Calculus I
Bu erda Calculus I eslatmalari uchun amaliyot masalalari to'plami. "ni bosingYechim" yechimni o'z ichiga olgan sahifaga o'tish uchun har bir muammo uchun havola.
E'tibor bering, ba'zi bo'limlarda boshqalarga qaraganda ko'proq muammolar bo'ladi, ba'zilarida esa ko'proq yoki kamroq turli xil muammolar mavjud. Ko'pgina bo'limlar muammolarda bir qator qiyinchilik darajalariga ega bo'lishi kerak, ammo bu bo'limdan bo'limga farq qiladi.
Bu erda amaliyot muammolari yozilgan bo'limlar ro'yxati, shuningdek, ushbu bo'lim uchun eslatmalarda yoritilgan materiallarning qisqacha tavsifi keltirilgan.
Ko‘rib chiqish - Ushbu bobda biz Kalkulyator kursidan omon qolish uchun muhim bo'lgan Algebra va Trig fanlaridan tanlangan mavzularni qisqacha ko'rib chiqamiz. Funksiyalar, trig funksiyalar, trig tenglamalar va tenglamalarni echish, eksponensial/logarifm funksiyalar va eksponensial/logarifm tenglamalarini echish kiradi.Funksiyalar – Ushbu bo'limda biz funktsiyani belgilash/baholash, funksiya va funksiya tarkibining domenini va diapazonini aniqlashni ko'rib chiqamiz.
Teskari funksiyalar – Ushbu bo'limda biz teskari funksiyani va teskari funksiyalar uchun ishlatiladigan yozuvni aniqlaymiz. Biz teskari funksiyani topish jarayonini ham muhokama qilamiz.
Trig funktsiyalari – Ushbu bo'limda biz trig funktsiyalarini qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz asosiy belgilarni, trig funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlarni, trig funktsiyalarining to'g'ri burchakli uchburchak ta'rifini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz trig funksiyalarini baholash, shuningdek, birlik doirasi (trig sinfidagi eng muhim g‘oyalardan biri!) va undan trig funksiyalarini baholashda qanday foydalanish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Trig tenglamalarni yechish – Ushbu bo'limda biz trig tenglamalarni qanday yechish kerakligini muhokama qilamiz. Ushbu bo'limdagi tenglamalarga javoblar ko'pchilik o'quvchilar trig sinfidan keyin eslab qolgan "standart" burchaklardan biri bo'ladi. Biroq, bu erda ishlatiladigan jarayon standart burchaklardan biri bo'lishidan qat'i nazar, har qanday javob uchun ishlatilishi mumkin.
Kalkulyator bilan trig tenglamalar, I qism – Ushbu bo'limda biz javob (umuman) kalkulyatordan foydalanishni talab qilganda trig tenglamalarini yechishni muhokama qilamiz (ya'ni ular standart burchaklardan biri emas). E'tibor bering, bu erda qo'llaniladigan jarayon, javob standart burchaklardan biri bo'lganda, jarayon bilan bir xil. Yagona farq shundaki, bu erda javoblar kalkulyatorga ehtiyoj tufayli biroz chalkash bo'lishi mumkin. Teskari trig funksiyalarining qisqacha muhokamasi kiritilgan.
Kalkulyator bilan trig tenglamalar, II qism - Ushbu bo'limda biz javob olish uchun kalkulyator kerak bo'lganda trig tenglamalarni echish bo'yicha muhokamani davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi tenglamalar odatda "oddiy" trig tenglamasidan biroz murakkabroq bo'ladi va har doim ham trig sinfiga kiritilmaydi.
Eksponensial funksiyalar - Ushbu bo'limda biz eksponensial funktsiyalarni muhokama qilamiz. Biz eksponensial funktsiyaning asosiy ta'rifini, tabiiy ko'rsatkichli funktsiyani, ya'ni \({\bf e}^{x}\), shuningdek, ko'rsatkichli funksiyalarning xossalari va grafiklarini ko'rib chiqamiz.
Logarifm funktsiyalari – Ushbu bo'limda biz logarifm funktsiyalari, logarifmlarni baholash va ularning xususiyatlarini muhokama qilamiz. Hisoblash (va undan yuqori) sinflarida tez-tez uchraydigan logarifmlarning ko'plab asosiy manipulyatsiyalarini muhokama qilamiz. Tabiiy (\(\ln(x)\)) va umumiy logarifm (\(\log(x)\)) hamda tayanch formulani oʻzgartirish muhokamasi kiritilgan.
Eksponensial va logarifm tenglamalar – Ushbu bo'limda biz ko'rsatkichli yoki logarifm funktsiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni echishning turli usullarini muhokama qilamiz.
Umumiy grafiklar - Ushbu bo'limda biz odatda Calculus sinfida ko'rsatiladigan ko'plab eng keng tarqalgan funktsiyalar va ularning grafiklarini juda tez ko'rib chiqamiz.
Teskari funksiyalar – Ushbu bo'limda biz teskari funksiyani va teskari funksiyalar uchun ishlatiladigan yozuvni aniqlaymiz. Biz teskari funksiyani topish jarayonini ham muhokama qilamiz.
Trig funktsiyalari – Ushbu bo'limda biz trig funktsiyalarini qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz asosiy belgilarni, trig funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlarni, trig funktsiyalarining to'g'ri burchakli uchburchak ta'rifini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz trig funksiyalarini baholash, shuningdek, birlik doirasi (trig sinfidagi eng muhim g‘oyalardan biri!) va undan trig funksiyalarini baholashda qanday foydalanish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Trig tenglamalarni yechish – Ushbu bo'limda biz trig tenglamalarni qanday yechish kerakligini muhokama qilamiz. Ushbu bo'limdagi tenglamalarga javoblar ko'pchilik o'quvchilar trig sinfidan keyin eslab qolgan "standart" burchaklardan biri bo'ladi. Biroq, bu erda ishlatiladigan jarayon standart burchaklardan biri bo'lishidan qat'i nazar, har qanday javob uchun ishlatilishi mumkin.
