4.3-bo'lim: Teskari laplas o'zgarishlari
Funktsiyaning Laplas konvertatsiyasini topish unchalik qiyin emas, agar oldimizda oxirgi marta ko'rganimizdek foydalanish uchun o'zgartirishlar jadvali bo'lsa. bo'limi. Endi biz boshqa yo'ldan borishni xohlaymiz.
Bizga \(F(s)\) transformatsiyasi beriladi va bizda dastlab qanday funktsiya (yoki funksiyalar) borligini so'raymiz. Ko'rib turganingizdek, bu o'zgarishlar qilishdan ko'ra murakkabroq va uzoqroq jarayon bo'lishi mumkin. Bunday hollarda biz topayotganimizni aytamiz Teskari Laplas konvertatsiyasi \(F(s)\) va quyidagi belgidan foydalaning.
\[f\left( t \right) = {\mathcal{L}^{\, - 1}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\}\]Laplas o'zgarishlarida bo'lgani kabi, bizda teskari konvertatsiya qilishda yordam beradigan quyidagi fakt mavjud.
Teskari transformatsiyaning chiziqliligi
Ikki Laplasni hisobga olgan holda keyin \(F(s)\) va \(G(s)\) ni o'zgartiradi
\[{\mathcal{L}^{\, - 1}}\left\{ {aF\left( s \right) + bG\left( s \right)} \right\} = a{\mathcal{L}^{\, - 1}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\} + b{\mathcal{L}^{\, - 1}}\left\{ {G\left( s \right)} \right\}\]har qanday \(a\) va \(b\) konstantalari uchun.
Shunday qilib, biz individual o'zgarishlarning teskari konvertatsiyasini olamiz, har qanday konstantalarni qayta kiritamiz va keyin natijalarni qo'shamiz yoki ayitamiz.
Keling, bir nechta oddiy teskari o'zgarishlarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{6}{s} - \frac{1}{{s - 8}} + \frac{4}{{s - 3}}\)
- \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{19}}{{s + 2}} - \frac{1}{{3s - 5}} + \frac{7}{{{s^5}}}\)
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{6s}}{{{s^2} + 25}} + \frac{3}{{{s^2} + 25}}\)
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{8}{{3{s^2} + 12}} + \frac{3}{{{s^2} - 49}}\)
Munozarani ko'rsatish
Biz har doim teskari o'zgarishlarni amalga oshirishning kaliti maxrajga qarash va shunga asoslanib nima borligini aniqlashga harakat qilish ekanligini his qilganmiz. Jadvalda ma'lum bir maxrajga ega bo'lgan faqat bitta yozuv bo'lsa, keyingi qadam teskari aylantirish jarayoni uchun hisoblagichning to'g'ri sozlanganligiga ishonch hosil qilishdir. Agar shunday bo'lmasa, uni to'g'rilang (buni qilish har doim oson) va keyin teskari o'zgarishlarni oling.
Agar jadvalda ma'lum bir maxrajga ega bo'lgan bir nechta yozuv bo'lsa, unda har birining hisoblagichlari boshqacha bo'ladi, shuning uchun hisoblagichga o'ting va qaysi biri borligini ko'ring. Agar siz suratni to'g'ri shaklga keltirishingiz va keyin teskari konvertatsiya qilishingiz kerak bo'lsa.
Shunday qilib, ushbu maslahatni hisobga olgan holda, keling, teskari o'zgarishlarni amalga oshirishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.
a \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{6}{s} - \frac{1}{{s - 8}} + \frac{4}{{s - 3}}\) Yechim
Birinchi hadning maxrajidan birinchi had faqat doimiy bo'lib ko'rinadi. Ushbu atama uchun to'g'ri hisoblagich "1" dir, shuning uchun biz teskari konvertatsiya qilishdan oldin 6 ni ajratib olamiz. Ikkinchi atama \(a = 8\) bilan eksponent bo'lib ko'rinadi va surat aynan shunday bo'lishi kerak. Uchinchi atama ham eksponent bo'lib ko'rinadi, faqat bu safar \(a = 3\) va biz teskari o'zgarishlarni olishdan oldin 4 ni hisobga olishimiz kerak.
