16.7-bo'lim: Grin teoremasi
Ushbu bo'limda biz chiziqli integrallarning ma'lum turlari (yopiq yo'llar bo'yicha) va qo'sh integrallar o'rtasidagi munosabatni o'rganamiz.
Oddiydan boshlaylik (eslash bu uning o'zidan o'tmasligini anglatadi) yopiq \(C\) egri chizig'i va \(D\) egri chiziq bilan o'ralgan mintaqa bo'lsin. Mana shunday egri chiziq va mintaqaning eskizi.
Birinchidan, egri chiziq oddiy va yopiq bo'lgani uchun \(D\) hududida hech qanday teshik yo'qligiga e'tibor bering. Shuningdek, egri chiziqqa yo'nalish qo'yilganiga e'tibor bering. Biz bu erda \(C\) egri chizig'iga ega bo'lgan konventsiyadan foydalanamiz ijobiy yo'nalish agar u soat miliga teskari yo'nalishda chizilgan bo'lsa. Ijobiy yo'nalish haqida o'ylashning yana bir usuli (buni keyinroq ko'rib chiqamiz), biz ijobiy yo'nalish bo'yicha yo'lni bosib o'tayotganimizda \(D\) mintaqasi doimo chap tomonda bo'lishi kerak.
Bu kabi egri chiziqlar/mintaqalar berilgan holda bizda quyidagi teorema mavjud.
Green teoremasi
\(C\) ijobiy yo'naltirilgan, bo'laklarga bo'lingan silliq, oddiy, yopiq egri chiziq bo'lsin va \(D\) egri chiziq bilan o'ralgan mintaqa bo'lsin. Agar \(P\) va \(Q\) \(D\) da doimiy birinchi tartibli qisman hosilalarga ega bo'lsa, u holda,
\[\int\limits_{C}{{Pdx\, + Qdy}} = \iint\limits_{D}{{\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\,dA}}\]Ba'zi misollar bilan ishlashdan oldin, biz tan olishimiz kerak bo'lgan ba'zi muqobil belgilar mavjud. Yo'li Grin teoremasining shartiga javob beradigan chiziqli integral bilan ishlaganda, biz ko'pincha chiziqli integralni quyidagicha belgilaymiz:
\[\oint_{C}{{Pdx + Qdy}}\hspace{0.5in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\mathop{\int\mkern-18.8mu \circlearrowleft}\limits_C {Pdx + Qdy} \]Bu ikkala eslatma \(C\) Grin teoremasining shartlarini qondiradi, deb taxmin qiladi, shuning uchun ulardan foydalanishda ehtiyot bo'ling.
Bundan tashqari, ba'zida \(C\) egri chizig'i alohida egri chiziq sifatida emas, balki ba'zi \(D\) mintaqasining chegarasi sifatida ko'rib chiqiladi va bu holatlarda \(C\) \(\partial D\) sifatida belgilanganini ko'rishingiz mumkin.
Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Keling, birinchi navbatda bu holat uchun \(C\) va \(D\) eskizini chizamiz va Grin teoremasining shartlari \(C\) uchun bajarilganligiga ishonch hosil qilamiz va qo'sh integralni baholash uchun \(D\) eskizi kerak bo'ladi.
Shunday qilib, egri chiziq Grin teoremasining shartlarini qondiradi va biz quyidagi tengsizliklar o'ralgan mintaqani aniqlashini ko'rishimiz mumkin.
\[0 \le x \le 1\hspace{0.5in}0 \le y \le 2x\]Biz \(P\) va \(Q\) ni chiziqli integralidan aniqlashimiz mumkin. Mana ular.
\[P = xy\hspace{0.5in}Q = {x^2}{y^3}\,\]Shunday qilib, Green teoremasidan foydalanib, chiziqli integralga aylanadi,
\[\begin{align*}\oint_{C}{{xy\,dx + {x^2}{y^3}\,dy}} & = \iint\limits_{D}{{2x{y^3} - x\,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\int_{{\,0}}^{{\,2x}}{{2x{y^3} - x\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left. {\left( {\frac{1}{2}x{y^4} - xy} \right)} \right|_0^{2x}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{8{x^5} - 2{x^2}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{4}{3}{x^6} - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1\\ & = \frac{2}{3}\end{align*}\]Yechim
Xo'sh, aylana Grin teoremasining shartlarini qondiradi, chunki u yopiq va sodda va shuning uchun uni chizish uchun hech qanday sabab yo'q.
