6.2-bo'lim: Logarifm funktsiyalari
Ushbu bo'limda biz endi logarifm funktsiyalariga o'tishimiz kerak. Bu darhol grafik qilish uchun qiyin vazifa bo'lishi mumkin. Siz o'rganmagan ba'zi turli xil belgilar bo'ladi va ba'zi xususiyatlar unchalik intuitiv bo'lmasligi mumkin. Biroq tushkunlikka tushmang. Bularni tushunganingizdan so'ng, ular haqiqatan ham yomon emasligini bilib olasiz va ularni tushunish uchun odatda ular bilan ozgina ishlash kerak bo'ladi.
Bu erda logarifm funktsiyasining ta'rifi.
Logarifm funksiyasining ta’rifi
Agar \(b\) \(b > 0\) va \(b \ne 1\) va \(x > 0\) kabi har qanday raqam bo'lsa,
\[y = {\log _b}x\hspace{0.25in}{\mbox{is equivalent to }}\hspace{0.25in}{b^y} = x\]Biz buni odatda “\(x\) jurnalining \(b\) bazasi” deb o‘qiymiz.
Ushbu ta'rifda \(y = {\log _b}x\) deyiladi logarifm shakli va \({b^y} = x\) deb ataladi eksponensial shakl.
E'tibor bering, \(x > 0\) talabi haqiqatan ham biz \(b > 0\) ni talab qilayotganimiz natijasidir. Agar bu haqda o'ylab ko'rsangiz, mantiqiy bo'ladi. Biz ijobiy sonni ko'rsatkichga ko'tarmoqdamiz va natijada boshqa ijobiy raqamdan boshqa narsa bo'lishi mumkin emas. Shuni yodda tutish kerakki, biz nol yoki manfiy sonning logarifmini ololmaymiz.
Keling, bu erda qo'llaniladigan yozuvni ko'rib chiqaylik, chunki bu odatda talabalar logarifmlarni tushunishni boshlashdan oldin engib o'tishlari kerak bo'lgan eng katta to'siqdir. Birinchidan, funktsiyaning "log" qismi oddiygina uchta harfdan iborat bo'lib, biz logarifm bilan ishlayotganimizni bildirish uchun ishlatiladi. Ular o'zgaruvchilar emas va ular ko'paytirishni anglatmaydi. Ular bizga logarifm bilan ishlayotganimizni aytish uchun u erda.
Keyinchalik, "jurnal" qismida obuna bo'lgan \(b\) bizga baza nima ekanligini aytib berish uchun mavjud, chunki bu muhim ma'lumot. Bundan tashqari, qanday ko'rinishiga qaramay, yuqoridagi logarifm shaklida hech qanday eksponentatsiya yo'q. Bu shaklda bizda \({b^x}\) bordek tuyulishi mumkin, ammo unday emas. Bu shunchaki sodir bo'layotgan narsaga o'xshaydi.
Logarifmlar bilan yozuvni to'g'ri saqlash juda muhim, agar buni qilmasangiz, ularni tushunish va ular bilan ishlash juda qiyin bo'ladi.
Keling, logarifmlarni qanday baholashni qisqacha ko'rib chiqaylik.
- \({\log _4}16\)
- \({\log _2}16\)
- \({\log _6}216\)
- \(\displaystyle {\log _5}\frac{1}{{125}}\)
- \({\log _{\frac{1}{3}}}81\)
- \({\log _{\frac{3}{2}}}\displaystyle \frac{{27}}{8}\)
Munozarani ko'rsatish
Endi haqiqat shundaki, logarifmlarni to'g'ridan-to'g'ri baholash, hatto ularni haqiqatan ham tushunadiganlar uchun ham juda qiyin jarayon bo'lishi mumkin. Odatda logarifm shaklini eksponensial shaklga aylantirish ancha oson. Bunday shaklda biz odatda javobni juda tez olishimiz mumkin.
a \({\log _4}16\) Yechim
OK, bu erda biz so'ragan narsa quyidagilardir.
