1.4-bo'lim: Polinomlar
Ushbu bo'limda biz polinomlarni ko'rib chiqamiz. Polinomlar ushbu materialning qolgan qismidagi har bir bobning deyarli har bir qismida namoyon bo'ladi va shuning uchun ularni tushunish muhimdir.
bilan boshlaymiz bitta o'zgaruvchidagi ko'phadlar. Bitta o‘zgaruvchidagi polinomlar algebraik ifodalar bo‘lib, \(a{x^n}\) ko‘rinishidagi atamalardan iborat bo‘lib, \(n\) manfiy bo‘lmagan (i.e. musbat yoki nol) tamsayı va \(a\) haqiqiy son bo'lib, u deyiladi koeffitsienti muddatdan. daraja bir oʻzgaruvchidagi koʻphadning koʻphaddagi eng katta koʻrsatkichi.
E'tibor bering, biz ko'pincha "bir o'zgaruvchida" qismini tashlab, faqat polinom deymiz.
Bu yerda polinomlar va ularning darajalariga misollar keltiramiz.
\[\begin{align*}& 5{x^{12}} - 2{x^6} + {x^5} - 198x + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree :}}\,\,12\\ & {x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree :}}\,\,4\\ & 56{x^{23}}\hspace{0.5in} & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree :}}\,\,23\\ & 5x - 7 & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree :}}\,\,1\\ & - 8& \hspace{0.5in} & {\mbox{degree :}}\,\,0\end{align*}\]Shunday qilib, polinom birinchi misolda ko'rib turganimizdek \(x\) ning barcha vakolatlarini o'z ichiga olishi shart emas. Shuningdek, uchinchi va beshinchi misolda ko'rib turganimizdek, ko'phadlar bitta atamadan iborat bo'lishi mumkin.
Yakuniy misolni biroz ko'proq muhokama qilishimiz kerak. Bu haqiqatan ham polinom bo'lib, hatto unga o'xshamasligi mumkin. Esda tutingki, polinom \(a{x^n}\) shaklidagi atamalardan tashkil topgan har qanday algebraik ifodadir. Oxirgi misolni yozishning yana bir usuli
\[ - 8{x^0}\]Shu tarzda yozilgani \(x\) ko'rsatkichi nolga teng ekanligini aniq ko'rsatadi (bu darajani ham tushuntiradi ...) va shuning uchun biz u haqiqatan ham bitta o'zgaruvchidagi polinom ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Bu erda polinom bo'lmagan narsalarga misollar.
\[\begin{align*}& 4{x^6} + 15{x^{ - 8}} + 1\\ & 5\sqrt x - x + {x^2}\\ & \frac{2}{x} + {x^3} - 2\end{align*}\]Birinchisi ko'phad emas, chunki uning manfiy ko'rsatkichi bor va polinomdagi barcha ko'rsatkichlar ijobiy bo'lishi kerak.
Nima uchun ikkinchisi polinom emasligini bilish uchun uni biroz qayta yozamiz.
\[5\sqrt x - x + {x^2} = 5{x^{\frac{1}{2}}} - x + {x^2}\]Ildizni ko'rsatkich shakliga o'tkazish orqali algebraik ifodada ratsional ildiz mavjudligini ko'ramiz. Algebraik ifoda polinom bo‘lishi uchun algebraik ifodadagi barcha ko‘rsatkichlar manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lishi kerak. Umumiy qoida sifatida, agar algebraik ifodada radikal bo'lsa, u polinom emas.
Keling, uchinchisini ham nega polinom emasligini bilish uchun qayta yozamiz.
\[\frac{2}{x} + {x^3} - 2 = 2{x^{ - 1}} + {x^3} - 2\]Shunday qilib, bu algebraik ifoda haqiqatan ham manfiy ko'rsatkichga ega va biz bunga yo'l qo'yilmasligini bilamiz. Yana bir asosiy qoida shundaki, agar kasrning maxrajida biron bir o'zgaruvchi bo'lsa, algebraik ifoda polinom emas.
E'tibor bering, bu polinomlarda radikallar va kasrlarga ruxsat berilmaydi degani emas. Ular shunchaki o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydi. Masalan, quyidagi polinom
\[\sqrt[3]{5}\,{x^4} - \frac{7}{{12}}{x^2} + \frac{1}{{\sqrt 8 }}x - 5\,\,\sqrt[{14}]{{113}}\]Ushbu algebraik ifodada juda ko'p radikallar va kasrlar mavjud, ammo kasrlarning maxrajlari faqat sonlar va har bir radikalning radikallari faqat sonlardir. Algebraik ifodadagi har bir \(x\) suratda ko'rinadi va ko'rsatkich musbat (yoki nol) butun sondir. Shuning uchun bu polinom.
