4.4-bo'lim: Mutlaq ekstremallarni topish
Ushbu bobda hosilalarning birinchi asosiy qo'llanilishini ko'rish vaqti keldi. \(f\left( x \right)\) uzluksiz funksiya berilgan \(\left[ {a,b} \right]\) oraliqda funksiyaning absolyut ekstremasini aniqlamoqchimiz. Buning uchun biz oldingi bo'limda ko'rib chiqqan ko'plab g'oyalarga muhtojmiz.
Birinchidan, bizda yopiq interval borligi sababli (i.e. va oxirgi nuqtalarni o'z ichiga olgan interval) va biz funktsiyani uzluksiz deb faraz qilamiz Ekstremal qiymat teoremasi biz buni haqiqatan ham qila olishimizni aytadi. Bu yaxshi narsa albatta. Biz mavjud bo'lmagan narsani topishga harakat qilishni xohlamaymiz.
Keyinchalik, oldingi bo'limda mutlaq ekstremal so'nggi nuqtalarda yoki nisbiy ekstremalarda paydo bo'lishi mumkinligini ko'rdik. Bundan tashqari, oldingi bo'limdan biz bilamizki, tanqidiy nuqtalar ro'yxati ham barcha mumkin bo'lgan nisbiy ekstremallar ro'yxatidir. Shunday qilib, so'nggi nuqtalar barcha tanqidiy nuqtalar ro'yxati bilan birga barcha mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarning ro'yxati bo'ladi.
Endi shuni esga olishimiz kerakki, mutlaq ekstremalar funksiya qabul qiladigan eng katta va eng kichik qiymatlardan boshqa narsa emas, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - mumkin bo'lgan mutlaq ekstremalarning ro'yxatini olish, bu nuqtalarni funktsiyamizga ulash va keyin eng katta va eng kichik qiymatlarni aniqlash.
Bu erda mutlaq ekstremallarni topish tartibi.
\(\left[ {a,b} \right]\) da \(f\left( x \right)\) ning mutlaq ekstremalini topish
- Funktsiya \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida uzluksiz ekanligini tekshiring.
- \(f\left( x \right)\) ning \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida joylashgan barcha kritik nuqtalarini toping. Agar bu haqda o'ylab ko'rsangiz, bu mantiqiy bo'ladi. Bizni faqat ushbu oraliqda funksiya nima qilayotgani qiziqtirgani uchun biz oraliqdan tashqariga chiqadigan kritik nuqtalarga ahamiyat bermaymiz.
- Funktsiyani 1-bosqichda va oxirgi nuqtalarda topilgan kritik nuqtalarda baholang.
- Mutlaq ekstremalni aniqlang.
Bu protsedura uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz jarayonning birinchi bosqichini 0 deb nomladik, chunki bu erda biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan barcha funktsiyalar uzluksiz bo'ladi, lekin biz ehtiyot bo'lishimiz kerak bo'lgan narsadir. Bu jarayon faqat berilgan oraliqda uzluksiz funktsiyaga ega bo'lsak ishlaydi. Ushbu jarayonning eng ko'p mehnat talab qiladigan bosqichi ikkinchi bosqich (1-bosqich) bo'lib, u erda biz muhim nuqtalarni topamiz. Shuni ham ta'kidlash kerakki, biz xohlagan narsa - bu intervalda bo'lgan muhim nuqtalar.
Keling, ba'zi misollar keltiraylik.
Yechim
Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa yuqorida keltirilgan tartibni bajarishdir. Shunday qilib, birinchi navbatda e'tibor bering, bu polinom va shuning uchun hamma joyda uzluksiz va shuning uchun berilgan oraliqda uzluksizdir.
Endi biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz uchun hosilani olishimiz kerak.
\[g'\left( t \right) = 6{t^2} + 6t - 12 = 6\left( {t + 2} \right)\left( {t - 1} \right)\]Bizda ikkita muhim nuqta borga o'xshaydi, \(t = - 2\) va \(t = 1\). E'tibor bering, biz shunchaki tanqidiy fikrlardan ko'ra ko'proq narsani xohlaymiz. Biz faqat ko'rib chiqilayotgan intervalda joylashgan funktsiyaning kritik nuqtalarini xohlaymiz. Ularning ikkalasi ham intervalgacha tushadi, shuning uchun biz ikkalasidan ham foydalanamiz. Buni eslatib o'tish ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin u ko'pincha unutiladi, odatda muhim bo'lib qolganda, shuning uchun biz uni unutib qo'ymaslik uchun har qanday imkoniyatda eslatib o'tamiz.
