2.10-bo'lim: Limitning ta'rifi
Ushbu bo'limda biz ushbu bobda ko'rib chiqqan uch turdagi chegaralarning aniq, matematik ta'rifini ko'rib chiqamiz. Biz chekli qiymatlarga ega bo'lgan chekli nuqtalardagi chegaralarning aniq ta'rifini, cheksiz limitlar va cheksizlikdagi chegaralarni ko'rib chiqamiz. Biz uzluksizlikning aniq, matematik ta'rifini ham beramiz.
Keling, ushbu bo'limni chekli qiymatga ega bo'lgan chekli nuqtadagi chegara ta'rifidan boshlaylik.
Limitning ta'rifi
agar har bir \(\varepsilon > 0\) raqami uchun \(\delta > 0\) soni mavjud bo'lsa
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]Voy. Bu og'iz to'la. Endi u yozilgan, bu nimani anglatadi?
Keling, quyidagi grafikni ko'rib chiqaylik va chegara mavjud deb faraz qilaylik.
Ta'rif bizga aytayotgan narsa shundan iborat har qanday Biz tanlagan \(\varepsilon > 0\) raqamini grafikimizga o‘tamiz va yuqoridagi grafikda ko‘rsatilganidek, \(L + \varepsilon \) va \(L - \varepsilon \) da ikkita gorizontal chiziq chizamiz. Keyin dunyoning biron bir joyida yana bir \(\delta > 0\) raqami bor, biz aniqlashimiz kerak bo'ladi, bu bizga \(a + \delta \) va \(a - \delta \) grafigimizga ikkita vertikal chiziq qo'shish imkonini beradi.
Agar pushti mintaqadagi \(x\) ni olsak, i.e. \(a + \delta \) va \(a - \delta \) o'rtasida bo'lsa, bu \(x\) \(a + \delta \) va \(a - \delta \) ikkalasiga qaraganda \(a\) ga yaqinroq bo'ladi. Yoki,
\[\left| {x - a} \right| < \delta \]Endi biz \(x\) ni tanlagan grafikdagi nuqtani aniqlasak, u holda grafikdagi bu nuqta. bo'ladi pushti va sariq mintaqaning kesishmasida yotadi. Bu \(f\left( x \right)\) funksiya qiymati \(L\) ga \(L + \varepsilon \) va \(L - \varepsilon \) ga qaraganda yaqinroq bo‘lishini anglatadi. Yoki,
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \]Agar pushti mintaqada \(x\) ning istalgan qiymatini olsak, \(x\) ning ushbu qiymatlari uchun grafik sariq mintaqada yotadi.
E'tibor bering, biz tanlashimiz mumkin bo'lgan cheksiz miqdordagi \(\delta\) mavjud. Haqiqatan ham, agar orqaga qaytsak va yuqoridagi grafaga qarasak, biz biroz kattaroq \(\delta\) ni olishimiz mumkin edi va hali ham o'sha pushti mintaqadan grafikni to'liq sariq mintaqada bo'lishimiz mumkin edi.
Shuni ham yodda tutingki, ta'rif ta'kidlaganidek, biz funktsiya \(x = a\) atrofida ma'lum bir oraliqda aniqlanganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak, ammo uning \(x = a\) da aniqlanganligiga ahamiyat bermaymiz. Esingizda bo'lsin, chegaralar nuqtada nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaydi, ular faqat ko'rib chiqilayotgan nuqta atrofida nima sodir bo'layotganiga ahamiyat beradi.
Xo'sh, endi biz ta'rifdan voz kechdik va uni tushunishga harakat qildik, keling, amalda qanday qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.
Bular ba'zida biroz qiyin va bularni yaxshi o'rganish uchun juda ko'p mashq qilish kerak bo'ladi, shuning uchun agar siz darhol bu narsalarni qabul qilmasangiz, o'zingizni yomon his qilmang. Biz juda oson ishlaydigan bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.
