14.5-bo'lim: Lagrange multiplikatorlari
Oldingida biz optimallashtirdik (i.e. mutlaq ekstremani topdi) uning chegarasini o'z ichiga olgan mintaqadagi funktsiya. Mintaqaning ichki qismida potentsial optimal nuqtalarni topish unchalik yomon emas, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu muhim nuqtalarni topish va ularni funktsiyaga ulash edi. Biroq, misollarda ko'rganimizdek, chegarada potentsial optimal nuqtalarni topish ko'pincha juda uzoq va tartibsiz jarayon edi.
Ushbu bo'limda biz berilgan cheklash(lar)ga bog'liq bo'lgan funksiyani optimallashtirishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz. Cheklov(lar) hudud chegarasini tavsiflovchi tenglama(lar) boʻlishi mumkin, ammo bu boʻlimda biz bu turdagi muammolarga eʼtibor qaratmaymiz, chunki bu usul shunchaki umumiy cheklovni talab qiladi va cheklov qayerdan kelganiga ahamiyat bermaydi.
Shunday qilib, keling, narsalarni tartibga keltiraylik. Biz optimallashtirishni xohlaymiz (i.e. \(g\left( {x,y,z} \right) = k\) cheklovi ostida \(f\left( {x,y,z} \right)\) funksiyasining minimal va maksimal qiymatini toping. Shunga qaramay, cheklov mintaqaning chegarasini tavsiflovchi tenglama bo'lishi mumkin yoki u bo'lmasligi mumkin. Jarayon aslida juda oddiy, garchi ish ba'zida biroz og'ir bo'lishi mumkin.
Lagranj multiplikatorlari usuli
- Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching. \[\begin{align*}\nabla f\left( {x,y,z} \right) & = \lambda \,\,\nabla g\left( {x,y,z} \right)\\ g\left( {x,y,z} \right) & = k\end{align*}\]
- \(\left( {x,y,z} \right)\) ga birinchi qadamdan boshlab barcha yechimlarni ulang va minimal va maksimal qiymatlarni aniqlang, agar ular mavjud bo'lsa va \(\nabla g \ne \vec{0}\) nuqtada.
\(\lambda \) doimiysi deyiladi Lagrange multiplikatori.
E'tibor bering, usuldagi tenglamalar sistemasi aslida to'rtta tenglamaga ega, biz tizimni oddiyroq shaklda yozdik. Buni ko'rish uchun keling, birinchi tenglamani olaylik va biz nimani olishimizni ko'rish uchun gradient vektorining ta'rifini kiritamiz.
\[\left\langle {{f_x},{f_y},{f_z}} \right\rangle = \lambda \left\langle {{g_x},{g_y},{g_z}} \right\rangle = \left\langle {\lambda {g_x},\lambda {g_y},\lambda {g_z}} \right\rangle \]Bu ikki vektor teng bo'lishi uchun alohida komponentlar ham teng bo'lishi kerak. Demak, bizda aslida uchta tenglama bor.
\[{f_x} = \lambda {g_x}\hspace{0.25in}{f_y} = \lambda {g_y}\hspace{0.25in}{f_z} = \lambda {g_z}\]Ushbu uchta tenglama \(g\left( {x,y,z} \right) = k\) cheklovi bilan birga to'rtta noma'lum \(x\), \(y\), \(z\) va \(\lambda \) bilan to'rtta tenglamani beradi.
Shuni ham yodda tutingki, agar bizda faqat ikkita o'zgaruvchining funksiyalari bo'lsa, bizda gradientning uchinchi komponenti bo'lmaydi va shuning uchun uchta noma'lum \(x\), \(y\) va \(\lambda \) da faqat uchta tenglama bo'ladi.
Yakuniy eslatma sifatida biz ba'zi hollarda minimal va maksimal qiymatlar mavjud bo'lmasligiga ehtiyot bo'lishimiz kerak, garchi usul ular borligini bildirsa ham. Har bir muammoda muammoni boshlashdan oldin minimal va maksimallar mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Yuqoridagi formulalar uchun jismoniy asoslashni ko'rish uchun \({x^2} + {y^2} = 1\) cheklovi ostida \(f\left( {x,y} \right) = 8{x^2} - 2y\) ning minimal va maksimal qiymatini ko'rib chiqaylik. Ushbu bo'lim uchun amaliy masalalarda (aniqrog'i 2-muammo) \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal qiymati \(\left( {0,1} \right)\) da sodir bo'ladigan -2 ekanligini va \(f\left( {x,y} \right)\) ning maksimal qiymati \(\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\) va \(\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\) da uchraydigan 8,125 ekanligini ko'rsatamiz.
Mana \(k\) ning turli qiymatlari uchun \(f\left( {x.y} \right) = k\) bilan bir qatorda cheklovning eskizi.
Avval shuni esda tutingki, tizim uchun echimlar bu holda \({x^2} + {y^2} = 1\) cheklov grafigida bo'lishi kerak. Biz \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal/maksimal qiymatini qidirayotganimiz sababli, bu, o'z navbatida, \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal/maksimal qiymatining joylashishini anglatadi, i.e. \(\left( {x,y} \right)\) nuqtasi \(k\) \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal yoki maksimal qiymati bo'lganda, \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi cheklash grafigi bilan kesishgan joyda paydo bo'lishi kerak.
Endi biz \(f\left( {x,y} \right) = - 2\) grafigini ko'rishimiz mumkin, i.e. \(f\left( {x,y} \right)\) minimal qiymatining grafigi faqat \(\left( {0,1} \right)\) da cheklov grafigiga tegadi. Aslida, bu nuqtadagi ikkita grafik tangensdir.