\[{\log _4}16 = ?\]Yuqorida aytib o'tilganidek, keling, buni eksponensial shaklga aylantiramiz.
\[{\log _4}16 = ?\hspace{0.25in} \Rightarrow {\mbox{ }}\hspace{0.25in}{4^?} = 16\]Ko'pchilik \({\log _4}16\) logarifmini boshning tepasida baholay olmaydi. Biroq, ko'pchilik ko'rsatkichni bajarganimizdan so'ng, 16 ni olish uchun 4 ga kerak bo'lgan ko'rsatkichni aniqlay oladi. Shunday qilib, beri,
\[{4^2} = 16\]logarifmning quyidagi qiymatiga ega bo'lishimiz kerak.
\[{\log _4}16 = 2\]b \({\log _2}16\) Yechim
Bu oldingi qismga o'xshaydi. Keling, birinchi navbatda eksponensial shaklga o'tamiz.
\[{\log _2}16 = ?\hspace{0.25in} \Rightarrow {\mbox{ }}\hspace{0.25in}{2^?} = 16\]Agar siz bu javobni bilmasangiz, raqamlarni sinab ko'ring. Boshqacha qilib aytganda, \({2^2}\), \({2^3}\), \({2^4}\), va hokazo 16 ni olguncha. Bu holda bizga 4 ko‘rsatkichi kerak. Shuning uchun bu logarifmning qiymati,
\[{\log _2}16 = 4\]Keyingi qismga o'tishdan oldin e'tibor bering, ulardagi asos juda muhim yozuv qismidir. Baza o'zgarishi javobni o'zgartiradi va shuning uchun biz doimo bazani kuzatib borishimiz kerak.
c \({\log _6}216\) Yechim
Logarifmlarni qanchalik yaxshi baholaganingizni bilish uchun biz buni hech qanday aniq tushuntirishsiz qilamiz.
\[{\log _6}216 = 3\hspace{0.25in}{\mbox{because}}\hspace{0.25in}{6^3} = 216\]d \(\displaystyle {\log _5}\frac{1}{{125}}\) Yechim
Endi bu avvalgi qismlardan farqli ko'rinadi, lekin aslida u hech qanday farq qilmaydi. Har doimgidek, avval eksponensial shaklga o'taylik.
\[{\log _5}\frac{1}{{125}} = ?\hspace{0.25in} \Rightarrow {\mbox{ }}\hspace{0.25in}{5^?} = \frac{1}{{125}}\]Birinchidan, e'tibor bering, biz butun sonni butun son darajasiga ko'tarishimiz va javob sifatida kasrni olishimiz mumkin bo'lgan yagona usul - bu eksponent manfiy bo'lishidir. Demak, ko‘rsatkich manfiy bo‘lishi kerakligini bilamiz.
Keling, bir soniya kasrga e'tibor bermaylik va \({5^?} = 125\) dan so'raymiz. Bunday holda, agar biz 5 kub bo'lsak, biz 125 ni olamiz.
Shunday qilib, bizda quyidagilar borga o'xshaydi:
\[{\log _5}\frac{1}{{125}} = - 3\hspace{0.25in}{\mbox{because}}\hspace{0.25in}{5^{ - 3}} = \frac{1}{{{5^3}}} = \frac{1}{{125}}\]e \({\log _{\frac{1}{3}}}81\) Yechim
Ushbu logarifmni eksponensial shaklga o'tkazish,
\[{\log _{\frac{1}{3}}}81 = ?\hspace{0.25in} \Rightarrow {\mbox{ }}\hspace{0.25in}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^?} = 81\]Endi, xuddi oldingi qism kabi, bu ishning yagona yo'li, agar ko'rsatkich salbiy bo'lsa. Keyin biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \({3^4} = 81\) ekanligini tan olish va biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[{\log _{\frac{1}{3}}}81 = - 4\hspace{0.25in}{\mbox{because}}\hspace{0.25in}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 4}} = {\left( {\frac{3}{1}} \right)^4} = {3^4} = 81\]f \({\log _{\frac{3}{2}}} \displaystyle \frac{{27}}{8}\) Yechim
Mana bu savolga javob.