Yechim
Bu holda \(L\) va \(a\) nolga teng. Shunday qilib, \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin. Raqam nima ekanligi haqida tashvishlanmang, \(\varepsilon \) shunchaki ixtiyoriy raqam. Endi chegara ta'rifiga ko'ra, agar bu chegara to'g'ri bo'lsa, biz boshqa \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak, shunda quyidagi to'g'ri bo'ladi.
\[\left| {{x^2} - 0} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 0} \right| < \delta \]Yoki bizga kerak bo'lgan narsalarni soddalashtirganda,
\[\left| {{x^2}} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| x \right| < \delta \]Ko'pincha bulardan o'tishning yo'li chap tengsizlikdan boshlash va biroz soddalashtirish va bu \(\delta \) uchun tanlovni taklif qiladimi yoki yo'qligini ko'rishdir. Biz eksponentni mutlaq qiymatlar qatoridan chiqarib, keyin ikkala tomonning kvadrat ildizini olishdan boshlaymiz.
\[{\left| x \right|^2} < \varepsilon \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| x \right| < \sqrt \varepsilon \]Endi ushbu soddalashtirish natijalari \(0 < \left| x \right| < \delta \)-ga juda o'xshaydi, "\(0 < \)" qismi bundan mustasno. Biroq, buni yo'qotish muammo emas, bu bizga \(x = 0\) ni qabul qila olmasligimizni aytadi. Shunday qilib, agar biz \(\delta = \sqrt \varepsilon \) ni tanlasak, biz xohlagan narsani olishimiz kerak.
Biz \(\delta \) tanlovimiz bizga kerakli narsani berishiga ishonch hosil qilishimiz kerak, i.e.,
\[\left| {{x^2}} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| x \right| < \sqrt \varepsilon \]Tasdiqlash aslida biz taxmin qilish uchun qilgan ishimizdir. Birinchidan, keling, yana \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin va keyin \(\delta = \sqrt \varepsilon \) ni tanlang. Endi \(0 < \left| x \right| < \sqrt \varepsilon \) deb faraz qiling. Buni qondirish uchun \(x\) ni tanlab, biz olishimizni ko'rsatishimiz kerak,
\[\left| {{x^2}} \right| < \varepsilon \]Tasdiqlash jarayonini boshlash uchun biz \(\left| {{x^2}} \right|\) dan boshlaymiz, so'ngra birinchi navbatda eksponentni mutlaq qiymatlardan ajratib olamiz. Bu amalga oshirilgandan so'ng, biz \(x\), ya'ni \(\left| x \right| < \sqrt \varepsilon \) haqidagi taxminimizdan foydalanamiz. Bularning barchasini qilish,
\[\begin{align*}\left| {{x^2}} \right| & = {\left| x \right|^2} & & \hspace{0.25in}{\mbox{strip exponent out of absolute value bars}}\\ & {\mbox{ < }}{\left( {\sqrt \varepsilon } \right)^2} & & \hspace{0.25in}{\mbox{use the assumption that }}\left| x \right| < \sqrt \varepsilon \\ & = \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{simplify}}\end{align*}\]Yoki o'rta shartlarni olib tashlasak, \(0 < \left| x \right| < \sqrt \varepsilon \) deb faraz qilsak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\left| {{x^2}} \right| < \varepsilon \]va aynan shu narsani ko'rsatishimiz kerak edi.
Xo'sh, biz nima qildik? Agar biz \(\varepsilon > 0\) ni tanlasak, \(\delta > 0\) ni topishimiz mumkinligini ko'rsatdik, shunda bizda:
\[\left| {{x^2} - 0} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 0} \right| < \sqrt \varepsilon \]va bizning ta'rifimizga ko'ra, bu shuni anglatadiki,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\]Bu birinchi ikki marta biroz qiyin bo'lishi mumkin. Ayniqsa, ishni ikki marta bajarishimiz kerakdek tuyulganda. Oldingi misolda biz \(\delta \) uchun taxminimizni olish uchun chap tomondagi tengsizlikni biroz soddalashtirdik va keyin taxminimiz to'g'ri ekanligini isbotlash uchun xuddi shu ishni bajardik. Ko'pincha bular shunday ishlaydi, garchi biz bu erda ishlar unchalik yaxshi bo'lmagan misolni birozdan keyin ko'ramiz.
