1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
Murakkab foiz. Agar biz \(P\) dollarini \(t\) yillari uchun \(r\) (standart foizdan farqli o'laroq o'nli kasr sifatida yoziladi) stavkasida foiz oladigan hisob raqamiga qo'ysak,
- Agar foiz yiliga \(m\) marta qo'shilsa, bizda,
\[A = P{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{t\,m}}\]
dollarga \(t\) yildan keyin.
- agar foiz doimiy ravishda qo'shilsa, bizda shunday bo'ladi,
\[A = P{{\bf{e}}^{r\,t}}\]
dollar \(t\) yildan keyin.
13. Bizda 44 oy davomida sarmoya kiritish uchun 10 000 dollar bor. Yillik foiz stavkasi 5,5% bo'lgan va foizlar qo'shilgan hisob raqamiga pul qo'ysak, bizda qancha pul bo'ladi.
- har chorakda
- oylik
- doimiy ravishda
a har chorakda Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[P = 10000\hspace{0.5in}r = \frac{{5.5}}{{100}} = 0.055\hspace{0.5in}t = \frac{{44}}{{12}} = \frac{{11}}{3}\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Shuningdek, \(t\) yillar bo'lishi kerakligini unutmang, shuning uchun biz yillarga aylantirishimiz kerak.
Ushbu qism uchun biz har chorakda foiz stavkasini qo'shamiz va bu yiliga 4 marta qo'shilishini anglatadi, shuning uchun biz shuni ham bilamizki,
\[m = 4\]Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - tenglamaga ulanish va bizda bo'ladigan pul miqdorini hisoblash uchun raqamlarni kalkulyatordan o'tkazish.
\[A = 10000{\left( {1 + \frac{{0.055}}{4}} \right)^{\frac{{11}}{3}\left( 4 \right)}} = 10000{\left( {1.01375} \right)^{\frac{{44}}{3}}} = 10000\left( {1.221760422} \right) = 12217.60\]Shunday qilib, biz 44 oydan keyin hisobda 12 217,60 dollarga ega bo'lamiz.
b oylik Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[P = 10000\hspace{0.5in}r = \frac{{5.5}}{{100}} = 0.055\hspace{0.5in}t = \frac{{44}}{{12}} = \frac{{11}}{3}\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Shuningdek, \(t\) yillar bo'lishi kerakligini unutmang, shuning uchun biz yillarga aylantirishimiz kerak.
Ushbu qism uchun biz har oy foiz stavkasini qo'shamiz va bu yiliga 12 marta qo'shilishini anglatadi va shuning uchun biz shuni ham bilamizki,
\[m = 12\]Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - tenglamaga ulanish va bizda bo'ladigan pul miqdorini hisoblash uchun raqamlarni kalkulyatordan o'tkazish.
\[A = 10000{\left( {1 + \frac{{0.055}}{{12}}} \right)^{\frac{{11}}{3}\left( {12} \right)}} = 10000{\left( {1.00453333} \right)^{44}} = 10000\left( {1.222876562} \right) = 12228.77\]Shunday qilib, biz 44 oydan keyin hisobda 12 228,77 dollarga ega bo'lamiz.
c doimiy ravishda Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[P = 10000\hspace{0.5in}r = \frac{{5.5}}{{100}} = 0.055\hspace{0.5in}t = \frac{{44}}{{12}} = \frac{{11}}{3}\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Shuningdek, \(t\) yillar bo'lishi kerakligini unutmang, shuning uchun biz yillarga aylantirishimiz kerak.
Ushbu qism uchun biz doimiy ravishda aralashtiramiz, shuning uchun bizda \(m\) bo'lmaydi va boshqa tenglamadan foydalanamiz va hisoblash uchun bizda hamma narsa bor, \[A = 10000{{\bf{e}}^{\left( {0.055} \right)\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}} = 10000{{\bf{e}}^{0.2016666667}} = 10000\left( {1.223440127} \right) = 12234.40\]Shunday qilib, 44 oydan keyin hisobda 12 234,40 dollar bo'ladi.