Agar ikkita grafik shu nuqtada tangens bo'lsa, ularning normal vektorlari parallel bo'lishi kerak, i.e. ikkita normal vektor bir-birining skalyar ko'paytmalari bo'lishi kerak. Matematik jihatdan bu shuni anglatadiki,
\[\nabla f\left( {x,y,z} \right) = \lambda \,\,\nabla g\left( {x,y,z} \right)\]ba'zi skalyar \(\lambda \) uchun va bu biz usulda hal qilishimiz kerak bo'lgan tizimdagi aynan birinchi tenglama.
Shuni ham yodda tutingki, \(k\) \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal qiymatidan kichik bo'lsa, \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi cheklov grafigini kesib o'tmaydi va shuning uchun funktsiya \(k\) qiymatini cheklovni qondiradigan nuqtada olishi mumkin emas.
Xuddi shunday, agar \(k\) \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal qiymatidan kattaroq bo‘lsa, \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi cheklov grafigini kesib o‘tadi, lekin ikkala grafik kesishish nuqtasi(lar)ida tangens emas. Bu shuni anglatadiki, biz tenglamalar sistemasini echishda usul o'sha kesishish nuqtalarini topa olmaydi.
Keyinchalik, quyidagi grafik \(k\) qiymatlarining boshqa to'plamini ko'rsatadi. Bunday holda, \(k\) qiymatlari \(f\left( {x,y} \right)\) ning maksimal qiymatini, shuningdek, maksimal qiymatning har ikki tomonidagi bir nechta qiymatlarni o'z ichiga oladi.
Yana shuni ko'ramizki, \(f\left( {x,y} \right) = 8.125\) grafigi ikki nuqtada cheklov grafigiga tegadi. Bu yaxshi narsa, chunki biz bilamizki, yechim ikki nuqtada sodir bo'lishi kerakligini aytadi. Shuni ham yodda tutingki, ushbu nuqtalarda \(f\left( {x,y} \right) = 8.125\) grafigi va cheklov tangensdir va shuning uchun minimal qiymatlarda bo'lgani kabi, normal vektorlar ham bu nuqtalarda parallel bo'lishi kerak.
Xuddi shunday, \(k\) qiymati 8.125 dan katta bo'lsa, \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi cheklov grafigini kesib o'tmaydi va shuning uchun \(f\left( {x,y} \right)\) cheklovda joylashgan nuqtalarda kattaroq qiymatlarni qabul qila olmaydi.
Bundan tashqari, \(k\) ning 8.125 dan kichik qiymatlari uchun \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi cheklov grafigini kesib o'tadi, lekin kesishish nuqtalarida tangens bo'lmaydi va shuning uchun biz tenglamalar sistemasini yechishda usul bu kesishish nuqtalarini yaratmaydi.
Shunday qilib, ushbu grafiklar bilan biz \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal/maksimal qiymatlari \(f\left( {x,y} \right) = k\) grafigi va cheklov grafigi tangens va shuning uchun ularning normal vektorlari parallel bo'lgan joyda kelishini ko'rdik. Bundan tashqari, chunki nuqta cheklovning o'zida sodir bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, \(f\left( {x,y} \right)\) ning minimal/maksimal qiymatini aniqlash uchun biz yechishimiz kerak bo‘lgan tenglamalar sistemasi aynan yuqoridagi usulni joriy qilganimizda berilgan.
E'tibor bering, yuqoridagi jismoniy asoslash ikki o'lchovli tizim uchun qilingan, ammo xuddi shu asoslash yuqori o'lchamlarda ham amalga oshirilishi mumkin. Farqi shundaki, yuqori o'lchamlarda biz egri chiziqlar bilan ishlamaymiz. Masalan, uch o'lchamda biz yuzalar bilan ishlaymiz. Biroq, xuddi shu g'oyalar hali ham saqlanib qoladi. Sirtlarning minimal va maksimal qiymatlarini beradigan nuqtalarda parallel bo'ladi va shuning uchun normal vektorlar ham parallel bo'ladi.
Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Jarayonni boshlashdan oldin, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish yo'lini ham ko'rganimizni unutmang Calculus I, bu muammolardan tashqari, biz faqat ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olgan hajm va sirt maydoni funktsiyasiga tushishimiz uchun qutining bir tomonini boshqa tomonlar bilan bog'laydigan shartni talab qildik. Bu muammolar uchun bizga bu shart endi kerak emas.
Endi muammoni hal qilishga kirishamiz. Avval biz optimallashtirmoqchi bo'lgan funktsiyani, shuningdek cheklovni aniqlashimiz kerak. Keling, qutining uzunligini \(x\), kengligini \(y\) va balandligini \(z\) qilib belgilaymiz. Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, biz qutining o'lchamlari bilan shug'ullanayotganimiz sababli, \(x\), \(y\) va \(z\) barcha ijobiy miqdorlar deb taxmin qilish mumkin.
