2.4-bo'lim: Trig tenglamalarini yechish
Quyidagi trig tenglamalarni yeching. Ro'yxatdagi intervalsizlar uchun HAMMA mumkin bo'lgan echimlarni toping. Ro'yxatdagi intervallarga ega bo'lganlar uchun faqat ushbu intervallarga to'g'ri keladigan echimlarni toping.
- \(2\cos \left( t \right) = \sqrt 3 \)
Yechim
Bu bilan bog'liq ko'p narsa yo'q. Faqat ikkala tomonni 2 ga bo'ling va keyin birlik doirasiga o'ting.
\[\begin{align*}2\cos \left( t \right) & = \sqrt 3 \\ \cos \left( t \right) & = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]Shunday qilib, biz \(t\) ning barcha qiymatlarini qidiramiz, ular uchun kosinus \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'ladi. Shunday qilib, keling, quyidagi birlik doirasini ko'rib chiqaylik.
Tez tekshiruvdan biz \(t = \frac{\pi }{6}\) yechim ekanligini ko'rishimiz mumkin. Biroq, men birlik doirasida ko'rsatganimdek, yana bir burchak bor, u ham yechim bo'ladi. Bu burchakning nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Ushbu burchaklarni qidirganda, biz odatda xohlaymiz ijobiy 0 va \(2\pi \) orasida joylashgan burchaklar. Albatta, bu burchak yagona imkoniyat bo'lmaydi, lekin biz odatda ushbu shartlarga javob beradigan burchaklarni qidiramiz.
Ushbu muammoning bu burchagini topish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa kichik geometriyadan foydalanishdir. Birinchi kvadrantdagi burchak musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchak hosil qiladi, keyin to'rtinchi kvadrantdagi burchak ham shunday bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz \( - \frac{\pi }{6}\) dan foydalanishimiz mumkin edi, lekin yana ijobiy burchaklardan foydalanish keng tarqalgan, shuning uchun biz \(t = 2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\) dan foydalanamiz.
Biz bu muammoni hal qilmadik. Ikkinchi burchakni topish haqidagi munozara shuni ko'rsatdiki, birlik doirasiga har qanday berilgan burchakni yozishning ko'plab usullari mavjud. Ba'zan biz hal qilish uchun \( - \frac{\pi }{6}\) bo'ladi va ba'zan biz sanab o'tilgan burchaklarning ikkalasini ham (yoki hech birini) xohlamaymiz. Shuning uchun, bu muammoda hech narsa yo'qligi sababli (buni keyingi muammo bilan taqqoslang) bizga qaysi to'g'ri echim ekanligini aytish uchun biz HAMMA mumkin bo'lgan echimlarni sanab o'tishimiz kerak.
Buni qilish juda oson. Mening kirish qismimga qayting Trig funktsiyasini baholash bo'limiga o'ting va u erda men foydalanganimni ko'rasiz
\[\frac{\pi }{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \]birlik aylanasida bir joyda tugashi mumkin bo'lgan barcha burchaklarni ifodalash uchun, i.e. \(\frac{\pi }{6}\) bilan tugaydigan burchaklar. Esda tutingki, bularning barchasi biz \(\frac{\pi }{6}\) da boshlaymiz, so'ngra \(n\) to'liq aylanishlari uchun soat miliga teskari yo'nalishda (\(n\) musbat) yoki soat yo'nalishi bo'yicha (\(n\) manfiy) aylanamiz. Xuddi shu narsani ikkinchi yechim uchun qilish mumkin.
Shunday qilib, birgalikda bu muammoning to'liq echimi
\[\begin{align*}\frac{\pi }{6} + 2\pi n,& \;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi n,& \;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end{align*}\]Yakuniy fikr sifatida, ikkinchi yechimda \(n = - 1\) yordamida \( - \frac{\pi }{6}\) ni olishimiz mumkinligiga e'tibor bering.