Kalkulyator bilan trig tenglamalar, I qism – Ushbu bo'limda biz javob (umuman) kalkulyatordan foydalanishni talab qilganda trig tenglamalarini yechishni muhokama qilamiz (ya'ni ular standart burchaklardan biri emas). E'tibor bering, bu erda qo'llaniladigan jarayon, javob standart burchaklardan biri bo'lganda, jarayon bilan bir xil. Yagona farq shundaki, bu erda javoblar kalkulyatorga ehtiyoj tufayli biroz chalkash bo'lishi mumkin. Teskari trig funksiyalarining qisqacha muhokamasi kiritilgan.
Kalkulyator bilan trig tenglamalar, II qism - Ushbu bo'limda biz javob olish uchun kalkulyator kerak bo'lganda trig tenglamalarni echish bo'yicha muhokamani davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi tenglamalar odatda "oddiy" trig tenglamasidan biroz murakkabroq bo'ladi va har doim ham trig sinfiga kiritilmaydi.
Eksponensial funksiyalar - Ushbu bo'limda biz eksponensial funktsiyalarni muhokama qilamiz. Biz eksponensial funktsiyaning asosiy ta'rifini, tabiiy ko'rsatkichli funktsiyani, ya'ni \({\bf e}^{x}\), shuningdek, ko'rsatkichli funksiyalarning xossalari va grafiklarini ko'rib chiqamiz.
Logarifm funktsiyalari – Ushbu bo'limda biz logarifm funktsiyalari, logarifmlarni baholash va ularning xususiyatlarini muhokama qilamiz. Hisoblash (va undan yuqori) sinflarida tez-tez uchraydigan logarifmlarning ko'plab asosiy manipulyatsiyalarini muhokama qilamiz. Tabiiy (\(\ln(x)\)) va umumiy logarifm (\(\log(x)\)) hamda tayanch formulani oʻzgartirish muhokamasi kiritilgan.
Eksponensial va logarifm tenglamalar – Ushbu bo'limda biz ko'rsatkichli yoki logarifm funktsiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni echishning turli usullarini muhokama qilamiz.
Umumiy grafiklar - Ushbu bo'limda biz odatda Calculus sinfida ko'rsatiladigan ko'plab eng keng tarqalgan funktsiyalar va ularning grafiklarini juda tez ko'rib chiqamiz.
Limitlar - Ushbu bobda biz chegara tushunchasi bilan tanishamiz. Biz chegaraning talqini/maʼnosi, chegaralarni qanday baholash, bir tomonlama chegaralarni aniqlash va baholash, cheksiz limitlarni baholash, cheksizlikda chegaralarni baholash, uzluksizlik va Oraliq qiymat teoremasini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz chegaraning aniq ta'rifi va chegaralarni baholash uchun undan qanday foydalanish haqida qisqacha ma'lumot beramiz.
Tangens chiziqlari va o'zgarish tezligi - Ushbu bo'limda biz ushbu kursda qayta-qayta ko'rib chiqiladigan ikkita muammo bilan tanishamiz: Funktsiyaning o'zgarish tezligi va funksiyalarga teginish chiziqlari. Ushbu muammolarning ikkalasi ham chegaralar tushunchasini kiritish uchun ishlatiladi, ammo biz keyingi bo'limgacha rasman ta'rif yoki belgini bermaymiz.
Limit – Ushbu bo'limda biz chegara belgisi bilan tanishamiz. Shuningdek, biz chegaralarni kontseptual tarzda ko'rib chiqamiz va ular nima ekanligini va ular bizga nimani ayta olishlarini tushunishga harakat qilamiz. Biz ushbu bo'limda chegaralar qiymatini ular bizga aytganlarini tushunishimizga yordam berish uchun baholaymiz. Biz bir necha bo'limda cheklovlarni hisoblashni boshlaymiz.
Bir tomonlama chegaralar - Ushbu bo'limda biz bir tomonlama chegaralar tushunchasi bilan tanishamiz. Biz bir tomonlama chegaralar va chegaralar o'rtasidagi farqlarni, shuningdek, ularning bir-biri bilan qanday bog'liqligini muhokama qilamiz.
Cheklash xususiyatlari - Ushbu bo'limda biz hisoblash limitlarida foydalanishimiz kerak bo'lgan chegaralar xususiyatlarini muhokama qilamiz (bu nuqtaga qadar qilganimizdek, ularni baholashdan farqli o'laroq). Shuningdek, biz ushbu bo'limda bir nechta asosiy chegaralarni hisoblaymiz.
Hisoblash chegaralari - Ushbu bo'limda biz chegara xususiyatlaridan foydalanishdan oldin ularni hisoblash uchun biroz ishlashni talab qiladigan bir necha turdagi chegaralarni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz qismlarga bo'lingan funktsiyalarning chegaralarini hisoblash va ba'zi chegaralarni hisoblash uchun siqish teoremasidan foydalanishni ko'rib chiqamiz.
Cheksiz limitlar - Ushbu bo'limda biz cheksizlik yoki manfiy cheksizlik qiymatiga ega bo'lgan chegaralarni ko'rib chiqamiz. Biz vertikal asimptotalarni ham qisqacha ko'rib chiqamiz.
Limitlar cheksizlik, I qism – Ushbu bo'limda biz cheksizlikdagi chegaralarni, ya'ni chegaralarni ko'rib chiqamiz, bunda o'zgaruvchi ijobiy yoki salbiy ma'noda juda katta bo'ladi. Ushbu bo'limda ko'p nomlar va ratsional ifodalarga e'tibor qaratamiz. Biz gorizontal asimptotalarni ham qisqacha ko'rib chiqamiz.
Limitlar Infinity, II qism - Ushbu bo'limda biz cheksiz limitlarni qamrab olishni davom ettiramiz. Ushbu bo'limda ko'rsatkichlar, logarifmlar va teskari tangenslarni ko'rib chiqamiz.
Davomiylik - Ushbu bo'limda biz uzluksizlik tushunchasi va uning chegaralar bilan qanday bog'liqligi bilan tanishamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda Oraliq qiymatlar teoremasini ko'rib chiqamiz va funksiyalarning berilgan oraliqda yechimlari bor yoki yo'qligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Limitning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz ushbu bo'limda ko'rib chiqilgan bir nechta chegaralarning aniq ta'rifini beramiz. Biz chegarani hisoblash uchun ushbu aniq ta'rifdan qanday foydalanishni ko'rsatadigan bir nechta asosiy misollar bilan ishlaymiz. Biz uzluksizlikning aniq ta'rifini ham beramiz.