\[{\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8} = 3\hspace{0.25in}{\mbox{because}}\hspace{0.25in}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{{3^3}}}{{{2^3}}} = \frac{{27}}{8}\]Umid qilamanki, endi sizda logarifmlarni qanday baholash haqida fikringiz bor va yozuvni tushunishni boshlaysiz. Biz yana bir nechta baholashlarni amalga oshirishni xohlaymiz, ammo biz juda muntazam ravishda sodir bo'ladigan ba'zi maxsus logarifmlarni kiritishimiz kerak. Ular umumiy logarifm va tabiiy logarifm. Mana biz ushbu ikkita logarifm uchun ishlatadigan ta'riflar va belgilar.
\[\begin{align*}& {\mbox{common logarithm :}}\hspace{0.25in}\log x = {\log _{10}}x\\ & {\mbox{natural logarithm :}}\hspace{0.25in}\ln x = {\log _{\bf{e}}}x\end{align*}\]Shunday qilib, umumiy logarifm oddiygina log bazasi 10 bo'lib, biz yozuvning "asos 10" qismini tushiramiz. Shunga o'xshab, tabiiy logarifm oddiygina logga asoslangan \(\bf{e}\) bo'lib, boshqa yozuvga ega va bu erda \(\bf{e}\) biz oldingida ko'rgan raqamdir. bo'limi va \({\bf{e}} = 2.718281828 \ldots \) deb belgilangan.
Keling, yana bir nechta baholashni ko'rib chiqaylik.
- \(\log 1000\)
- \(\log \displaystyle \frac{1}{{100}}\)
- \(\ln \displaystyle \frac{1}{{\bf{e}}}\)
- \(\ln \sqrt {\bf{e}} \)
- \({\log _{34}}34\)
- \({\log _8}1\)
Munozarani ko'rsatish
Dastlabki to'rtta baholashni amalga oshirish uchun biz bu belgilar nima ekanligini va bu belgi qaysi asosni nazarda tutganini eslab qolishimiz kerak. Yakuniy ikkita baholash biz oxir-oqibat ko'rib chiqadigan barcha logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rsatishdir.
a \(\log 1000\) Yechim
\(\log 1000 = 3\), chunki \({10^3} = 1000\).
b \(\log \displaystyle \frac{1}{{100}}\) Yechim
\(\log \frac{1}{{100}} = - 2\), chunki \({10^{ - 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} = \frac{1}{{100}}\).
c \(\ln \displaystyle \frac{1}{{\bf{e}}}\) Yechim
\(\ln \frac{1}{{\bf{e}}} = - 1\), chunki \({{\bf{e}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\bf{e}}}\).
d \(\ln \sqrt {\bf{e}} \) Yechim
\(\ln \sqrt {\bf{e}} = \frac{1}{2}\), chunki \({{\bf{e}}^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\bf{e}} \). E'tibor bering, bu bilan biz kasr ko'rsatkichidan radikal shaklga o'zgarishini tan olamiz.
e \({\log _{34}}34\) Yechim
\({\log _{34}}34 = 1\), chunki \({34^1} = 34\). E'tibor bering, bu biz foydalanadigan bazadan qat'iy nazar ishlaydi.
f \({\log _8}1\) Yechim
\({\log _8}1 = 0\), chunki \({8^0} = 1\). Yana shuni yodda tutingki, biz bu erda foydalanayotgan baza javobni o'zgartirmaydi.
Shunday qilib, logarifmlarni baholashda biz so'ragan narsa - logarifmadagi raqamni olish uchun bazaga qaysi ko'rsatkichni qo'yganligimiz.
Endi, logarifmlarning ba'zi xususiyatlariga kirishdan oldin, bir nechta tezkor grafiklarni tuzamiz.
Yechim
Bu misolda ikkita nuqta bor. Birinchidan, u bizni boshqa sinflarda ko'rishimiz mumkin bo'lgan ikkita logarifmning grafiklari bilan tanishtiradi. Bundan tashqari, bu logarifmlarni baholash uchun bizning kalkulyatorimizdan foydalanishga bir oz amaliyot beradi, chunki haqiqat shundaki, biz ushbu baholashlarning aksariyatini shunday qilishimiz kerak.