- \(2\cos \left( t \right) = \sqrt 3 \) on \([ - 2\pi ,2\pi ]\)
Yechim
Bu muammo avvalgisi bilan deyarli bir xil, faqat hozir men \([ - 2\pi ,2\pi ]\) oralig'iga to'g'ri keladigan barcha echimlarni xohlayman. Shunday qilib, biz oldingi muammoning barcha mumkin bo'lgan echimlari ro'yxatidan boshlaymiz.
\[\begin{align*}\frac{\pi }{6} + 2\pi \,n\,, & \;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,n\,, & \;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end{align*}\]Keyin intervalda barcha mumkin bo'lgan echimlarni olmaguncha \(n\) qiymatlarini tanlashni boshlang.
Avval e'tibor bering, ikkala burchak ham musbat bo'lgani uchun \(2\pi \) (\(n\) musbat) har qanday ko'paytmalariga qo'shish bizni \(2\pi \) dan kattaroq qiladi va shuning uchun intervaldan chiqadi. Shunday qilib, \(n\) ning barcha ijobiy qiymatlari darhol chiqib ketadi. Keling, \(n\) ning salbiy qiymatlarini ko'rib chiqaylik.
\[\begin{gather*}n = - 1\\ \frac{\pi }{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right)\, = - \frac{{11\pi }}{6} > - 2\pi \\ \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right) = - \frac{\pi }{6} > - 2\pi \end{gather*}\]Ularning ikkalasi ham \( - 2\pi \) dan katta va yechimlar ham shunday, lekin agar biz boshqa \(2\pi \) ni olib tashlasak (i.e. \(n = - 2\) dan foydalaning) biz yana bir bor intervaldan tashqarida bo'lamiz.
Yechimlar: \(\frac{\pi }{6},\;\frac{{11\pi }}{6},\; - \frac{\pi }{6},\; - \frac{{11\pi }}{6}\).
- \(2\sin \left( {5x} \right) = - \sqrt 3 \)
Yechim
Bu 1-muammoga juda o'xshaydi, garchi juda muhim farq bor. Biz ushbu muammoni 1-muammoda bo'lgani kabi boshlaymiz.
\[\begin{align*}2\sin (5x) & = - \sqrt 3 \\ \sin (5x) & = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]Shunday qilib, biz \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ni sinus funktsiyasidan chiqaradigan burchaklarni qidirmoqdamiz. Keling, yana ishonchli birlik doiramizga boraylik.
Endi, birinchi kvadrantda sinusi \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'lgan burchaklar yo'q. Biroq, birlik doirasining pastki yarmida ikkita burchak mavjud bo'lib, ular uchun sinus \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'ladi. Xo'sh, bu burchaklar nima? Buni amalga oshirishning tezkor usuli bu muammodagi "-" belgisini bir soniyaga e'tiborsiz qoldirish va \(\sin \left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ni faqat birinchi kvadrantda hal qilishdir. Bu \(x = \frac{\pi }{3}\) yechimini beradi. Endi, yana qandaydir geometriyadan foydalangan holda, bu bizga uchinchi kvadrantdagi burchakning \(\frac{\pi }{3}\) ostida bo'lishini aytadi. salbiy \(x\) o'qi yoki \(\pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3}\). Xuddi shunday, to'rtinchi kvadrantdagi burchak \(\frac{\pi }{3}\) ostida bo'ladi ijobiy \(x\) o'qi yoki \(2\pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{3}\).
Endi biz ushbu muammo va muammo 1 o'rtasidagi juda muhim farqga keldik. Yechim EMAS
\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Bu yechimlar to'plami emas, chunki biz \(\sin \left( x \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) uchun \(x\) qiymatlarini qidirmayapmiz, aksincha biz \(\sin \left( {5x} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) uchun \(x\) qiymatlarini qidirmoqdamiz. Sinus funksiyasining argumentlaridagi farqga e'tibor bering! Ulardan biri \(x\), ikkinchisi esa \(5x\). Bu yechim topishda dunyodagi barcha farqlarni keltirib chiqaradi! Shuning uchun, yechimlar to'plami
\[\begin{align*}5x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 5x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Xo'sh, aslida, bu to'liq yechim emas. Biz \(x\) qiymatlarini qidirmoqdamiz, shuning uchun olish uchun hamma narsani 5 ga bo'ling.
