2. algebra xatolari
Bu yerda yoritilgan mavzular odatda algebra darsida yo‘l qo‘yiladigan xatolar emas, balki o‘quvchilar algebrani bajarishda tez-tez yo‘l qo‘yadigan xatolardir. Men bu xatolarning har birini algebra darslaridan tortib to yuqori sinf matematika sinflarigacha bo‘lgan sinflarning barcha bosqichlarida ko‘rganman! Aslida, ushbu bo'limdagi bir nechta misollar aslida hisob-kitoblardan kelib chiqadi.
Agar sizda hisob-kitob bo'lmasa, bu misollarni e'tiborsiz qoldirishingiz mumkin. Men misollar keltirgan har bir holatda, men algebra darsidan misollar, shuningdek, Kalkulus kabi yuqori darajadagi kurslardan misol keltirishga harakat qildim.
Ishonchim komilki, bu erda berilgan xatolarning aksariyati odamlarning dangasaliklari yoki shoshqaloqliklari va qilayotgan ishlariga e'tibor bermasliklari tufayli yuzaga keladi. Sekinlashtirish, qilayotgan ishingizga e'tibor berish va to'g'ri belgilanishga e'tibor berish orqali siz ushbu xatolarning aksariyatidan qochishingiz mumkin!
Nolga bo'linish
Hamma biladi \(\frac{0}{2} = 0\) muammosi shundaki, juda ko'p odamlar \(\frac{2}{0} = 0\) yoki \(\frac{2}{0} = 2\) deb aytishadi! Esda tutingki, nolga bo'linish aniqlanmagan! Siz shunchaki nolga bo'la olmaysiz, shuning uchun buni qilmang!
Bu erda siz nolga bo'linganingizda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan vayronagarchilik turlariga juda yaxshi misol. Quyidagi ishda men qilgan xatoni topa olasizmi, qarang.
- \(a = b\)Biz buni haqiqat deb taxmin qilishni boshlaymiz.
- \(ab = {a^2}\)Ikkala tomonni ko'paytiring a.
- \(ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\)Ikkala tomondan \({b^2}\) ni ayiring.
- \(b\left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)Ikkala tomonni ham hisobga oling.
- \(b = a + b\)Ikkala tomonni \(a - b\) orqali ajrating.
- \(b = 2b\)Eslatib o'tamiz, biz \(a = b\) ni qabul qila boshladik.
- \(1 = 2\)Ikkala tomonni ham ajrating b.
Shunday qilib, biz 1 = 2 ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik! Endi biz bu to'g'ri emasligini bilamiz, shuning uchun biz biror joyda xatoga yo'l qo'yganmiz. Qayerda xato qilinganligini ko'ra olasizmi?
Xato 5-bosqichda bo'lgan. Eslatib o'tamiz, biz \(a = b\) farazidan boshlagan edik. Ammo, agar bu to'g'ri bo'lsa, bizda \(a - b = 0\) bor! Shunday qilib, 5-bosqichda biz haqiqatan ham nolga bo'linamiz!
Ushbu oddiy xato bizni haqiqat emasligini bilgan narsaga olib keldi, ammo ko'p hollarda sizning javobingiz noto'g'ri bo'lishi aniq emas. Ushbu misolda bo'lgani kabi, siz nolga bo'linayotganingiz har doim ham aniq bo'lmaydi. Siz bunday narsadan ehtiyot bo'lishingiz kerak.
Esda tutingki, siz nolga bo'linmaysiz!
Yomon/yo'qolgan/taxmin qilingan qavs
Bu, ehtimol, men eng xafa bo'lgan xatodir. Bu erda odamlar odatda bir nechta xatolarga duch kelishadi.
Birinchi xato shundaki, odamlar dangasa bo'lib, ma'lum bosqichlarda qavslar kerak emas deb qaror qilishadi yoki ular qavs u erda bo'lishi kerakligini eslay oladilar. Albatta, bu erda muammo shundaki, ular ko'pincha keyingi bosqichda ular haqida unutishga moyildirlar!
Boshqa xato shundaki, o'quvchilar ba'zan qavslar qanchalik muhimligini tushunmaydilar. Bu ko'pincha eksponentatsiyada qilingan xatolarda ko'rinadi, chunki mening birinchi misollarim ko'rsatadi.