Shunday qilib, biz odatdagidan ko'ra bir oz ko'proq tafsilotlar bilan,
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = 6\,\,\frac{1}{s} - \frac{1}{{s - 8}} + 4\frac{1}{{s - 3}}\\ & f\left( t \right) = 6\left( 1 \right) - {{\bf{e}}^{8t}} + 4\left( {{{\bf{e}}^{3t}}} \right)\\ & = 6 - {{\bf{e}}^{8t}} + 4{{\bf{e}}^{3t}}\end{align*}\]b \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{19}}{{s + 2}} - \frac{1}{{3s - 5}} + \frac{7}{{{s^5}}}\) Yechim
Bu holda birinchi atama \(a = - 2\) bilan eksponensialga o'xshaydi va biz 19 ni hisobga olishimiz kerak. Bu muammolarda salbiy belgilar bilan ehtiyot bo'ling, ularni yo'qotish juda oson.
Ikkinchi atama deyarli eksponentga o'xshaydi, bundan tashqari u maxrajda faqat \(s\) o'rniga \(3s\) ga ega. Bu eksponentdir, lekin bu holda, teskari konvertatsiya qilishdan oldin biz maxrajdan 3 ni ko'paytirishimiz kerak.
Uchinchi muddatning maxraji ko'rinadi #3 jadvalda \(n = 4\) bilan. Biroq, surat buning uchun to'g'ri emas. Ayni paytda hisoblagichda 7 bor va bizga hisoblagichda \(4! = 24\) kerak. Buni tuzatish juda oson. Surat ko'paytma doimiysi bilan o'chirilgan bo'lsa, bu holatda bo'lgani kabi, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bizga kerak bo'lgan doimiyni hisoblagichga qo'yishdir. Biz uni bir xil doimiyga bo'lish orqali qaytarib olishni unutmasligimiz kerak.
Shunday qilib, avval transformatsiyani qayta yozamiz.
\[\begin{align*}H\left( s \right) & = \frac{{19}}{{s - \left( { - 2} \right)}} - \frac{1}{{3\left( {s - \frac{5}{3}} \right)}} + \frac{{7\frac{{4!}}{{4!}}}}{{{s^{4 + 1}}}}\\ & = 19\frac{1}{{s - \left( { - 2} \right)}} - \frac{1}{3}\frac{1}{{s - \frac{5}{3}}} + \frac{7}{{4!}}\frac{{4!}}{{{s^{4 + 1}}}}\end{align*}\]Xo'sh, biz bu erda nima qildik? Biz birinchi davrdan 19 tasini hisobga oldik. Biz ikkinchi hadning maxrajidan 3 ni koeffitsientga oldik, chunki u teskari konvertatsiya uchun bo'lishi mumkin emas va uchinchi hadda biz 4 dan boshqa hamma narsani ko'paytirdik! chunki bu teskari o'zgartirish jarayoni uchun hisoblagichda bizga kerak bo'lgan qismdir.
Endi teskari konvertatsiyani olaylik.
\[h\left( t \right) = 19{{\bf{e}}^{ - 2t}} - \frac{1}{3}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{3}}} + \frac{7}{{24}}{t^4}\]c \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{6s}}{{{s^2} + 25}} + \frac{3}{{{s^2} + 25}}\) Yechim
Ushbu qismda biz ikkala atamada ham bir xil maxrajga egamiz va jadvalimiz bizga shuni aytadiki, bizda ham bor #7 or #8. Numeratorlar bizga qaysi biri haqiqatan ham borligini aytadi. Birinchisining hisoblagichida \(s\) bor va bu birinchi had №8 bo'lishi kerakligini anglatadi va biz bu holda suratdan 6 tasini ko'paytiramiz. Ikkinchi atama hisoblagichda faqat doimiyga ega va shuning uchun bu atama №7 bo'lishi kerak, ammo bu aniq №7 bo'lishi uchun biz jadvalga to'g'ri kelishi uchun hisoblagichdagi 5 ni ko'paytirishimiz/bo'lishimiz kerak.