\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]E'tibor bering, men \(2\pi n\) ni ham 5 ga bo'lganman! Bu muhim! Agar buni qilmasangiz BO'LADI yechimlarni o'tkazib yuborish. Masalan, \(n = 1\) ni oling.
\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{10\pi }}{{15}} = \frac{{2\pi }}{3}\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}&\sin \left( {5\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right) & = \sin \left( {\frac{{10\pi }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{11\pi }}{{15}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}&\sin \left( {5\left( {\frac{{11\pi }}{{15}}} \right)} \right) & = \sin \left( {\frac{{11\pi }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]Ishlarimni ularning yechimlari ekanligini tekshirishni sizga qoldiraman. Biroq, bu fikrni keltirib chiqaradi. Agar siz \(2\pi n\) ni 5 ga bo'lmasangiz, bu echimlarni o'tkazib yuborgan bo'lar edingiz!
- \(2\sin \left( {5x + 4} \right) = - \sqrt 3 \)
Yechim
Bu muammo avvalgi muammo bilan deyarli bir xil, bundan tashqari bu safar bizda \(5x\) o'rniga \(5x + 4\) argumenti bor. Biroq, muammoning aksariyati bir xil. Bunday holda biz oladigan echimlar bo'ladi
\[\begin{align*}5x + 4 & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 5x + 4 & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Ushbu yechim va oldingi masaladagi tegishli yechim o'rtasidagi chap tomondagi farqga e'tibor bering.
Endi biz \(x\) ni hal qilishimiz kerak. Avval ikkala tomondan 4 ni ayirib, keyin 5 ga bo'lib, quyidagi yechimni olamiz.
\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi n - 4}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi n - 4}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Bu biroz chalkash, ammo bu yechim. Yechimlar chigallashganda hayajonlanmang. Ular vaqti-vaqti bilan bo'ladi va siz ularni ko'rishga odatlanishingiz kerak.
- \(2\sin \left( {3x} \right) = 1\) on \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]\)
Yechim
Men buni qanday qilishni bilib oldingizmi yoki yo'qligini bilish uchun oldingi uchtasidagi tushuntirishlarning aksariyatini qoldiraman.
\[\begin{align*}2\sin \left( {3x} \right) & = 1\\ \sin \left( {3x} \right) & = \frac{1}{2}\end{align*}\]Birlik doirasini tekshirib, biz buni ko'ramiz
\[\begin{align*}3x & = \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 3x & = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Yoki 3 ga bo'linganda,
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2\pi n}}{3},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi n}}{3},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Endi biz \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]\) diapazonida yechimlarni izlayapmiz. Shunday qilib, keling, \(n\) ning ba'zi qiymatlarini sinab ko'rishni boshlaylik.
\(n = 0\) : \[x = \frac{\pi }{{18}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\& \hspace{0.25in}x = \frac{{5\pi }}{{18}}\] \(n = 1\) :
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{13\pi }}{{18}} < \pi {\mbox{ so a yechim}}\\ x & = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{17\pi }}{{18}} < \pi {\mbox{ so a yechim}}\end{align*}\] \(n = 2\) :
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{25\pi }}{{18}} > \pi {\mbox{ so NOT a yechim}}\\ x & = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{29\pi }}{{18}} > \pi {\mbox{ so NOT a yechim}}\end{align*}\]Bir marta, biz bir yo'nalishda chegarani bosib o'tdik, davom etish uchun hech qanday sabab yo'q. Boshqacha qilib aytganda, \(n = 2\) dan foydalanish \(\pi \) dan kattaroq qiymatlarga ega bo'lsa, \(n\) ning barcha qiymatlari 2 dan katta bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, ulardan biri yechim, ikkinchisi yechim bo'lmasligi mumkin. Hammasi ishlatiladigan intervalga bog'liq.
\(n\) ning salbiy qiymatlarini unutmaylik.