Biz eng katta hajmni topmoqchimiz va shuning uchun optimallashtirmoqchi bo'lgan funksiya quyidagicha beriladi:
\[f\left( {x,y,z} \right) = xyz\]Keyinchalik, biz bilamizki, qutining sirt maydoni doimiy bo'lishi kerak 64. Demak, bu cheklov. Qutining sirt maydoni shunchaki tomonlarning har birining maydonlarining yig'indisidir, shuning uchun cheklov quyidagicha ifodalanadi:
\[2xy + 2xz + 2yz = 64\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}xy + xz + yz = 32\]E'tibor bering, biz tenglamani biroz soddalashtirish uchun cheklovni 2 ga bo'ldik. Bundan tashqari, biz \(g\left( {x,y,z} \right)\) funksiyasini olamiz.
\[g\left( {x,y,z} \right) = xy + xz + yz\]Agar biz o'zgaruvchilarga ba'zi cheklovlar qo'ymagunimizcha, \(f\left( {x,y,z} \right) = xyz\) funktsiyasining o'zi aniq na minimal yoki maksimalga ega bo'lmaydi. Bizda mavjud bo'lgan yagona haqiqiy cheklov shundaki, barcha o'zgaruvchilar ijobiy bo'lishi kerak. Bu, albatta, funktsiyaning minimal, nolga ega ekanligini anglatadi, garchi bu ahmoqona qiymat bo'lsa-da, chunki bu bizda deyarli quti yo'qligini anglatadi. Biroq, bu biz \(f\left( {x,y,z} \right)\) minimal mavjudligini bilishimizni anglatadi.
Shunday qilib, keling, \(f\left( {x,y,z} \right)\) maksimalga ega bo'ladimi yoki yo'qligini bilib olaylik. Shubhasiz, umid qilamanki, \(f\left( {x,y,z} \right)\) maksimal qiymatga ega bo'lmaydi, agar barcha o'zgaruvchilar chegaralanmagan holda o'sishiga ruxsat berilsa. Biroq, bu cheklov tufayli sodir bo'lmaydi,
\[xy + xz + yz = 32\]Bu erda biz uchta musbat sonning yig'indisini oldik (esda tutingki, biz \(x\), \(y\) va \(z\) musbat, chunki biz quti bilan ishlaymiz) va yig'indi 32 ga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, agar o'zgaruvchilardan biri juda katta bo'lsa, deylik \(x\) mahsulotning har biri 2 dan kichik bo'lishi kerak. \(y\) va \(z\) birinchi ikkita atama 32 dan kichik ekanligiga ishonch hosil qilish uchun juda kichik bo'lishi kerak. Demak, barcha o'zgaruvchilar chegaralanmagan holda ko'payishi mumkin emas va shuning uchun \(f\left( {x,y,z} \right) = xyz\) funksiyasi maksimalga ega bo'lishi ma'lum bo'lishi kerak.
Bu \(f\left( {x,y,z} \right)\) maksimal qiymatga ega bo'lishining aniq dalili emas, lekin u \(f\left( {x,y,z} \right)\) cheklovga bog'liq ekan, maksimal qiymatga ega bo'lishi kerakligini tasavvur qilishga yordam berishi kerak.
Mana biz hal qilishimiz kerak bo'lgan to'rtta tenglama.
\[\begin{equation}yz = \lambda \left( {y + z} \right)\hspace{0.75in}\left( {{f_x} = \lambda {g_x}} \right) \label{eq:eq1}\end{equation}\] \[\begin{equation}xz = \lambda \left( {x + z} \right)\hspace{0.75in}\left( {{f_y} = \lambda {g_y}} \right)\label{eq:eq2}\end{equation}\] \[\begin{equation}xy = \lambda \left( {x + y} \right)\hspace{0.75in}\left( {{f_z} = \lambda {g_z}} \right)\label{eq:eq3}\end{equation}\] \[\begin{equation}xy + xz + yz = 32\hspace{0.75in}\left( {g\left( {x,y,z} \right) = 32} \right) \label{eq:eq4} \end{equation}\]Ushbu tizimni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Biz buni quyidagi tarzda hal qilamiz. \(\eqref{eq:eq1}\) tenglamasini \(x\) ga, \(\eqref{eq:eq2}\) tenglamasini \(y\) ga va \(\eqref{eq:eq3}\) tenglamasini \(z\) ga ko‘paytiramiz. Bu beradi,
\[\begin{equation}xyz = \lambda x\left( {y + z} \right)\label{eq:eq5}\end{equation}\] \[\begin{equation}xyz = \lambda y\left( {x + z} \right)\label{eq:eq6}\end{equation}\] \[\begin{equation}xyz = \lambda z\left( {x + y} \right)\label{eq:eq7}\end{equation}\]Endi biz \(\eqref{eq:eq5}\) va \(\eqref{eq:eq6}\) tenglamalarini o'rnatishimiz mumkinligiga e'tibor bering. Buni qilish,
\[\begin{align*}\lambda x\left( {y + z} \right) & = \lambda y\left( {x + z} \right)\\ \lambda \left( {xy + xz} \right) - \lambda \left( {yx + yz} \right) &= 0\\ \lambda \left( {xz - yz} \right) & = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\lambda = 0\,\,\,\,\,\,\text{yoki}\,\,\,\,\,xz = yz\end{align*}\]Bu ikkita imkoniyatni berdi. Birinchisi, \(\lambda = 0\) mumkin emas, chunki agar shunday bo'lganida \(\eqref{eq:eq1}\) tenglamasi kamayadi.
\[yz = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,z = 0\]Biz qutining o'lchamlari haqida gapirayotganimiz uchun bularning hech biri mumkin emas, shuning uchun biz \(\lambda = 0\) ni chegirmamiz mumkin. Bu ikkinchi imkoniyatni qoldiradi.