Shunday qilib, keling, biroz murakkabroq chegarani ko'rib chiqaylik, ammo bu hali ham birinchi misolga juda o'xshash bo'ladi.
Yechim
Biz buni birinchisini qilganimizdek boshlaymiz. Biroq, biz bir xil miqdordagi tushuntirishlarni kiritmaymiz.
Keling, \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lishidan boshlaylik, keyin quyidagi to'g'ri bo'lishi uchun \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak.
\[\left| {\left( {5x - 4} \right) - 6} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 2} \right| < \delta \]Biz \(\delta \) uchun taxmin qilish uchun chap tengsizlikni soddalashtirishdan boshlaymiz. Buni qilish,
\[\left| {\left( {5x - 4} \right) - 6} \right| = \left| {5x - 10} \right| = 5\left| {x - 2} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{5}\]Shunday qilib, birinchi misolda bo'lgani kabi, agar chap tengsizlikni etarlicha soddalashtirsak, biz to'g'ri tengsizlikka o'xshash dahshatli narsani olamiz va bu bizni \(\delta = \frac{\varepsilon }{5}\) ni tanlashimizga olib keladi.
Endi bu taxminni tasdiqlaylik. Shunday qilib, yana \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin va keyin \(\delta = \frac{\varepsilon }{5}\) ni tanlang. Keyinchalik, \(0 < \left| {x - 2} \right| < \delta = \frac{\varepsilon }{5}\) deb faraz qiling va biz quyidagilarni olamiz,
\[\begin{align*}\left| {\left( {5x - 4} \right) - 6} \right| & = \left| {5x - 10} \right| & & \hspace{0.25in}{\mbox{simplify things a little}}\\ & = 5\left| {x - 2} \right| & & \hspace{0.225in}{\mbox{more simplification}}....\\ & < 5\left( {\frac{\varepsilon }{5}} \right) & & \hspace{0.25in}{\mbox{use the assumption }}\delta = \frac{\varepsilon }{5}\\ & = \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{and some more simplification}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik
\[\left| {\left( {5x - 4} \right) - 6} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{5}\]va shuning uchun bizning ta'rifimiz bo'yicha,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 5x - 4 = 6\]Xo‘sh, yana jarayon shuni ko‘rsatadiki, biz barcha ishimizni ikki marta takrorlashimiz kerak, bir marta \(\delta \) uchun taxmin qilish, keyin esa taxminimizni isbotlash uchun yana bir bor. Keling, unchalik yaxshi ishlamaydigan misol keltiraylik.
Yechim
Shunday qilib, keling, boshlaylik. \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin, keyin quyidagi to'g'ri bo'lishi uchun \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak.
\[\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \delta \]Biz taxmin qilish jarayonini avvalgi ikkita misol kabi boshlaymiz.
\[\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| = \left| {{x^2} + x - 20} \right| = \left| {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right)} \right| = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon \]OK, biz \(\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \) \(\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon \) ga teng ekanligini ko'rsatishga muvaffaq bo'ldik. Biroq, oldingi ikkita misoldan farqli o'laroq, bizda yuqoridagi to'g'ri tengsizlikda ko'rinmaydigan qo'shimcha atama bor. Agar bu erda davom etishdan umidimiz bo'lsa, biz \(\left| {x + 5} \right|\) bilan ishlashning qandaydir yo'lini topishimiz kerak bo'ladi.