\(n = - 1\) :
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{{18}} - \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{11\pi }}{{18}} > - \pi {\mbox{ so a yechim}}\\ x & = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{7\pi }}{{18}} > - \pi {\mbox{ so a yechim}}\end{align*}\] \(n = - 2\) :
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{{18}} - \frac{{4\pi }}{3} = - \frac{{23\pi }}{{18}} < - \pi {\mbox{ so NOT a yechim}}\\ x & = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{4\pi }}{3} = - \frac{{19\pi }}{{18}} < - \pi {\mbox{ so NOT a yechim}}\end{align*}\]Shunga qaramay, endi biz \( - \pi \) dan kamroq qiymatlarni olishni boshladik, \(n < - 2\) ning barcha boshqa qiymatlari ham \( - \pi \) dan kamroq qiymatlarni beradi.
Shunday qilib, bularning barchasini jamlash quyidagi oltita echimni beradi.
\[\begin{align*}x & = - \frac{{11\pi }}{{18}},\frac{\pi }{{18}},\frac{{13\pi }}{{18}}\\ x & = - \frac{{7\pi }}{{18}},\frac{{5\pi }}{{18}},\frac{{17\pi }}{{18}}\end{align*}\]Va nihoyat, yana bir bor eslatib o'tamizki, agar biz \(2\pi n\) ni 3 ga bo'lmaganimizda, faqat \(\frac{\pi }{{18}}\) va \(\frac{{5\pi }}{{18}}\) bo'lar edi. Biz to'rtta echimni o'tkazib yuborgan bo'lardik!
- \(\sin \left( {4t} \right) = 1\) on \([0,2\pi ]\)
Yechim
Bu, aslida, juda ko'p ish bilan bog'liq emas. Biz \(\sin \left( {4t} \right) = 1\) uchun \(t\) qiymatlarini qidirmoqdamiz. Bu barcha \([0,2\pi ]\) da faqat bitta burchak ishlaydigan bir nechta trig tenglamalardan biridir. Shunday qilib, bizning yechimlarimiz
\[4t = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Yoki 4 ga bo'lish orqali,
\[t = \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi n}}{2},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Biz \([0,2\pi ]\) dagi yechimlarni \(n\) ning salbiy qiymatlari bu muammo uchun kerak emasligini xohlayotganimiz uchun. Shunday qilib, \(n\) qiymatlarini ulash quyidagi to'rtta echimni beradi
\[t = \frac{\pi }{8},\;\frac{{5\pi }}{8},\;\frac{{9\pi }}{8},\;\frac{{13\pi }}{8}\] - \(\cos \left( {3x} \right) = 2\)
Yechim
Bu sinus va kosinusning ba'zi xususiyatlarini eslatish uchun mo'ljallangan hiyla-nayrang savol. Eslatib o'tamiz, \( - 1 \le \cos \left( \theta \right) \le 1\) va \( - 1 \le \sin \left( \theta \right) \le 1\). Shuning uchun, kosinus hech qachon 1 dan katta bo'lmagani uchun u 2 bo'lishi mumkin emas. HECH YERIMLARI YO‘Q bu tenglamaga!
- \(\sin \left( {2x} \right) = - \cos \left( {2x} \right)\)
Yechim
Bu muammo avvalgilaridan bir oz farq qiladi. Birinchidan, biz biroz qayta tartibga solish va soddalashtirishimiz kerak.
\[\begin{align*}\sin (2x) & = - \cos (2x)\\ \frac{{\sin (2x)}}{{\cos (2x)}} & = - 1\\ \tan \left( {2x} \right) & = - 1\end{align*}\]Shunday qilib, \(\sin (2x) = - \cos (2x)\) ni yechish \(\tan (2x) = - 1\) ni yechish bilan bir xil bo‘ladi. Ba’zi darajada bu muammo uchun buni qilishning hojati yo‘q edi, chunki biz izlayotgan hamma narsa sinus va kosinus bir xil qiymatga ega, ammo qarama-qarshi belgilarga ega bo‘lgan burchaklardir. Biroq, boshqa muammolar uchun bunday bo'lmaydi va biz tangentga aylantirmoqchimiz.