Mana ikkita logarifm uchun qiymatlar jadvali.
| \(x\) | \(\log x\) | \(\ln x\) |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | -0.3010 | -0.6931 |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0.3010 | 0.6931 |
| 3 | 0.4771 | 1.0986 |
| 4 | 0.6021 | 1.3863 |
Mana bu ikki funktsiyaning grafiklarining eskizi.
Keling, logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Biz ba'zi asosiy baholash xususiyatlaridan boshlaymiz.
Logarifmlarning xossalari
- \({\log _b}1 = 0\). Bu \({b^0} = 1\) ekanligidan kelib chiqadi.
- \({\log _b}b = 1\). Bu \({b^1} = b\) ekanligidan kelib chiqadi.
- \({\log _b}{b^x} = x\). Buni \({\log _b}{b^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\) ga umumlashtirish mumkin.
- \({b^{{{\log }_b}x}} = x\). Buni \({b^{{{\log }_b}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\) ga umumlashtirish mumkin.
3 va 4 xossalar logarifm va eksponensial funktsiya o'rtasidagi yaxshi munosabatga olib keladi. Avval quyidagini hisoblaymiz funktsional kompozitsiyalar \(f\left( x \right) = {b^x}\) va \(g\left( x \right) = {\log _b}x\) uchun.
\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) & = f\left[ {g\left( x \right)} \right] = f\left( {{{\log }_b}x} \right) = {b^{{{\log }_b}x}} = x\\ \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left[ {f\left( x \right)} \right] = g\left[ {{b^x}} \right] = {\log _b}{b^x} = x\end{align*}\]bo'limidan eslang teskari funktsiyalar Bu ko'rsatkich va logarifm funktsiyalari bir-biriga teskari ekanligini anglatadi. Bu ba'zida eslab qolish uchun yoqimli fakt.
Shuningdek, biz tabiiy va umumiy logarifm nuqtai nazaridan 3 va 4-xususiyatlarning umumlashtirilgan versiyasini berishimiz kerak, chunki biz ularni ba'zan keyingi bo'limlarda ko'rib chiqamiz.
\[\begin{align*}\ln {{\bf{e}}^{f\left( x \right)}} & = f\left( x \right)\hspace{0.25in}\log {10^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\\ {{\bf{e}}^{\ln f\left( x \right)}} & = f\left( x \right)\hspace{0.25in}{10^{\log f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\end{align*}\]Keling, logarifmning ba'zi manipulyatsiya xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Logarifmlarning boshqa xususiyatlari
- \({\log _b}\left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y\)
- \({\log _b}\left( {\displaystyle \frac{x}{y}} \right) = {\log _b}x - {\log _b}y\)
- \({\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}x\)
- Agar \({\log _b}x = {\log _b}y\), keyin \(x = y\).
Biz ushbu bo'limdagi yakuniy xususiyat bilan hech narsa qilmaymiz; bu erda faqat to'liqlik uchun. Biz ushbu mulkni bir necha bo'limda batafsil ko'rib chiqamiz.
Bu erda sanab o'tilgan dastlabki ikkita xususiyat dastlab biroz chalkash bo'lishi mumkin, chunki bir tomonda biz logarifm ichida mahsulot yoki qismga egamiz, ikkinchi tomonda esa ikkita logarifmning yig'indisi yoki farqi bor. Biz faqat ushbu xususiyatlarga ehtiyot bo'lishimiz va ulardan to'g'ri foydalanishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Shuni ham yodda tutingki, yig'indining logarifmini yoki ikkita atamaning farqini qanday ajratish bo'yicha hech qanday qoidalar yo'q. Buni aniqroq qilish uchun quyidagilarni ta'kidlaymiz:
\[\begin{align*}{\log _b}\left( {x + y} \right) & \ne {\log _b}x + {\log _b}y\\ {\log _b}\left( {x - y} \right) & \ne {\log _b}x - {\log _b}y\end{align*}\]Bulardan ehtiyot bo'ling va ulardan foydalanishga urinmang, chunki ular haqiqatga to'g'ri kelmaydi.
