8-bob: Chegaraviy qiymat muammolari va furye seriyasi

Ushbu bobda biz bir nechta mavzularni tez va juda qisqacha ko'rib chiqamiz. Ushbu bobdagi ikkita asosiy mavzu chegaraviy qiymat muammolari va Furye seriyasidir. Shuningdek, biz ushbu bobda bir nechta boshqa mavzularni ko'rib chiqamiz. Ushbu bobning asosiy maqsadi keyingi bobda bizga kerak bo'ladigan ba'zi asoslarni olishdir, bu erda biz qisman differentsial tenglamalar uchun eng keng tarqalgan echim usullaridan birini ko'rib chiqamiz.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu ikkala mavzu ham biz bu erda muhokama qiladigan narsalardan ancha chuqurroqdir. Aslida, siz ushbu mavzularning har biri bo'yicha butun kurslarni o'tkazishingiz mumkin. Biz bu erda ko'rib chiqamiz, keyingi bobda ishni bajarish uchun zarur bo'lgan ushbu mavzularning asoslari. Bu ikkala mavzuning ham to'la-to'kis sohalari borki, biz ularga to'xtalmaymiz.

Quyida ushbu bobdagi mavzularning qisqacha ro'yxati keltirilgan.

Chegaraviy qiymat muammolari - Ushbu bo'limda biz chegara shartlarini (bu nuqtada biz allaqachon tanish bo'lishimiz kerak bo'lgan dastlabki shartlardan farqli o'laroq) va chegaraviy muammoni aniqlaymiz. Shuningdek, biz differentsial tenglamalarni echishda boshlang'ich shartlar o'rniga chegara qiymatlarini qo'llashdagi ba'zi qiziqarli farqlarni ko'rsatadigan bir nechta misollar bilan ishlaymiz.

Xususiy qiymatlar va xos funktsiyalar - Ushbu bo'limda biz chegara masalalari uchun xos qiymatlar va xususiy funktsiyalarni aniqlaymiz. Biz o'z qiymatlari va o'z funktsiyalarini qanday topish mumkinligini ko'rsatadigan bir nechta misollar bilan ishlaymiz. Bir misolda biz qila oladigan eng yaxshi narsa o'z qiymatlarini baholashdir, chunki bu bunday muammolar bilan muntazam ravishda sodir bo'ladigan narsa.

Davriy funksiyalar va ortogonal funksiyalar - Ushbu bo'limda biz davriy funktsiyalarni, ortogonal funktsiyalarni va o'zaro ortogonal funktsiyalarni aniqlaymiz. Biz, shuningdek, \(\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\) va \(\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\) oʻzaro ortogonal boʻlgan intervallarni koʻrsatadigan bir nechta misollar bilan ishlaymiz. Ushbu misollarning natijalari ushbu bobning qolgan qismi va keyingi bobning aksariyat qismi uchun juda foydali bo'ladi.

Furye Sine seriyasi – Ushbu bo‘limda Furye sinus seriyasini aniqlaymiz, ya’ni \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{B_n}\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \) ko‘rinishidagi qatorli funksiyani ifodalaymiz. Shuningdek, biz funktsiya uchun toq kengaytmani aniqlaymiz va funktsiya uchun Furye sinus seriyasini topish uchun bir nechta misollarni ishlab chiqamiz.

Furye Kosinus seriyasi – Bu boʻlimda Furye kosinuslar seriyasini aniqlaymiz, yaʼni \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \) koʻrinishidagi qatorga ega funksiyani ifodalaymiz. Shuningdek, biz funktsiya uchun teng kengaytmani aniqlaymiz va funktsiya uchun Furye kosinuslar seriyasini topishga bir nechta misollar keltiramiz.

Furye seriyasi – Bu boʻlimda Furye seriyasini aniqlaymiz, yaʼni \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} + \sum\limits_{n = 1} \B_ft \(\sum\limits_) koʻrinishidagi qatorga ega funksiyani ifodalaymiz. {\ frac {{n\pi x}}{L}} \right)} \). Bundan tashqari, biz funktsiya uchun Furye seriyasini topish uchun bir nechta misollar bilan ishlaymiz.

Furye seriyasining konvergentsiyasi - Ushbu bo'limda biz qismlarga bo'lingan silliq funktsiyalarni va funktsiyaning davriy kengaytmasini aniqlaymiz. Bundan tashqari, biz Furye qatori nimaga yaqinlashishi va Furye qatorining hosilasi yoki integrali u ifodalagan funktsiyaning hosilasi yoki integraliga qachon yaqinlashishini kutishimiz mumkinligi haqida turli xil faktlarni keltiramiz.