Keling, avval chiziq integralidan \(P\) va \(Q\) ni aniqlaymiz.
\[P = {y^3}\hspace{0.5in}Q = - {x^3}\]\(Q\) da minus belgisi bilan ehtiyot bo'ling!
Endi chiziqli integralda Grin teoremasidan foydalanib,
\[\oint_{C}{{{y^3}\,dx - {x^3}\,dy}} = \iint\limits_{D}{{ - 3{x^2} - 3{y^2}\,dA}}\]Bu erda \(D\) - koordinatali 2 radiusli disk.
\(D\) disk bo'lgani uchun bu integralni bajarishning eng yaxshi usuli qutb koordinatalaridan foydalanish kabi ko'rinadi. Bu erda integralning bahosi.
\[\begin{align*}\oint_{C}{{{y^3}\,dx - {x^3}\,dy}} & = - 3\iint\limits_{D}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dA}}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\frac{1}{4}{r^4}} \right|_0^2\,d\theta }}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{4\,d\theta }}\\ & = - 24\pi \end{align*}\]Shunday qilib, Grin teoremasi, ta'kidlanganidek, teshiklari bo'lgan hududlarda ishlamaydi. Biroq, ko'pgina hududlarda ularda teshiklar mavjud. Shunday qilib, keling, bunday hududlar bilan qanday kurashish mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Quyidagi mintaqadan boshlaylik. Garchi bu mintaqada hech qanday teshik bo'lmasa ham, biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan dalillar bizga teshiklari bo'lgan mintaqalar uchun kerak bo'lgan dalillarga o'xshash bo'ladi, ammo bu bilan shug'ullanish va yozish biroz osonroq bo'ladi.
\(D\) hududi \({D_1} \cup {D_2}\) bo'ladi va esda tutingki, \( \cup \) belgisi birlashma deb ataladi va \(D\) \({D_{_1}}\) va \({D_2}\) dan iborat ekanligini bildiradi. \({D_{_1}}\) chegarasi \({C_1} \cup {C_3}\), \({D_2}\) chegarasi esa \({C_2} \cup \left( { - {C_3}} \right)\) va bu chegaralarning ikkalasi ham ijobiy yo‘naltirilganligiga e’tibor bering. Har bir chegarani kesib o'tayotganimizda, tegishli mintaqa doimo chap tomonda bo'ladi. Va nihoyat, shuni ham yodda tutingki, biz butun chegarani \(C\) deb o'ylashimiz mumkin:
\[C = \left( {{C_1} \cup {C_3}} \right) \cup \left( {{C_2} \cup \left( { - {C_3}} \right)} \right) = {C_1} \cup {C_2}\]chunki \({C_3}\) ham, \( - {C_3}\) ham bir-birini “bekor qiladi”.
Keling, quyidagi qo'sh integraldan boshlaylik va uni parchalash uchun qo'sh integrallarning asosiy xususiyatidan foydalanamiz.
