2-bob: Birinchi tartibli differensial tenglamalar (first order differential equations)
Ushbu bobda biz birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Eng umumiy ko'rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglama quyidagicha yoziladi:
\[\begin{equation}\frac{{dy}}{{dt}} = f\left( {y,t} \right) \label{eq:eq1} \end{equation}\]Ushbu bobda ko'rib o'tganimizdek, \(\eqref{eq:eq1}\) umumiy tenglamasini har qanday holat uchun yechishga imkon beradigan yagona universal formula mavjud emas. Buning o'rniga biz differensial tenglamalarning bir qator muhim maxsus sinflarini alohida-alohida ajratib o'rganamiz va ularning har birini qanday yechishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, birinchi tartibli differensial tenglamalar ortidagi nazariy asoslar bilan tanishamiz hamda ularning real hayotiy va fizik jarayonlarga tatbiqlarini tahlil qilamiz. Quyida ushbu bobda muhokama qilinadigan barcha mavzular ro'yxati keltirilgan:
Chiziqli tenglamalar (Linear Equations) – Ushbu bo'limda birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni, ya'ni \(y' + p(t) y = g(t)\) ko'rinishidagi tenglamalarni yechamiz. Ushbu turdagi tenglamalarni yechish algoritmi batafsil tushuntiriladi va yechim jarayonida qo'llaniladigan integrallovchi ko'paytuvchi formulasi to'liq isbotlab beriladi.
O'zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar (Separable Equations) – Bu bo'limda \(N(y) y' = M(x)\) ko'rinishidagi differensial tenglamalarni yechish usullari o'rganiladi. Ushbu turdagi tenglamalarni yechish ketma-ketligi to'liq bayon etiladi hamda yechim mavjud bo'lgan oraliqni topish ko'nikmalari rivojlantiriladi.
To'liq differensialli tenglamalar (Exact Equations) – Ushbu bo'limda to'liq differensialli tenglamalarni aniqlash va ularni yechish ko'rib chiqiladi. Tenglamaning to'liq differensial ekanini tekshirish alomati keltirib chiqariladi va yechish jarayoni bosqichma-bosqich tushuntiriladi.
Bernulli differensial tenglamalari (Bernoulli Equations) – Bu bo'limda \(y' + p(t) y = y^n\) ko'rinishidagi Bernulli tenglamalarini yechamiz. Shuningdek, differensial tenglamalarni yechishda o'rniga qo'yish (almashtirish) usulidan foydalanish tamoyillari bilan tanishamiz.
O'zgaruvchilarni almashtirish usullari (Substitutions) – Ushbu bo'limda avvalgi bo'lim mavzusini rivojlantirib, boshqa turdagi differensial tenglamalarni soddalashtirish va yechishga yordam beradigan almashtirishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, \(y' = F\left(\frac{y}{x}\right)\) (bir jinsli tenglamalar) va \(y' = G(ax + by)\) ko'rinishidagi tenglamalarni yechish tahlil qilinadi.
Yechim mavjud bo'lgan oraliqlar (Intervals of Validity) – Bu bo'limda yechim mavjud bo'lgan oraliq tushunchasi chuqurroq o'rganiladi hamda birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi teoremasi yoritiladi.
Birinchi tartibli DT lari yordamida modellashtirish (Modeling) – Ushbu bo'limda real fizik va hayotiy jarayonlarni modellashtirish uchun birinchi tartibli differensial tenglamalardan foydalanamiz. Xususan, aralashmalar masalalari (suyuqlikda erigan modda miqdorining kirish va chiqish dinamikasi), populyatsiya masalalari (aholi yoki biologik turlarning ko'payish modellari) hamda havoning qarshilik kuchi ta'sirida erkin tushayotgan jismlarning tezligi modellari ko'rib chiqiladi.
Muvozanat holatlari va statsionar yechimlar (Equilibrium Solutions) – Bu bo'limda \(y' = f(y)\) avtonom differensial tenglamalari uchun statsionar (muvozanat) yechimlarga ta'rif beriladi. Muvozanat nuqtalarini asimptotik barqaror, beqaror yoki yarim barqaror turlarga ajratish va faza chiziqlari usuli o'rganiladi.
Eyler usuli (Euler's Method) – Ushbu bo'limda differensial tenglamalarning taqribiy yechimlarini topishning eng sodda va samarali sonli usullaridan biri bo'lgan Eyler usuli bilan tanishamiz. Eyler formulasining geometrik ma'nosi keltirib chiqariladi va taqribiy yechimning xatoliklari baholanadi.