Ishonchli birlik doiramizga nazar tashlaydigan bo'lsak, echimlar shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}2x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi n,& \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 2x = \frac{{7\pi }}{4} + 2\pi n,& \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Yoki 2 ga bo'linganda biz yechimlarni olamiz
\[\begin{align*}x = \frac{{3\pi }}{8} + \pi n,& \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x = \frac{{7\pi }}{8} + \pi n,& \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Hech qanday interval berilmagan, shuning uchun biz shu erda to'xtaymiz.
- \(2\sin \left( \theta \right)\cos \left( \theta \right) = 1\)
Yechim
Shunga qaramay, bu tenglamani biz hal qila oladigan shaklga keltirish uchun biroz ish qilishimiz kerak. Buni qilishning eng oson yo'li - trig formulalaridan birini eslab qolishdir Trig formulalari bo'lim (xususan, 3-muammo).
\[\begin{align*}2\sin \left( \theta \right)\cos \left( \theta \right) & = 1\\ \sin \left( {2\theta } \right) & = 1\end{align*}\]Shu nuqtada, avvalgi muammolarda qilganimizdek davom eting.
\[2\theta = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Yoki 2 ga bo'lish orqali,
\[\theta = \frac{\pi }{4} + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Shunga qaramay, hech qanday interval yo'q, shuning uchun biz bu erda to'xtaymiz.
- \(\sin \left( w \right)\cos \left( w \right) + \cos \left( w \right) = 0\)
Yechim
Bu muammo oldingi muammolardan juda farq qiladi.
Ikkala TOONNI KOSIUS GA BO'LISHMANG!!!!!!
Agar siz ikkala tomonni kosinusga ajratsangiz BO'LADI yechimlarni yo'qoting! Buni hal qilishning eng yaxshi yo'li bu tenglamalarni quyidagi tarzda "faktor" qilishdir.
\[\begin{align*}\sin \left( w \right)\cos \left( w \right) + \cos \left( w \right) & = 0\\ \cos \left( w \right)\left( {\sin \left( w \right) + 1} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, echimlar \(w\) qiymatlari bo'ladi
\[\cos \left( w \right) = 0\]or,
\[\sin \left( w \right) + 1 = 0\hspace{0.25in}\quad \Rightarrow \hspace{0.25in}\sin \left( w \right) = - 1\]Birinchi holda bizda \[\cos \left( w \right) = 0\] bo'ladi quyidagi qiymatlarda.
\[\begin{align*}w = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,& \quad \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ w = \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n,& \quad \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Ikkinchi holda biz quyidagi qiymatlarda \(\sin \left( w \right) = - 1\) ga ega bo'lamiz.
\[w = \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]E'tibor bering, bu holatda biz takroriy javob oldik. Ba'zida bu sodir bo'ladi va ba'zida bu har doim sodir bo'lishini kutmang. Shunday qilib, biz birgalikda quyidagi echimlarni olamiz,
\[\begin{align*}w = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,& \quad \,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ w = \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n,& \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Oldingi bir nechta muammolarda bo'lgani kabi, buning oralig'i yo'q, shuning uchun biz shu erda to'xtaymiz. E'tibor bering, agar biz kosinusni ajratsak, echimlarning yarmini yo'qotgan bo'lardik.