\({\left( {4x} \right)^2} = {\left( 4 \right)^2}{\left( x \right)^2} = 16{x^2}\) \(4{x^2}\)
Bu ikkisi orasidagi juda muhim farqga e'tibor bering! Ko'rsatkichlar bilan ishlashda esda tutingki, faqat ko'rsatkichning chap tomonidagi miqdor ko'rsatkichni oladi. Shunday qilib, noto'g'ri holatda, x - bu ko'rsatkichning chap tomonidagi miqdor, shuning uchun biz faqat kvadratga aylantiramiz x 4 esa kvadrat emas. To'g'ri holatda qavs ko'rsatkichning chap tomonida bo'ladi, shuning uchun bu qavs ichidagi hamma narsa kvadrat bo'lishi kerakligini bildiradi!
Qavslar bu holatda faqat kvadratni emas, balki hamma narsani kvadratga olishimizga ishonch hosil qilish uchun talab qilinadi x, shuning uchun ularni unutmang!
\({\left( { - 3} \right)^2} = \left( { - 3} \right)\left( { - 3} \right) = 9\) \( - {3^2} = - \left( 3 \right)\left( 3 \right) = - 9\)
Bu avvalgisiga o'xshaydi, lekin ba'zida muammolarni keltirib chiqaradigan noziklikka ega. Esda tutingki, faqat ko'rsatkichning chap tomonidagi miqdor ko'rsatkichni oladi. Shunday qilib, noto'g'ri holatda FAQAT 3 ko'rsatkichning chap tomonida bo'ladi va shuning uchun FAQAT 3 kvadrat bo'ladi!
Ko'p odamlar texnik jihatdan -3 kvadrat bo'lishi kerakligini bilishadi, lekin ular dangasa bo'lishadi va qavsni haqiqatda baholash vaqti kelganda eslab qolishlarini asoslab yozmaydilar. Biroq, bu odamlarning qanchasi darhol qavsni unutib, -9 ni yozib qo'yishi ajablanarli!
\(\begin{eqnarray*}{x^2} + 3x - 5 - \left( {4x - 5} \right) & = & {x^2} + 3x - 5 - 4x + 5\\ & = & {x^2} - x\end{eqnarray*}\) \({x^2} + 3x - 5 - 4x - 5 = {x^2} - x - 10\)
Ehtiyot bo'ling va ikkalasi orasidagi farqga e'tibor bering! Birinchi holda, men qavsni keyin \(4x - 5\) qo'ydim, ikkinchisida esa qo'ymadim. Biz ko'phadni ayirayotganimiz uchun BUTUN ko'phadni ayirishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak! Buni to'g'ri bajarishimizga ishonch hosil qilishning yagona yo'li uning atrofida qavs qo'yishdir.
Shunga qaramay, bu odamlar texnik jihatdan qavslar bo'lishi kerakligini biladigan xatolardan biridir, lekin ular ularni qo'ymaydilar va u erda bo'lganliklarini darhol unutadilar va ayirishni noto'g'ri bajaradilar.
\(\sqrt {7x} = {\left( {7x} \right)^{\frac{1}{2}}}\) \(\sqrt {7x} = 7{x^{\frac{1}{2}}}\)
Bu birinchi ikkita xatoga qaytadi. Agar ko'rsatkichning chap tomonidagi miqdor ko'rsatkichni olsa. Shunday qilib, noto'g'ri holat haqiqatan ham \(7{x^{\frac{1}{2}}} = 7\sqrt x \) va bu asl ildiz emasligi aniq.
\(\begin{eqnarray*} -3\int{6x-2\,dx} & = & -3\left( 3{{x}^{2}}-2x \right)+c \\ & = &-9{{x}^{2}}+6x+c \end{eqnarray*}\) \(\begin{eqnarray*} -3\int{6x-2\,dx} & = & -3\cdot 3{{x}^{2}}-2x+c \\ & = & -9{{x}^{2}}-2x+c \end{eqnarray*}\)
Qavsdan foydalanishga e'tibor bering. Muammo shuni ko'rsatadiki, bu integralning birinchi a'zosi emas (noto'g'ri misolda bo'lgani kabi) BUTUN integraldan -3 marta ko'pdir.
Noto'g'ri tarqatish
Tarqatish xususiyatidan foydalanganda ehtiyot bo'ling! Men muntazam ravishda duch keladigan ikkita asosiy xato bor.