Limit – Ushbu bo'limda biz chegara belgisi bilan tanishamiz. Shuningdek, biz chegaralarni kontseptual tarzda ko'rib chiqamiz va ular nima ekanligini va ular bizga nimani ayta olishlarini tushunishga harakat qilamiz. Biz ushbu bo'limda chegaralar qiymatini ular bizga aytganlarini tushunishimizga yordam berish uchun baholaymiz. Biz bir necha bo'limda cheklovlarni hisoblashni boshlaymiz.
Bir tomonlama chegaralar - Ushbu bo'limda biz bir tomonlama chegaralar tushunchasi bilan tanishamiz. Biz bir tomonlama chegaralar va chegaralar o'rtasidagi farqlarni, shuningdek, ularning bir-biri bilan qanday bog'liqligini muhokama qilamiz.
Cheklash xususiyatlari - Ushbu bo'limda biz hisoblash limitlarida foydalanishimiz kerak bo'lgan chegaralar xususiyatlarini muhokama qilamiz (bu nuqtaga qadar qilganimizdek, ularni baholashdan farqli o'laroq). Shuningdek, biz ushbu bo'limda bir nechta asosiy chegaralarni hisoblaymiz.
Hisoblash chegaralari - Ushbu bo'limda biz chegara xususiyatlaridan foydalanishdan oldin ularni hisoblash uchun biroz ishlashni talab qiladigan bir necha turdagi chegaralarni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz qismlarga bo'lingan funktsiyalarning chegaralarini hisoblash va ba'zi chegaralarni hisoblash uchun siqish teoremasidan foydalanishni ko'rib chiqamiz.
Cheksiz limitlar - Ushbu bo'limda biz cheksizlik yoki manfiy cheksizlik qiymatiga ega bo'lgan chegaralarni ko'rib chiqamiz. Biz vertikal asimptotalarni ham qisqacha ko'rib chiqamiz.
Limitlar cheksizlik, I qism – Ushbu bo'limda biz cheksizlikdagi chegaralarni, ya'ni chegaralarni ko'rib chiqamiz, bunda o'zgaruvchi ijobiy yoki salbiy ma'noda juda katta bo'ladi. Ushbu bo'limda ko'p nomlar va ratsional ifodalarga e'tibor qaratamiz. Biz gorizontal asimptotalarni ham qisqacha ko'rib chiqamiz.
Limitlar Infinity, II qism - Ushbu bo'limda biz cheksiz limitlarni qamrab olishni davom ettiramiz. Ushbu bo'limda ko'rsatkichlar, logarifmlar va teskari tangenslarni ko'rib chiqamiz.
Davomiylik - Ushbu bo'limda biz uzluksizlik tushunchasi va uning chegaralar bilan qanday bog'liqligi bilan tanishamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda Oraliq qiymatlar teoremasini ko'rib chiqamiz va funksiyalarning berilgan oraliqda yechimlari bor yoki yo'qligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Limitning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz ushbu bo'limda ko'rib chiqilgan bir nechta chegaralarning aniq ta'rifini beramiz. Biz chegarani hisoblash uchun ushbu aniq ta'rifdan qanday foydalanishni ko'rsatadigan bir nechta asosiy misollar bilan ishlaymiz. Biz uzluksizlikning aniq ta'rifini ham beramiz.
Hosilalar - Ushbu bobda biz hosilalar bilan tanishamiz. Biz ko'paytma qoidasi, bo'lim qoidasi va zanjir qoidasi, shuningdek, polinomlar hosilalari, ildizlar, trig funktsiyalari, teskari trig funktsiyalari, giperbolik funktsiyalar, eksponensial funktsiyalar va logarifm funktsiyalarini o'z ichiga olgan standart hosila formulalarini qamrab olamiz. Shuningdek, biz yashirin differentsiatsiyani, tegishli stavkalarni, yuqori tartibli hosilalarni va logarifmik differentsiatsiyani qamrab olamiz.
Hosilaning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz hosilani aniqlaymiz, hosila uchun turli xil belgilarni beramiz va hosila ta'rifidan funktsiyaning hosilasini haqiqatda hisoblash uchun qanday foydalanishni ko'rsatadigan bir nechta muammolarni ishlaymiz.
Hosilaning talqini - Ushbu bo'limda biz lotinning bir nechta muhim talqinlarini beramiz. Biz funktsiyaning o'zgarish tezligini, harakatlanuvchi jismning tezligini va funksiya grafigiga teginish chizig'ining qiyaligini muhokama qilamiz.
Differentsiallash formulalari - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning hosilasini olishda ishlatiladigan umumiy hosila formulalari va xossalarining ko'pini keltiramiz. Ushbu bo'limdagi misollar asosan polinomlar, ildizlar va odatda darajaga ko'tarilgan o'zgaruvchilarga qaratilgan.
Mahsulot va miqdor qoidasi - Ushbu bo'limda biz funktsiyalarni farqlash uchun ikkita muhim formulani beramiz. Biz shu paytgacha farqlay olmagan funksiyalarni farqlash imkonini beruvchi Mahsulot qoidasi va Kvota qoidasini muhokama qilamiz.
Trig funksiyalarining hosilalari – Ushbu bo'limda biz trig funksiyalarini farqlashni muhokama qilamiz. Barcha oltita trig funksiyalarning hosilalari berilgan va biz \(\sin(x)\) va \(\tan(x)\) hosilasining hosilasini ko'rsatamiz.
Ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari – Bu bo‘limda ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari uchun formulalar keltiramiz.
Teskari trig funksiyalarning hosilalari – Ushbu bo'limda biz barcha oltita teskari trig funksiyalarning hosilalarini beramiz. Teskari sinus, teskari kosinus va teskari tangens uchun formulalar hosilasini ko'rsatamiz.
Giperbolik funksiyalarning hosilalari - Ushbu bo'limda biz giperbolik funktsiyalarni aniqlaymiz, ular o'rtasidagi munosabatlarni va giperbolik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ba'zi asosiy faktlarni beramiz. Shuningdek, biz oltita giperbolik funksiyaning har birining hosilalarini beramiz va giperbolik sinus uchun formulaning hosilasini ko'rsatamiz.
