4.6-bo'lim: Doimiy bo'lmagan IVP koeffitsienti
Ushbu bo'limda biz doimiy koeffitsientlarga ega bo'lmagan ba'zi differensial tenglamalarni echishda Laplas o'zgartirishlaridan qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz. Bu har doim ham oson ish emas. Biroq, bajarilishi mumkin bo'lgan oddiy holatlar mavjud.
Buning uchun bizga tezkor fakt kerak bo'ladi.
Laplas konvertatsiyasining cheksizlikdagi chegarasi
Agar \(f(t)\) eksponensial tartibdagi \(\left[ {0,\infty } \right)\) da bo‘lak-bo‘lak uzluksiz funksiya bo‘lsa,
\[\begin{equation}\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } F\left( s \right) = 0\label{eq:eq1}\end{equation}\]Agar \(T\) va \(M\) musbat konstantalari mavjud bo‘lsa, \(f(t)\) funksiyasi \(\alpha \) eksponensial tartibli deyiladi.
\[\left| {f\left( t \right)} \right| \le M{{\bf{e}}^{\alpha \,t}}\hspace{0.25in}{\mbox{for all }}t \ge T\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, eksponensial tartibda bo'lgan funktsiya tezroq o'smaydi
\[M{{\bf{e}}^{\alpha \,t}}\]ba'zi \(M\) va \(\alpha \) va etarlicha katta \(t\) uchun. Funktsiyaning eksponensial tartibda yoki yo'qligini tekshirishning bir usuli bu quyidagi chegarani hisoblashdir.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\left| {f\left( t \right)} \right|}}{{{{\bf{e}}^{\alpha \,t}}}}\]Agar ba'zi \(\alpha \) uchun bu chegara cheklangan bo'lsa, u holda funktsiya \(\alpha \) eksponensial tartibli bo'ladi. Xuddi shunday, agar chegara har bir \(\alpha\) uchun cheksiz bo'lsa, u holda funktsiya eksponensial tartibda emas.
Differensial tenglamalarda birinchi kursda siz ko'rib chiqishingiz kerak bo'lgan deyarli barcha funktsiyalar eksponensial tartibda. Eksponensial tartibda bo'lmagan funktsiyaga yaxshi misol
\[f\left( t \right) = {{\bf{e}}^{{t^3}}}\]Buni yuqoridagi chegarani hisoblash orqali tekshirishimiz mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{{t^3}}}}}{{{{\bf{e}}^{\alpha \,t}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\bf{e}}^{{t^3} - \alpha t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\bf{e}}^{t\left( {{t^2} - \alpha } \right)}} = \infty \]Bu \(\alpha \) ning har qanday qiymati uchun amal qiladi va shuning uchun funktsiya eksponensial tartibda emas.
Ushbu eksponensial tartib haqida juda ko'p tashvishlanmang. Bu haqiqat vaqti-vaqti bilan doimiy bo'lmagan koeffitsientli Laplas o'zgarishlarini qo'llashda kerak bo'ladi.
Shunday qilib, keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Demak, buning uchun biz buni eslashimiz kerak #30 bizning Laplas stolimizda transforms bizga shuni aytadi,
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {ty'} \right\} & = - \frac{d}{{ds}}\left( {\mathcal{L}\left\{ {y'} \right\}} \right)\\ & = - \frac{d}{{ds}}\left( {sY\left( s \right) - y\left( 0 \right)} \right)\\ & = - sY'\left( s \right) - Y\left( s \right)\end{align*}\]Shunday qilib, hamma narsaning Laplas o'zgarishlarini qabul qilib, dastlabki shartlarni o'rnatganimizdan so'ng, biz olamiz,
\[\begin{align*}{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right) + 3\left( { - sY'\left( s \right) - Y\left( s \right)} \right) - 6Y\left( s \right) & = \frac{2}{s}\\ - 3sY'\left( s \right) + \left( {{s^2} - 9} \right)Y\left( s \right) & = \frac{2}{s}\\ Y'\left( s \right) + \left( {\frac{3}{s} - \frac{s}{3}} \right)Y\left( s \right) & = - \frac{2}{{3{s^2}}}\end{align*}\]Oldingi misollardan farqli o'laroq bo'limi bu erda biz yechim uchun transformatsiyaga erishgan bo'lsak, bu erda biz yechim uchun transformatsiyani olish uchun echilishi kerak bo'lgan chiziqli birinchi tartibli differensial tenglamani olamiz.