O'zgarish bo'ladi,
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = 6\frac{s}{{{s^2} + {{\left( 5 \right)}^2}}} + \frac{{3\frac{5}{5}}}{{{s^2} + {{\left( 5 \right)}^2}}}\\ & = 6\frac{s}{{{s^2} + {{\left( 5 \right)}^2}}} + \frac{3}{5}\frac{5}{{{s^2} + {{\left( 5 \right)}^2}}}\end{align*}\]Teskari konvertatsiyani qabul qilish,
\[f\left( t \right) = 6\cos \left( {5t} \right) + \frac{3}{5}\sin \left( {5t} \right)\]d \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{8}{{3{s^2} + 12}} + \frac{3}{{{s^2} - 49}}\) Yechim
Bu holda, maxrajdan 3 ni ko'paytirsak, birinchi had sinus bo'ladi, ikkinchi a'zo esa giperbolik sinus bo'lib ko'rinadi (#17). Shunga qaramay, bu ikkisi orasidagi farq bilan ehtiyot bo'ling. Ikkala shart ham o'z suratlarini o'rnatishi kerak. Qayta yozishni tugatganimizdan so'ng, bu o'zgartirish.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{3}\frac{8}{{{s^2} + 4}} + \frac{3}{{{s^2} - 49}}\\ & = \frac{1}{3}\frac{{\left( 4 \right)\left( 2 \right)}}{{{s^2} + {{\left( 2 \right)}^2}}} + \frac{{3\frac{7}{7}}}{{{s^2} - {{\left( 7 \right)}^2}}}\end{align*}\]E'tibor bering, birinchi bo'limda biz 8 ni koeffitsientlarga ajratish orqali 2 ni olishimiz mumkinligidan foydalandik.
\[g\left( t \right) = \frac{4}{3}\sin \left( {2t} \right) + \frac{3}{7}\sinh \left( {7t} \right)\]Shunday qilib, konvertatsiyani aniqlashning eng yaxshi usuli bu maxrajga qarashdir. Agar bir nechta imkoniyat bo'lsa, to'g'rini aniqlash uchun suratdan foydalaning. Agar kerak bo'lsa, hisoblagichni teskari o'zgartirish jarayoni uchun kerakli shaklga keltiring. Nihoyat, teskari konvertatsiya qiling.
Keling, biroz qiyinroq muammolarni hal qilaylik. Bular birinchi to'plamga qaraganda bir oz ko'proq ishtirok etadi.
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{6s - 5}}{{{s^2} + 7}}\)
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{1 - 3s}}{{{s^2} + 8s + 21}}\)
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{3s - 2}}{{2{s^2} - 6s - 2}}\)
- \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{s + 7}}{{{s^2} - 3s - 10}}\)
a \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{6s - 5}}{{{s^2} + 7}}\) Yechim
Buning maxrajidan u sinus yoki kosinus ekanligi ko'rinadi. Biroq, hisoblagich jadvaldagi ikkalasiga ham mos kelmaydi. Kosinus hisoblagichda faqat \(s\) ni, ko'pi bilan ko'paytiruvchi doimiyni xohlaydi, sinus esa faqat doimiyni xohlaydi va hisobda \(s\) yo'q.
Numeratorda ikkalamiz ham bor. Biroq, buni tuzatish oson. Biz faqat konvertatsiyani ikki shartga ajratamiz va keyin teskari o'zgarishlar qilamiz.
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{6s}}{{{s^2} + 7}} - \frac{{5\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 7 }}}}{{{s^2} + 7}}\\ f\left( t \right) & = 6\cos \left( {\sqrt 7 t} \right) - \frac{5}{{\sqrt 7 }}\sin \left( {\sqrt 7 t} \right)\end{align*}\]Biz birinchi misollarda ko'rgan sinus va kosinuslarda har doim mukammal kvadratlarni olishga odatlanmang. Ko'pincha (hech bo'lmaganda mening sinfimda) ular mukammal kvadratlar bo'lmaydi!
b \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{1 - 3s}}{{{s^2} + 8s + 21}}\) Yechim
Bu holda bizning jadvalimizda shunga o'xshash hech qanday maxraj mavjud emas. Biroq, maxrajdagi kvadratni to'ldirib, maxrajni jadvaldagi maxrajlardan biriga o'xshatishimiz mumkin. Xo'sh, avval buni qilaylik.
\[\begin{align*}{s^2} + 8s + 21 & = {s^2} + 8s + 16 - 16 + 21\\ & = {s^2} + 8s + 16 + 5\\ & = {\left( {s + 4} \right)^2} + 5\end{align*}\]Eslatib o'tamiz, kvadratni to'ldirishda siz \(s\) koeffitsientining yarmini olasiz, uni kvadratga aylantirasiz va natijani polinomga qo'shasiz va ayirasiz. Buni qilgandan so'ng, dastlabki uchta shart mukammal kvadrat sifatida ko'paytirilishi kerak.
