9.2-bo'lim: To'lqin tenglamasi
Ushbu bo'limda biz \(x = 0\) va \(x = L\) nuqtalarida ikkita nuqta o'rtasida mahkam cho'zilgan \(L\) uzunlikdagi gorizontal qatorni ko'rib chiqmoqchimiz.
Ip qattiq cho'zilganligi sababli, har qanday nuqtada siljigan ipning qiyaligi kichik deb taxmin qilishimiz mumkin. Xo'sh, bu biz uchun nima qiladi? Ipdagi \(x\) nuqtasini muvozanat holatida ko'rib chiqamiz, i.e. nuqtaning \(t = 0\) da joylashgan joyi. Ip tebranish paytida bu nuqta vertikal va gorizontal ravishda siljiydi, ammo, agar biz har qanday nuqtada ipning qiyaligi kichik deb hisoblasak, gorizontal siljish vertikal siljishga nisbatan juda kichik bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, endi biz \(x\) satrning istalgan nuqtasida siljish faqat vertikal bo'ladi deb taxmin qilishimiz mumkin. Shunday qilib, keling, bu siljishni \(u\left( {x,t} \right)\) deb ataymiz.
Biz, hech bo'lmaganda, birinchi navbatda, satr bir xil emas deb taxmin qilamiz va shuning uchun mag'lubiyatning massa zichligi, \(\rho \left( x \right)\) \(x\) funktsiyasi bo'lishi mumkin.
Keyinchalik, biz ipning mukammal moslashuvchanligini taxmin qilamiz. Bu shuni anglatadiki, ipning egilishiga qarshilik bo'lmaydi. Bu, o'z navbatida, so'nggi nuqtalarga \(x\) har qanday nuqtada mag'lubiyatga ta'sir qiladigan kuch ipning o'ziga tangensial bo'lishini aytadi. Bu kuch deyiladi kuchlanish satrda va uning kattaligi \(T\left( {x,t} \right)\) tomonidan beriladi.
Va nihoyat, biz \(Q\left( {x,t} \right)\) ga ipga ta'sir qiluvchi har qanday kuchning birlik massasiga vertikal komponentini ko'rsatishga ruxsat beramiz.
Agar biz yana ipning qiyaligi kichik bo'lsa, har qanday nuqtada ipning vertikal siljishi quyidagicha aniqlanadi:
\[\begin{equation}\rho \left( x \right)\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {T\left( {x,t} \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + \rho \left( x \right)Q\left( {x,t} \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]Bu qisman differensial tenglamani yechish juda qiyin, shuning uchun biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshirishimiz kerak.
Birinchidan, endi biz ipni mukammal elastik deb hisoblaymiz. Bu shuni anglatadiki, \(T\left( {x,t} \right)\) kuchlanishining kattaligi faqat ipning \(x\) yaqinida qanchalik cho'zilganiga bog'liq bo'ladi. Yana shuni eslatib o'tamizki, biz har qanday nuqtada ipning qiyaligi kichik deb taxmin qilsak, bu shuni anglatadiki, ipning tarangligi uning muvozanat holatidagi ipning tarangligi bilan deyarli bir xil bo'ladi. Keyin kuchlanish doimiy qiymat, \(T\left( {x,t} \right) = {T_0}\) deb taxmin qilishimiz mumkin.
Bundan tashqari, ko'p hollarda ipga ta'sir qiladigan yagona tashqi kuch tortishishdir va agar ip etarlicha engil bo'lsa, tortishishning vertikal siljishiga ta'siri kichik bo'ladi va shuning uchun ham \(Q\left( {x,t} \right) = 0\) deb taxmin qilinadi. Bu olib keladi
\[\rho \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\]Agar biz endi massa zichligiga bo'linib, aniqlasak,
\[{c^2} = \frac{{{T_0}}}{\rho }\]1-D ga yetib boramiz to'lqin tenglamasi,
\[\begin{equation}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\label{eq:eq2}\end{equation}\]Oldingida issiqlik tenglamasini ko'rib chiqqanimizda, u bir qator chegara shartlariga ega edi, ammo bu holda biz chegara shartlarining faqat bir turini ko'rib chiqamiz. To'lqin tenglamasi uchun biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan yagona chegara sharti chegaralarning belgilangan joylashuvi yoki,
\[u\left( {0,t} \right) = {h_{\,1}}\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u\left( {L,t} \right) = {h_{\,2}}\left( t \right)\]Dastlabki shartlar (ha, biz bir nechtasini nazarda tutgan edik ...) ham bu erda issiqlik tenglamasida ko'rganimizdan biroz farq qiladi. Bu erda bizda 2 bornd buyurtma vaqti hosilasi va shuning uchun bizga ikkita boshlang'ich shart kerak bo'ladi. Istalgan nuqtada biz satrning dastlabki siljishini ham, satrning dastlabki tezligini ham aniqlaymiz. Dastlabki shartlar shundan iboratki,
\[u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,0} \right) = g\left( x \right)\]To'liqlik uchun biz ushbu bo'limni to'lqin tenglamasining 2-D va 3-D versiyalari bilan yopamiz. Biz buni hech qachon hal qilmaymiz, lekin biz issiqlik tenglamasining yuqori o'lchamli versiyasini berganimiz uchun (bunda biz alohida holatni hal qilamiz) buni ham beramiz.
To'lqin tenglamasining 2-D va 3-D versiyasi:
\[\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\,{\nabla ^2}u\]bu erda \(\nabla ^2 \) Laplasiyalik.