12.2-bo'lim: Chiziqlar tenglamalari
Ushbu bo'limda biz \({\mathbb{R}^3}\) dagi chiziq tenglamasini ko'rib chiqishimiz kerak. Oldingida ko'rganimizdek, \(y = mx + b\) tenglamasi \({\mathbb{R}^3}\) dagi chiziqni emas, balki tekislikni tasvirlaydi. Biroq, bu biz uch o'lchamli fazoda chiziq uchun tenglamani yozib bo'lmaydi degani emas. Bizga shunchaki egri chiziq tenglamasini yozishning yangi usuli kerak bo'ladi.
Shunday qilib, biz chiziqlar tenglamalariga kirishdan oldin vektor funktsiyalarini qisqacha ko'rib chiqishimiz kerak. Keyinchalik vektor funktsiyalarini chuqurroq ko'rib chiqamiz. Bu erda biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan narsa bu notatsiya masalalari va ular egri chiziq tenglamasini berish uchun qanday ishlatilishi mumkin.
Vektor funksiya nima ekanligini va uning grafigi qanday ko'rinishi haqida tasavvurga ega bo'lishning eng yaxshi usuli bu misolni ko'rib chiqishdir. Shunday qilib, quyidagi vektor funksiyani ko'rib chiqing.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,1} \right\rangle \]Vektor funktsiyasi - bu bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarni, bu holda bittasini oladigan va vektorni qaytaradigan funksiya. Shuni ham yodda tutingki, vektor funktsiyasi ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lishi mumkin. Biroq, bunday hollarda grafik endi kosmosdagi egri chiziq bo'lmasligi mumkin.
Funktsiya beradigan vektor biz uchun kerak bo'lgan o'lchamdagi vektor bo'lishi mumkin. Yuqoridagi misolda u \({\mathbb{R}^2}\) da vektorni qaytaradi. Ushbu bo'limning haqiqiy mavzusiga, chiziqlar tenglamalariga kelganimizda, biz \({\mathbb{R}^3}\) da vektorni qaytaradigan vektor funksiyasidan foydalanamiz.
Endi yuqoridagi vektor funksiyaning grafigini aniqlamoqchimiz. Funktsiyamizning grafigini topish uchun vektor funksiyasi grafadagi nuqtalar uchun pozitsiya vektori sifatida qaytaradigan vektorni ko'rib chiqamiz. Eslatib o'tamiz, pozitsiya vektori, masalan, \(\vec v = \left\langle {a,b} \right\rangle \), vektor bo'lib, u boshlang'ichdan boshlanib, \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida tugaydi.
Shunday qilib, vektor funksiyasining grafigini olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa o'zgaruvchining ba'zi qiymatlarini kiritish va so'ngra funktsiyadan chiqqan har bir pozitsiya vektoriga mos keladigan nuqtani chizish va nuqtalarni birlashtirish. Mana bizning misolimiz uchun ba'zi baholashlar.
\[\vec r\left( { - 3} \right) = \left\langle { - 3,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( { - 1} \right) = \left\langle { - 1,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 2 \right) = \left\langle {2,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 5 \right) = \left\langle {5,1} \right\rangle \]Demak, ularning har biri vektor funksiyamiz grafigidagi nuqtalarni ifodalovchi pozitsiya vektorlari. Ballar,
\[\left( { - 3,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( { - 1,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {2,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {5,1} \right)\]Bizning vektor funksiyamiz grafigida joylashgan barcha nuqtalar.
Agar biz ko'proq baholar qilsak va barcha fikrlarni chizsak, biz quyidagi eskizni olamiz.
Ushbu eskizga biz bir nechta baholashlar uchun pozitsiya vektorini (kulrang va chiziqli) va har bir baholash uchun ishlatgan \(t\) (har bir nuqta ustida) kiritdik. Bu holda vektor tenglamasining grafigi aslida \(y = 1\) chizig'iga o'xshaydi.
Mana yana bir tezkor misol. Mana \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {6\cos t,3\sin t} \right\rangle \) grafigi.