Ushbu differensial tenglama uchun integral omil:
\[\mu \left( s \right) = {{\bf{e}}^{\int{{\left( {\frac{3}{s} - \frac{s}{3}} \right)ds}}}} = {{\bf{e}}^{\ln \left( {{s^3}} \right) - \frac{{{s^2}}}{6}}} = {s^3}{{\bf{e}}^{ - \frac{{{s^2}}}{6}}}\]\(Y(s)\) uchun ko'paytirish, integratsiya va hal qilish,
\[\begin{align*}\int{{{{\left( {{s^3}{{\bf{e}}^{ - \frac{{{s^2}}}{6}}}Y\left( s \right)} \right)}^\prime }\,ds}} & = \int{{ - \frac{2}{3}s{{\bf{e}}^{ - \frac{{{s^2}}}{6}}}\,ds}}\\ {s^3}{{\bf{e}}^{ - \frac{{{s^2}}}{6}}}Y\left( s \right) & = 2{{\bf{e}}^{ - \frac{{{s^2}}}{6}}} + c\\ Y\left( s \right) & = \frac{2}{{{s^3}}} + c\frac{{{{\bf{e}}^{\frac{{{s^2}}}{6}}}}}{{{s^3}}}\end{align*}\]Endi bizda yechim uchun transformatsiya bor. Biroq, bu ikkinchi muddat biz hozirgacha ko'rgan narsalarga o'xshamaydi. Bu erda eksponensial tartibli funktsiyalarning o'zgarishi haqidagi fakt o'ynaydi. Bizning yechimimiz qanday bo'lishidan qat'i nazar, u eksponent tartibda bo'ladi deb taxmin qilamiz. Bu shuni anglatadiki
\[\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \left( {\frac{2}{{{s^3}}} + \frac{{c{{\bf{e}}^{\frac{{{s^2}}}{6}}}}}{{{s^3}}}} \right) = 0\]Birinchi atama chegarada nolga boradi. Biroq, ikkinchi atama faqat \(c = 0\) bo'lsa, nolga tushadi. Shuning uchun, bu bizning yechimimizning o'zgarishi bo'lishi uchun bizda \(c = 0\) bo'lishi kerak.
Shunday qilib, bizning yechimimizning o'zgarishi, shuningdek, yechim,
\[Y\left( s \right) = \frac{2}{{{s^3}}}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = {t^2}\]Agar xohlasangiz, bu haqiqatan ham yechim ekanligini tekshirish uchun buni sizga qoldiramiz.
Endi barcha doimiy bo'lmagan differentsial tenglamalarda \(\eqref{eq:eq1}\) dan foydalanish shart emas. Shunday qilib, keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizda birinchi misoldan,
\[\mathcal{L}\left\{ {ty'} \right\} = - sY'\left( s \right) - Y\left( s \right)\]Bizga ham kerak bo'ladi,
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {ty''} \right\} & = - \frac{d}{{ds}}\left( {\mathcal{L}\left\{ {y''} \right\}} \right)\\ & = - \frac{d}{{ds}}\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right)\\ & = - {s^2}Y'\left( s \right) - 2sY\left( s \right) + y\left( 0 \right)\end{align*}\]Laplasni olish hamma narsani o'zgartirish va dastlabki sharoitlarni ulash,
\[\begin{align*} - {s^2}Y'\left( s \right) - 2sY\left( s \right) + y\left( 0 \right) - \left( { - sY'\left( s \right) - Y\left( s \right)} \right) + Y\left( s \right) & = \frac{2}{s}\\\left( {s - {s^2}} \right)Y'\left( s \right) + \left( {2 - 2s} \right)Y\left( s \right) + 2 & = \frac{2}{s}\\ s\left( {1 - s} \right)Y'\left( s \right) + 2\left( {1 - s} \right)Y\left( s \right) & = \frac{{2\left( {1 - s} \right)}}{s}\\ Y'\left( s \right) + \frac{2}{s}Y\left( s \right) & = \frac{2}{{{s^2}}}\end{align*}\]Yana bir bor biz birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga ega bo'lamiz, uni hal qilish uchun konvertatsiya qilishimiz kerak. E'tibor bering, biz bu ishda hech qachon ikkinchi boshlang'ich shartni ishlatmaganmiz. Bu yaxshi, biz uni oxir-oqibat ishlatamiz.
Ushbu chiziqli differensial tenglamani yechish birinchisiga nisbatan ancha oson bo'lgani uchun biz tafsilotlarni sizga qoldiramiz. Differensial tenglamani yechsak,
\[Y\left( s \right) = \frac{2}{s} + \frac{c}{{{s^2}}}\]Endi bu konvertatsiya \(c\) ning barcha qiymatlari uchun nolga tushadi va biz ikkinchi hadning teskari konvertatsiyasini olishimiz mumkin. Shuning uchun, oldingi misolda bo'lgani kabi, ikkinchi atamadan xalos bo'lish uchun \(\eqref{eq:eq1}\) dan foydalanishimiz shart emas.
Teskari konvertatsiyani qabul qilish,
\[y\left( t \right) = 2 + ct\]Endi bu erda biz ikkinchi boshlang'ich shartdan foydalanamiz. Ikkinchi boshlang'ich holatni farqlash va ulashda biz \(c = -4\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, ushbu IVPning yechimi,
\[y\left( t \right) = 2 - 4t\]Shunday qilib, biz Laplasdan qanday foydalanishni ko'rdik ba'zi bir doimiy bo'lmagan koeffitsientli differensial tenglamalarni yechish uchun o'zgartiradi. E'tibor bering, biz koeffitsientlarga vaqti-vaqti bilan \(t\) qo'shdik. Biz koeffitsientlar bilan juda murakkablasha olmadik. Agar bizda bo'lganida, biz Laplasdan osongina foydalana olmasdik ularni hal qilish uchun o'zgartiradi.
Ba'zan Laplas o'zgartirishlar doimiy bo'lmagan differensial tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin, ammo umuman olganda, doimiy bo'lmagan differentsial tenglamalarni hal qilish hali ham juda qiyin.