Zanjir qoidasi - Ushbu bo'limda biz eng foydali va muhim farqlash formulalaridan biri bo'lgan zanjir qoidasini muhokama qilamiz. Qo'lda zanjir qoidasi bilan biz juda ko'p turli xil funktsiyalarni farqlay olamiz. Hisoblash kurslarining qolgan qismida ko'rib turganingizdek, siz olgan ko'plab lotinlar zanjir qoidasini o'z ichiga oladi!
Yashirin farqlash - Ushbu bo'limda biz yashirin farqlashni muhokama qilamiz. Har bir funktsiyani mustaqil o'zgaruvchi nuqtai nazaridan aniq yozish mumkin emas, masalan. y = f(x) va shunga qaramay biz f'(x) nima ekanligini bilishimiz kerak. Yashirin farqlash bu holatlarda hosilani topishga imkon beradi. Yashirin differentsiatsiyani bilish bizga lotinlarning eng muhim ilovalaridan birini, Related Rates (keyingi bo'lim) ni bajarishga imkon beradi.
Tegishli tariflar - Ushbu bo'limda biz ushbu bo'limdagi lotinlarning yagona qo'llanilishini muhokama qilamiz, Tegishli tariflar. Tegishli stavkali masalalarda bizga masaladagi bir miqdorning o‘zgarish tezligi beriladi va masaladagi bir (yoki bir nechta) miqdorning tezligini aniqlash so‘raladi. Bu ko'pincha talabalar uchun eng qiyin bo'limlardan biridir. Biz ushbu bo'limda juda ko'p muammolar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun umid qilamanki, ushbu bo'lim oxirida siz ushbu muammolar qanday ishlashi haqida yaxshi tushunchaga ega bo'lasiz.
Yuqori tartibli hosilalar - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli hosilalar tushunchasini aniqlaymiz va ikkinchi tartibli hosilalarning tezkor qo'llanilishini beramiz va yuqori tartibli hosilalar uchun yashirin differentsiatsiya qanday ishlashini ko'rsatamiz.
Logarifmik farqlash - Ushbu bo'limda biz logarifmik farqlashni muhokama qilamiz. Logarifmik tabaqalash mahsulot va koeffitsientlarni farqlashning muqobil usulini beradi (ba'zan mahsulot va bo'lim qoidasini ishlatishdan ko'ra osonroq). Ammo bundan ham muhimi shundaki, logarifm differentsiatsiyasi bir funktsiya shaklida boshqa funktsiyaga ko'tarilgan funktsiyalarni farqlash imkonini beradi,ya'nifunktsiyaning bazasida ham, ko'rsatkichida ham o'zgaruvchilar mavjud.
Hosilaning talqini - Ushbu bo'limda biz lotinning bir nechta muhim talqinlarini beramiz. Biz funktsiyaning o'zgarish tezligini, harakatlanuvchi jismning tezligini va funksiya grafigiga teginish chizig'ining qiyaligini muhokama qilamiz.
Differentsiallash formulalari - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning hosilasini olishda ishlatiladigan umumiy hosila formulalari va xossalarining ko'pini keltiramiz. Ushbu bo'limdagi misollar asosan polinomlar, ildizlar va odatda darajaga ko'tarilgan o'zgaruvchilarga qaratilgan.
Mahsulot va miqdor qoidasi - Ushbu bo'limda biz funktsiyalarni farqlash uchun ikkita muhim formulani beramiz. Biz shu paytgacha farqlay olmagan funksiyalarni farqlash imkonini beruvchi Mahsulot qoidasi va Kvota qoidasini muhokama qilamiz.
Trig funksiyalarining hosilalari – Ushbu bo'limda biz trig funksiyalarini farqlashni muhokama qilamiz. Barcha oltita trig funksiyalarning hosilalari berilgan va biz \(\sin(x)\) va \(\tan(x)\) hosilasining hosilasini ko'rsatamiz.
Ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari – Bu bo‘limda ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari uchun formulalar keltiramiz.
Teskari trig funksiyalarning hosilalari – Ushbu bo'limda biz barcha oltita teskari trig funksiyalarning hosilalarini beramiz. Teskari sinus, teskari kosinus va teskari tangens uchun formulalar hosilasini ko'rsatamiz.
Giperbolik funksiyalarning hosilalari - Ushbu bo'limda biz giperbolik funktsiyalarni aniqlaymiz, ular o'rtasidagi munosabatlarni va giperbolik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ba'zi asosiy faktlarni beramiz. Shuningdek, biz oltita giperbolik funksiyaning har birining hosilalarini beramiz va giperbolik sinus uchun formulaning hosilasini ko'rsatamiz.
Zanjir qoidasi - Ushbu bo'limda biz eng foydali va muhim farqlash formulalaridan biri bo'lgan zanjir qoidasini muhokama qilamiz. Qo'lda zanjir qoidasi bilan biz juda ko'p turli xil funktsiyalarni farqlay olamiz. Hisoblash kurslarining qolgan qismida ko'rib turganingizdek, siz olgan ko'plab lotinlar zanjir qoidasini o'z ichiga oladi!
Yashirin farqlash - Ushbu bo'limda biz yashirin farqlashni muhokama qilamiz. Har bir funktsiyani mustaqil o'zgaruvchi nuqtai nazaridan aniq yozish mumkin emas, masalan. y = f(x) va shunga qaramay biz f'(x) nima ekanligini bilishimiz kerak. Yashirin farqlash bu holatlarda hosilani topishga imkon beradi. Yashirin differentsiatsiyani bilish bizga lotinlarning eng muhim ilovalaridan birini, Related Rates (keyingi bo'lim) ni bajarishga imkon beradi.
Tegishli tariflar - Ushbu bo'limda biz ushbu bo'limdagi lotinlarning yagona qo'llanilishini muhokama qilamiz, Tegishli tariflar. Tegishli stavkali masalalarda bizga masaladagi bir miqdorning o‘zgarish tezligi beriladi va masaladagi bir (yoki bir nechta) miqdorning tezligini aniqlash so‘raladi. Bu ko'pincha talabalar uchun eng qiyin bo'limlardan biridir. Biz ushbu bo'limda juda ko'p muammolar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun umid qilamanki, ushbu bo'lim oxirida siz ushbu muammolar qanday ishlashi haqida yaxshi tushunchaga ega bo'lasiz.