Keyin, keling, tezda ko'rib chiqaylik ikki oʻzgaruvchidagi koʻpnomlar. Ikki oʻzgaruvchidagi koʻp nomlar \(a{x^n}{y^m}\) koʻrinishidagi atamalardan tashkil topgan algebraik ifodalardir. Ikki oʻzgaruvchili koʻphaddagi har bir hadning darajasi har bir haddagi koʻrsatkichlar yigʻindisi va daraja ko'phadning eng katta yig'indisidir.
Ikki oʻzgaruvchidagi koʻphadlar va ularning darajalariga misollar keltiramiz.
\[\begin{align*} & {x^2}y - 6{x^3}{y^{12}} + 10{x^2} - 7y + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree : }}15\\ & 6{x^4} + 8{y^4} - x{y^2} & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree : 4}}\\ & {x^4}{y^2} - {x^3}{y^3} - xy + {x^4} & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree : 6}}\\ & 6{x^{14}} - 10{y^3} + 3x - 11y & \hspace{0.5in} & {\mbox{degree : 14}}\end{align*}\]Bunday polinomlarda har bir atamada \(x\) va \(y\) bo‘lishi shart emas, aslida oxirgi misolda ko‘rib turganimizdek, ularda \(x\) va \(y\) atamalari bo‘lishi shart emas. Bundan tashqari, polinom darajasi faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalardan kelib chiqishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, bir nechta atamalar bir xil darajaga ega bo'lishi mumkin.
Shuningdek, biz uchta o'zgaruvchidagi polinomlar yoki to'rtta o'zgaruvchi yoki bizga kerak bo'lgan ko'p o'zgaruvchilar haqida gapirishimiz mumkin. Ushbu kursda ko'rib chiqiladigan ko'pnomlarning aksariyati bitta o'zgaruvchidagi polinomlardir, shuning uchun ushbu bo'limning qolgan qismidagi misollarning aksariyati bitta o'zgaruvchidagi ko'phadlar bo'ladi.
Keyinchalik, ba'zi terminologiyani yo'ldan olib tashlashimiz kerak. A monomial aniq bir haddan tashkil topgan ko‘phaddir. A binom aniq ikki haddan tashkil topgan ko‘phaddir. Nihoyat, a trinomial aniq uchta haddan tashkil topgan ko‘phaddir. Biz ushbu atamalarni doimiy ravishda ishlatamiz, shuning uchun siz ular bilan biroz tanish bo'lishingiz kerak.
Endi polinomlarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish haqida gapirishimiz kerak. Siz ko'p nomlar bo'linishini qoldirganimizni ta'kidlaysiz. Bu keyinroq muhokama qilinadi bo'limi bu erda biz ko'pincha ko'phadlarni bo'lishdan foydalanamiz.
Ushbu munozarani boshlashdan oldin biz tarqatish qonunini esga olishimiz kerak. Bu ushbu bo'limning qolgan qismida qayta-qayta qo'llaniladi. Bu erda taqsimlash qonuni.
\[a\left( {b + c} \right) = ab + ac\]Biz ko'phadlarni qo'shish va ayirish bilan boshlaymiz. Bu, ehtimol, eng yaxshi bir nechta misollar bilan amalga oshiriladi.
- \(6{x^5} - 10{x^2} + x - 45\)-ni \(13{x^2} - 9x + 4\)-ga qo'shing.
- \({x^2} + x + 1\) dan \(5{x^3} - 9{x^2} + x - 3\) ni ayiring.
a \(6{x^5} - 10{x^2} + x - 45\)-ni \(13{x^2} - 9x + 4\)-ga qo'shing. Yechim
Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, bizdan talab qilinadigan operatsiyani yozishdir.
\[\left( {6{x^5} - 10{x^2} + x - 45} \right) + \left( {13{x^2} - 9x + 4} \right)\]Bu holda qavs kerak emas, chunki biz ikkita polinom qo'shamiz. Ular biz bajarayotgan operatsiyani aniq ko'rsatish uchun u yerda. Ikkita ko‘phadni qo‘shish uchun biz qiladigan ish kabi atamalarni birlashtiring. Bu shuni anglatadiki, bir xil ko'rsatkichga ega bo'lgan har bir atama uchun biz ushbu atama koeffitsientini qo'shamiz yoki ayitamiz.