Shunday qilib, transformatsiyani quyidagicha yozish mumkin.
\[F\left( s \right) = \frac{{1 - 3s}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}}\]OK, bu qayta yozish bilan bizda borga o'xshaydi #19 va/yoki #20Bizning o'zgarishlar jadvalimizdan. Biroq, e'tibor bering, u a bo'lishi uchun #19 a bo'lishi uchun biz faqat hisoblagichdagi doimiyni xohlaymiz #20 bizga suratda \(s – a\) kerak. Bizda bularning hech biri yo'q, shuning uchun uni to'g'ri shaklga keltirish uchun raqamni tuzatishimiz kerak.
Numeratorni tuzatishda har doim birinchi navbatda \(s – a\) ni oling. Bu muhim qism. Biz \(s\) oldida o'tirgan 3 tadan ham ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bunga g'amxo'rlik qilishning usullaridan biri atamani ikki bo'lakka bo'lish, ikkinchidan 3 ni ko'paytirish va keyin bu atamaning suratini aniqlashdir. Bu ishlaydi; ammo, u bizning javobimizga uchta atama qo'yadi va haqiqatan ham faqat ikkita atama mavjud.
Shunday qilib, biz transformatsiyani bitta atama sifatida qoldiramiz va uni quyidagicha tuzatamiz:
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{1 - 3\left( {s + 4 - 4} \right)}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}}\\ & = \frac{{1 - 3\left( {s + 4} \right) + 12}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}}\\ & = \frac{{ - 3\left( {s + 4} \right) + 13}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}}\end{align*}\]Bizga suratda \(s + 4\) kerak edi, shuning uchun biz uni kiritdik. Biz faqat ishonch hosil qilishimiz va 4 ni ayirish orqali qaytarib olishimiz kerak edi. Bundan tashqari, \(s\) ni 3 ga ko'paytirish tufayli biz bularning barchasini qavslar to'plami ichida qilishimiz kerak edi. Keyin biz 3 ni ikkinchi haddan qisman ko'paytirdik va doimiylarni birlashtirdik. Ushbu shakldagi transformatsiya yordamida biz uni har biri jadvalda joylashgan ikkita transformatsiyaga bo'lishimiz mumkin va shuning uchun biz ularga teskari o'zgarishlarni amalga oshirishimiz mumkin,
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = - 3\frac{{s + 4}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}} + \frac{{13\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }}}}{{{{\left( {s + 4} \right)}^2} + 5}}\\ f\left( t \right) & = - 3{{\bf{e}}^{ - 4t}}\cos \left( {\sqrt 5 t} \right) + \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}{{\bf{e}}^{ - 4t}}\sin \left( {\sqrt 5 t} \right)\end{align*}\]c \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{3s - 2}}{{2{s^2} - 6s - 2}}\) Yechim
Bu oxirgisiga o'xshaydi. Biroq, biz kvadratni to'ldirishda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - maxrajdan 2 ta ko'paytiring, so'ngra kvadratni to'ldiring. Kvadratni to'ldirishda \(s^{2}\) atamasi bo'yicha 1 koeffitsienti kerakligini unutmang! Shunday qilib, bu transformatsiya uchun ish.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{{3s - 2}}{{2\left( {{s^2} - 3s - 1} \right)}}\\ & = \frac{1}{2}\frac{{3s - 2}}{{{s^2} - 3s + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - 1}}\\ & = \frac{1}{2}\frac{{3s - 2}}{{{{\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{{13}}{4}}}\end{align*}\]Shunday qilib, bizda borga o'xshaydi #21 va #22 tuzatilgan surat bilan. Mana buning uchun ish va teskari o'zgarish.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{2}\frac{{3\left( {s - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - 2}}{{{{\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{{13}}{4}}}\\ & = \frac{1}{2}\frac{{3\left( {s - \frac{3}{2}} \right) + \frac{5}{2}}}{{{{\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{{13}}{4}}}\\ & = \frac{1}{2}\left( {\frac{{3\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}}{{{{\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{{13}}{4}}} + \frac{{\frac{5}{2}\frac{{\sqrt {13} }}{{\sqrt {13} }}}}{{{{\left( {s - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{{13}}{4}}}} \right)\\ g\left( t \right) & = \frac{1}{2}\left( {3{{\bf{e}}^{\frac{{3\,t}}{2}}}\cosh \left( {\frac{{\sqrt {13} }}{2}t} \right) + \frac{5}{{\sqrt {13} }}{{\bf{e}}^{\frac{{3\,t}}{2}}}\sinh \left( {\frac{{\sqrt {13} }}{2}t} \right)} \right)\end{align*}\]Ikkinchi hadning hisobini to'g'irlashda, men faqat kvadrat ildizni qo'yganimga e'tibor bering, chunki bizda hisobda kerak bo'lgan kasrning "2 dan ortiq" qismi bor edi.