\[xz = yz\]Biz \(z \ne 0\) ni bilganimiz uchun (yana biz qutining o'lchamlari haqida gapiramiz) \(z\) ni ikkala tomondan ham bekor qilishimiz mumkin. Bu beradi,
\[\begin{equation}x = y\label{eq:eq8}\end{equation}\]Keyin \(\eqref{eq:eq6}\) va \(\eqref{eq:eq7}\) tenglamalarini o'rnatamiz. Buni qilish,
\[\begin{align*}\lambda y\left( {x + z} \right) & = \lambda z\left( {x + y} \right)\\ \lambda \left( {yx + yz - zx - zy} \right) & = 0\\ \lambda \left( {yx - zx} \right) & = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\lambda = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,\,yx = zx\end{align*}\]Yuqorida muhokama qilinganidek, biz \(\lambda = 0\) ishlamasligini bilamiz va shuning uchun bu ketadi,
\[yx = zx\]Bundan tashqari, \(x \ne 0\) deb aytishimiz mumkin, chunki biz qutining o'lchamlari bilan shug'ullanamiz, shuning uchun bizda bo'lishi kerak,
\[\begin{equation}z = y\label{eq:eq9}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq8}\) va \(\eqref{eq:eq9}\) tenglamalarini \(\eqref{eq:eq4}\) tenglamasiga ulab olamiz,
\[{y^2} + {y^2} + {y^2} = 3{y^2} = 32\hspace{0.5in}y = \pm \sqrt {\frac{{32}}{3}} = \pm \,3.266\]Biroq, biz \(y\) ijobiy bo'lishi kerakligini bilamiz, chunki biz qutining o'lchamlari haqida gapiramiz. Shuning uchun, bu erda jismoniy ma'noga ega bo'lgan yagona yechim
\[x = y = z = \,3.266\]Shunday qilib, bizda kub borga o'xshaydi.
Bu erda biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bizda faqat bitta yechim borligi sababli, biz bu eng katta hajmni beradigan o'lchamlar deb taxmin qilishimiz mumkin. Har doim biz bitta yechimga ega bo'lsak, biz haqiqatan ham uning maksimal (yoki biz izlayotgan narsa bo'lsa, minimal) ekanligini tekshirishimiz kerak.
Buni qilish aslida juda oddiy. Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, yuqoridagi yechimimizdagi hajm:
\[V = f\left( {\sqrt {\frac{{32}}{3}} ,\sqrt {\frac{{32}}{3}} ,\sqrt {\frac{{32}}{3}} } \right) = {\left( {\sqrt {\frac{{32}}{3}} } \right)^3} = 34.8376\]
Endi biz \(f\left( {x,y,z} \right)\) maksimal mavjud bo'lishini bilamiz (buni yechimda ilgari isbotlangan) va shuning uchun bu haqiqatan ham maksimal ekanligini tekshirish uchun bizning cheklovimizni qondiradigan boshqa o'lchamlar to'plamini topib, ovoz balandligini tekshirishimiz kerak. Agar ushbu yangi o'lchamlar to'plamining hajmi yuqoridagi hajmdan kichikroq bo'lsa, bizning yechimimiz maksimal darajada berishini bilamiz.
Agar boshqa tomondan, yangi o'lchamlar to'plami katta hajmni beradigan bo'lsa, bizda muammo bor. Bizda faqat bitta yechim bor va biz bilamizki, maksimal mavjud va usul bu maksimalni yaratishi kerak. Shunday qilib, bu holatda, ehtimol muammo shundaki, biz biror joyda xatoga yo'l qo'ygan bo'lamiz va biz orqaga qaytib, uni topishimiz kerak.
Shunday qilib, quti uchun yangi o'lchamlar to'plamini topamiz. Biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan yagona narsa shundaki, ular cheklovni qondiradi. Bundan tashqari, o'lchamlarning o'lchamiga boshqa cheklovlar yo'q. Shunday qilib, biz ikkita qiymatni erkin tanlashimiz va uchinchi qiymatni aniqlash uchun cheklovdan foydalanishimiz mumkin.
Keling, \(x = y = 1\) ni tanlaylik. Ushbu qadriyatlar uchun hech qanday sabab yo'q, ular bilan ishlash "oson". Bularni cheklovga ulash, beradi,
\[1 + z + z = 32\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}2z = 31\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}z = \frac{{31}}{2}\]
Shunday qilib, bu cheklovni qondiradigan o'lchamlar to'plami va ushbu o'lchamlar to'plamining hajmi,
\[V = f\left( {1,1,\frac{{31}}{2}} \right) = \frac{{31}}{2} = 15.5 < 34.8376\]
Shunday qilib, yangi o'lchamlar kichikroq hajmni beradi va shuning uchun bizning yuqoridagi yechimimiz, aslida, qutining maksimal hajmini beradigan o'lchamlar \(x = y = z = \,3.266\)
E'tibor bering, biz yuqoridagi misolda \(\lambda \) uchun qiymatlarni hech qachon topa olmadik. Bu bunday muammolar uchun juda standartdir. \(\lambda \) qiymati nuqta maksimal yoki minimal ekanligini aniqlash uchun juda muhim emas, shuning uchun biz ko'pincha uning qiymatini topish bilan bezovtalanmaymiz. Vaqti-vaqti bilan bizga tizimni hal qilishda yordam berish uchun uning qiymati kerak bo'ladi, lekin bunday hollarda ham biz uni nuqtani topishdan oldin ishlatmaymiz.
Yechim
Bu avvalgisiga qaraganda bir oz osonroq bo'ladi, chunki u faqat ikkita o'zgaruvchiga ega. Bundan tashqari, cheklovdan ko'rinib turibdiki, mumkin bo'lgan echimlar mintaqasi \(\sqrt {136} \) radiusli diskda joylashgan bo'lib, u yopiq va cheklangan mintaqa, \( - \sqrt {136} \le x,y \le \sqrt {136} \) va shuning uchun Ekstremal qiymat teoremasi minimal va maksimal qiymat mavjud bo'lishi kerakligini bilamiz.