Yuqori tartibli hosilalar - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli hosilalar tushunchasini aniqlaymiz va ikkinchi tartibli hosilalarning tezkor qo'llanilishini beramiz va yuqori tartibli hosilalar uchun yashirin differentsiatsiya qanday ishlashini ko'rsatamiz.
Logarifmik farqlash - Ushbu bo'limda biz logarifmik farqlashni muhokama qilamiz. Logarifmik tabaqalash mahsulot va koeffitsientlarni farqlashning muqobil usulini beradi (ba'zan mahsulot va bo'lim qoidasini ishlatishdan ko'ra osonroq). Ammo bundan ham muhimi shundaki, logarifm differentsiatsiyasi bir funktsiya shaklida boshqa funktsiyaga ko'tarilgan funktsiyalarni farqlash imkonini beradi,ya'nifunktsiyaning bazasida ham, ko'rsatkichida ham o'zgaruvchilar mavjud.
Derivativlarning qo'llanilishi - Ushbu bobda biz hosilalarning ko'plab asosiy qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Ilovalarga mutlaq va nisbiy minimal va maksimal funktsiya qiymatlarini aniqlash (cheklovlarsiz va cheklovlarsiz), hisoblash yordamisiz funktsiya grafigini chizish, funktsiyaning chiziqli yaqinlashuvini aniqlash, L'Hospital qoidasi (biz bundan oldin qila olmagan ba'zi chegaralarni hisoblashimizga imkon beradi), Nyuton usuli (shuningdek, bir nechta asosiy echimlarni topishga imkon beradi). Biznes ilovalar.
O'zgarish stavkalari - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Kritik nuqtalar - Ushbu bo'limda biz tanqidiy nuqtalarning ta'rifini beramiz. Muhim nuqtalar ushbu bobning aksariyat bo'limlarida namoyon bo'ladi, shuning uchun ularni tushunish va ularni qanday topish muhim bo'ladi. Biz ularni turli xil funktsiyalar uchun qanday topish mumkinligini ko'rsatadigan bir qancha misollar bilan ishlaymiz.
Minimal va maksimal qiymatlar – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini aniqlaymiz. Ushbu bobdagi ko'plab ilovalar uchun minimal/maksimal (birgalikda ekstrema deb ataladi) qiymatlarining ikki turi o'rtasidagi farqni tushunish muhim va shuning uchun biz bu borada yordam berish uchun turli misollardan foydalanamiz. Shuningdek, biz Ekstremal qiymat teoremasini va Ferma teoremasini beramiz, ularning ikkalasi ham ushbu bobda ko'rib chiqiladigan ko'plab ilovalarda juda muhimdir.
Mutlaq ekstremalni topish – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini qanday topishni muhokama qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz funktsiyaga ega bo'lgan eng katta va eng kichik qiymatlarni topamiz.
Grafik shakli, I qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning birinchi hosilasi bizga funktsiya grafigi haqida nimani aytishi mumkinligini muhokama qilamiz. Birinchi hosila bizga funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiya qayerda ortib, kamayib borishini aniqlash imkonini beradi. Shuningdek, biz kritik nuqtalarni nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar yoki minimal yoki maksimal deb tasniflash imkonini beradigan Birinchi hosila testini beramiz.
Grafik shakli, II qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning ikkinchi hosilasi funksiya grafigi haqida nimani ayta olishini muhokama qilamiz. Ikkinchi hosila funksiya grafigi qayerda yuqoriga va pastga botiq ekanligini aniqlash imkonini beradi. Ikkinchi hosila, shuningdek, funktsiyaga ega bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday burilish nuqtalarini (ya'ni, konkavlik o'zgarishini) aniqlashga imkon beradi. Shuningdek, biz ikkinchi hosilaviy testni beramiz, u ba'zi muhim nuqtalarni (ammo hammasini emas) nisbiy minimumlar yoki nisbiy maksimallar sifatida aniqlashning muqobil usulini beradi.
O'rtacha qiymat teoremasi – Ushbu bo'limda biz Rol teoremasini va o'rtacha qiymat teoremasini beramiz. O'rtacha qiymat teoremasi bilan biz bir nechta juda yaxshi faktlarni isbotlaymiz, ulardan biri keyingi bobda juda foydali bo'ladi.
Optimallashtirish - Ushbu bo'limda biz ikkita o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyaning mutlaq minimumini va/yoki maksimalini aniqlaymiz, bu ikkala o'zgaruvchi har doim qondirishi kerak bo'lgan ba'zi bir cheklash yoki munosabatlar. Biz funktsiyaning mutlaq minimal yoki maksimalini aniqlashning bir necha usullarini muhokama qilamiz. Ushbu bo'limdagi misollar kvadratlar, qutilar, tsilindrlar va boshqalar kabi geometrik ob'ektlar atrofida joylashgan.
Ko'proq optimallashtirish muammolari - Ushbu bo'limda biz optimallashtirish muammolarini ishlashni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi misollar biroz ko'proq ishtirok etadi va ko'pincha oldingi bo'limda ko'rib chiqqan "oddiy" geometrik ob'ektlardan farqli o'laroq, eskiz bilan osonroq tasvirlanadigan vaziyatlarni o'z ichiga oladi.
L'Hospital qoidasi va noaniq shakllari - Ushbu bo'limda biz noaniq shakllar va cheklovlarni qayta ko'rib chiqamiz va L'Hospital qoidasini ko'rib chiqamiz. L'Hospital qoidasi bizga ilgari erisha olmagan ba'zi cheklovlarni baholashga imkon beradi.
Chiziqli taxminlar - Ushbu bo'limda biz funktsiyaga chiziqli yaqinlashishni hisoblash uchun hosiladan foydalanishni muhokama qilamiz. Funktsiyaning ma'lum nuqtalardagi qiymatlarini taxmin qilish uchun funktsiyaning chiziqli yaqinlashuvidan foydalanishimiz mumkin. Funktsiyaga ega bo'lganimizda buni qilish foydali ish bo'lib tuyulishi mumkin bo'lsa-da, haqiqatan ham buni qilishni xohlash uchun sabablar bor. Biz misollarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan ikkita usulni beramiz.
Differensiallar – Ushbu bo'limda biz funktsiya uchun differentsialni hisoblaymiz. Ushbu bo'limda biz differentsiallarning qo'llanilishini beramiz. Biroq, differentsiallarning eng muhim qo'llanilishidan biri keyingi bobda bo'ladi va afsuski, biz uni shu vaqtgacha muhokama qila olmaymiz.