d \(\displaystyle H\left( s \right) = \frac{{s + 7}}{{{s^2} - 3s - 10}}\) Yechim
Bu avvalgi ikkitasiga o'xshaydi, lekin aslida unday emas. Oldingi ikkitasidagi denominatorlarni osonlikcha ajratib bo'lmaydi. Bunday holda, maxraj omil qiladi va shuning uchun biz u bilan boshqacha munosabatda bo'lishimiz kerak. Bu erda koeffitsientli maxraj bilan o'zgartirish.
\[H\left( s \right) = \frac{{s + 7}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s - 5} \right)}}\]Ushbu transformatsiyaning maxraji bizda bir nechta eksponentlar borligini ko'rsatadi, ammo eksponensial bo'lish uchun maxrajda faqat bitta atama bo'lishi mumkin va hisoblagichda \(s\) bo'lmaydi.
Buni tuzatish uchun biz ushbu transformatsiyada qisman kasrlarni bajarishimiz kerak. Bu holda qisman kasr parchalanishi bo'ladi
\[H\left( s \right) = \frac{A}{{s + 2}} + \frac{B}{{s - 5}}\]Qisman fraksiyalarni qanday qilishni eslay olmaysizmi? Ushbu misolda biz konstantalar qiymatlarini olishning bir usulini ko'rsatamiz va bu misoldan so'ng biz qisman kasr parchalanishining to'g'ri shaklini qanday olish kerakligini ko'rib chiqamiz.
Mayli, keling, konstantalarni olamiz. Har doim ishlaydigan doimiylarni topish usuli mavjud, biroq u ba'zan talab qilinadiganidan ko'proq ishga olib kelishi mumkin. Oxir-oqibat, bizga bu usul kerak bo'ladi, ammo bu holda doimiylarni topishning osonroq yo'li mavjud.
Amaldagi usuldan qat'i nazar, birinchi qadam ikkita atamani zaxira nusxasini qo'shishdir. Bu quyidagilarni beradi.
\[\frac{{s + 7}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s - 5} \right)}} = \frac{{A\left( {s - 5} \right) + B\left( {s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s - 5} \right)}}\]Endi bu biz qo'yishni tanlashimiz kerak bo'lgan har qanday \(s\) uchun to'g'ri bo'lishi kerak. Demak, maxrajlar bir xil bo'lgani uchun biz faqat suratlarni tenglashtirishimiz kerak. Shuning uchun, sonlarni teng qilib qo'ying.
\[s + 7 = A\left( {s - 5} \right) + B\left( {s + 2} \right)\]Shunga qaramay, bu biz kiritmoqchi bo'lgan \(s\) ning har qanday qiymati uchun to'g'ri bo'lishi kerak. Shunday qilib, keling, bundan foydalanaylik. Agar bu \(s\) ning istalgan qiymati uchun to'g'ri bo'lishi kerak bo'lsa, tasodifiy qiymatni tanlash uchun \(s = - 2\) uchun to'g'ri bo'lishi kerak. Bu holda biz olamiz,
\[5 = A\left( { - 7} \right) + B\left( 0 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} A = - \frac{5}{7}\]Biz \(s\) ni to'g'ri tanlash orqali \(A\) ni topdik. Agar biz \(s = 5\) ni tanlagan bo'lsak, biz ham xuddi shunday tarzda \(B\) ni olamiz.
\[12 = A\left( 0 \right) + B\left( 7 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}B = \frac{{12}}{7}\]Bu har doim ham ishlamaydi, lekin bu bajarilganda odatda ishni sezilarli darajada soddalashtiradi.
Shunday qilib, bu konstantalar bilan transformatsiya bo'ladi,
\[H\left( s \right) = \frac{{ - \frac{5}{7}}}{{s + 2}} + \frac{{\frac{{12}}{7}}}{{s - 5}}\]Endi biz osongina teskari aylantirishni amalga oshirishimiz mumkin,
\[h\left( t \right) = - \frac{5}{7}{{\bf{e}}^{ - 2t}} + \frac{{12}}{7}{{\bf{e}}^{5t}}\]Ushbu misolning oxirgi qismida teskari konvertatsiya qilish uchun qisman kasrlar kerak edi. Biz nihoyat differentsial tenglamalarga qaytganimizda va biz Laplasdan foydalanishni boshlaymiz ularni hal qilish uchun o'zgartirsa, siz qisman kasrlar bu muammolarda hayot haqiqati ekanligini tezda tushunasiz. Deyarli har bir muammo u yoki bu darajada qisman fraktsiyalarni talab qiladi.