- \(2{\cos ^2}\left( {3x} \right) + 5\cos \left( {3x} \right) - 3 = 0\)
Yechim
Bu muammo birinchi qarashda juda qiyin ko'rinadi, lekin faqat birinchi qadam oldingi muammolar uchun farq qiladi. Avval shuni e'tiborga oling
\[\begin{align*}2{t^2} + 5t - 3 & = 0\\ \left( {2t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) & = 0\end{align*}\]Buning yechimlari \(t = \frac{1}{2}\) va \(t = - 3\). Xo'sh, nega buni yoping? Xo'sh, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, bu va sizdan talab qilinadigan muammo o'rtasida juda kam farq bor. Birinchidan, biz tenglamani faktorlarga ajratamiz
\[\begin{align*}2{\cos ^2}\left( {3x} \right) + 5\cos \left( {3x} \right) - 3 & = 0\\ \left( {2\cos \left( {3x} \right) - 1} \right)\left( {\cos \left( {3x} \right) + 3} \right) & = 0\end{align*}\]Buning yechimlari
\[\cos \left( {3x} \right) = \frac{1}{2}\hspace{0.5in}{\mbox{and }}\hspace{0.5in}\cos \left( {3x} \right) = - 3\]Birinchisiga yechimlar
\[\begin{align*}3x & = \frac{\pi }{3} + 2\pi n,& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 3x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Yoki 3 ga bo'linganda,
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{9} + \frac{{2\pi n}}{3},& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{9} + \frac{{2\pi n}}{3},& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Ikkinchisining yechimi yo'q, chunki kosinus -1 dan kam bo'lishi mumkin emas. Bunga odatlanmang. Ko'pincha ikkalasi ham yechim beradi!
Shuning uchun, buning echimlari (yana oraliq yo'q, shuning uchun biz bu nuqtada tugatdik).
\[\begin{align*}x & = \frac{\pi }{9} + \frac{{2\pi n}}{3},& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{9} + \frac{{2\pi n}}{3},& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\] - \(5\sin \left( {2x} \right) = 1\)
Yechim
Bu muammo, qaysidir ma'noda, oldingi muammolardan juda farq qiladi va shunga qaramay, xuddi shu tarzda ishlaydi. Shu nuqtaga kelib, barcha muammolar ko'pchilik biladigan va / yoki muntazam ravishda ishlatadigan bir nechta "asosiy" burchaklarga tushdi. Bu muammo bo'lmaydi, lekin hal qilish jarayoni deyarli bir xil. Birinchidan, sinusni bir tomondan o'zi oling.
\[\sin \left( {2x} \right) = \frac{1}{5}\]Endi bizda "asosiy" burchaklardan birortasi yo'qligini bilamiz, chunki ularning barchasi teng belgisining o'ng tomonida 0, 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) yoki \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ga ega. Shunday qilib, buni hal qilish uchun biz kalkulyatorimizdan foydalanishimiz kerak. Har bir kalkulyator har xil, lekin ularning aksariyatida teskari sinus (\({\sin ^{ - 1}}\)), teskari kosinus (\({\cos ^{ - 1}}\)) va teskari tangens (\({\tan ^{ - 1}}\)) tugmalari mavjud. Agar siz teskari trig funktsiyalari bilan tanish bo'lmasangiz, keyingisiga qarang bo'limi ushbu sharhda. Bundan tashqari, kalkulyatoringiz bu muammo uchun darajalarni emas, balki radianlarni bajarishga o'rnatilganligiga ishonch hosil qiling.
Kalkulyatoringiz beradigan javobni tushunish ham juda muhimdir. Birinchidan, men javob berganimga e'tibor bering (i.e. bitta javob), chunki bu sizning kalkulyatoringiz beradi va biz yuqoridagi ishimizdan bilamizki, cheksiz ko'p javoblar mavjud. Keyinchalik, \(\sin \left( x \right) = a\) ni hal qilish uchun kalkulyatordan foydalanganda, i.e. \({\sin ^{ - 1}}\left( a \right)\)-dan foydalanib, biz \(x\) uchun quyidagi diapazonlarni olamiz.
\[\begin{align*}a \ge 0 & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.5in} & 0 \le x \le 1.570796327 = \frac{\pi }{2} & \hspace{0.2in} & \left( {{\mbox{Quad I}}} \right)\\ a \le 0 & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.5in} & - \frac{\pi }{2} = - 1.570796327 \le x \le 0 & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{Quad IV}}} \right)\end{align*}\]Shunday qilib, kalkulyatoringizdagi teskari sinus tugmasidan foydalanganda, u \(a\) belgisiga qarab FAQAT birinchi yoki to'rtinchi kvadrantdagi javoblarni qaytaradi.
Ushbu muammoda bizning kalkulyatorimizdan foydalanish,
\[2x = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 0.2013579\]Bahsdagi 2 tasini unutmang! Biz buni birozdan keyin hal qilamiz.