Endi biz funktsiyani kritik nuqtalarda va intervalning oxirgi nuqtalarida baholaymiz.
\[\begin{align*}g\left( { - 2} \right) & = 24\hspace{1.0in} & g\left( 1 \right) & = - 3\\ g\left( { - 4} \right) &= - 28\hspace{1.0in} & g\left( 2 \right) & = 8\end{align*}\]Mutlaq ekstremal funktsiya mavjud bo'lgan eng katta va eng kichikdir va bu to'rt nuqta mutlaq ekstremalarning paydo bo'lishi mumkin bo'lgan oraliqdagi yagona joylarni ifodalaydi. Shunday qilib, ushbu ro'yxatdan biz \(g\left( t \right)\) ning mutlaq maksimali 24 ekanligini va u \(t = - 2\) (kritik nuqta) da sodir bo'lishini va \(g\left( t \right)\) ning mutlaq minimumi \(t = - 4\) (so'nggi nuqta) da sodir bo'lgan -28 ekanligini ko'ramiz.
Ushbu misolda biz mutlaq ekstremallar oxirgi nuqtalarda ham, tanqidiy nuqtalarda ham paydo bo'lishi mumkinligini ko'rdik. Talabalar ushbu muammolar bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu intervalning so'nggi nuqtalarini tekshirishni unutishdir.
Yechim
E'tibor bering, bu muammo birinchi muammo bilan deyarli bir xil. Faqatgina farq biz ishlayotgan intervaldir. Biroq, bu kichik o'zgarish bizning javobimizni butunlay o'zgartiradi. Ushbu o'zgarish bilan biz birinchi misoldan ikkala javobni ham chiqarib tashladik.
Birinchi qadam yana muhim nuqtalarni topishdir. Birinchi misoldan biz bilamizki, bular \(t = - 2\) va \(t = 1\).. Shu o‘rinda shuni eslash muhimki, biz faqat ko‘rib chiqilayotgan intervalga to‘g‘ri keladigan muhim nuqtalarni xohlaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz faqat \(t = 1\) ni xohlaymiz, chunki \(t = - 2\) intervaldan tashqariga tushadi.
Endi funksiyani intervaldagi bitta kritik nuqtada va ikkita oxirgi nuqtada baholang.
\[g\left( 1 \right) = - 3\hspace{0.5in}g\left( 0 \right) = 4\hspace{0.5in}g\left( 2 \right) = 8\]Ushbu qiymatlar ro'yxatidan biz mutlaq maksimal 8 ekanligini va \(t = 2\) da bo'lishini va mutlaq minimal -3 \(t = 1\) da sodir bo'lishini ko'ramiz.
Ushbu misolda ko'rganimizdek, intervaldagi oddiy o'zgarish javobni butunlay o'zgartirishi mumkin. Bu shuningdek, intervalda bo'lmagan muhim nuqtalarni istisno qilish uchun ehtiyot bo'lishimiz kerakligini ko'rsatdi. Agar biz buni unutganimizda va \(t = - 2\) ni qo'shganimizda, noto'g'ri mutlaq maksimalga erishgan bo'lardik!
Bu o'quvchilarning ushbu muammolarni hal qilishda boshqa katta xatolaridir. Ko'pincha ular oraliqda bo'lmagan muhim nuqtalarni istisno qilishni unutishadi. Agar sizning o'qituvchingiz menga o'xshasa, bu siz noto'g'ri javob olishingizni anglatadi. Intervaldan tashqaridagi tanqidiy nuqta oraliqdagi har qanday nuqtadan kattaroq yoki kichikroq ekanligiga ishonch hosil qilish juda qiyin emas.
Birinchi 4 oy ichida minimal va maksimal aholini aniqlang.
Yechim
Biz haqiqatdan ham so'raydigan savol \(\left[ {0,4} \right]\) oralig'ida \(P\left( t \right)\) ning mutlaq ekstremasini topishdir. Bu funksiya hamma joyda uzluksiz bo'lgani uchun biz buni amalga oshirishimiz mumkinligini bilamiz.