\(4\left( {2{x^2} - 10} \right) = 8{x^2} - 40\) \(4\left( {2{x^2} - 10} \right) = 8{x^2} - 10\)
Qavslar orqali 4 ni to'liq taqsimlaganingizga ishonch hosil qiling! Ko'pincha odamlar birinchi atamani 4 ga ko'paytiradilar va ikkinchi muddatni e'tiborsiz qoldiradilar. Bu, ayniqsa, ikkinchi atama faqat raqam bo'lsa, to'g'ri keladi. Ba'zi sabablarga ko'ra, agar ikkinchi davr o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan bo'lsa, talabalar taqsimlashni to'g'ri bajarishni tez-tez eslab qolishadi.
\(\begin{eqnarray*}3{\left( {2x - 5} \right)^2} & = & 3\left( {4{x^2} - 20x + 25} \right)\\ & = & 12{x^2} - 60x + 75\end{eqnarray*}\) \(\begin{eqnarray*}{3\left( {2x - 5} \right)^2} & = & {\left( {6x - 15} \right)^2}\\ & = & 36{x^2} - 180x + 225\end{eqnarray*}\)
Esda tutingki, har qanday koeffitsientlarni qavs ichida taqsimlashdan oldin ko'rsatkichni oshirish kerak!
Qo'shimcha taxminlar
Men buni boshqa nima deb atashni bilmasdim, lekin bu ko'plab talabalarning xatosi. Mana bu taxmin. \(2\left( {x + y} \right) = 2x + 2y\) dan beri hamma narsa shunday ishlaydi. Biroq, bu ishlamaydigan to'liq ro'yxat.
\[{\left( {x + y} \right)^2} \ne {x^2} + {y^2}\] \[\sqrt {x + y} \ne \sqrt x + \sqrt y \] \[\frac{1}{{x + y}} \ne \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\] \[\cos \left( {x + y} \right) \ne \cos x + \cos y\]Bularning hech biri to'g'ri emasligiga o'zingizni ishontirish qiyin emas. Faqat bir nechta raqamni tanlang va ularni ulang! Masalan,
\[\begin{eqnarray*}{\left( {1 + 3} \right)^2} & \ne & {1^2} + {3^2}\\{\left( 4 \right)^2} & \ne & 1 + 9\\16 & \ne & 10\end{eqnarray*}\]Siz vaqti-vaqti bilan ushbu qoidalardan biri ishlaydigan raqamlar to'plamini topasiz, ammo ular tasodifiy tanlangan raqamlar juftligi uchun deyarli ishlamaydi.
E'tibor bering, bu erda juda ko'p misollar mavjud qo'shimcha taxmin bu erda sanab o'tganimdan ko'ra ishlamaydi. Men shunchaki tez-tez ko'rganlarini yozdim. Bundan tashqari, men sanab o'tganlarning bir nechtasini umumiyroq qilish mumkin. Masalan,
\[{\left( {x + y} \right)^n} \ne {x^n} + {y^n} \hspace{0.5in} \mbox{for any integer } n \ge 2\] \[\sqrt[n]{{x + y}} \ne \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y} \hspace{0.5in} \mbox{for any integer }n \ge 2\]Xatolarni bekor qilish
Ushbu xatolar ikki toifaga bo'linadi. Ratsional ifodalarni soddalashtirish va tenglamalarni yechish. Avval ratsional ifodalarni soddalashtirishni ko'rib chiqaylik.
E'tibor bering, \(x\) ni denominatordan bekor qilish uchun men birinchi navbatda \(x\) ni suratdan ajratdim. Siz biror narsani bekor qilishingiz mumkin, agar u BUTUN hisob va maxrajga ko'paytirilsa yoki butun hisob yoki maxraj bo'lsa (bizning misolimizdagi maxraj holatida bo'lgani kabi).
Buni o'quvchilar yo'l qo'yadigan juda keng tarqalgan xatoni o'z ichiga olgan keyingi misol bilan taqqoslang.
Juda ko'p talabalar buni soddalashtirishga harakat qilishadi:
\[3{x^2} - x \hspace{0.75in} \mbox{OR} \hspace{0.75in} 3{x^3} - 1\]Boshqacha qilib aytganda, ular maxrajdagi \(x\) ni hisoblagichdagi \(x\) ning faqat bittasiga nisbatan bekor qiladi (i.e. \(x\) ni faqat birinchi davrdan yoki faqat ikkinchi muddatdan bekor qiling). BUNI QILIB BO'LMAYDI!!!!! Buni bekor qilish uchun sizda ikkala shartda \(x\) bo'lishi kerak.
