]Haqiqiy yechim shundan iboratki,
\[y\left( t \right) = \frac{{14}}{{33}}{{\bf{e}}^{ - 4t}} + \frac{{13}}{{15}}{{\bf{e}}^{2t}} - \frac{{16}}{{55}}{{\bf{e}}^{7t}}\]Demak, kub polinomini yechish zaruratidan (tafsilotlarini tekshirish uchun sizga qoldirganmiz) va koeffitsientlarni topish uchun 3 ta tenglamalar sistemasini yechish zaruratidan tashqari (buni tafsilotlarni toʻldirishni ham sizga qoldirgan edik) bu yerdagi ish 2 ni yechishda qilgan ishimiz bilan deyarli bir xil.nd IVP buyurtma qiling.
Dastlabki ish sharti ish bilan bir xil bo'lib, biz shu paytgacha yaxshi tanish bo'lishimiz kerak, bundan tashqari u kattaroq tizimlarni echishni o'z ichiga oladi, biz qolgan misollar uchun IVP ni hal qilish bilan bezovtalanmaymiz. Ushbu bo'limning asosiy nuqtasi baribir differensial tenglamaning umumiy yechimini topish bilan bog'liq yangi g'oyalar va shuning uchun biz qolgan misollar uchun bunga e'tibor qaratamiz.
Shuni ham yodda tutingki, biz xarakterli polinomni echishda unchalik ko'p ish ko'rsatmaymiz. Biz bu yerda hisoblash vositalaridan foydalanmoqdamiz va sizni bu yerda ham xuddi shunday qilishga undaymiz. Ushbu yuqori darajadagi polinomlarni echish juda ko'p ish va bu misollarning mohiyatini yashiradi.
Shunday qilib, keling, hal qilishda bir nechta holatlar mavjud bo'lgan bir nechta misollarga o'taylik.
Yechim
Xarakteristik tenglama,
\[2{r^4} + 11{r^3} + 18{r^2} + 4r - 8 = \left( {2r - 1} \right){\left( {r + 2} \right)^3} = 0\]Demak, bu yerda bizda ikkita ildiz bor, \({r_{\,1}} = \frac{1}{2}\) va \({r_{\,2}} = - 2\), bu 3 ning ko‘paytmasi. Esda tutingki, biz ikkinchi ildiz uchun uchta yechim olamiz va birinchisidan so‘ng uchta yechimga yetguncha \(t\) ning faqat yechimini qo‘shamiz.
Umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{\frac{1}{2}t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,2t}} + {c_3}t{{\bf{e}}^{ - \,2t}} + {c_4}{t^2}{{\bf{e}}^{ - \,2t}}\]Yechim
Xarakteristik tenglama,
\[{r^5} + 12{r^4} + 104{r^3} + 408{r^2} + 1156r = r{\left( {{r^2} + 6r + 34} \right)^2} = 0\]Shunday qilib, bizda bitta haqiqiy ildiz \(r = 0\) va har birining ko‘pligi 2 bo‘lgan bir juft murakkab ildiz \(r = - 3 \pm 5\,i\) bor. Demak, haqiqiy ildiz uchun yechim oson va murakkab ildizlar uchun jami 4 ta yechim olamiz, 2 tasi bo‘ladi. normal eritmalar va ikkitasi har biri t ga ko'paytirilgan normal yechim bo'ladi.
Umumiy yechim:
\[y\left( t \right) = {c_1} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\cos \left( {5t} \right) + {c_3}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\sin \left( {5t} \right) + {c_4}\,t\,{{\bf{e}}^{ - 3t}}\cos \left( {5t} \right) + {c_5}\,t\,{{\bf{e}}^{ - 3t}}\sin \left( {5t} \right)\]Keling, bu erda bitta ishimiz borligini aytish uchun uchta asosiy holatni o'z ichiga olgan misol bilan ishlaylik.