Nyuton usuli - Ushbu bo'limda biz Nyuton usulini muhokama qilamiz. Nyuton usuli - bu tenglamaning yechimlarini taxminiy aniqlash imkonini beradigan hosilalarni qo'llash. To'g'ridan-to'g'ri echib bo'lmaydigan ko'plab tenglamalar mavjud va bu usul yordamida biz ushbu tenglamalarning ko'pchiligining yechimlariga yaqinlashishimiz mumkin.
Biznes ilovalar - Ushbu bo'limda biz derivativlarning biznes sohasidagi ba'zi bir asosiy qo'llanilishini yuzaki muhokama qilamiz. Biz maksimal va/yoki minimal funktsiya qiymatini topishni qayta ko'rib chiqamiz va biz marjinal xarajat funktsiyasini, o'rtacha xarajatni, daromad funktsiyasini, marjinal daromad funktsiyasini va marjinal foyda funktsiyasini aniqlaymiz. E'tibor bering, ushbu bo'lim faqat ushbu tushunchalarni tanishtirish uchun mo'ljallangan va ular haqida hamma narsani o'rgatmaydi.
Kritik nuqtalar - Ushbu bo'limda biz tanqidiy nuqtalarning ta'rifini beramiz. Muhim nuqtalar ushbu bobning aksariyat bo'limlarida namoyon bo'ladi, shuning uchun ularni tushunish va ularni qanday topish muhim bo'ladi. Biz ularni turli xil funktsiyalar uchun qanday topish mumkinligini ko'rsatadigan bir qancha misollar bilan ishlaymiz.
Minimal va maksimal qiymatlar – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini aniqlaymiz. Ushbu bobdagi ko'plab ilovalar uchun minimal/maksimal (birgalikda ekstrema deb ataladi) qiymatlarining ikki turi o'rtasidagi farqni tushunish muhim va shuning uchun biz bu borada yordam berish uchun turli misollardan foydalanamiz. Shuningdek, biz Ekstremal qiymat teoremasini va Ferma teoremasini beramiz, ularning ikkalasi ham ushbu bobda ko'rib chiqiladigan ko'plab ilovalarda juda muhimdir.
Mutlaq ekstremalni topish – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini qanday topishni muhokama qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz funktsiyaga ega bo'lgan eng katta va eng kichik qiymatlarni topamiz.
Grafik shakli, I qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning birinchi hosilasi bizga funktsiya grafigi haqida nimani aytishi mumkinligini muhokama qilamiz. Birinchi hosila bizga funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiya qayerda ortib, kamayib borishini aniqlash imkonini beradi. Shuningdek, biz kritik nuqtalarni nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar yoki minimal yoki maksimal deb tasniflash imkonini beradigan Birinchi hosila testini beramiz.
Grafik shakli, II qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning ikkinchi hosilasi funksiya grafigi haqida nimani ayta olishini muhokama qilamiz. Ikkinchi hosila funksiya grafigi qayerda yuqoriga va pastga botiq ekanligini aniqlash imkonini beradi. Ikkinchi hosila, shuningdek, funktsiyaga ega bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday burilish nuqtalarini (ya'ni, konkavlik o'zgarishini) aniqlashga imkon beradi. Shuningdek, biz ikkinchi hosilaviy testni beramiz, u ba'zi muhim nuqtalarni (ammo hammasini emas) nisbiy minimumlar yoki nisbiy maksimallar sifatida aniqlashning muqobil usulini beradi.
O'rtacha qiymat teoremasi – Ushbu bo'limda biz Rol teoremasini va o'rtacha qiymat teoremasini beramiz. O'rtacha qiymat teoremasi bilan biz bir nechta juda yaxshi faktlarni isbotlaymiz, ulardan biri keyingi bobda juda foydali bo'ladi.
Optimallashtirish - Ushbu bo'limda biz ikkita o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyaning mutlaq minimumini va/yoki maksimalini aniqlaymiz, bu ikkala o'zgaruvchi har doim qondirishi kerak bo'lgan ba'zi bir cheklash yoki munosabatlar. Biz funktsiyaning mutlaq minimal yoki maksimalini aniqlashning bir necha usullarini muhokama qilamiz. Ushbu bo'limdagi misollar kvadratlar, qutilar, tsilindrlar va boshqalar kabi geometrik ob'ektlar atrofida joylashgan.
Ko'proq optimallashtirish muammolari - Ushbu bo'limda biz optimallashtirish muammolarini ishlashni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi misollar biroz ko'proq ishtirok etadi va ko'pincha oldingi bo'limda ko'rib chiqqan "oddiy" geometrik ob'ektlardan farqli o'laroq, eskiz bilan osonroq tasvirlanadigan vaziyatlarni o'z ichiga oladi.
L'Hospital qoidasi va noaniq shakllari - Ushbu bo'limda biz noaniq shakllar va cheklovlarni qayta ko'rib chiqamiz va L'Hospital qoidasini ko'rib chiqamiz. L'Hospital qoidasi bizga ilgari erisha olmagan ba'zi cheklovlarni baholashga imkon beradi.
Chiziqli taxminlar - Ushbu bo'limda biz funktsiyaga chiziqli yaqinlashishni hisoblash uchun hosiladan foydalanishni muhokama qilamiz. Funktsiyaning ma'lum nuqtalardagi qiymatlarini taxmin qilish uchun funktsiyaning chiziqli yaqinlashuvidan foydalanishimiz mumkin. Funktsiyaga ega bo'lganimizda buni qilish foydali ish bo'lib tuyulishi mumkin bo'lsa-da, haqiqatan ham buni qilishni xohlash uchun sabablar bor. Biz misollarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan ikkita usulni beramiz.
Differensiallar – Ushbu bo'limda biz funktsiya uchun differentsialni hisoblaymiz. Ushbu bo'limda biz differentsiallarning qo'llanilishini beramiz. Biroq, differentsiallarning eng muhim qo'llanilishidan biri keyingi bobda bo'ladi va afsuski, biz uni shu vaqtgacha muhokama qila olmaymiz.