E'tibor bering, ushbu nuqtaga berilgan barcha xususiyatlar umumiy va tabiiy logarifmlar uchun amal qiladi. Biz ularni ushbu ikkita logarifm uchun belgilar yordamida aniq yozmadik, shunga qaramay, xususiyatlar ular uchun amal qiladi.
Keling, ushbu xususiyatlardan qanday foydalanishga oid ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
- \({\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right)\)
- \(\log \left( {\displaystyle \frac{{{x^9}{y^5}}}{{{z^3}}}} \right)\)
- \(\ln \sqrt {xy} \)
- \({\log _3}\left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)
Munozarani ko'rsatish
Bu yerdagi ko'rsatmalar biroz chalg'ituvchi bo'lishi mumkin. Biz soddalashtirish deganda, biz logarifm xususiyatlaridan imkon qadar ko'proq foydalanmoqchi ekanligimizni aytmoqchimiz.
a \({\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right)\)Yechim
E'tibor bering, biz 3 va 5 ni logarifmning old qismiga tushirish uchun 7-xususiyatdan foydalana olmaymiz. 7-xususiyatdan foydalanish uchun logarifmdagi butun atama kuchga ko'tarilishi kerak. Bunday holda, ikkita ko'rsatkich faqat logarifmdagi individual shartlarda bo'ladi va shuning uchun bu erda 7-xususiyatdan foydalanilmaydi.
Biroq, bizda logarifm ichida mahsulot bor, shuning uchun biz ushbu logarifmda 5-xususiyatdan foydalanishimiz mumkin.
\[{\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right) = {\log _4}\left( {{x^3}} \right) + {\log _4}\left( {{y^5}} \right)\]Endi biz buni amalga oshirganimizdan so'ng, yakuniy soddalashtirilgan javobni olish uchun ushbu individual logarifmlarning har birida 7-xususiyatdan foydalanishimiz mumkin.
\[{\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right) = 3{\log _4}x + 5{\log _4}y\]b \(\log \left( {\displaystyle \frac{{{x^9}{y^5}}}{{{z^3}}}} \right)\) Yechim
Bu holda biz logarifmada mahsulot va qismga ega bo'lamiz. Bunday hollarda mahsulot bilan ishlashdan oldin ko'rsatkich bilan shug'ullanish deyarli har doim yaxshi bo'ladi. Mana bu qismdagi birinchi qadam.
\[\log \left( {\frac{{{x^9}{y^5}}}{{{z^3}}}} \right) = \log \left( {{x^9}{y^5}} \right) - \log {z^3}\]Endi biz mahsulotni birinchi muddatda ajratamiz va buni bajarganimizdan so'ng, shartlar bo'yicha eksponentlarga g'amxo'rlik qilamiz.
\[\begin{align*}\log \left( {\frac{{{x^9}{y^5}}}{{{z^3}}}} \right) & = \log \left( {{x^9}{y^5}} \right) - \log {z^3}\\ & = \log {x^9} + \log {y^5} - \log {z^3}\\ & = 9\log x + 5\log y - 3\log z\end{align*}\]c \(\ln \sqrt {xy} \) Yechim
Ushbu qism uchun birinchi bosqichni ko'rishimiz uchun avval logarifmni biroz qayta yozamiz.
\[\ln \sqrt {xy} = \ln {\left( {xy} \right)^{\frac{1}{2}}}\]Ushbu shaklda yozilsa, biz butun atamada bitta ko'rsatkich mavjudligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz birinchi navbatda bu haqda g'amxo'rlik qilamiz.
\[\ln \sqrt {xy} = \frac{1}{2}\ln \left( {xy} \right)\]Endi biz mahsulotga g'amxo'rlik qilamiz.
