1.3-bo'lim: Yakuniy fikrlar (final thoughts)
Differensial tenglamalarni amaliy yechish usullarini o'rganishga o'tishdan oldin, bir nechta yakuniy muhim xulosalarni keltirib o'tmoqchimiz. Har qanday differensial tenglamalar kursi asosan quyidagi uchta fundamental savolning bir yoki bir nechtasiga javob izlash bilan shug'ullanadi:
-
1. Berilgan differensial tenglamaning yechimi mavjudmi?
Hamma differensial tenglamalar ham yechimga ega bo'lavermaydi. Shuning uchun yechimni qidirishga kirishishdan oldin, uning mavjud yoki mavjud emasligini oldindan bilib olish juda foydalidir. Agar yechim umuman mavjud bo'lmasa, mavjud bo'lmagan narsani qidirib vaqtimizni behuda sarflashdan nima naf?
Ushbu savol differensial tenglamalar kursida odatda mavjudlik masalasi (existence question) deb ataladi.
-
2. Agar differensial tenglama yechimga ega bo'lsa, uning nechta yechimi bor?
Keyingi mavzularda ko'rib o'tganimizdek, bitta differensial tenglama bir nechta yechimga ega bo'lishi ham mumkin. Biz berilgan masala uchun nechta yechim mavjud bo'lishini oldindan bilishni istaymiz.
Shuningdek, bu yerda o'ta muhim bir qo'shimcha savol ham tug'iladi: Differensial tenglama aynan bitta yagona yechimga ega bo'lishi uchun unga qanday qo'shimcha shart(lar) qo'yilishi kerak?
Ushbu savol va qo'shimcha savol siz tasavvur qilganingizdan ham ancha jiddiy ahamiyatga egadir. Tasavvur qiling, biz biror po'lat sterjenda ixtiyoriy \(t\) vaqt momentidagi harorat taqsimotini tavsiflovchi differensial tenglamani tuzdik. Agar ushbu tenglamani yechganimizda ikkita (yoki undan ortiq) mutlaqo bir-biriga mos kelmaydigan alohida yechimlar hosil bo'lsa, biz katta muammoga duch kelamiz:
Agar biz 10 ta mutlaqo bir xil po'lat sterjenni bir xil sharoitga qo'ysak, ularning barchasida harorat bir xil taqsimlanishi kerak. Demak, biz topgan yechimlardan faqat bittasigina fizik haqiqatga to'g'ri keladi, biroq ulardan qaysi biri to'g'ri ekanini bilishning iloji bo'lmay qoladi!
Differensial tenglamani keltirib chiqarish jarayonida qabul qilingan farazlarimiz yechimning bir qiymatli va yagona bo'lishini kafolatlashi o'ta muhimdir.
Ushbu savol differensial tenglamalar kursida yagonalik masalasi (uniqueness question) deb yuritiladi.
-
3. Agar differensial tenglama yechimga ega bo'lsa, biz uni topa olamizmi?
Bu dastlab g'alati savoldek tuyulishi mumkin, ammo uning javobi har doim ham "ha" bo'lavermaydi! Differensial tenglama yechimining mavjud ekanligini isbotlaganimiz — biz uni albatta aniq analitik formulalar orqali topa olamiz degani emas.
Differensial tenglamalarga bag'ishlangan dastlabki bazaviy kurslarda (xususan, bizning ushbu qo'llanmamizda) asosiy e'tibor uchinchi savolga qaratiladi. Dastlabki ikki savolga biz eng asosiy va sodda holatlar uchungina qisqacha to'xtalamiz, asosiy kuch-g'ayratimizni esa imkon qadar keng ko'lamdagi differensial tenglamalarning yechimlarini topish usullarini puxta o'zlashtirishga yo'naltiramiz.