Nyuton usuli - Ushbu bo'limda biz Nyuton usulini muhokama qilamiz. Nyuton usuli - bu tenglamaning yechimlarini taxminiy aniqlash imkonini beradigan hosilalarni qo'llash. To'g'ridan-to'g'ri echib bo'lmaydigan ko'plab tenglamalar mavjud va bu usul yordamida biz ushbu tenglamalarning ko'pchiligining yechimlariga yaqinlashishimiz mumkin.
Biznes ilovalar - Ushbu bo'limda biz derivativlarning biznes sohasidagi ba'zi bir asosiy qo'llanilishini yuzaki muhokama qilamiz. Biz maksimal va/yoki minimal funktsiya qiymatini topishni qayta ko'rib chiqamiz va biz marjinal xarajat funktsiyasini, o'rtacha xarajatni, daromad funktsiyasini, marjinal daromad funktsiyasini va marjinal foyda funktsiyasini aniqlaymiz. E'tibor bering, ushbu bo'lim faqat ushbu tushunchalarni tanishtirish uchun mo'ljallangan va ular haqida hamma narsani o'rgatmaydi.
Integrallar - Bu bobda aniq va noaniq integrallar haqida ma’lumot beramiz. Biz har bir integral turining ta'rifi va xususiyatlarini, shuningdek ularni qanday hisoblashni, shu jumladan almashtirish qoidasini muhokama qilamiz. Biz hosilalar va integrallar o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan Hisoblashning asosiy teoremasini beramiz. Shuningdek, biz aniq integralning muhim talqini bo'lgan maydon muammosini muhokama qilamiz.
Noaniq integrallar - Ushbu bo'limda biz bobni noaniq integrallarning ta'rifi va xususiyatlaridan boshlaymiz. Ushbu bo'limda biz ko'plab noaniq integrallarni hisoblamaymiz. Ushbu bo'lim noaniq integral nima ekanligini oddiygina aniqlashga va noaniq integralning ko'pgina xususiyatlarini berishga bag'ishlangan. Haqiqatda noaniq integrallarni hisoblash keyingi bobda boshlanadi.
Noaniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz bir nechta noaniq integrallarni hisoblaymiz. Ushbu bo'limdagi integrallar integralni haqiqatda hisoblash uchun biz integrallashayotgan funktsiyani ko'p manipulyatsiya qilishni talab qilmaydiganlar bo'ladi. Keyingidan boshlab ko'rib turganimizdek, ko'plab integrallar biz integralni amalga oshirishimizdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi. Shuningdek, biz noaniq integrallarning qo'llanilishini tez ko'rib chiqamiz.
Noaniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz eng keng tarqalgan va foydali integratsiya usullaridan birini - almashtirish qoidasidan foydalanishni boshlaymiz. O'zgartirish qoidasi bilan biz turli xil funktsiyalarni birlashtira olamiz. Ushbu bo'limdagi integrallar oldingi bo'limdagi ko'pgina integrallardan farqli o'laroq, integrallashdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi, bu erda bizga faqat asosiy integratsiya formulalari kerak edi.
Ko'proq almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini ko'rib chiqishni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi muammolar avvalgi bo'limga qaraganda bir oz ko'proq ishtirok etadi.
Hudud muammosi - Ushbu bo'limda biz aniq integrallar uchun motivatsiyadan boshlaymiz va aniq integrallarning talqinlaridan birini beramiz. Biz funktsiya va \(x\) o'qi o'rtasida joylashgan maydon miqdorini taxmin qilamiz. Keyingida ko'rib turganimizdek, bu muammo bizni aniq integralning ta'rifiga olib boradi va biz ushbu materialda ko'rib chiqiladigan aniq integralning asosiy talqinlaridan biri bo'ladi.
Aniq integralning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz aniq integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, uning ko'pgina xususiyatlarini beramiz va aniq integralning bir nechta talqinlarini muhokama qilamiz. Biz, shuningdek, hosilalar va integrallar o'rtasidagi juda yaqin munosabatni ko'rsatadigan Hisoblashning asosiy teoremasining birinchi qismini ko'rib chiqamiz.
Aniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz Hisoblashning asosiy teoremasining ikkinchi qismini ko'rib chiqamiz. Bu bizga aniq integrallarni (ko'pincha juda yoqimsiz) ta'rifdan foydalanmasdan qanday hisoblashimizni ko'rsatadi. Ushbu bo'limdagi misollar noaniq integrallar haqidagi asosiy bilimlar bilan bajarilishi mumkin va almashtirish qoidasidan foydalanishni talab qilmaydi. Ushbu bo'limdagi misollarga qismli va mutlaq qiymatli funktsiyalarning aniq integrallarini hisoblash kiradi.
Aniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini qayta ko'rib chiqamiz, chunki u aniq integrallarga nisbatan qo'llaniladi. Ushbu bo'limdagi misollarni bajarish uchun yagona haqiqiy talablar noaniq integrallarni almashtirish qoidasini bajarish va umuman aniq integrallarni qanday hisoblashni tushunishdir.
Noaniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz bir nechta noaniq integrallarni hisoblaymiz. Ushbu bo'limdagi integrallar integralni haqiqatda hisoblash uchun biz integrallashayotgan funktsiyani ko'p manipulyatsiya qilishni talab qilmaydiganlar bo'ladi. Keyingidan boshlab ko'rib turganimizdek, ko'plab integrallar biz integralni amalga oshirishimizdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi. Shuningdek, biz noaniq integrallarning qo'llanilishini tez ko'rib chiqamiz.
Noaniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz eng keng tarqalgan va foydali integratsiya usullaridan birini - almashtirish qoidasidan foydalanishni boshlaymiz. O'zgartirish qoidasi bilan biz turli xil funktsiyalarni birlashtira olamiz. Ushbu bo'limdagi integrallar oldingi bo'limdagi ko'pgina integrallardan farqli o'laroq, integrallashdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi, bu erda bizga faqat asosiy integratsiya formulalari kerak edi.
Ko'proq almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini ko'rib chiqishni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi muammolar avvalgi bo'limga qaraganda bir oz ko'proq ishtirok etadi.
Hudud muammosi - Ushbu bo'limda biz aniq integrallar uchun motivatsiyadan boshlaymiz va aniq integrallarning talqinlaridan birini beramiz. Biz funktsiya va \(x\) o'qi o'rtasida joylashgan maydon miqdorini taxmin qilamiz. Keyingida ko'rib turganimizdek, bu muammo bizni aniq integralning ta'rifiga olib boradi va biz ushbu materialda ko'rib chiqiladigan aniq integralning asosiy talqinlaridan biri bo'ladi.