Bunday holda biz ellipsni olamiz. Ushbu bo'limdan vektor funktsiyalari faqat chiziqlarni grafigiga aylantiradi degan fikrdan uzoqlashmaslik kerak. Biz ushbu bo'limda chiziqlarni ko'rib chiqamiz, lekin vektor funktsiyalarining grafiklari yuqoridagi misolda ko'rsatilganidek, chiziqlar bo'lishi shart emas.
Biz vektor funksiyalarining qisqacha muhokamasini vektor funksiya grafigini o'ylashning boshqa usuli bilan qoldiramiz. Tasavvur qiling-a, qalam/qalam pozitsiya vektorining oxiriga biriktirilgan va biz o'zgaruvchini oshirsak, natijada paydo bo'lgan pozitsiya vektori siljiydi va u harakatlanayotganda uchidagi qalam/qalam vektor funktsiyasi uchun egri chiziqni chizadi.
OK, endi biz ushbu bo'limning dolzarb mavzusiga o'tishimiz kerak. Biz \({\mathbb{R}^3}\) da chiziq tenglamasini yozmoqchimiz va yuqoridagi ish taklif qilganidek, buni amalga oshirish uchun bizga vektor funksiya kerak bo'ladi. Buni qanday amalga oshirishimizni ko'rish uchun keling, \({\mathbb{R}^2}\) da chiziq tenglamasini yozish uchun nima qilishimiz kerakligini o'ylab ko'raylik. Ikki o'lchamda tenglamani yozish uchun qiyalik (\(m\)) va chiziqda joylashgan nuqta kerak.
\({\mathbb{R}^3}\)-da bu bizga kerak bo'lgan narsadir, bundan tashqari bu holda "qiyalik" ikki o'lchovdagi kabi oddiy raqam bo'lmaydi. Bunday holda, chiziq uch o'lchovli nishabga ega bo'lishi mumkinligini tan olishimiz kerak. Shunday qilib, bizga potentsial uch o'lchovli yo'nalishni tasvirlash imkonini beradigan narsa kerak. Bizda buni amalga oshiradigan miqdor allaqachon mavjud. Vektorlar yo'nalish beradi va uch o'lchovli ob'ektlar bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, keling, quyidagi ma'lumotlardan boshlaylik. Faraz qilaylik, biz \({P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) to‘g‘rida joylashgan nuqtani bilamiz va \(\vec v = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \) chiziqqa parallel bo‘lgan vektordir. E'tibor bering, ehtimol \(\vec v\) liniyada bo'lmaydi. Chiziqga parallel bo'lishi uchun bizga faqat \(\vec v\) kerak. Nihoyat, \(P = \left( {x,y,z} \right)\) chiziqning istalgan nuqtasi bo'lsin.
Endi, bizning "qiyalik" vektor bo'lganligi sababli, chiziqdagi ikkita nuqtani vektor sifatida ko'rsatamiz. Buni pozitsiya vektorlari bilan qilamiz. Shunday qilib, \(\overrightarrow {{r_0}} \) va \(\vec r\) pozitsiya vektorlari bo'lsin P0 va \(P\) mos ravishda. Bundan tashqari, hech qanday sababsiz, keling, \(\vec a\) ni \(\overrightarrow {{P_0}P} \) ko'rinishidagi vektor deb belgilaymiz.
Endi bizda ushbu nuqtalar va vektorlar bilan quyidagi eskiz bor.
Endi biz \(\vec v\) parallel vektorini pozitsiya vektori sifatida ko'rsatdik, lekin u pozitsiya vektori bo'lishi shart emas. U har qanday joyda, pozitsiya vektori, chiziqda yoki chiziqdan tashqarida bo'lishi mumkin, faqat chiziqqa parallel bo'lishi kerak.