Buni amalga oshirish uchun shuni ta'kidlaymizki, agar tasodifan biz \(\left| {x + 5} \right| < K\) ni \(K\) raqami uchun ko'rsatsak, bizda quyidagilar bo'ladi:
\[\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < K\left| {x - 4} \right|\]Agar hozir biz ko'rsatmoqchi bo'lgan narsa \(\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon \) o'rniga \(K\left| {x - 4} \right| < \varepsilon \) deb hisoblasak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K}\]Bu tanish bo'lib tuyula boshladi, shunday emasmi?
Biroq, bu ishlarning barchasi biz \(\left| {x + 5} \right| < K\) ni ba'zi \(K\) uchun ko'rsatishimiz mumkin degan taxminga asoslanadi. Bu taxminsiz biz hech narsa qila olmaymiz, shuning uchun buni qila olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik.
Keling, avvalo, biz bu erda chegara ustida ishlayotganimizni eslaylik va shuni ham eslaylikki, chegaralar faqat ushbu masalada \(x = 4\) atrofida sodir bo'layotgan narsalar bilan bog'liq. Shunday qilib, \(x\) nima bo'lishidan qat'i nazar, u \(x = 4\) ga yaqin bo'lishi kerak deb taxmin qilish mumkin. Bu shuni anglatadiki, \(x\) nima bo'lishidan qat'iy nazar, u \(x = 4\) dan biriga yaqin masofada joylashgan deb ishonch bilan taxmin qilishimiz mumkin. Yoki tengsizlik nuqtai nazaridan, biz taxmin qilishimiz mumkin,
\[\left| {x - 4} \right| < 1\]Nega bu yerda 1 ni tanlaysiz? Ishlash uchun yoqimli raqamdan boshqa hech qanday sabab yo'q. Biz osongina 2 yoki 5 yoki \({\textstyle{1 \over 3}}\) ni tanlashimiz mumkin edi. Biz tanlagan yagona farq \(K\) ning haqiqiy qiymatiga bog'liq bo'ladi. Siz \(K\) ning boshqa tanlovi bilan ushbu jarayondan o'tishni xohlashingiz va buni qila olasizmi yoki yo'qligini bilishingiz mumkin.
Shunday qilib, keling, \(\left| {x - 4} \right| < 1\) dan boshlaylik va mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'laylik va bu \(x\) uchun hosil bo'lgan tengsizlikni quyidagicha hal qilamiz,
\[ - 1 < x - 4 < 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3 < x < 5\]Endi bu tengsizlikning barcha qismlariga 5 ni qo‘shsak,
\[8 < x + 5 < 10\]Endi, \(x + 5 > 8 > 0\) (ijobiy qism bu erda muhim), shuni aytishimiz mumkinki, \(\left| {x - 4} \right| < 1\) sharti bilan biz \(x + 5 = \left| {x + 5} \right|\) ekanligini bilamiz. Yoki yuqoridagi qo‘sh tengsizlikni olsak,
\[8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}K = 10\]Shunday qilib, \(\left| {x - 4} \right| < 1\) bilan biz \(\left| {x + 5} \right| < 10\) ni ko'rishimiz mumkin, bu esa o'z navbatida bizga,
\[\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K} = \frac{\varepsilon }{{10}}\]Shunday qilib, shu paytgacha biz \(\left| {x - 4} \right|\) haqida ikkita taxmin qilamiz, deb taxmin qildik,
\[\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{{10}}\hspace{0.5in}{\mbox{AND}}\hspace{0.5in}\left| {x - 4} \right| < 1\]Bu shunday tuyulishi mumkin, lekin biz endi \(\delta \) ni tanlashga tayyormiz. Oldingi misollarda bizda faqat bitta taxmin bor edi va biz undan \(\delta \) ni berish uchun foydalanganmiz. Bu holda bizda ikkitasi bor va ularning ikkalasi ham to'g'ri bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz \(\delta \) 1 va \(\frac{\varepsilon }{{10}}\) ikkita taxmindan kichikroq bo'lishiga ruxsat beramiz. Matematik jihatdan bu shunday yoziladi:
\[\delta = \min \left\{ {1,\frac{\varepsilon }{{10}}} \right\}\]Buni amalga oshirish orqali biz kafolat bera olamiz,