E'tibor bering, biz oldingi ikki qismni qilganimizdek, ushbu misolning oxirgi qismini bajarishimiz mumkin edi. Agar bizda bo'lsa, biz giperbolik funktsiyalarga ega bo'lardik. Biroq, eslab ta'rifi Giperbolik funktsiyalarning natijasini muammoni ishlash usulidan olingan shaklda yozishimiz mumkin edi. Biroq, ko'pchilik talabalar eksponensiallarni giperbolik funktsiyalarga qaraganda yaxshiroq his qilishadi va shuning uchun odatda qisman kasrlardan foydalanish va javobni eksponentlar nuqtai nazaridan olish yaxshiroqdir. Bu biroz ko'proq ish bo'lishi mumkin, lekin u javobning chiroyli (va u bilan ishlash osonroq) shaklini beradi.
Ogoh bo'lingki, mening sinfimda menda bir qoida bor, agar maxrajni butun son koeffitsientlari bilan ko'paytirish mumkin bo'lsa, u shunday bo'lishi kerak.
Shunday qilib, to'g'ri qisman fraksiya parchalanishini qanday olish kerakligini eslatib o'tamiz. Birinchi qadam, maxrajni iloji boricha ko'proq faktor bilan aniqlashdir. Keyin maxrajdagi har bir atama uchun biz qisman kasr parchalanishi uchun atama yoki atama olish uchun quyidagi jadvaldan foydalanamiz.
| Faktor maxraj |
Muddat qisman fraksiyalarning parchalanishi |
|---|---|
| \(ax + b\) | \(\displaystyle \frac{A}{{ax + b}}\) |
| \({\left( {ax + b} \right)^k}\) | \(\displaystyle \frac{{{A_1}}}{{ax + b}} + \frac{{{A_2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{A_k}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^k}}}\) |
| \(a{x^2} + bx + c\) | \(\displaystyle \frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}\) |
| \({\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^k}\) | \(\displaystyle \frac{{{A_1}x + {B_1}}}{{a{x^2} + bx + c}} + \frac{{{A_2}x + {B_2}}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{A_k}x + {B_k}}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^k}}}\) |
E'tibor bering, birinchi va uchinchi holatlar, albatta, mos ravishda ikkinchi va to'rtinchi holatlarning alohida holatlaridir.
Shunday qilib, qisman kasrlarni qanday qilishni eslatish uchun yana bir nechta misol keltiraylik.
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{86s - 78}}{{\left( {s + 3} \right)\left( {s - 4} \right)\left( {5s - 1} \right)}}\)
- \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{2 - 5s}}{{\left( {s - 6} \right)\left( {{s^2} + 11} \right)}}\)
- \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{25}}{{{s^3}\left( {{s^2} + 4s + 5} \right)}}\)
a \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{86s - 78}}{{\left( {s + 3} \right)\left( {s - 4} \right)\left( {5s - 1} \right)}}\) Yechim
Mana bu qism uchun qisman kasr parchalanishi.
\[G\left( s \right) = \frac{A}{{s + 3}} + \frac{B}{{s - 4}} + \frac{C}{{5s - 1}}\]Endi, bu safar biz oxirgi misolda bo'lgani kabi, batafsil ma'lumotga kirmaymiz. Biz qisman kasr parchalanishining suratidan keyin turibmiz va bu odatda bizning boshimizda qilish oson. Shuning uchun biz to'g'ridan-to'g'ri suratlarni tenglashtirishga o'tamiz.
\[86s - 78 = A\left( {s - 4} \right)\left( {5s - 1} \right) + B\left( {s + 3} \right)\left( {5s - 1} \right) + C\left( {s + 3} \right)\left( {s - 4} \right)\]Oxirgi misolda bo'lgani kabi, biz \(s\) qiymatlarini to'g'ri tanlash orqali konstantalarni osongina olishimiz mumkin.