Mana biz hal qilishimiz kerak bo'lgan tizim.
\[\begin{align*}5 & = 2\lambda x\\ - 3 & = 2\lambda y\\ {x^2} + {y^2} & = 136\end{align*}\]E'tibor bering, oxirgi misolda bo'lgani kabi, bizda \(\lambda = 0\) bo'lishi mumkin emas, chunki bu birinchi ikkita tenglamani qoniqtirmaydi. Shunday qilib, biz \(\lambda \ne 0\) ekanligini bilganimiz uchun biz \(x\) va \(y\) uchun birinchi ikkita tenglamani yecha olamiz. Bu beradi,
\[x = \frac{5}{{2\lambda }}\hspace{0.75in}y = - \frac{3}{{2\lambda }}\]Bularni cheklovga ulash, beradi,
\[\frac{{25}}{{4{\lambda ^2}}} + \frac{9}{{4{\lambda ^2}}} = \frac{{17}}{{2{\lambda ^2}}} = 136\]Buni \(\lambda \) uchun hal qilishimiz mumkin.
\[{\lambda ^2} = \frac{1}{{16}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\lambda = \pm \frac{1}{4}\]Endi biz \(\lambda \) ni bilganimizdan so'ng biz potentsial maksimal va/yoki minimal bo'ladigan nuqtalarni topishimiz mumkin.
Agar \(\lambda = - \frac{1}{4}\) olsak,
\[x = - 10\hspace{0.75in}y = 6\]va agar \(\lambda = \frac{1}{4}\) olsak,
\[x = 10\hspace{0.75in}\hspace{0.25in}y = - 6\]Bizda maksimal yoki minimumlar mavjudligini aniqlash uchun biz ularni funksiyaga ulashimiz kerak. Bundan tashqari, ushbu yechimning boshida muhokamadan shuni esda tutingki, biz bular minimal va maksimallar bo'lishini bilamiz, chunki Ekstremal qiymat teoremasi bizga ushbu muammo uchun minimal va maksimallar mavjudligini aytadi.
Bu yerda funksiyaning minimal va maksimal qiymatlari keltirilgan.
\[\begin{align*}f\left( { - 10,6} \right) & = - 68 & \hspace{0.25in} &{\mbox{Minimum at }}\left( { - 10,6} \right)\\ f\left( {10, - 6} \right) & = 68 & \hspace{0.5in} & {\mbox{Maximum at }}\left( {10, - 6} \right)\end{align*}\]Birinchi ikkita misolda biz \(\lambda = 0\) ni jismoniy sabablarga ko'ra yoki bir yoki bir nechta tenglamalarni hal eta olmagani uchun chiqarib tashladik. Har doim ham bu sodir bo'lishini kutmang. Ba'zan biz \(\lambda \) qiymatini avtomatik ravishda chiqarib tashlashimiz mumkin, ba'zida esa yo'q.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Avval e'tibor bering, bizning cheklovimiz uchta musbat yoki nol sonning yig'indisi va u 1 bo'lishi kerak. Demak, bizning yechimimiz \(0 \le x,y,z \le 1\) diapazoniga tushishi aniq va shuning uchun yechim yopiq va chegaralangan mintaqada yotishi kerak. Ekstremal qiymat teoremasi minimal va maksimal qiymat mavjud bo'lishi kerakligini bilamiz.
Bu erda biz yechishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasi.
\[\begin{equation}yz = \lambda \label{eq:eq10}\end{equation}\] \[\begin{equation}xz = \lambda \label{eq:eq11}\end{equation}\] \[\begin{equation}xy = \lambda \label{eq:eq12}\end{equation}\] \[\begin{equation}x + y + z = 1 \label{eq:eq13}\end{equation}\]Keling, ushbu yechim jarayonini birinchi uchta tenglamada \(\lambda \) ga ega bo'lganligi sababli ularning barchasi teng ekanligini ko'rib boshlaylik. Shunday qilib, keling, \(\eqref{eq:eq10}\) va \(\eqref{eq:eq11}\) tenglamalarini o'rnatishdan boshlaylik.
\[yz = xz\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,z\left( {y - x} \right) = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,z = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,\,y = x\]Shunday qilib, bizda ikkita imkoniyat bor. Keling, \(z = 0\) deb faraz qilishdan boshlaylik. Bu holda biz \(\eqref{eq:eq10}\) yoki \(\eqref{eq:eq11}\) tenglamasidan keyin bizda \(\lambda = 0\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. \(\eqref{eq:eq12}\) tenglamasidan ko'ramiz, bu \(xy = 0\) degani. Bu o'z navbatida \(x = 0\) yoki \(y = 0\) degan ma'noni anglatadi.
Shunday qilib, bizda ikkita mumkin bo'lgan ish bor. Har bir holatda o'zgaruvchilarning ikkitasi nolga teng bo'lishi kerak. Buni bilganimizdan so'ng, qolgan qiymatni topish uchun cheklovga, \(\eqref{eq:eq13}\) tenglamasiga ulanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}z = 0,\,\,x = 0 & : & \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 1\\ z = 0,\,\,y = 0 & : & \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 1\end{align*}\]Shunday qilib, bizda \(\left( {0,1,0} \right)\) va \(\left( {1,0,0} \right)\) ikkita mumkin bo'lgan echim bor.
Endi orqaga qaytaylik va boshqa imkoniyatni, \(y = x\) ni ko'rib chiqaylik. Bu erda ham ko'rib chiqishimiz mumkin bo'lgan ikkita holat mavjud.
Bu birinchi holat \(x = y = 0\). Bunday holda, cheklovdan bizda \(z = 1\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun bizda \(\left( {0,0,1} \right)\) uchinchi yechimi bor.