\[\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1} \cup {D_2}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}}\]Keyinchalik, bularning har biri uchun Grin teoremasidan foydalaning va biz chiziqli integrallarni chegaraning har bir qismi uchun alohida chiziqli integrallarga ajratishimiz mumkinligidan foydalaning.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \iint\limits_{{{D_1}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}}\\ & = \oint\limits_{{{C_1} \cup {C_3}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_2} \cup \left( { - {C_3}} \right)}}{{Pdx + Qdy}}\\ & = \oint\limits_{{{C_1}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_3}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_2}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{ - {C_3}}}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Keyinchalik, biz haqiqatdan foydalanamiz,
\[\oint\limits_{{ - {C_3}}}{{Pdx + Qdy}} = - \oint\limits_{{{C_3}}}{{Pdx + Qdy}}\]Esda tutingki, chiziqli integrallar bilan egri chiziqning yo'nalishini \(x\) va/yoki \(y\) ga nisbatan o'zgartirish shunchaki integraldagi belgini o'zgartiradi. Ushbu faktdan foydalanib, biz
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \oint\limits_{{{C_1}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_3}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_2}}}{{Pdx + Qdy}} - \oint\limits_{{{C_3}}}{{Pdx + Qdy}}\\ & = \oint\limits_{{{C_1}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_2}}}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Nihoyat, chiziqli integrallarni bir joyga qo'ying va biz quyidagilarni olamiz:
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \oint\limits_{{{C_1}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint\limits_{{{C_2}}}{{Pdx + Qdy}}\\ & = \oint\limits_{{{C_1} \cup {C_2}}}{{Pdx + Qdy}}\\ & = \oint\limits_{C}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Xo'sh, biz bundan nimani o'rgandik? Agar siz bu haqda o'ylayotgan bo'lsangiz, bu juda ko'p ish edi va biz undan faqat biz haqiqat deb bilgan Grin teoremasi natijasi edi. Ushbu mashq bizga shuni ko'rsatdiki, agar biz yuqorida bo'lgani kabi mintaqani ajratsak, mintaqaning o'rtasida joylashgan (ularning har biri qarama-qarshi yo'nalishda) chiziqning integral qismi bekor qilinadi. Ushbu g'oya bizga teshiklari bo'lgan hududlar bilan ishlashda yordam beradi.
Buni ko'rish uchun keling, uzukni ko'rib chiqaylik.
E'tibor bering, ikkala egri chiziq ham ijobiy yo'naltirilgan, chunki biz egri chiziqni ko'rsatilgan yo'nalishda kesib o'tayotganimizda \(D\) mintaqasi chap tomonda. Shuni ham yodda tutingki, \({C_2}\) egri chizig'i ijobiy yo'nalishning asl ta'rifini buzgan ko'rinadi. Biz dastlab egri chiziq soat miliga teskari yo'nalishda harakatlansa, ijobiy yo'nalishga ega ekanligini aytdik. Biroq, bu faqat teshiklari bo'lmagan hududlar uchun edi. Teshik chegarasi uchun bu ta'rif ishlamaydi va biz yuqorida bergan ikkinchi ta'rifga murojaat qilishimiz kerak.
Endi, bu mintaqada teshik borligi sababli, biz Grin teoremasini \(C = {C_1} \cup {C_2}\) egri chizig'i bilan hech qanday integralda ishlata olmaymiz. Biroq, agar biz diskni yarmini kesib tashlasak va egri chiziqlarning barcha turli qismlarini qayta nomlasak, biz quyidagi eskizni olamiz.
Diskning yuqori qismining (\({D_{_1}}\)) chegarasi \({C_1} \cup {C_2} \cup {C_5} \cup {C_6}\) va diskning pastki qismidagi (\({D_2}\)) chegarasi \({C_3} \cup {C_4} \cup \left( { - {C_5}} \right) \cup \left( { - {C_6}} \right)\). Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu yangi hududlarning har birida Grin teoremasidan foydalanishimiz mumkin, chunki ularda teshiklar yo'q. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni qila olamiz:
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \iint\limits_{{{D_1}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}}\\ & = \oint_{{{C_1} \cup {C_2} \cup {C_5} \cup {C_6}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint_{{{C_3} \cup {C_4} \cup \left( { - {C_5}} \right) \cup \left( { - {C_6}} \right)}}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Endi biz chiziqli integrallarni chegaraning har bir qismidagi chiziqli integrallarga ajratishimiz mumkin. Yuqoridagi ishdan bir xil egri chiziqqa ega bo'lgan, ammo qarama-qarshi yo'nalishdagi chegaralar bekor qilinishini eslang. Buni qilish,
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \iint\limits_{{{D_1}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}}\\ & = \oint_{{{C_1}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint_{{{C_2}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint_{{{C_3}}}{{Pdx + Qdy}} + \oint_{{{C_4}}}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Ammo bu nuqtada biz chiziqli integrallarni quyidagi tarzda qo'shishimiz mumkin,
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\left( {{Q_x} - {P_y}} \right)\,dA}} & = \oint_{{{C_1} \cup {C_2} \cup {C_3} \cup {C_4}}}{{Pdx + Qdy}}\\ & = \oint_{C}{{Pdx + Qdy}}\end{align*}\]Bularning barchasining yakuniy natijasi shundaki, biz boshidanoq Grin teoremasini diskda teshik bo'lsa ham ishlatishimiz mumkin edi. Bu, odatda, teshiklari bo'lgan hududlar uchun to'g'ri bo'ladi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, bu biz ikkinchi misolda ko'rib chiqqanimizdek bir xil chiziqli integrali va faqat egri chiziq o'zgargan. Bu holda \(D\) mintaqasi endi bu ikki doira orasidagi mintaqa bo'ladi va bu faqat qo'sh integraldagi chegaralarni o'zgartiradi, shuning uchun biz bu erda ba'zi tafsilotlarni kiritmaymiz.