\[\begin{align*} & s = - 3 & - 336 & = A\left( { - 7} \right)\left( { - 16} \right) & \Rightarrow \hspace{0.25in}A & = - 3\\ & s = \frac{1}{5}& - \frac{{304}}{5} & = C\left( {\frac{{16}}{5}} \right)\left( { - \frac{{19}}{5}} \right) & \Rightarrow \hspace{0.25in}C & = 5\\ & s = 4 & 266 & = B\left( 7 \right)\left( {19} \right) & \Rightarrow \hspace{0.25in}B & = 2\end{align*}\]Shunday qilib, bu transformatsiya uchun qisman kasr parchalanishi,
\[G\left( s \right) = - \frac{3}{{s + 3}} + \frac{2}{{s - 4}} + \frac{5}{{5s - 1}}\]Endi teskari konvertatsiya qilish uchun biz oxirgi hadning maxrajidan 5 ni koeffitsient qilishimiz kerak. Tuzatilgan konvertatsiya ham, uning teskari konvertatsiyasi ham.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = - \frac{3}{{s + 3}} + \frac{2}{{s - 4}} + \frac{1}{{s - \frac{1}{5}}}\\ g\left( t \right) & = - 3{{\bf{e}}^{ - 3t}} + 2{{\bf{e}}^{4t}} + {{\bf{e}}^{\frac{t}{5}}}\end{align*}\]b \(\displaystyle F\left( s \right) = \frac{{2 - 5s}}{{\left( {s - 6} \right)\left( {{s^2} + 11} \right)}}\) Yechim
Shunday qilib, biz birinchi marta maxrajda kvadratga ega bo'ldik. Mana bu qism uchun parchalanish.
\[F\left( s \right) = \frac{A}{{s - 6}} + \frac{{Bs + C}}{{{s^2} + 11}}\]Numeratorlarni teng belgilash,
\[2 - 5s = A\left( {{s^2} + 11} \right) + \left( {Bs + C} \right)\left( {s - 6} \right)\]OK, bu holda biz \(A\)-ni tezda topish uchun \(s = 6\)-dan foydalanishimiz mumkin, ammo buning hammasi shu. Bunday holda, biz doimiylarni olish uchun "uzoq" yo'lni bosib o'tishimiz kerak. E'tibor bering, bu usul har doim ishlaydi, lekin ba'zida talab qilinganidan ko'proq ishlaydi.
"Uzoq" yo'l - o'ng tomonni to'liq ko'paytirish va shunga o'xshash shartlarni to'plash.
\[\begin{align*}2 - 5s & = A\left( {{s^2} + 11} \right) + \left( {Bs + C} \right)\left( {s - 6} \right)\\ & = A{s^2} + 11A + B{s^2} - 6Bs + Cs - 6C\\ & = \left( {A + B} \right){s^2} + \left( { - 6B + C} \right)s + 11A - 6C\end{align*}\]Bu ikkisi teng bo'lishi uchun \(s^{2}\), \(s\) koeffitsientlari va doimiylarning barchasi teng bo'lishi kerak. Demak, koeffitsientlarni tenglashtirish quyidagi echilishi mumkin bo'lgan tenglamalar sistemasini beradi.
\[\left. {\begin{aligned} & {s^2}: & A + B & = 0\\ & {s^1}: & - 6B + C & = - 5\\ & {s^0}: & 11A - 6C & = 2\end{aligned}} \right\}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}A = - \frac{{28}}{{47}},\,\,\,\,B = \frac{{28}}{{47}},\,\,\,\,\,C = - \frac{{67}}{{47}}\]E'tibor bering, biz konstantalarni belgilash uchun \(s^{0}\) dan foydalanganmiz. Bu mening odatim va umuman talab qilinmaydi, men o'rganib qolgan narsam. Bundan tashqari, bu holda koeffitsientlar juda tartibsiz fraktsiyalardir. Bunga odatlaning. Differensial tenglamalarni echishga qaytganimizda ular ko'pincha shunday bo'ladi.
Bu bilan hayotimizni biroz osonlashtirishning bir yo'li ham bor. Barcha kasrlarning maxraji 47 ga teng bo'lganligi sababli, biz ularni qayta parchalanishga ulaganimizda, biz buni hisobga olamiz. Bu ular bilan ishlashni ancha osonlashtiradi. Bunda qisman fraksiya parchalanishi,
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{1}{{47}}\left( { - \frac{{28}}{{s - 6}} + \frac{{28s - 67}}{{{s^2} + 11}}} \right)\\ & = \frac{1}{{47}}\left( { - \frac{{28}}{{s - 6}} + \frac{{28s}}{{{s^2} + 11}} - \frac{{67\frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {11} }}}}{{{s^2} + 11}}} \right)\end{align*}\]Teskari konvertatsiya keyin bo'ladi.