Bunday bekor qilish to'g'ri emasligiga o'zingizni ishontirish uchun quyidagi raqamli misolni ko'rib chiqing.
Buni osongina arifmetikani quyidagi tarzda bajarish mumkin
\[\frac{{8 - 3}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]Biroq, oldingi misolga o'xshash noto'g'ri bekor qilaylik. Biz birinchi navbatda maxrajdagi ikkitani hisobdagi sakkiztaga bekor qilamiz. Bu TO'G'RI EMAS, lekin oldingi misolda noto'g'ri qilingan bekor qilishni aks ettiradi. Bu beradi,
\[\frac{{8 - 3}}{2} = 4 - 3 = 1\]Bu ikkisi bir xil emasligi aniq! Shuning uchun bekor qilishda ehtiyot bo'lishingiz kerak!
Keling, tenglamalarni echish bilan bog'liq xatolarni bekor qilishni tez ko'rib chiqaylik.
Juda ko'p talabalar hayotlarini osonlashtirish uchun narsalarni bekor qilishga (ya'ni soddalashtirishga) odatlanib qolishadi. Shunday qilib, bunday tenglamani yechishdagi eng katta xato - \(x\) ni har ikki tomondan bekor qilish,
\[2x = 1 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = \frac{1}{2}\]\(x = \frac{1}{2}\) yechim bo'lsa-da, biz o'tkazib yuborgan yana bir yechim bor. Bu nima ekanligini ko'ra olasizmi? Bu nima ekanligini bilish uchun keyingi misolga qarang.
Mana bu tenglamani yechishning to'g'ri yo'li. Avval hamma narsani bir tomonda oling, keyin omil!
\[\begin{eqnarray*}2{x^2} - x & = & 0\\ x\left( {2x - 1} \right) & = & 0\end{eqnarray*}\]Bundan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[x = 0 \hspace{0.5in} \mbox{OR} \hspace{0.5in} 2x - 1 = 0\]Ikkinchi holatda biz birinchi urinishda olgan \(x = \frac{1}{2}\) ni olamiz, lekin birinchi holatdan biz birinchi urinishda ololmagan \(x = 0\) ni ham olamiz. Ma'lumki, \(x = 0\) tenglamada ishlaydi va yechim ham shunday!
Biz \(x = 0\) ni birinchi urinishda o‘tkazib yubordik, chunki echishdan oldin tenglamani “soddalashtirish” orqali hayotimizni osonlashtirishga harakat qildik. Ba'zi soddalashtirish yaxshi va zaruriy narsa bo'lsa-da, biz hal qilishda birinchi urinishda qilganimizdek, HECH QACHON atamani ajratmasligingiz kerak. Agar shunday qilsangiz, siz yechimlarni yo'qotasiz.
Kvadrat ildizdan to'g'ri foydalanish
U erda kvadrat ildizlardan foydalanish haqida juda katta noto'g'ri tushuncha mavjud. Talabalar bu haqda noto'g'ri tushunchaga ega bo'lganga o'xshaydi
\[\sqrt {16} = \pm \,4\]Biroq, bu to'g'ri emas. Kvadrat ildizlar har doim ijobiy yoki nolga teng! Shunday qilib, to'g'ri qiymat
\[\sqrt {16} = 4\]Bu kvadrat ildizning FAQAT qiymati! Agar biz -4 ni xohlasak, biz quyidagilarni qilamiz
\[ - \sqrt {16} = - \left( {\sqrt {16} } \right) = - \left( 4 \right) = - 4\]E'tibor bering, men qavsni faqat minus belgisi qanday paydo bo'lganligini aniqlash uchun ishlatganman! Umuman olganda, o'rtadagi ikki bosqich o'tkazib yuborilgan. Shunday qilib, agar biz salbiy qiymatni xohlasak, biz minus belgisini qo'yishimiz kerak!
O'ylaymanki, bu noto'g'ri tushuncha ulardan \({x^2} = 16\) kabi narsalarni hal qilishni so'raganligi sababli paydo bo'ladi. Bunga aniq javob \(x = \pm \,4\) va ko'pincha ular ikkala tomonning "kvadrat ildizini olish" orqali hal qilishadi. Biroq, etishmayotgan qadam bor. Mana bu muammoni hal qilishning to'g'ri texnikasi.
\[\begin{eqnarray*}{x^2} & = & 16\\x & = & \pm \sqrt {16} \\x & = & \pm \,4\end{eqnarray*}\]E'tibor bering, \( \pm \) biz kvadrat ildizning qiymatini topishimizdan oldin ikkinchi bosqichda paydo bo'ladi! Kvadrat ildizni olishning bir qismi sifatida ko'rinmaydi.