Keling, hosiladan boshlaylik.
\[P'\left( t \right) = 3 + 4\cos \left( {4t} \right)\]Bizga funktsiyaning kritik nuqtalari kerak. Loyima hamma joyda mavjud, shuning uchun undan hech qanday muhim nuqta yo'q. Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa hosila nolga teng ekanligini aniqlashdir.
\[\begin{align*}3 + 4\cos \left( {4t} \right) & = 0\\ \cos \left( {4t} \right) & = - \frac{3}{4}\end{align*}\]Buning yechimlari,
\[\begin{array}{*{20}{c}}{4t = 2.4189 + 2\pi n,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\\{4t = 3.8643 + 2\pi n,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0.6047 + \displaystyle \frac{{\pi n}}{2},\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\\{t = 0.9661 + \displaystyle \frac{{\pi n}}{2},\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\]Demak, bularning barchasi muhim nuqtalar. \(\left[ {0,4} \right]\) oralig'iga tushadiganlarni aniqlashimiz kerak. Biz ularning barchasini olmagunimizcha, ba'zi \(n\)-larni formulalarga ulashdan boshqa hech narsa yo'q.
\(n = 0\) :
\[t = 0.6047\hspace{1.0in}t = 0.9661\]Bizga ushbu muhim nuqtalarning ikkalasi ham kerak bo'ladi.
\(n = 1\)
\[t = 0.6047 + \frac{\pi }{2} = 2.1755\hspace{1.0in}t = 0.9661 + \frac{\pi }{2} = 2.5369\]Bizga bular kerak bo'ladi.
\(n = 2\)
\[t = 0.6047 + \pi = 3.7463\hspace{1.0in}t = 0.9661 + \pi = 4.1077\]Bunday holda, bizga faqat birinchisi kerak, chunki ikkinchisi intervaldan tashqarida.
Intervalda beshta muhim nuqta mavjud. Ular,
\[0.6047,\,\,\,0.9661,\,\,\,2.1755,\,\,\,2.5369,\,\,\,3.7463\]Nihoyat, mutlaq minimal va maksimal populyatsiyani aniqlash uchun biz faqat ushbu qiymatlarni funktsiyaga va ikkita oxirgi nuqtaga ulashimiz kerak. Bu erda funktsiyani baholash.
\[\begin{align*}P\left( 0 \right) & = 100.0\hspace{1.0in} & P\left( 4 \right) & = 111.7121\\ P\left( {0.6047} \right) & = 102.4756\hspace{1.0in} & P\left( {0.9661} \right) & = 102.2368\\ P\left( {2.1755} \right) & = 107.1880\hspace{1.0in} & P\left( {2.5369} \right) & = 106.9492\\ P\left( {3.7463} \right) & = 111.9004 & & \end{align*}\]Ushbu baholashlardan ma'lum bo'lishicha, minimal aholi soni \(t = 0\) da uchraydigan 100 000 (\(P\) minglab ekanligini unutmang...) va \(t = 3.7463\) da uchraydigan maksimal populyatsiya 111 900 ni tashkil qiladi.
Trig tenglamalarini to'g'ri yecha olishingizga ishonch hosil qiling. Agar biz \(2\pi n\) ni unutgan bo'lsak, biz oraliqdagi oxirgi uchta muhim nuqtani o'tkazib yuborgan bo'lardik va shuning uchun noto'g'ri javob olgan bo'lardik, chunki maksimal populyatsiya oxirgi kritik nuqtada edi.
Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda javoblarni yaxlitlashda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Misol uchun, agar biz eng yaqin butun songa yaxlitlangan bo'lsak, maksimal aholi soni bitta emas, balki ikki xil joyda sodir bo'lgandek tuyuladi.
Hisob ochilgan dastlabki 10 yil davomida uning minimal va maksimal miqdorini aniqlang.
Yechim
Bu erda biz haqiqatan ham \(\left[ {0,10} \right]\) oralig'ida \(A\left( t \right)\) ning mutlaq ekstremasini so'raymiz. Oldingi misollarda bo'lgani kabi, bu funksiya hamma joyda uzluksiz va shuning uchun biz buni amalga oshirish mumkinligini bilamiz.