\[\delta \le \frac{\varepsilon }{{10}}\hspace{0.5in}{\mbox{AND}}\hspace{0.5in}\delta \le 1\]Endi biz \(\delta \) ni tanlaganimizdan keyin uni tekshirishimiz kerak. Shunday qilib, \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin va keyin \(\delta = \min \left\{ {1,\frac{\varepsilon }{{10}}} \right\}\) ni tanlang. \(0 < \left| {x - 4} \right| < \delta = \min \left\{ {1,\frac{\varepsilon }{{10}}} \right\}\) deb faraz qiling. Birinchidan, biz buni tushunamiz,
\[0 < \left| {x - 4} \right| < \delta \le \frac{\varepsilon }{{10}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{{10}}\]Biz ham olamiz,
\[0 < \left| {x - 4} \right| < \delta \le 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left| {x - 4} \right| < 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| {x + 5} \right| < 10\]Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa,
\[\begin{align*}\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| & = \left| {{x^2} + x - 20} \right| & & \hspace{0.25in}{\mbox{simplify things a little}}\\ & = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| & & \hspace{0.25in}{\mbox{factor}}\\ & < 10\left| {x - 4} \right| & & \hspace{0.25in}{\mbox{use the assumption that }}\left| {x + 5} \right| < 10\\ & < 10\left( {\frac{\varepsilon }{{10}}} \right) & & \hspace{0.25in}{\mbox{use the assumption that }}\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{{10}}\\ & = \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{a little final simplification}}\end{align*}\]Biz buni endi ko'rsatishga muvaffaq bo'ldik,
\[\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \min \left\{ {1,\frac{\varepsilon }{{10}}} \right\}\]va shuning uchun bizning ta'rifimiz bo'yicha,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {x^2} + x - 11 = 9\]Xo'sh, bu birinchi ikkita misolga qaraganda ancha ko'p ish edi va afsuski, bu unchalik qiyin emas edi. Xo'sh, biz aytishimiz kerakki, boshqa chegaralar bilan solishtirganda, biz bu unchalik qiyin emasligini isbotlashga harakat qilishimiz mumkin edi. Chegaraning aniq ta'rifidan foydalangan holda bunday dalillarga birinchi marta duch kelganda, ularning barchasi juda qiyin bo'lib tuyulishi mumkin.
Agar bu narsani darhol olmasangiz, xafa bo'lmang. Buni darhol tushunmaslik va bu turdagi chegaralarni aniqlash dalillari qanday ishlashini to'liq tushunish uchun biroz kurashish kerakligi juda keng tarqalgan.
Keyinchalik, o'ng va chap qo'llar uchun aniq ta'riflarni beraylik.
O'ng qo'l chegarasining ta'rifi
agar har bir \(\varepsilon > 0\) raqami uchun \(\delta > 0\) soni bo'lsa, shunday
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < x - a < \delta \,\,\,\,\,\,\,\left( {{\mbox{or }}a < x < a + \delta } \right)\]Chap qo'l chegarasining ta'rifi
agar har bir \(\varepsilon > 0\) raqami uchun \(\delta > 0\) raqami bo'lsa, shunday
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in} - \delta < x - a < 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\mbox{or }}a - \delta < x < a} \right)\]E'tibor bering, ushbu ikkala ta'rifda \(x\)-dagi cheklov bilan shug'ullanishning ikkita usuli bor va qavs ichidagi birini ishlatish osonroq bo'lsa-da, asosiysi yuqoridagi normal chegara ta'rifiga yaqinroq mos keladi.
Keling, ulardan biriga qisqacha misol keltiraylik, garchi siz ko'rib turganingizdek, ular odatdagi chegara muammolari bilan bir xil tarzda ishlaydi.