Keyinchalik, \(\vec r\) ni quyidagicha yozishimiz mumkinligiga e'tibor bering,
\[\vec r = \overrightarrow {{r_0}} + \vec a\]Agar bunga ishonchingiz komil bo'lmasa, orqaga qayting va vektor qo'shish uchun eskizni tekshiring vektor arifmetikasi bo'limi. Endi \(\vec a\) va \(\vec v\) vektorlari parallel ekanligiga e'tibor bering. Shuning uchun \(t\) raqami mavjud
\[\vec a = t\,\vec v\]Bizda hozir bor,
Chiziq tenglamasining vektor shakli
Bu deyiladi chiziq tenglamasining vektor shakli. Ushbu tenglamaning noma'lum qismi - \(t\). E'tibor bering, \(t\,\vec v\) chiziq bo'ylab joylashgan vektor bo'ladi va u bizga dastlabki nuqtadan qanchalik uzoqqa borishimiz kerakligini aytadi. Agar \(t\) ijobiy bo'lsa, biz \(\vec v\) yo'nalishi bo'yicha dastlabki nuqtadan uzoqlashamiz (eskizimizda o'ngda) va \(t\) manfiy bo'lsa, biz \(\vec v\) ga teskari yo'nalishda (eskizimizda chapda) asl nuqtadan uzoqlashamiz. \(t\) barcha mumkin bo'lgan qiymatlar bo'yicha o'zgarganligi sababli biz chiziqni to'liq qamrab olamiz. Quyidagi eskiz bizning eskizimizning \(t\) ga bog'liqligini ko'rsatadi.
Chiziq tenglamasining yana bir qancha shakllari mavjud. Birinchi muqobil shaklni olish uchun vektor shaklidan boshlaymiz va biroz qayta yozamiz.
\[\begin{align*}\vec r & = \left\langle {{x_0},{y_0},{z_0}} \right\rangle + t\left\langle {a,b,c} \right\rangle \\ \left\langle {x,y,z} \right\rangle & = \left\langle {{x_0} + ta,{y_0} + tb,{z_0} + tc} \right\rangle \end{align*}\]Ikki vektor teng bo'lishining yagona yo'li - komponentlarning teng bo'lishi. Boshqacha aytganda,
Chiziq tenglamasining parametrik shakli
Ushbu tenglamalar to'plami deyiladi chiziq tenglamasining parametrik shakli. E'tibor bering, bu haqiqatan ham kengaytmadan boshqa narsa emas parametrik tenglamalar ilgari ko'rganmiz. Yagona farq shundaki, biz hozir ikki o'lchov o'rniga uch o'lchovda ishlayapmiz.
Chiziqda nuqta olish uchun biz \(t\) ni tanlaymiz va chiziqning istalgan shakliga ulaymiz. Chiziqning vektor ko'rinishida nuqta uchun pozitsiya vektorini va parametrik shaklda nuqtaning haqiqiy koordinatalarini olamiz.
Biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan chiziqning yana bir shakli bor. Agar \(a\), \(b\) va \(c\) nolga teng bo'lmagan sonlar deb faraz qilsak, \(t\) uchun chiziqning parametrik ko'rinishidagi tenglamalarning har birini yechishimiz mumkin. Keyin biz ularning barchasini bir-biriga tenglashtira olamiz, chunki \(t\) har birida bir xil raqam bo'ladi. Buni amalga oshirish quyidagilarni beradi,
Chiziq tenglamasining simmetrik shakli
Bular deyiladi chiziqning simmetrik tenglamalari.
Agar \(a\), \(b\) yoki \(c\) dan biri nolga teng bo'lsa, biz simmetrik tenglamalarni yozishimiz mumkin. Buni ko'rish uchun \(b = 0\) deb faraz qilaylik. Bu holda \(t\) \(y\) uchun parametrik tenglamada mavjud bo'lmaydi va shuning uchun biz faqat \(x\) va \(t\) uchun \(z\) parametrik tenglamalarini yechamiz. Keyin biz ularni tenglashtiramiz va \(y\) uchun parametrik tenglamani quyidagicha tan olamiz:
\[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = {y_0}\]Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Buning uchun bizga chiziqqa parallel bo'ladigan \(\vec v\) vektori kerak. Bu chiziqqa parallel bo'lsa, har qanday vektor bo'lishi mumkin. Umuman olganda, \(\vec v\) liniyada yotmaydi. Biroq, bu holda bo'ladi. Bizga faqat \(\vec v\) ikkinchi nuqtadan boshlanib, birinchi nuqtada tugaydigan vektor bo‘lsin. Bu ikki nuqta chiziqda bo'lgani uchun ular orasidagi vektor ham to'g'ri chiziqda yotadi va shuning uchun chiziqqa parallel bo'ladi. Shunday qilib,
\[\vec v = \left\langle {1, - 5,6} \right\rangle \]E'tibor bering, nuqtalar tartibi vektordagi minus belgilar sonini kamaytirish uchun tanlangan. Biz boshqa yo'ldan osongina o'tishimiz mumkin edi.