Aniq integralning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz aniq integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, uning ko'pgina xususiyatlarini beramiz va aniq integralning bir nechta talqinlarini muhokama qilamiz. Biz, shuningdek, hosilalar va integrallar o'rtasidagi juda yaqin munosabatni ko'rsatadigan Hisoblashning asosiy teoremasining birinchi qismini ko'rib chiqamiz.
Aniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz Hisoblashning asosiy teoremasining ikkinchi qismini ko'rib chiqamiz. Bu bizga aniq integrallarni (ko'pincha juda yoqimsiz) ta'rifdan foydalanmasdan qanday hisoblashimizni ko'rsatadi. Ushbu bo'limdagi misollar noaniq integrallar haqidagi asosiy bilimlar bilan bajarilishi mumkin va almashtirish qoidasidan foydalanishni talab qilmaydi. Ushbu bo'limdagi misollarga qismli va mutlaq qiymatli funktsiyalarning aniq integrallarini hisoblash kiradi.
Aniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini qayta ko'rib chiqamiz, chunki u aniq integrallarga nisbatan qo'llaniladi. Ushbu bo'limdagi misollarni bajarish uchun yagona haqiqiy talablar noaniq integrallarni almashtirish qoidasini bajarish va umuman aniq integrallarni qanday hisoblashni tushunishdir.
Integrallarning qo'llanilishi - Ushbu bobda biz integrallarning ba'zi qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Funktsiyaning o'rtacha qiymati, egri chiziqlar orasidagi maydon, hajm (har ikkala inqilobdagi qattiq jismlar va boshqa qattiq jismlar) va ishni ko'rib chiqamiz.
Funktsiyaning o'rtacha qiymati – Ushbu bo‘limda funksiyaning intervaldagi o‘rtacha qiymatini aniqlash uchun aniq integrallardan foydalanishni ko‘rib chiqamiz. Shuningdek, biz integrallar uchun o'rtacha qiymat teoremasini beramiz.
Egri chiziqlar orasidagi maydon - Ushbu bo'limda biz ushbu bobda aniq integrallarning asosiy qo'llanilishidan birini ko'rib chiqamiz. Ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlaymiz.
Inqilobning qattiq jismlarining hajmlari / Halqalar usuli - Ushbu bo'limda, revolyutsiya jismining hajmini topishga bag'ishlangan ikkita bo'limdan birinchisi, biz ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) o'qi bo'lishi mumkin) vertikal yoki gorizontal aylanish o'qi atrofida aylantirish orqali olingan ob'ekt hajmini topish uchun halqalar/disklar usulini ko'rib chiqamiz.
Revolyutsiyaning qattiq jismlarining hajmlari / silindrlar usuli – Bu boʻlimda, revolyutsiya qattiq jismining hajmini topishga bagʻishlangan ikkita boʻlimning ikkinchisi, vertikal yoki gorizontal aylanish oʻqi atrofida ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) oʻqi boʻlishi mumkin) aylantirish orqali olingan obʼyekt hajmini topish uchun silindr/qobiqlar usulini koʻrib chiqamiz.
Ko'proq ovoz balandligi muammolari - Oldingi ikki bo'limda biz qattiq jismlarni ko'rib chiqdik, ularni inqilobning qattiq jismlari sifatida ko'rib chiqdik. Hamma qattiq jismlarni inqilobning qattiq jismlari deb hisoblash mumkin emas va aslida inqilobning barcha qattiq jismlarini avvalgi ikki bo'limdagi usullardan foydalanib osonlikcha hal qilib bo'lmaydi. Shunday qilib, ushbu bo'limda biz aylanishlarning qattiq jismlari bo'lmagan yoki inqilobning qattiq jismini bajarish oson bo'lmagan ba'zi qattiq jismlarning hajmini topishni ko'rib chiqamiz.
Ishlash - Ushbu bo'limda biz ma'lum masofada kuch ta'siriga duchor bo'lgan ob'ektni harakatlantirish uchun zarur bo'lgan ish hajmini aniqlashni ko'rib chiqamiz.
Egri chiziqlar orasidagi maydon - Ushbu bo'limda biz ushbu bobda aniq integrallarning asosiy qo'llanilishidan birini ko'rib chiqamiz. Ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlaymiz.
Inqilobning qattiq jismlarining hajmlari / Halqalar usuli - Ushbu bo'limda, revolyutsiya jismining hajmini topishga bag'ishlangan ikkita bo'limdan birinchisi, biz ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) o'qi bo'lishi mumkin) vertikal yoki gorizontal aylanish o'qi atrofida aylantirish orqali olingan ob'ekt hajmini topish uchun halqalar/disklar usulini ko'rib chiqamiz.
Revolyutsiyaning qattiq jismlarining hajmlari / silindrlar usuli – Bu boʻlimda, revolyutsiya qattiq jismining hajmini topishga bagʻishlangan ikkita boʻlimning ikkinchisi, vertikal yoki gorizontal aylanish oʻqi atrofida ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) oʻqi boʻlishi mumkin) aylantirish orqali olingan obʼyekt hajmini topish uchun silindr/qobiqlar usulini koʻrib chiqamiz.
Ko'proq ovoz balandligi muammolari - Oldingi ikki bo'limda biz qattiq jismlarni ko'rib chiqdik, ularni inqilobning qattiq jismlari sifatida ko'rib chiqdik. Hamma qattiq jismlarni inqilobning qattiq jismlari deb hisoblash mumkin emas va aslida inqilobning barcha qattiq jismlarini avvalgi ikki bo'limdagi usullardan foydalanib osonlikcha hal qilib bo'lmaydi. Shunday qilib, ushbu bo'limda biz aylanishlarning qattiq jismlari bo'lmagan yoki inqilobning qattiq jismini bajarish oson bo'lmagan ba'zi qattiq jismlarning hajmini topishni ko'rib chiqamiz.
Ishlash - Ushbu bo'limda biz ma'lum masofada kuch ta'siriga duchor bo'lgan ob'ektni harakatlantirish uchun zarur bo'lgan ish hajmini aniqlashni ko'rib chiqamiz.