\[\ln \sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {\ln x + \ln y} \right)\]Bu javobdagi qavsga e'tibor bering. \(\frac{1}{2}\) asl logarifmni ko'paytiradi va shuning uchun u butun "soddalashtirilgan" logarifmni ko'paytirishi kerak bo'ladi. Shuning uchun, bu to'g'ri bajarilganligiga ishonch hosil qilish uchun u erda qavslar to'plami bo'lishi kerak.
d \({\log _3}\left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\) Yechim
Biz birinchi navbatda ushbu logarifmdagi qism haqida qayg'uramiz.
\[{\log _3}\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = {\log _3}{\left( {x + y} \right)^2} - {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]Endi biz ushbu muammoning haqiqiy nuqtasiga erishamiz. Ikkinchi logarifm biz qila oladigan darajada soddalashtirilgan. Shuni yodda tutingki, biz yig'indini yoki farqni ajrata olmaymiz va shuning uchun uni boshqa qismlarga ajratib bo'lmaydi. Bundan tashqari, atama yaxlit ko'rsatkichga ko'tarilgan taqdirdagina ko'rsatkichlar bilan shug'ullanishimiz mumkin. Ushbu atamaning ikkala qismi ham kvadrat bo'lishi muhim emas. Birinchi logarifmda bo'lgani kabi, butun atama kvadrat bo'lishi kerak.
Shunday qilib, biz birinchi logarifmni yanada soddalashtirishimiz mumkin, ammo ikkinchi logarifmni endi soddalashtirib bo'lmaydi. Mana bu muammoning yakuniy javobi.
\[{\log _3}\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 2{\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]Endi biz boshqa yo'l bilan ketadigan ba'zi misollar bilan ishlashimiz kerak. Ushbu keyingi misollar to'plami, ehtimol, oldingi to'plamga qaraganda muhimroqdir. Biz bir nechta bo'limlarda bunday logarifm ishini qilamiz.
- \(7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y\)
- \(3\log x - 6\log y\)
- \(5\ln \left( {x + y} \right) - 2\ln y - 8\ln x\)
Munozarani ko'rsatish
1 koeffitsientini talab qiluvchi ko'rsatma shuni anglatadiki, biz oxirgi logarifmaga tushganimizda, logarifm oldida hech qanday raqam bo'lmasligi kerak.
Shuni ham yodda tutingki, bu misollar 5 - 7 xususiyatlardan foydalanadi, faqat biz ularni teskari yo'nalishda ishlatamiz. Bizda mulkning o'ng tomoniga o'xshash iboralar bo'ladi va uni yozish uchun xususiyatdan foydalanadi, shuning uchun u mulkning chap tomoniga o'xshaydi.
a \(7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y\) Yechim
Bu erda birinchi qadam logarifmlardagi koeffitsientlardan xalos bo'lishdir. Bu xususiyat 7-dan teskari tartibda foydalanadi. Ushbu yo'nalishda, 7-xususiyat, biz logarifm koeffitsientini logarifm ichidagi atama bo'yicha darajaga aylantirishimiz mumkinligini aytadi.
Mana bu qism uchun bu qadam.
\[7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y = {\log _{12}}{x^7} + {\log _{12}}{y^2}\]Endi bizda koeffitsientlari 1 va ikkalasi ham bir xil asosga ega ikkita logarifm yig'indisi bor. Bu biz 5-xususiyatidan teskari foydalanishimiz mumkinligini anglatadi. Mana bu qism uchun javob.
\[7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y = {\log _{12}}\left( {{x^7}{y^2}} \right)\]b \(3\log x - 6\log y\) Yechim
Shunga qaramay, biz birinchi navbatda logarifmlardagi koeffitsientlar haqida qayg'uramiz.
\[3\log x - 6\log y = \log {x^3} - \log {y^6}\]Endi bizda ikkita logarifm farqi bor va shuning uchun biz 6-xususiyatdan teskari foydalanishimiz mumkin. 6-xususiyatidan teskari foydalanilganda, logarifmadan ayiriladigan atama qismning maxrajida ketishini unutmang. Mana bu qismga javob.