Bizda \(\vec v\) mavjud bo'lsa, boshqa qiladigan ishimiz yo'q. Vektor shaklidan foydalanish uchun bizga chiziqda nuqta kerak bo'ladi. Bizda ikkitasi bor, shuning uchun biz ulardan birini ishlatishimiz mumkin. Biz birinchi nuqtadan foydalanamiz. Bu erda chiziqning vektor shakli.
\[\vec r = \left\langle {2, - 1,3} \right\rangle + t\left\langle {1, - 5,6} \right\rangle = \left\langle {2 + t, - 1 - 5t,3 + 6t} \right\rangle \]Ushbu tenglamaga ega bo'lganimizdan so'ng, boshqa ikkita shakl paydo bo'ladi. Bu erda chiziqning parametrik tenglamalari keltirilgan.
\[\begin{align*}x & = 2 + t\\ y & = - 1 - 5t\\ z & = 3 + 6t\end{align*}\]Mana simmetrik shakl.
\[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{6}\]Yechim
Bunga javob berish uchun birinchi navbatda chiziq tenglamasini yozishimiz kerak. Biz chiziqdagi nuqtani bilamiz va faqat parallel vektor kerak. Bizga ma'lumki, yangi chiziq masalaning ko'rinishidagi parametrik tenglamalar bilan berilgan chiziqqa parallel bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, berilgan chiziqqa parallel bo'lgan har qanday vektor ham yangi chiziqqa parallel bo'lishi kerak.
Endi eslaylikki, chiziqning parametrik ko'rinishida \(t\) ga ko'paytiriladigan raqamlar vektorning chiziqqa parallel bo'lgan komponentlari hisoblanadi. Shuning uchun vektor,
\[\vec v = \left\langle {3,12, - 1} \right\rangle \]berilgan chiziqqa parallel va shuning uchun ham yangi chiziqqa parallel bo'lishi kerak.
Keyin yangi chiziq tenglamasi,
\[\vec r = \left\langle {0, - 3,8} \right\rangle + t\left\langle {3,12, - 1} \right\rangle = \left\langle {3t, - 3 + 12t,8 - t} \right\rangle \]Agar bu chiziq \(xz\) tekisligidan o'tsa, bu nuqtaning \(y\) koordinatasi nolga teng bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib, keling, tenglamaning \(y\) komponentini nolga tenglashtiramiz va \(t\) ni hal qila olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik. Iloji bo'lsa, bu nuqta \(xz\) tekisligidan o'tadigan \(t\) qiymatini beradi.
\[ - 3 + 12t = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}t = \frac{1}{4}\]Shunday qilib, chiziq \(xz\) tekisligidan o'tadi. Nuqtaning to‘liq koordinatalarini olish uchun \(t = \frac{1}{4}\) ni istalgan tenglamaga ulashimiz kifoya. Biz vektor shaklidan foydalanamiz.
\[\vec r = \left\langle {3\left( {\frac{1}{4}} \right), - 3 + 12\left( {\frac{1}{4}} \right),8 - \frac{1}{4}} \right\rangle = \left\langle {\frac{3}{4},0,\frac{{31}}{4}} \right\rangle \]Eslatib o'tamiz, bu vektor chiziqdagi nuqta uchun pozitsiya vektori va shuning uchun chiziq \(xz\) tekisligidan o'tadigan nuqtaning koordinatalari \(\left( {\frac{3}{4},0,\frac{{31}}{4}} \right)\) dir.