Endi yuqoridagi ishimizdan bilamizki, agar bu tenglamaning birinchi kvadrantida yechim bo‘lsa, ikkinchi kvadrantda ham yechim bo‘ladi va u quyida ko‘rsatilgandek \(x\) o‘qi ustida 0,2013579 burchak ostida bo‘ladi.
Men \(x\) yoki kosinus qiymatini birlik doirasiga kiritmadim, chunki bu muammo uchun kerak emas. Biroq, salbiy belgidan tashqari, ular bir xil qiymatga ega bo'lishini ta'kidladim. Ikkinchi kvadrantdagi burchak shunday bo'ladi:
\[\pi - 0.2013579 = 2.9402348\]Shunday qilib, keling, bularning barchasini birlashtiraylik.
\[\begin{align*}2x & = 0.2013579 + 2\pi n,& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 2x & = 2.9402348 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]E'tibor bering, men \(2\pi n\) ni burchaklarimizga ham qo'shdim, chunki biz barcha echimlarni olish uchun kerak bo'lishini bilamiz. Yakuniy qadam barcha mumkin bo'lgan echimlarni olish uchun ikkala tomonni 2 ga bo'lishdir. Buni qilish,
\[\begin{align*}x & = 0.10067895 + \pi n,& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = 1.4701174 + \pi n,& \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Javoblar avvalgi muammolardagi javoblar kabi "yaxshi" bo'lmaydi, lekin ular bor. Shuni ham yodda tutingki, agar bizga oraliq berilgan bo'lsa, bizni qiziqtiradigan intervalga to'g'ri keladigan echimlarni aniqlash uchun \(n\) qiymatlarini ulashimiz mumkin.
- \(\displaystyle 4\cos \left( {\frac{x}{5}} \right) = - 3\)
Yechim
Bu muammo yana avvalgi muammolarga juda o'xshaydi va shunga qaramay ba'zi farqlarga ega. Avval bir tomondan kosinusni o'z-o'zidan oling.
\[\cos \left( {\frac{x}{5}} \right) = - \frac{3}{4}\]Endi keling, birlik aylanasini tez ko'rib chiqamiz, shunda biz qaysi burchaklarga intilayotganimizni ko'ramiz.
Men \(y\) qiymatlarini kiritmadim, chunki ular bu muammo uchun kerak emas. Shunga qaramay, ular bir xil bo'ladi, faqat qarama-qarshi belgilar mavjud. Endi, agar bu "asosiy" burchak bilan bog'liq muammo bo'lsa, yuqoridagi har bir chiziqning \(x\) o'qi bilan qilgan burchagini aniqlash uchun "-" belgisini qo'yamiz va shundan so'ng haqiqiy burchaklarni topish uchun foydalanamiz. Biroq, bu holda, biz kalkulyatordan foydalanganimiz sababli, biz ikkinchi kvadrantdagi burchakni bepul olamiz, shuning uchun biz to'g'ridan-to'g'ri unga o'tishimiz mumkin.
Biroq, buni amalga oshirishdan oldin, keling, teskari kosinuslar bilan ishlashda kalkulyator qanday ishlashini tan olaylik. Agar biz \(\cos \left( x \right) = a\) ni \({\cos ^{ - 1}}\left( a \right)\) yordamida hal qilmoqchi bo'lsak, bizning kalkulyatorimiz \(a\) belgisiga qarab quyidagi diapazonlardan birida bitta javob beradi.
\[\begin{align*}a & \ge 0 & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & 0 \le x \le 1.570796 = \frac{\pi }{2} & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{Quad I}}} \right)\\ a & \le 0 & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \frac{\pi }{2} = 1.570796 \le x \le 3.141593 = \pi & \hspace{0.25in} & \left( {{\mbox{Quad II}}} \right)\end{align*}\]Shunday qilib, kalkulyatorimizdan foydalanib, biz ikkinchi kvadrantda quyidagi burchakni olamiz.