Kritik nuqtalarni topishimiz uchun birinchi navbatda hosila kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}A'\left( t \right) & = - 10{{\bf{e}}^{5 - \frac{{{t^2}}}{8}}} - 10t{{\bf{e}}^{5 - \frac{{{t^2}}}{8}}}\left( { - \frac{t}{4}} \right)\\ & = 10{{\bf{e}}^{5 - \frac{{{t^2}}}{8}}}\left( { - 1 + \frac{{{t^2}}}{4}} \right)\end{align*}\]Hosila hamma joyda mavjud va eksponensial hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Shunday qilib, hosila faqat nolga teng bo'ladi, bu erda,
\[ - 1 + \frac{{{t^2}}}{4} = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,{t^2} = 4\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,t = \pm 2\]Bizda ikkita muhim nuqta bor, ammo faqat \(t = 2\) aslida intervalda, shuning uchun biz foydalanadigan faqat muhim nuqta.
Endi funksiyani yakka kritik nuqtada va intervalning oxirgi nuqtalarida baholaylik. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[A\left( 0 \right) = 2000\hspace{0.5in}A\left( 2 \right) = 199.66\hspace{0.5in}A\left( {10} \right) = 1999.94\]Shunday qilib, hisobdagi maksimal miqdor \(t = 0\) da sodir bo'ladigan 2000 dollarni tashkil qiladi va hisobdagi minimal miqdor 2 yil belgisida sodir bo'ladigan 199,66 dollarni tashkil qiladi.
Ushbu misolda e'tiborga olish kerak bo'lgan ikkita muhim narsa bor. Birinchidan, agar biz ikkinchi muhim nuqtani kiritgan bo'lsak, maksimal miqdor uchun noto'g'ri javob olgan bo'lardik, shuning uchun qaysi muhim nuqtalarni kiritish va qaysi birini chiqarib tashlashga ehtiyot bo'lish kerak.
Biz shu nuqtaga qadar ishlagan barcha muammolar hamma joyda mavjud bo'lgan hosilalarga ega edi va shuning uchun biz ko'rib chiqqan yagona tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lganlar edi. Bu har doim sodir bo'ladi, deb juda qulflangan bo'lmang. Biz duch keladigan muammolarning aksariyati shunday bo'ladi, lekin ularning hammasi ham shunday bo'lmaydi.
Bu fikrni tasdiqlash uchun yana bir misol bilan ishlaylik.
Yechim
Shunga qaramay, bu erda boshqa barcha misollar kabi, bu funktsiya berilgan intervalda uzluksizdir va shuning uchun buni amalga oshirish mumkinligini bilamiz.
Birinchidan, bizga lotin kerak bo'ladi va muhim nuqtalarni topish ishni osonlashtirish uchun bu erda qilgan soddalashtirishni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.
\[\begin{align*}Q'\left( y \right) & = 3{\left( {y + 4} \right)^{\frac{2}{3}}} + 3y\left( {\frac{2}{3}} \right){\left( {y + 4} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\\ & = 3{\left( {y + 4} \right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{{2y}}{{{{\left( {y + 4} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\\ & = \frac{{3\left( {y + 4} \right) + 2y}}{{{{\left( {y + 4} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\\ & = \frac{{5y + 12}}{{{{\left( {y + 4} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\end{align*}\]Shunday qilib, bizda ikkita muhim nuqta borga o'xshaydi.
\[\begin{align*}y & = - 4\hspace{0.5in} & & {\mbox{Because the derivative doesn't exist here.}}\\ y & = - \frac{{12}}{5} \hspace{0.5in} & & {\mbox{Because the derivative is zero here.}}\end{align*}\]Ularning ikkalasi ham intervalda, shuning uchun keling, ushbu nuqtalardagi funktsiyani va intervalning oxirgi nuqtalarini baholaylik.
\[\begin{align*}Q\left( { - 4} \right) & = 0 & \hspace{0.5in} & & Q\left( { - \frac{{12}}{5}} \right) & = - 9.849\\ Q\left( { - 5} \right) & = - 15 & \hspace{0.5in} & & Q\left( { - 1} \right) & = - 6.241\end{align*}\]Funktsiya \(y = - 4\) da mutlaq maksimal nolga ega va \(y = - 5\) da funktsiya mutlaq minimal -15 ga ega bo'ladi.
Shunday qilib, agar biz lotin mavjud bo'lmagan muhim nuqtani (\(y = - 4\)) e'tiborsiz qoldirganimizda yoki unutganimizda, biz to'g'ri javobni olmagan bo'lardik.
Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq ekstremalini aniqlash uchun hosiladan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqdik. Bu vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladigan derivativlarning muhim qo'llanilishi, shuning uchun bu haqda unutmang.