Ikkinchi holat - \(x = y \ne 0\). \(\eqref{eq:eq11}\) va \(\eqref{eq:eq12}\) tenglamalarini o'rnatamiz.
\[xz = xy\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,x\left( {z - y} \right) = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,x = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,z = y\]Endi biz \(x \ne 0\) deb taxmin qildik va shuning uchun yagona imkoniyat bu \(z = y\). Biroq, bu shuni anglatadiki,
\[x = y = z\]Buni cheklashda ishlatish,
\[3x = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,x = \frac{1}{3}\]Shunday qilib, keyingi yechim \(\left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right)\).
Birinchi ikkita tenglamani tenglashtirib, biz to'rtta yechim oldik.
Ushbu muammoni to'liq hal qilish uchun biz \(\eqref{eq:eq10}\) va \(\eqref{eq:eq12}\) tenglamalarini o'rnatishimiz kerak, shuningdek \(\eqref{eq:eq11}\) va \(\eqref{eq:eq12}\) tenglamalarini o'rnatishimiz kerak. Buni qilish,
\[\begin{align*}yz & = xy\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,y\left( {z - x} \right) = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,y = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,z = x\\ xz & = xy\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,x\left( {z - y} \right) = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,x = 0\,\,\,\text{yoki}\,\,\,z = y\end{align*}\]Bularning ikkalasi ham biz ko'rib chiqqan birinchi holatga juda o'xshash va biz ushbu holatlarning har birida biz allaqachon topilgan to'rtta echimga qaytib kelganimizni ko'rsatishni sizga qoldiramiz.
Shunday qilib, bizda to'rtta yechim bor, bizda minimal yoki maksimallar mavjudligini bilish uchun funktsiyani tekshirishimiz kerak.
\[\begin{align*}f\left( {0,0,1} \right) & = 0\hspace{0.25in}\,\,\,f\left( {0,1,0} \right) = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,f\left( {1,0,0} \right) = 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{All Minimums}}\\ f\left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right) & = \frac{1}{{27}} & \hspace{0.25in} & {\mbox{Maximum}}\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda maksimal faqat bir marta, minimal esa uch marta sodir bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, biz hech qachon \(x,y,z \ge 0\) muammoni hal qilishda haqiqatdan ham foydalanmaganmiz. Biz undan yopiq va chegaralangan hududga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun foydalanganmiz, bu bizda mutlaq ekstremal bo'lishini kafolatlaydi. Bu nima uchun muhimligini tushunish uchun keling, ushbu taxminsiz nima sodir bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Masalan.
\[\begin{align*}x = - 100,\,\,y = 100,\,\,z = 1\,\, & :\,\,\,\, - 100 + 100 + 1 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( { - 100,100,1} \right) = - 10000\\ x = - 50,\,\,y = - 50,\,\,z = 101\,\, & :\,\,\,\, - 50 - 50 + 101 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( { - 50, - 50,101} \right) = 252500\end{align*}\]Ushbu misollar yordamida siz kattaroq va kichikroq funktsiya qiymatlarini beradigan nuqtalarni topish unchalik qiyin emasligini aniq ko'rishingiz mumkin. Biroq, ushbu misollarning barchasi cheklovni qondirishimizga ishonch hosil qilish uchun \(x\), \(y\) va/yoki \(z\) ning salbiy qiymatlarini talab qildi. Ularni yo'q qilish orqali biz ekstremal qiymat teoremasi bo'yicha minimal va maksimal qiymatlarga ega ekanligimizni bilib olamiz.
Davom etishdan oldin biz oxirgi misolda Lagrange multiplikatorlari usulini ko'rsatadigan tezkor masalani hal qilishimiz kerak. Biz funktsiyaning mutlaq minimal va maksimal qiymatini topdik. Biroq, biz topa olmadik - bu mutlaq minimal bo'lgan barcha joylar. Misol uchun, \(x,y,z\ge 0\) deb faraz qilib, quyidagi nuqtalar to'plamini ko'rib chiqing.
\[\begin{array}{ll} \left( 0,y,z \right) & \text{where}\,\,\,\,y+z=1 \\ \left( x,0,z \right) & \text{where}\,\,\,\,x+z=1 \\ \left( x,y,0 \right) & \text{where}\,\,\,\,x+y=1 \\ \end{array}\]Ushbu nuqtalar to'plamidagi har bir nuqta muammoning cheklanishini qondiradi va har bir holatda funktsiya nolga baholanadi va shuning uchun ham mutlaq minimumni beradi.
Xo'sh, nima bo'lyapti? Oldingidan eslang, biz mutlaq ekstremalga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun tanqidiy nuqtalarni ham, chegaralarni ham tekshirishimiz kerak edi. Hisoblash Ida ham xuddi shunday edi. Biz mutlaq ekstremaga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun oraliqning kritik nuqtalarini ham, oxirgi nuqtalarini ham tekshirishimiz kerak edi.
Ma'lum bo'lishicha, agar biz mutlaq ekstremallarning barcha joylarini topganimizni bilmoqchi bo'lsak, bu erda ham xuddi shunday qilishimiz kerak. Lagrange multiplikatorlari usuli mutlaq ekstremalni topadi, u faqat ularning barcha joylarini topa olmasligi mumkin, chunki usul o'zgaruvchilar diapazonlarining so'nggi nuqtalarini hisobga olmaydi (esda tutingki, biz ushbu nuqtalarning ba'zilariga omad keltiramiz, lekin biz bunga kafolat bera olmaymiz).
