4.6-bo'lim: Grafik almashtirishlari (transformations)
Ushbu bo'limda biz bir nechta sodda bazaviy funksiyalar (parabola, kvadrat ildiz, modul, kubik parabola) grafiklarini bilish orqali ancha murakkabroq funksiyalar grafiklarini qanday qilib osonlik bilan yasash mumkinligini ko'rib chiqamiz. Bu yerda o'rganiladigan geometrik almashtirishlar to'plami umumiy qilib grafik almashtirishlari (transformatsiyalar) deb yuritiladi.
Vertikal surish (Vertical Shifts)
Biz ko'rib chiqadigan ilk almashtirish — bu grafikni yuqoriga yoki pastga vertikal siljitishdir.
Agar bizga \(f(x)\) funksiyaning grafigi ma'lum bo'lsa, u holda \(g(x) = f(x) + c\) funksiyaning grafigi:
- agar \(c > 0\) (musbat) bo'lsa, \(f(x)\) grafigini \(c\) birlik yuqoriga surish orqali;
- agar \(c < 0\) (manfiy) bo'lsa, \(f(x)\) grafigini \(|c|\) birlik pastga surish orqali hosil bo'ladi.
Demak, agar biz asosiy \(f(x)\) funksiya grafigini chiza olsak, \(g(x)\) ning grafigini yasash juda osondir: grafikning barcha nuqtalarining \(y\) ordinatalariga shunchaki \(c\) soni qo'shiladi. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(g\left( x \right) = {x^2} + 3\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt x - 5\)
Mantiqiy yondashuv
Bunday masalalarni yechishda dastlab o'zgarmas qo'shiluvchisiz asosiy "bazaviy" funksiya grafigini tasavvur qilamiz (yoki nuqtali chiziq bilan chizamiz), so'ngra o'zgarmas songa muvofiq grafikni vertikal suramiz.
a \(g\left( x \right) = {x^2} + 3\) Yechim
Ushbu misolda avval bazaviy \(f(x) = x^2\) standart parabolani chizamiz (quyidagi rasmda u shtrixli chiziq bilan ko'rsatilgan). So'ngra ushbu parabolani butunligicha 3 birlik yuqoriga suramiz. Nuqtalar koordinatalari nuqtai nazaridan bu \(x^2\) dagi barcha nuqtalarning \(y\) koordinatasiga 3 qo'shish demakdir. Xususan, parabolaning uchi \((0,0)\) dan \((0,3)\) nuqtaga ko'chadi.
Quyida ushbu funksiyaning grafigi keltirilgan:
b \(f\left( x \right) = \sqrt x - 5\) Yechim
Bu yerda biz bazaviy kvadrat ildiz funksiyasi \(\sqrt{x}\) grafigini (shtrixli chiziq) butunligicha 5 birlik pastga suramiz (\(c = -5\)). Koordinatalar nuqtai nazaridan bu \(\sqrt{x}\) egri chizig'idagi har bir nuqtaning \(y\) koordinatasidan 5 ni ayirish demakdir. Grafikaning boshlang'ich uchi \((0,0)\) dan \((0,-5)\) nuqtaga tushadi.
Hosil bo'lgan grafik quyidagicha:
Ko'rib turganingizdek, agar bazaviy funksiya shaklini bilsak, vertikal siljitish nihoyatda oson kechadi. Agar grafigingiz to'g'riligiga shubha qilsangiz, bir nechta \(x\) qiymatlarini funksiyaga qo'yib, nuqtalar mos kelishini osongina tekshirib olishingiz mumkin.
Gorizontal surish (Horizontal Shifts)
Gorizontal siljitish ham juda sodda, biroq bu yerda bitta o'ta muhim jihatga alohida e'tibor berish lozim: siljish yo'nalishi bir qarashda teskaridek tuyuladi!