Men shuni ta'kidlashim kerakki, ko'plab o'qituvchilar (shu jumladan o'zim ham) ikkinchi bosqichni o'tkazib yuboradigan va bu bilan \( \pm \) kvadrat ildiz tufayli paydo bo'layotganini anglatadigan ko'rinadi.
Shunday qilib, kvadrat ildizlar har doim ijobiy javob yoki nolni qaytarishini unutmang. Agar siz salbiyni xohlasangiz, kvadrat ildizni olishdan oldin uni minus belgisiga qo'yishingiz kerak bo'ladi.
Noaniq kasrlar
Bu algebra masalasidan ko'ra ko'proq notatsion masala. Men buni shu yerga qo'yishga qaror qildim, chunki juda ko'p talabalar bu fikrni tushunmasdan algebra darslaridan chiqib ketishadi. Haqiqatan ham odamlar ishda xatolarga olib kelishi mumkin bo'lgan kasrlar bilan ishlatadigan "yomon" belgilarning uchta turi mavjud.
Birinchisi, kasrni belgilash uchun "/" dan foydalaniladi, masalan, 2/3. Bunday holda, "/" dan foydalanishda muammo yo'q, lekin 2/3\(x\) haqida nima deyish mumkin? Bu quyidagi ikkita kasrdan biri bo'lishi mumkin.
\[\frac{2}{3}x \hspace{0.5in} \mbox{OR} \hspace{0.5in} \frac{2}{{3x}}\]2/3\(x\) dan bu ikkitadan qaysi biri bo'lishi kerakligi aniq emas! Siz, talaba sifatida, bu ikkisidan qaysi biri bo'lishni maqsad qilganingizni bilishingiz mumkin, lekin sinf o'quvchisi buni bilmaydi. Bundan tashqari, siz uni yozganingizda ikkalasidan qaysi biri bo'lishini bilgan bo'lsangiz ham, o'rganayotganingizda muammoni ko'rib chiqish uchun qaytib kelganingizda, bu ikkalasining qaysi biri ekanligini bilib olasizmi?
Kasrlar uchun "/" belgisini faqat kasr qanday talqin qilinishi kerakligi faqat sizga emas, hamma uchun tushunarli va ravshan bo'lganda ishlatishingiz kerak.
Men muntazam ravishda ko'rib turgan navbatdagi notatsiya muammosi - bu odamlar yozish,
\[\frac{2}{3}\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\ x\end{array}\]Bundan \(x\) maxrajga yoki kasrga tegishlimi yoki yo'qmi, aniq emas. Talabalar ko'pincha bu kabi kasrlarni yozadilar va odatda ular \(x\) maxrajda bo'lmasligi kerakligini anglatadi. Muammo bir qarashda, u ko'pincha maxrajda bo'lishi kerakdek ko'rinadi va talaba kasr satrini etarlicha uzoqroqqa chizmagan.
Agar siz \(x\) maxrajda bo'lishini xohlasangiz, uni shunday yozing, \(\frac{2}{{3x}}\), i.e. kasr satrini BUTUN maxraj ustiga chizishingizga ishonch hosil qiling. Agar siz uni maxrajda bo'lishini xohlamasangiz, unda hech qanday shubha qoldirmang! Uni \(\frac{2}{3}x\) sifatida yozing.
Men ko'rgan yakuniy notatsiya muammosi kasrni belgilash uchun "/" dan foydalanishga qaytadi, lekin aslida qavs muammosi. Bu kabi kasrlarni o'z ichiga oladi
\[\frac{{a + b}}{{c + d}}\]Ko'pincha kasrlarni belgilash uchun "/" dan foydalanadigan talabalar buni kasr deb yozadilar
\[a + b/c + d\]Bu talabalar asl kasrni yozayotganliklarini bilishadi. Biroq, deyarli har bir kishi quyidagilarni ko'radi
\[a + \frac{b}{c} + d\]Bu, albatta, asl fraksiya EMAS. Shunday qilib, agar siz kasrlarni belgilash uchun “/” dan foydalansangiz, hisoblagich nima va maxraj nima ekanligini tushunish uchun qavsdan foydalaning. Shunday qilib, siz uni shunday yozishingiz kerak
\[\left(a + b \right) / \left( c + d \right)\]