Shunday qilib, Lagrange multiplikator usulidan o'tganimizdan so'ng, biz o'zgaruvchilar diapazonlarining oxirgi nuqtalarida nima sodir bo'lishini so'rashimiz kerak. Misol uchun, bu \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), \(x=1\), \(y=1\) va \(z=1\) bo'lsa nima bo'lishini ko'rishni anglatadi. Birinchi uchta holatda biz yuqorida sanab o'tilgan ballarni olamiz, ular ham mutlaq minimumni beradi. Keyingi uchta holat uchun biz ko'rishimiz mumkinki, agar o'zgaruvchilardan biri 1 bo'lsa, qolgan ikkitasi nolga teng bo'lishi kerak (cheklovni qondirish uchun) va ular aslida misolda topilgan. Ba'zida bu sodir bo'ladi va ba'zida bo'lmaydi.
Ushbu misolda har bir o'zgaruvchan diapazonning so'nggi nuqtalari mutlaq ekstremallikni berdi, ammo har safar bunday bo'lishini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. Yuqoridagi 2-misolda, masalan, o'zgaruvchilar diapazonlarining so'nggi nuqtalari mutlaq ekstremal qiymatlarni bermaydi (biz buni tekshirishga ruxsat beramiz).
Buning axloqiy tomoni shundaki, agar biz ma'lum bir muammo uchun mutlaq ekstremalarning har bir joyiga ega ekanligini bilmoqchi bo'lsak, bizda bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday o'zgaruvchan diapazonlarning oxirgi nuqtalarini ham tekshirishimiz kerak. Agar bizni qiziqtirgan narsa mutlaq ekstremaning qiymati bo'lsa, unda buni qilish uchun hech qanday sabab yo'q.
OK, biroz boshqacha mavzuga o'tish vaqti keldi. Shu nuqtaga qadar biz faqat tenglama bo'lgan cheklovlarni ko'rib chiqdik. Bizda tengsizliklar bo'lgan cheklovlar ham bo'lishi mumkin. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish jarayoni biz ushbu bo'limda shu paytgacha qilgan ishimiz bilan deyarli bir xil. Ikki turdagi muammolar o'rtasidagi asosiy farq shundaki, biz Lagrange multiplikatorlari yordamida topilgan qiymatlarni tekshirganda, biz cheklashdagi tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha kritik nuqtalarni topishimiz va ularni funktsiyada tekshirishimiz kerak bo'ladi.
Ushbu turdagi muammolar qanday ishlashini ko'rish uchun misol bilan ishlaylik.
Yechim
E'tibor bering, bu erda cheklov disk uchun tengsizlikdir. Chunki bu yopiq va chegaralangan hudud Ekstremal qiymat teoremasi minimal va maksimal qiymat mavjud bo'lishi kerakligini aytadi.
Birinchi qadam diskdagi barcha muhim nuqtalarni topishdir (i.e. cheklovni qondirish). Bu muammo uchun buni qilish juda oson. Bu erda ikkita birinchi tartibli qisman hosilalar mavjud.
\[\begin{align*}{f_x} & = 8x & & \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,8x = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,x = 0\\ {f_y} & = 20y & & \Rightarrow \hspace{0.25in}20y = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,y = 0\end{align*}\]Shunday qilib, yagona muhim nuqta \(\left( {0,0} \right)\) va u tengsizlikni qondiradi.
Bu nuqtada biz Lagrange ko'paytmalari bilan davom etamiz va cheklovni tengsizlik o'rniga tenglik sifatida ko'rib chiqamiz. Kritik nuqtalarni topishda biz faqat tengsizlik bilan shug'ullanishimiz kerak.
Shunday qilib, biz yechishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasi.
\[\begin{align*}8x & = 2\lambda x\\ 20y & = 2\lambda y\\ {x^2} + {y^2} & = 4\end{align*}\]Birinchi tenglamadan biz olamiz,
\[2x\left( {4 - \lambda } \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,x = 0\,\,\,\,\text{yoki}\,\,\,\,\,\lambda = 4\]Agar bizda \(x = 0\) bo'lsa, unda cheklov bizga \(y = \pm \,2\) beradi.
Agar bizda \(\lambda = 4\) bo'lsa, ikkinchi tenglama bizga beradi,
\[20y = 8y\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,y = 0\]Cheklov bizga \(x = \pm \,2\) ekanligini aytadi.
Agar biz ikkinchi tenglama bo'yicha shunga o'xshash tahlilni o'tkazganimizda, biz bir xil nuqtalarga kelgan bo'lardik.
Shunday qilib, Lagrange multiplikatorlari bizga tekshirish uchun to'rt ball beradi: \(\left( {0,2} \right)\), \(\left( {0, - 2} \right)\), \(\left( {2,0} \right)\) va \(\left( { - 2,0} \right)\).
Maksimal va minimalni topish uchun biz ushbu to'rtta nuqtani funktsiyadagi kritik nuqta bilan birlashtirishimiz kerak.
\[\begin{align*}f\left( {0,0} \right) & = 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Minimum}}\\ f\left( {2,0} \right) & = f\left( { - 2,0} \right) = 16 & &\\ f\left( {0,2} \right) & = f\left( {0, - 2} \right) = 40 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Maximum}}\end{align*}\]Bunday holda, minimal diskning ichki qismi va maksimal disk chegarasida edi.
Ushbu bo'limda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy mavzu - agar bizda bir nechta cheklovlar mavjud bo'lsa, nima qilish kerak. Biz faqat ikkita cheklovni ko'rib chiqamiz, lekin tabiiyki, biz bu erda ishni ikkitadan ortiq cheklovlarga kengaytirishimiz mumkin.