Agar bizga \(f(x)\) funksiyaning grafigi ma'lum bo'lsa, u holda \(g(x) = f(x + c)\) funksiyaning grafigi:
- agar \(c > 0\) (musbat) bo'lsa, \(f(x)\) grafigini \(c\) birlik chapga (manfiy yo'nalishga) surish orqali;
- agar \(c < 0\) (manfiy) bo'lsa, \(f(x)\) grafigini \(|c|\) birlik o'ngga (musbat yo'nalishga) surish orqali hosil bo'ladi.
Ushbu qoidaga juda ehtiyotkor bo'ling: argument ichidagi musbat \(+c\) grafikni chap tomonga (manfiy yo'nalishda), manfiy \(-c\) esa grafikni o'ng tomonga (musbat yo'nalishda) siljitadi. Bu vertikal surishning aynan teskarisidir va agar e'tiborli bo'lmasak, adashib ketish juda oson. Buning sababi shundaki: yangi funksiya xuddi avvalgi natijani berishi uchun \(x\) o'zgaruvchi \(c\) birlik avvalroq (chapda) yoki kechroq (o'ngda) boshlanishi talab etiladi.
- \(h\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^3}\)
- \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 4} \)
a \(h\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^3}\) Yechim
Dastlab bazaviy funksiyani aniqlab olamiz. Bu yerda bazaviy funksiya kubik funksiya: \(f(x) = x^3\) dir. Ko'rinib turibdiki:
\[h(x) = (x + 2)^3 = f(x + 2)\]Bu holatda \(c = 2 > 0\). Demak, biz \(f(x) = x^3\) ning grafigini (shtrixli chiziq) 2 birlik chapga suramiz. Nuqtalar nuqtai nazaridan bu \(x^3\) dagi barcha nuqtalarning \(x\) absissasidan 2 ni ayirish demakdir. Xususan, burilish markazi bo'lgan \((0,0)\) nuqta \((-2,0)\) nuqtaga ko'chadi.
Ushbu funksiyaning grafigi quyidagicha:
b \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 4} \) Yechim
Ushbu misolda bazaviy funksiya \(\sqrt{x}\) bo'lib, argumentda \(c = -4\) turibdi. Demak, biz \(\sqrt{x}\) grafigini (shtrixli chiziq) 4 birlik o'ngga suramiz. Bu \(x\) koordinatalarga 4 qo'shishni bildiradi. Natijada funksiyaning aniqlanish sohasi \([4, \infty)\) ga aylanadi va grafik \((4,0)\) nuqtadan boshlanadi.
Hosil bo'lgan grafik eskizi:
Gorizontal va vertikal surishlarning birgalikdagi kombinatsiyasi
Endi yuqoridagi ikki almashtirishni bitta masalada birlashtirishimiz mumkin. Agar bizga \(f(x)\) ning grafigi ma'lum bo'lsa, u holda:
\[g(x) = f(x + c) + k\]funksiyaning grafigi \(f(x)\) ni \(c\) ning ishorasiga qarab chapga/o'ngga hamda \(k\) ning ishorasiga qarab yuqoriga/pastga bir vaqtda surish orqali yasaladi.
- \(f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + 4\)
- \(g\left( x \right) = \left| {x + 3} \right| - 5\)
a \(f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + 4\) Yechim
Bu yerda bazaviy funksiya standart kvadrat parabola \(x^2\) dir. Qavs ichidagi \(x - 2\) ifoda parabolani 2 birlik o'ngga suradi (\(c = -2\)), tashqaridagi \(+4\) esa uni 4 birlik yuqoriga ko'taradi (\(k = 4\)). Shunday qilib, parabolaning uchi \((0,0)\) dan to'g'ri \((2,4)\) nuqtaga ko'chadi.
Ushbu funksiyaning grafigi quyidagicha:
b \(g\left( x \right) = \left| {x + 3} \right| - 5\) Yechim
Bu misolda bazaviy funksiya modul funksiyasi \(|x|\) (V-shaklli grafik) dir. Modul ichidagi \(x + 3\) grafikni 3 birlik chapga siljitadi (\(c = 3\)), tashqaridagi \(-5\) esa uni 5 birlik pastga tushiradi (\(k = -5\)). Demak, V-shaklining uch nuqtasi \((0,0)\) dan \((-3,-5)\) ga o'tadi va uning ikki qanoti ushbu uchdan yuqoriga tomon yo'naladi.