Yechim
Xarakteristik tenglama
\[{r^5} - 15{r^4} + 84{r^3} - 220{r^2} + 275r - 125 = \left( {r - 1} \right){\left( {r - 5} \right)^2}\left( {{r^2} - 4r + 5} \right) = 0\]Bu holda bizda bitta aniq aniq ildiz, \(r = 1\) va qo'sh ildiz, \(r = 5\) va bir juft murakkab ildiz, \(r = 2 \pm i\) bor, ular faqat bir marta sodir bo'ladi.
Umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^t} + {c_2}{{\bf{e}}^{5t}} + {c_3}\,t\,{{\bf{e}}^{5t}} + {c_4}{{\bf{e}}^{2t}}\cos \left( t \right) + {c_5}{{\bf{e}}^{2t}}\sin \left( t \right)\]Bu erda ishlash uchun bizda bitta so'nggi misol bor, bu hech bo'lmaganda sirtdan juda oson ko'rinadi. Bu erda muammo ildizlarni topishda bo'ladi.
Yechim
Xarakteristik tenglama
\[{r^4} + 16 = 0\]Shunday qilib, juda oddiy xarakterli tenglama. Biroq, ildizlarni topish uchun biz -16 ning to'rtinchi ildizini hisoblashimiz kerak va bu ko'pchilik matematik kareralarida shu nuqtada qilmagan narsadir. Biz bu yerda ularni topish formulasini keltiramiz, lekin agar siz bu haqda biroz koʻproq maʼlumotga ega boʻlishni istasangiz, quyidagini koʻrib chiqing. Kuchlar va ildizlar bo'limi Kompleks sonlar astar.
4 (va ha 4 bor!) 4th -16 ning ildizlarini quyidagini baholash orqali topish mumkin,
\[\sqrt[4]{{ - 16}} = {\left( { - 16} \right)^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{16}}{{\bf{e}}^{\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right)i}} = 2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right)} \right)\hspace{0.25in}k = 0,1,2,3\]
E'tibor bering, \(k\) ning har bir qiymati alohida 4 ni beradith -16 ning ildizi. Shuni ham yodda tutingki, 4 uchunth ildiz (va FAQAT 4th Har qanday manfiy sonning ildizi) yuqoridagi formuladagi 16 ni ko'rib chiqilayotgan sonning mutlaq qiymati bilan almashtirishimiz kerak va bu formula ular uchun ham ishlaydi.
Mana 4th -16 ning ildizlari.
\[\begin{align*}&k = 0:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 + i\sqrt 2 \\ & k = 1:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) = 2\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = - \sqrt 2 + i\sqrt 2 \\ & k = 2:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right) = 2\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = - \sqrt 2 - i\sqrt 2 \\ & k = 3:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right) = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 - i\sqrt 2 \end{align*}\]
Shunday qilib, bizda ikkita murakkab ildizlar to'plami mavjud: \(r = \sqrt 2 \pm i\sqrt 2 \) va \(r = - \sqrt 2 \pm i\sqrt 2 \). Umumiy yechim:
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{\sqrt 2 t}}\cos \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_2}{{\bf{e}}^{\sqrt 2 t}}\sin \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_3}{{\bf{e}}^{ - \sqrt 2 t}}\cos \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_4}{{\bf{e}}^{ - \sqrt 2 t}}\sin \left( {\sqrt 2 \,t} \right)\]Shunday qilib, biz bu erda yuqori tartibli differentsial tenglamalarga bir nechta misollar bilan ishladik, ular sizga ko'p hollarda ularning qanday ishlashini his qilishlari kerak.
Albatta, biz bu erda qilganimizdan ko'ra, asosiy holatlarning juda ko'p turli xil kombinatsiyalari mavjud va, albatta, biz 6 ta ish bilan shug'ullanmadik.th Buyurtma yoki undan yuqori, lekin ularning qanday ishlashi haqida tasavvurga ega bo'lganingizdan so'ng, ularning barchasi deyarli bir xil tarzda ishlashini ko'rish juda oson. Yuqori tartibli differensial tenglamalar bilan bog'liq eng katta muammo shundaki, xarakterli ko'phadni va yechimdagi koeffitsientlar tizimini echishda ishlash juda ko'p bo'lishi mumkin.