\[3\log x - 6\log y = \log \left( {\frac{{{x^3}}}{{{y^6}}}} \right)\]c \(5\ln \left( {x + y} \right) - 2\ln y - 8\ln x\) Yechim
Bu holda bizda uchta shart mavjud va ularning hech birida uchta atama mavjud emas. Bu muammo emas. Keling, birinchi navbatda koeffitsientlar haqida qayg'uramiz va shu bilan birga oxirgi ikki shartdan minus belgisini hisobga olamiz. Buning sababi keyingi bosqichda aniq bo'ladi.
\[5\ln \left( {x + y} \right) - 2\ln y - 8\ln x = \ln {\left( {x + y} \right)^5} - \left( {\ln {y^2} + \ln {x^8}} \right)\]Endi e'tibor bering, qavs ichidagi miqdor ikki logarifm yig'indisidir va shuning uchun mahsulot bilan bitta logarifmaga birlashtirilishi mumkin:
\[5\ln \left( {x + y} \right) - 2\ln y - 8\ln x = \ln {\left( {x + y} \right)^5} - \ln \left( {{y^2}{x^8}} \right)\]Endi biz ikkita logarifmga tushdik va ular logarifmlarning farqidir va shuning uchun biz uni bo'linmali bitta logarifm sifatida yozishimiz mumkin.
\[5\ln \left( {x + y} \right) - 2\ln y - 8\ln x = \ln \left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^5}}}{{{y^2}{x^8}}}} \right)\]Ushbu bo'limda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy mavzu bazaning o'zgarishi formula.
Hozirgi kunda ko'pchilik kalkulyatorlar umumiy logarifmlarni va tabiiy logarifmlarni baholashga qodir. Biroq, bu haqida, shuning uchun biz ko'rib chiqqan birinchi misollar to'plamida bo'lgani kabi, osonlik bilan bajarib bo'lmaydigan boshqa logarifmni baholashimiz kerak bo'lsa, nima qilishimiz kerak?
Buning uchun biz asosiy formulani o'zgartiramiz. Bu erda asosiy formulaning o'zgarishi.
\[{\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}\]bu erda biz \(b\) ni o'zimiz xohlagan narsa bo'lishi uchun tanlashimiz mumkin. Buni logarifmlarni baholashga yordam berish uchun ishlatish uchun bu odatda umumiy yoki tabiiy logarifmdir. Bu erda umumiy logarifm va natural logarifmdan foydalangan holda asosiy formulaning o'zgarishi.
\[{\log _a}x = \frac{{\log x}}{{\log a}}\hspace{0.25in}{\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\]Keling, bu qanday ishlashini misol bilan ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, biz birinchi misollar to'plamida qilganimiz kabi baholashni amalga oshirish uchun bir xil usuldan foydalana olmasligimizga e'tibor bering. Bu bizdan quyidagi eksponensial shaklga qarashimizni talab qiladi,
\[{5^?} = 7\]va bu har kimning boshi bilan javob bera oladigan narsa emas. Agar 7 5 yoki 25 yoki 125 bo'lsa, va hokazo. biz buni qila olardik, lekin unday emas. Shuning uchun biz asosiy formulani o'zgartirishdan foydalanishimiz kerak.
Endi biz ulardan birini ishlatishimiz mumkin va biz bir xil javobni olamiz. Shunday qilib, keling, ikkalasini ham ishlatamiz va buni tasdiqlaymiz. Biz bazani o'zgartirishning umumiy logarifm shaklidan boshlaymiz.
\[{\log _5}7 = \frac{{\log 7}}{{\log 5}} = \frac{{0.845098040014}}{{0.698970004336}} = 1.20906195512\]Keling, asosiy formulani o'zgartirishning tabiiy logarifm shaklini sinab ko'raylik.
\[{\log _5}7 = \frac{{\ln 7}}{{\ln 5}} = \frac{{1.94591014906}}{{1.60943791243}} = 1.20906195512\]Shunday qilib, kasrlar turli xil javoblarni o'z ichiga olganiga qaramay, biz bir xil javob oldik.