Bu holda bu,
\[\begin{align*}\left( {6{x^5} - 10{x^2} + x - 45} \right) + \left( {13{x^2} - 9x + 4} \right) & = 6{x^5} + \left( { - 10 + 13} \right){x^2} + \left( {1 - 9} \right)x - 45 + 4\\ & = 6{x^5} + 3{x^2} - 8x - 41\end{align*}\]b \({x^2} + x + 1\) dan \(5{x^3} - 9{x^2} + x - 3\) ni ayiring. Yechim
Yana, keling, bu erda bajarayotgan operatsiyamizni yozamiz. Biz narsalarni yozish tartibiga ham juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Mana operatsiya
\[{x^2} + x + 1 - \left( {5{x^3} - 9{x^2} + x - 3} \right)\]Bu safar ikkinchi muddat atrofidagi qavslar mutlaqo talab qilinadi. Biz butun ko'phadni ayirmoqdamiz va qavs bu erda bo'lishi kerak, biz haqiqatda butun ko'phadni ayiryapmiz.
Ayirishni amalga oshirishda biz qiladigan birinchi narsa minus belgisini taqsimlang qavs orqali. Bu shuni anglatadiki, biz ikkinchi polinomdagi har bir a'zoning belgisini o'zgartiramiz. E'tibor bering, biz bu erda haqiqatan ham distributiv qonundan foydalangan holda ikkinchi ko'phad orqali "-1" ni ko'paytiramiz. Minusni qavs orqali taqsimlagandan so'ng, biz yana o'xshash atamalarni birlashtiramiz.
Mana bu muammo uchun ish.
\[\begin{align*}{x^2} + x + 1 - \left( {5{x^3} - 9{x^2} + x - 3} \right) & = {x^2} + x + 1 - 5{x^3} + 9{x^2} - x + 3\\ & = - 5{x^3} + 10{x^2} + 4\end{align*}\]E'tibor bering, ba'zida atama \(x\) bu erda qilganidek, atamalarni tarashdan keyin butunlay chiqib ketadi. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.
Endi polinomlarni ko'paytirishga o'tamiz. Shunga qaramay, buni misolda qilish yaxshidir.
- \(4{x^2}\left( {{x^2} - 6x + 2} \right)\)
- \(\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 10} \right)\)
- \(\left( {4{x^2} - x} \right)\left( {6 - 3x} \right)\)
- \(\left( {3x + 7y} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
- \(\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
a \(4{x^2}\left( {{x^2} - 6x + 2} \right)\) Yechim
Bu tarqatish qonunini tezda qo'llashdan boshqa narsa emas.
\[4{x^2}\left( {{x^2} - 6x + 2} \right) = 4{x^4} - 24{x^3} + 8{x^2}\]b \(\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 10} \right)\) Yechim
\[\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 10} \right)\]Bu ikkita binomni ko'paytirish uchun FOIL usulidan foydalanadi.
\[\require{color}\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 10} \right) = \underbrace {\,\,\,\,3{x^2}\,\,}_{{{\color{Red}\mbox{F}}\mbox{irst Terms}}} - \underbrace {\,\,\,30x\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{O}}{\mbox{uter Terms}}} + \underbrace {\,\,\,\,5x\,\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{I}}{\mbox{nner Terms}}} - \underbrace {\,\,\,\,50\,\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{L}}{\mbox{ast Terms}}} = 3{x^2} - 25x - 50\]Eslatib o'tamiz, FOIL usuli faqat ikkita binomni ko'paytirishda ishlaydi. Agar polinomlardan biri binomial bo'lmasa, FOIL usuli ishlamaydi.
Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda haqiqatan ham ikkinchi ko'phaddagi har bir a'zoni birinchi ko'phaddagi har bir a'zoga ko'paytiramiz. FOIL qisqartmasi buni eslab qolishning qulay usulidir.
c \(\left( {4{x^2} - x} \right)\left( {6 - 3x} \right)\) Yechim
Yana, biz buni faqat FOIL qilamiz.
\[\left( {4{x^2} - x} \right)\left( {6 - 3x} \right) = 24{x^2} - 12{x^3} - 6x + 3{x^2} = - 12{x^3} + 27{x^2} - 6x\]d \(\left( {3x + 7y} \right)\left( {x - 2y} \right)\) Yechim
Biz hali ham bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan binomiallarni FOIL qilishimiz mumkin, shuning uchun ular paydo bo'lganda bunday muammolar haqida hayajonlanmang.
\[\left( {3x + 7y} \right)\left( {x - 2y} \right) = 3{x^2} - 6xy + 7xy - 14{y^2} = 3{x^2} + xy - 14{y^2}\]e \(\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\) Yechim
Bu holda FOIL usuli ishlamaydi, chunki ikkinchi polinom binomial emas. Eslatib o'tamiz, FOIL qisqartmasi ikkinchi ko'phaddagi har bir a'zoni birinchi ko'phaddagi har bir a'zoga ko'paytirishimizni eslashning bir usuli edi.
Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan hamma narsa shu.
\[\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 2{x^3} - 2{x^2} + 2x + 3{x^2} - 3x + 3 = 2{x^3} + {x^2} - x + 3\]Keling, ba'zi maxsus mahsulotlar uchun ba'zi yaxshi formulalarni ko'rsatadigan yana bir misollar to'plamini ishlab chiqaylik. Formulalarni misoldan keyin beramiz.
- \(\left( {3x + 5} \right)\left( {3x - 5} \right)\)
- \({\left( {2x + 6} \right)^2}\)
- \({\left( {1 - 7x} \right)^2}\)
- \(4{\left( {x + 3} \right)^2}\)
a \(\left( {3x + 5} \right)\left( {3x - 5} \right)\) Yechim
Buning uchun biz FOIL dan foydalanishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
\[\left( {3x + 5} \right)\left( {3x - 5} \right) = 9{x^2} - 15x + 15x - 25 = 9{x^2} - 25\]Bunday holda, o'rta so'zlar yo'qoladi.
b \({\left( {2x + 6} \right)^2}\) Yechim
Endi \({4^2} = \left( 4 \right)\left( 4 \right) = 16\) ni eslang. Polinomlar bilan kvadratlash xuddi shunday ishlaydi. Shunday qilib, bu holatda bizda,
\[{\left( {2x + 6} \right)^2} = \left( {2x + 6} \right)\left( {2x + 6} \right) = 4{x^2} + 12x + 12x + 36 = 4{x^2} + 24x + 36\]c \({\left( {1 - 7x} \right)^2}\) Yechim
Bu oldingi qism bilan deyarli bir xil.
\[{\left( {1 - 7x} \right)^2} = \left( {1 - 7x} \right)\left( {1 - 7x} \right) = 1 - 7x - 7x + 49{x^2} = 1 - 14x + 49{x^2}\]d \(4{\left( {x + 3} \right)^2}\) Yechim
Ushbu qism koeffitsientlar bilan ehtiyot bo'lish kerakligini eslatish uchun bu erda. Koeffitsientga ega bo'lganimizda, biz birinchi darajali ko'rsatkichni bajarishimiz kerak, keyin esa koeffitsientni ko'paytirishimiz kerak.
\[4{\left( {x + 3} \right)^2} = 4\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 4\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 4{x^2} + 24x + 36\]Agar koeffitsientni qavslar to'plami orqali ko'paytirish mumkin, agar qavsda "1" ko'rsatkichi mavjud bo'lsa. Agar boshqa ko'rsatkich bo'lsa, siz koeffitsientni qavs orqali ko'paytira olmaysiz.
Faqat fikrni tushuntirish uchun.
\[4{\left( {x + 3} \right)^2} \ne {\left( {4x + 12} \right)^2} = \left( {4x + 12} \right)\left( {4x + 12} \right) = 16{x^2} + 96x + 144\]Bu to'g'ri javob bilan bir xil emas, shuning uchun ehtiyot bo'ling!
Ushbu misolning barcha qismlari quyidagi maxsus mahsulotlardan birini ishlatadi.
\[\begin{align*}\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) & = {a^2} - {b^2}\\ {\left( {a + b} \right)^2} & = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ {\left( {a - b} \right)^2} & = {a^2} - 2ab + {b^2}\end{align*}\]Quyidagi xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun ehtiyot bo'ling!
\[\begin{align*}{\left( {a + b} \right)^2} & \ne {a^2} + {b^2}\\ {\left( {a - b} \right)^2} & \ne {a^2} - {b^2}\end{align*}\]Bular o‘quvchilar ko‘p nomlarni ko‘paytirishni o‘rganishni boshlaganlarida tez-tez uchraydigan xatolardir.