Biz \(f\left( {x,y,z} \right)\) ni \(g\left( {x,y,z} \right) = c\) va \(h\left( {x,y,z} \right) = k\) cheklovlariga muvofiq optimallashtirishni xohlaymiz. Bu holatda biz hal qilishimiz kerak bo'lgan tizim,
\[\begin{align*}\nabla f\left( {x,y,z} \right) & = \lambda \nabla g\left( {x,y,z} \right) + \mu \nabla h\left( {x,y,z} \right)\\ g\left( {x,y,z} \right) & = c\\ h\left( {x,y,z} \right) & = k\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda biz ikkita Lagrange multiplikatorini olamiz. Shuni ham yodda tutingki, birinchi tenglama haqiqatan ham oldingi misollarda ko'rganimizdek uchta tenglamadir. Keling, bunday optimallashtirish muammosining misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu erda minimal va maksimal qiymatga ega bo'lishini tekshirish biroz qiyinroq. Shubhasiz, ikkinchi cheklov tufayli bizda \( - 1 \le x,y \le 1\) bo'lishi kerak. Shuni yodda tutgan holda, birinchi cheklov bajarilganligiga ishonch hosil qilish uchun \(z\) da bir qator cheklovlar bo'lishi kerak. Agar kimdir haqiqatan ham ushbu diapazonni aniqlamoqchi bo'lsa, \({x^2} + {y^2} = 1\) ga tegishli \(2x - y\) ning minimal va maksimal qiymatlarini topishingiz mumkin va undan keyin \(z\) ning minimal va maksimal qiymatlarini aniqlash uchun foydalanishingiz mumkin. Bu erda biz buni qilmaymiz. Gap shundaki, yana bir bor tan olish kerak mumkin bo'lgan yechimlar yopiq va chegaralangan mintaqada yotishi kerak va shuning uchun minimal va maksimal qiymatlar mavjud bo'lishi kerak Ekstremal qiymat teoremasi.
Mana biz yechishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasi.
\[\begin{equation}0 = 2\lambda + 2\mu x\hspace{0.5in}\left( {{f_x} = \lambda {g_x} + \mu {h_x}} \right)\label{eq:eq14}\end{equation}\] \[\begin{equation}4 = - \lambda + 2\mu y\hspace{0.5in}\left( {{f_y} = \lambda {g_y} + \mu {h_y}} \right)\label{eq:eq15}\end{equation}\] \[\begin{equation} - 2 = - \lambda \hspace{0.5in}\left( {{f_z} = \lambda {g_z} + \mu {h_z}} \right)\label{eq:eq16}\end{equation}\] \[\begin{equation}2x - y - z = 2 \label{eq:eq17}\end{equation}\] \[\begin{equation}{x^2} + {y^2} = 1 \label{eq:eq18}\end{equation}\]Birinchidan, \(\eqref{eq:eq16}\) tenglamasidan biz \(\lambda = 2\) olishimizga e'tibor bering. Buni \(\eqref{eq:eq14}\) va \(\eqref{eq:eq15}\) tenglamalariga ulash va mos ravishda \(x\) va \(y\) uchun yechish,
\[\begin{align*}0 & = 4 + 2\mu x & \hspace{0.1in} & \Rightarrow \hspace{0.5in}x = - \frac{2}{\mu }\\ 4 & = - 2 + 2\mu y & \hspace{0.1in} & \Rightarrow \hspace{0.5in}y = \frac{3}{\mu }\end{align*}\]Endi ularni \(\eqref{eq:eq18}\) tenglamasiga kiriting.
\[\frac{4}{{{\mu ^2}}} + \frac{9}{{{\mu ^2}}} = \frac{{13}}{{{\mu ^2}}} = 1\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}\,\mu = \pm \,\sqrt {13} \]Shunday qilib, bu erda ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkita holat bor. Birinchidan, \(\mu = \sqrt {13} \) qachon olishimizni ko'rib chiqaylik. Bu holatda biz bilamizki,
\[x = - \frac{2}{{\sqrt {13} }}\hspace{0.5in}y = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\]Bularni \(\eqref{eq:eq17}\) tenglamasiga kiritish,
\[ - \frac{4}{{\sqrt {13} }} - \frac{3}{{\sqrt {13} }} - z = 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}z = - 2 - \frac{7}{{\sqrt {13} }}\]Shunday qilib, bizda bitta yechim bor.
Keling, \(\mu = - \sqrt {13} \)-ni olsak, nima olishimizni ko'rib chiqaylik. Mana bizda,
\[x = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\hspace{0.5in}y = - \frac{3}{{\sqrt {13} }}\]Bularni \(\eqref{eq:eq17}\) tenglamasiga kiritish,
\[\frac{4}{{\sqrt {13} }} + \frac{3}{{\sqrt {13} }} - z = 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}z = - 2 + \frac{7}{{\sqrt {13} }}\]va ikkinchi yechim bor.
Endi bizga kerak bo'lgan narsa, qaysi biri maksimal va qaysi biri minimal ekanligini bilish uchun funksiyadagi ikkita echimni tekshirish.
\[\begin{align*}f\left( { - \frac{2}{{\sqrt {13} }},\frac{3}{{\sqrt {13} }}, - 2 - \frac{7}{{\sqrt {13} }}} \right) & = 4 + \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 11.2111\\ f\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}, - \frac{3}{{\sqrt {13} }}, - 2 + \frac{7}{{\sqrt {13} }}} \right) & = 4 - \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = - 3.2111\end{align*}\]Shunday qilib, bizda \(\left( { - \frac{2}{{\sqrt {13} }},\frac{3}{{\sqrt {13} }}, - 2 - \frac{7}{{\sqrt {13} }}} \right)\) da maksimal va \(\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}, - \frac{3}{{\sqrt {13} }}, - 2 + \frac{7}{{\sqrt {13} }}} \right)\) da minimal bor.