Yechim
\(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin, keyin quyidagi to'g'ri bo'lishi uchun \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak.
\[\left| {\sqrt x - 0} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < x - 0 < \delta \]Yoki biroz soddalashtirilgandan keyin biz ko'rsatishimiz kerak,
\[\sqrt x < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < x < \delta \]Oldingi muammolarda bo'lgani kabi, chap tomondagi tengsizlikdan boshlaylik va \(\delta \) uchun taxmin qilish uchun undan foydalana olmasligimizni bilib olaylik. Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona soddalashtirish - bu ikkala tomonni kvadrat qilish.
\[\sqrt x < \varepsilon \hspace{0.5in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x < {\varepsilon ^2}\]Shunday qilib, biz \(\delta = {\varepsilon ^2}\) ni tanlashimiz mumkin.
Buni tasdiqlaylik. \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin va \(\delta = {\varepsilon ^2}\) ni tanlang. Keyinchalik \(0 < x < {\varepsilon ^2}\) deb faraz qiling. Bu beradi,
\[\begin{align*}\left| {\sqrt x - 0} \right| & = \sqrt x & & \hspace{0.25in}{\mbox{some quick simplification}}\\ & < \sqrt {{\varepsilon ^2}} & & \hspace{0.25in}{\mbox{use the assumption that }}x < {\varepsilon ^2}\\ & < \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{one final simplification}}\end{align*}\]Biz buni hozir ko'rsatdik,
\[\left| {\sqrt x - 0} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < x - 0 < {\varepsilon ^2}\]va shuning uchun bizda o'ng chegaraning ta'rifi bo'yicha,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\]Endi cheksiz limitlar ta'rifiga o'tamiz. Bu erda ikkala imkoniyatni ham qamrab olishimiz kerak bo'lgan ikkita ta'rif, ijobiy cheksizlik va salbiy cheksizlik chegaralari.
Ijobiy cheksizlikka teng chegara ta'rifi
agar har bir \(M > 0\) raqami uchun \(\delta > 0\) soni bo'lsa, shunday
\[f\left( x \right) > M\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]Manfiy cheksizlikka teng chegara ta'rifi
agar har bir \(N < 0\) raqami uchun \(\delta > 0\) soni bo'lsa, shunday
\[f\left( x \right) < N\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]Ushbu ikkita ta'rifda \(M\) ijobiy raqam va \(N\) manfiy raqam bo'lishi kerakligini ta'kidlaydi. Agar e'tibor bermasangiz, bu farqni o'tkazib yuborish oson.
Shuni ham yodda tutingki, agar xohlasak, cheksiz bo'lgan bir tomonlama chegaralar uchun ta'riflarni ham yozishimiz mumkin. Agar xohlasangiz, buni sizga topshiramiz.
Mana 4-ta'rifni aks ettiruvchi tezkor eskiz.
Ta'rif 4 bizga aytadigan narsa shundaki, biz \(M\) ni qanchalik katta bo'lishidan qat'iy nazar, biz har doim \(\delta \) raqami uchun \(0 < \left| {x - a} \right| < \delta \) tomonidan berilgan \(x = a\) atrofida intervalni topishimiz mumkin, shuning uchun biz ushbu oraliqda qolsak, funktsiya grafigi yuqoridagi grafikda ko'rsatilgan gorizontal chiziqdan yuqori bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, ta'rifni ushlab turish uchun bizga \(x = a\) da mavjud bo'lishi kerak emas. Bu yuqoridagi grafikda ham ko'rsatilgan.
Shuni ham yodda tutingki, \(M\) qanchalik katta bo'lsa, biz \(\delta \) ni yaratishimiz kerak bo'ladi.
5 taʼrifining rasmini koʻrish uchun \(x\) oʻqi haqidagi yuqoridagi grafikni aks ettiring va siz 5 taʼrifining eskizini koʻrasiz.
Ularning oldingi misollardan qanday farq qilishini ko'rish uchun ulardan birining tezkor misolini ko'rib chiqamiz.