\[f\left( t \right) = \frac{1}{{47}}\left( { - 28{{\bf{e}}^{6t}} + 28\cos \left( {\sqrt {11} t} \right) - \frac{{67}}{{\sqrt {11} }}\sin \left( {\sqrt {11} t} \right)} \right)\]c \(\displaystyle G\left( s \right) = \frac{{25}}{{{s^3}\left( {{s^2} + 4s + 5} \right)}}\) Yechim
Ushbu oxirgi qism bilan \(s^{3}\) haqida hayajonlanmang. Biz bu atamani shunday deb o'ylashimiz mumkin
\[{s^3} = {\left( {s - 0} \right)^3}\]va u kuch uchun chiziqli atamaga aylanadi. Demak, qisman kasr parchalanishi
\[G\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{{{s^2}}} + \frac{C}{{{s^3}}} + \frac{{Ds + E}}{{{s^2} + 4s + 5}}\]Numeratorlarni teng qo'yish va ko'paytirish natija beradi.
\[\begin{align*}25 & = A{s^2}\left( {{s^2} + 4s + 5} \right) + Bs\left( {{s^2} + 4s + 5} \right) + C\left( {{s^2} + 4s + 5} \right) + \left( {Ds + E} \right){s^3}\\ & = \left( {A + D} \right){s^4} + \left( {4A + B + E} \right){s^3} + \left( {5A + 4B + C} \right){s^2} + \left( {5B + 4C} \right)s + 5C\end{align*}\]Koeffitsientlarni teng belgilash quyidagi tizimni beradi.
\[\left. {\begin{aligned}& {s^4}: & A + D & = 0\\ & {s^3}: & 4A + B + E & = 0\\ & {s^2}: & 5A + 4B + C & = 0\\ & {s^1}: & 5B + 4C & = 0\\ & {s^0}: & 5C & = 25\end{aligned}} \right\}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}A = \frac{{11}}{5},B = - 4,C = 5,D = - \frac{{11}}{5},E = - \frac{{24}}{5}\]Bu tizim tartibsiz ko'rinadi, ammo uni hal qilish ko'rinishidan ko'ra osonroq. Birinchidan, biz \(C\) ni oxirgi tenglamadan bepul olamiz. Keyin \(B\) ni topish uchun to'rtinchi tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Uchinchi tenglama \(A\) ni beradi, va hokazo.
Dekompozitsiyaga ulanganda, biz hamma narsani 5 maxraji bilan olamiz, so'ngra ishlarni osonlashtirish uchun oldingi qismda qilganimizdek hisobga olamiz.
\[G\left( s \right) = \frac{1}{5}\left( {\frac{{11}}{s} - \frac{{20}}{{{s^2}}} + \frac{{25}}{{{s^3}}} - \frac{{11s + 24}}{{{s^2} + 4s + 5}}} \right)\]E'tibor bering, biz oxirgi ikki shartdan minus belgisini ham hisobga oldik. Ushbu qismni bajarish uchun biz kvadratni keyingi muddatda to'ldirishimiz va bir nechta suratlarni tuzatishimiz kerak. Mana bu ish.
\[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{5}\left( {\frac{{11}}{s} - \frac{{20}}{{{s^2}}} + \frac{{25}}{{{s^3}}} - \frac{{11s + 24}}{{{s^2} + 4s + 5}}} \right)\\ & = \frac{1}{5}\left( {\frac{{11}}{s} - \frac{{20}}{{{s^2}}} + \frac{{25}}{{{s^3}}} - \frac{{11\left( {s + 2 - 2} \right) + 24}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + 1}}} \right)\\ & = \frac{1}{5}\left( {\frac{{11}}{s} - \frac{{20}}{{{s^2}}} + \frac{{25\frac{{2!}}{{2!}}}}{{{s^3}}} - \frac{{11\left( {s + 2} \right)}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2} + 1}}} \right)\end{align*}\]Teskari konvertatsiya keyin bo'ladi.
\[g\left( t \right) = \frac{1}{5}\left( {11 - 20t + \frac{{25}}{2}{t^2} - 11{{\bf{e}}^{ - 2t}}\cos \left( t \right) - 2{{\bf{e}}^{ - 2t}}\sin \left( t \right)} \right)\]Shunday qilib, oxirgi marta. Laplasdan foydalanganda qisman kasrlar hayot haqiqatidir differensial tenglamalarni yechish uchun aylantiradi. Ular bilan kurashishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.