\[\frac{x}{5} = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{3}{4}} \right) = 2.418858\]Endi biz uchinchi kvadrantda joylashgan ikkinchi burchakni olishimiz kerak. Bu burchakni topish uchun ikkinchi kvadrantdagi chiziq va uchinchi kvadrantdagi chiziq manfiy \(x\) o'qi bilan bir xil burchak hosil qilishiga e'tibor bering. Biz ikkinchi kvadrantdagi burchak nima ekanligini bilganimiz uchun bu chiziq manfiy \(x\) o'qi bilan hosil qiladigan burchakni quyidagicha topishimiz mumkin,
\[\pi - 2.418858 = 0.722735\]Bu shuni anglatadiki, uchinchi kvadrantdagi burchak,
\[\pi + 0.722735 = 3.864328\]Bularning barchasini birlashtirib, beradi,
\[\begin{align*}\frac{x}{5} & = 2.418858 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ \frac{x}{5} & = 3.864328 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Va nihoyat, barcha mumkin bo'lgan echimlarni aniqlash uchun ikkala tomonni 5 ga ko'paytirishimiz kerak.
\[\begin{align*}x & = 12.09429 + 10\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = 19.32164 + 10\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\] - \(10\sin \left( {x - 2} \right) = - 7\)
Yechim
Biz buni oldingi ikkitasiga qaraganda tezroq bajaramiz. Avval sinusni bir tomondan o'zi oling.
\[\sin \left( {x - 2} \right) = - \frac{7}{{10}}\]Birlik aylanasidan biz qidiradigan ikkita burchak uchinchi va to'rtinchi kvadrantlarda ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bizning kalkulyatorimiz bizga to'rtinchi kvadrantdagi burchakni beradi va bu burchak:
\[x - 2 = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{7}{{10}}} \right) = - 0.775395\]E'tibor bering, oldingi barcha misollarda biz bu javobni umuman ishlatmagan bo'lardik, chunki u salbiy. Javobda noto'g'ri narsa yo'q, lekin men oldingi masalalarda bir necha bor aytib o'tganimdek, biz odatda 0 va \(2\pi \) orasidagi ijobiy burchaklardan foydalanishga harakat qilamiz. Biroq, bu holda, biz kalkulyator bilan ishlayotganimiz sababli, bu salbiy ekanligi haqida tashvishlanmaymiz. Agar biz ijobiy burchakka ega bo'lishni istasak, uni har doim olishimiz mumkin edi,
\[2\pi - 0.775395 = 5.5077903\]Endi, bu yechimga mos keladigan chiziq musbat \(x\) o'qi bilan 0,775395 burchak hosil qiladi. Uchinchi kvadrantdagi burchak manfiy \(x\) o'qi ostida 0,775395 radian bo'ladi va shunday bo'ladi,
\[x - 2 = \pi + 0.775395 = 3.916988\]Bularning barchasini birlashtirib, beradi,
\[\begin{align*}x - 2 & = - 0.775395 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x - 2 & = 3.916988 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Yakuniy yechimni olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ikkala tomonga 2 qo'shishdir. Keyin barcha mumkin bo'lgan echimlar,
\[\begin{align*}x & = 1.224605 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = 5.916988 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Oxirgi uchta misol ko'rsatganidek, "asosiy" burchaklarni bermaydigan trig tenglamani echish "asosiy" burchaklarni beradiganlardan unchalik farq qilmaydi. Haqiqatan ham, buni qilish biroz osonroq, chunki bizning kalkulyatorimiz har doim bizga bittasini bepul beradi va biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ikkinchisini topishdir. Bu erda asosiy g'oya har doim kalkulyatorimiz bilan ehtiyot bo'lish va u bizga beradigan natijalarni tushunishimiz kerakligini yodda tutishdir.
Shuni ham yodda tutingki, hatto "asosiy" burchaklarga ega bo'lgan muammolar uchun ham biz kalkulyatordan foydalanishimiz mumkin edi. Yagona farq shundaki, bizning javoblarimiz aniq javoblar o'rniga o'nli kasrlar bo'lishi mumkin edi.