Mana bu integral uchun ish.
\[\begin{align*}\oint_{C}{{{y^3}\,dx - {x^3}\,dy}} & = - 3\iint\limits_{D}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dA}}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,1}}^{{\,2}}{{{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\frac{1}{4}{r^4}} \right|_1^2\,d\theta }}\\ & = - 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{{15}}{4}\,d\theta }}\\ & = - \frac{{45\pi }}{2}\end{align*}\]Biz ushbu bo'limni Grin teoremasining qiziqarli qo'llanilishi bilan yakunlaymiz. Eslatib o'tamiz, biz \(D\) mintaqasining maydonini quyidagi qo'sh integral bilan aniqlashimiz mumkin.
\[A = \iint\limits_{D}{{dA}}\]Keling, bu qo'sh integralni Grin teoremasidan foydalanish natijasi deb hisoblaylik. Boshqacha qilib aytganda, buni taxmin qilaylik
\[{Q_x} - {P_y} = 1\]va biz buni qanoatlantiradigan \(P\) va \(Q\) funksiyalarini olishimiz mumkinligini ko'ring.
Buni qondiradigan ko'plab funktsiyalar mavjud. Bu erda eng keng tarqalgan funktsiyalardan ba'zilari.
\[\begin{array}{c}\begin{array}{l}P = 0 & & \\Q = x\end{array}&\begin{array}{l}P = - y & & \\\,\,Q = 0\end{array}&\begin{array}{l}P = - \frac{y}{2}\\\,\,Q = \frac{x}{2}\end{array}\end{array}\]Keyin, agar Green teoremasidan teskari foydalansak, \(D\) mintaqasining maydonini quyidagi chiziqli integrallardan birini baholash orqali ham hisoblash mumkinligini ko'ramiz.
Grin teoremasi yordamida mintaqaning maydoni
bu erda \(C\) - \(D\) mintaqasining chegarasi.
Keling, buning misolini tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Yuqoridagi integrallardan birini ishlatishimiz mumkin, lekin uchinchisi, ehtimol, eng oson. Shunday qilib,
\[A = \frac{1}{2}\oint\limits_{C}{{x\,dy - y\,dx}}\]bu erda \(C\) - \(a\) radiusi doirasi. Shunday qilib, buni amalga oshirish uchun bizga \(C\) parametrizatsiyasi kerak bo'ladi. Bu,
\[x = a\cos t\hspace{0.25in}y = a\sin t\hspace{0.25in}0 \le t \le 2\pi \]Keyin hudud,
\[\begin{align*}A = \frac{1}{2}\oint\limits_{C}{{x\,dy - y\,dx}}\\ & = \frac{1}{2}\left( {\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{a\cos t\left( {a\cos t} \right)\,dt}} - \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{a\sin t\left( { - a\sin t} \right)\,dt}}} \right)\\ & = \frac{1}{2}\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{{a^2}{{\cos }^2}t + {a^2}{{\sin }^2}t\,dt}}\\ & = \frac{1}{2}\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{{a^2}dt}}\\ & = \pi {a^2}\end{align*}\]