Grafik quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
Akslantirishlar (Reflections)
Ushbu bo'limda o'rganadigan so'nggi almashtirishlar turkumi surish emas, balki koordinata o'qlariga nisbatan akslantirish (ko'zgu simmetriyasi) deb ataladi. Ularning ikkita asosiy turi mavjud:
\(Ox\) o'qiga nisbatan akslantirish
Agar bizga \(f(x)\) ning grafigi berilgan bo'lsa, u holda:
\[g(x) = -f(x)\]funksiyaning grafigi \(f(x)\) grafigini \(Ox\) o'qiga nisbatan akslantirish (to'ntarish) orqali hosil bo'ladi. Bu barcha nuqtalarning \(y\) koordinatalari qarama-qarshi ishoraga o'zgarishini bildiradi.
\(Oy\) o'qiga nisbatan akslantirish
Agar bizga \(f(x)\) ning grafigi berilgan bo'lsa, u holda:
\[g(x) = f(-x)\]funksiyaning grafigi \(f(x)\) grafigini \(Oy\) o'qiga nisbatan akslantirish orqali hosil bo'ladi. Bu barcha nuqtalarning \(x\) koordinatalari qarama-qarshi ishoraga o'zgarishini bildiradi.
Keling, har ikkala akslantirishga doir misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(g\left( x \right) = - {x^2}\)
- \(h\left( x \right) = \sqrt { - x} \)
a \(g\left( x \right) = - {x^2}\) Yechim
Minus ishorasining joylashuviga e'tibor bering: u darajaning tashqarisida turibdi (ya'ni \((-x)^2\) emas, balki \(-(x^2)\)). Demak, biz standart \(x^2\) parabolani \(Ox\) o'qiga nisbatan pastga qarab to'ntaramiz (akslantiramiz). Bu barcha musbat \(y\) qiymatlarni manfiyga aylantiradi. Natijada parabola shoxlari yuqoriga emas, pastga qaraydi.
Ushbu funksiyaning grafigi:
b \(h\left( x \right) = \sqrt { - x} \) Yechim
Dastlab ildiz ostidagi minus ishorasi haqida gaplashaylik. Ko'pchilik talabalar darhol: "Manfiy sondan ildiz chiqarib bo'lmaydi-ku, demak bu funksiya mavjud emas" deb o'ylashadi. Lekin bu xato! Chunki agar \(x\) ning o'zi manfiy son bo'lsa (masalan, \(x = -4\)), u holda ildiz ostida ikkita minus to'qnashib, musbat son hosil bo'ladi:
\[h(-4) = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2\]Demak, ushbu funksiyaning aniqlanish sohasi manfiy sonlar to'plami: \(x \le 0\) dan iborat bo'ladi!
Akslantirish nuqtai nazaridan: minus ishorasi funksiya tashqarisida emas, argumentning ichida turgani sababli (\(f(-x)\)), biz standart \(\sqrt{x}\) grafigini \(Oy\) o'qiga nisbatan akslantiramiz. Natijada grafik 1-chorakda emas, balki 2-chorakda (chap tomonga qarab) joylashadi.
Hosil bo'lgan grafik quyidagicha:
Ushbu to'rtta fundamental almashtirishni (vertikal surish, gorizontal surish, \(Ox\) o'qi bo'yicha akslantirish va \(Oy\) o'qi bo'yicha akslantirish) puxta egallash orqali siz har qanday murakkab ifodaning grafigini bir necha soniya ichida xomaki chizib olish qobiliyatiga ega bo'lasiz. Keyingida biz ushbu almashtirishlar bilan chambarchas bog'liq bo'lgan Simmetriya mavzusini ko'rib chiqamiz.