Yechim
Ular avvalgi misollar to'plamiga o'xshash tarzda ishlaydi. Asosiy farq shundaki, biz hozir \(\varepsilon \) o‘rniga \(M\) bilan ishlayapmiz. Xullas, ketaylik.
\(M > 0\) istalgan raqam bo'lsin va biz \(\delta > 0\) ni tanlashimiz kerak, shunda
\[\frac{1}{{{x^2}}} > M\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 0} \right| = \left| x \right| < \delta \]Oldingi barcha muammolarda bo'lgani kabi, biz chap tengsizlikdan boshlaymiz va oxirida to'g'ri tengsizlikka o'xshash narsani olishga harakat qilamiz. Buni amalga oshirish uchun biz \(x\) uchun chap tengsizlikni hal qilamiz va biz \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right|\) ni esga olishimiz kerak. Demak, bu ish.
\[\frac{1}{{{x^2}}} > M\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}{x^2} < \frac{1}{M}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| x \right| < \frac{1}{{\sqrt M }}\]Shunday qilib, biz \(\delta = \frac{1}{{\sqrt M }}\) ni tanlashimiz mumkin. Endi qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bu taxminni tasdiqlashdir.
\(M > 0\) istalgan raqam bo'lsin, \(\delta = \frac{1}{{\sqrt M }}\) ni tanlang va \(0 < \left| x \right| < \frac{1}{{\sqrt M }}\) deb faraz qiling.
Oldingi misollarda biz to'g'ridan-to'g'ri ishlash orqali bizning taxminlarimiz chap tengsizlikni qondirganligini ko'rsatishga harakat qildik. Biroq, bunda bizda mavjud bo'lgan \(x\) funksiyasi va taxminimiz buni \(x\) haqidagi farazdan boshlashni osonlashtiradi va biz undan chap tengsizlikni olishimiz mumkinligini ko'rsatadi. Shuni esda tutingki, bu asosan biz ishlayotgan funksiya tufayli amalga oshirilmoqda, bizda mavjud bo'lgan chegara turi tufayli emas.
Bu ishni bajarish,
\[\begin{align*}\left| x \right| & < \frac{1}{{\sqrt M }}\\ & {\left| x \right|^2} < \frac{1}{M} & & \hspace{0.25in}{\mbox{square both sides}}\\ & {x^2} < \frac{1}{M} & & \hspace{0.25in}{\mbox{acknowledge that }}{\left| x \right|^2} = {x^2}\\ & \frac{1}{{{x^2}}} > M & & \hspace{0.25in}\,{\mbox{solve for }}{M}\end{align*}\]Shunday qilib, biz buni ko'rsatishga muvaffaq bo'ldik,
\[\frac{1}{{{x^2}}} > M\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 0} \right| < \frac{1}{{\sqrt M }}\]va shuning uchun bizda mavjud bo'lgan chegara ta'rifiga ko'ra,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}} = \infty \]Chegara ta'riflarining keyingi to'plami uchun keling, cheksizlikdagi chegaralarning ikkita ta'rifini ko'rib chiqaylik. Shunga qaramay, bizga ortiqcha cheksizlik chegarasi va boshqasi salbiy cheksizlik uchun kerak.
Ijobiy cheksizlikda chegara ta'rifi
agar har bir \(\varepsilon > 0\) raqami uchun \(M > 0\) raqami bo'lsa, shunday qilib
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}x > M\]Salbiy cheksizlikda chegara ta'rifi
agar har bir \(\varepsilon > 0\) raqami uchun \(N < 0\) raqami bo'lsa, shunday qilib
\[\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}x < N\]Bu taʼriflar bizga nimani bildirayotganini koʻrish uchun bu yerda 6-taʼrifni koʻrsatuvchi tezkor eskiz. 6 taʼrifi shuni koʻrsatadiki, biz \(L\) ga qanchalik yaqin boʻlishidan qatʼiy nazar, matematik jihatdan bu \(\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \) tomonidan har qanday tanlangan \(\varepsilon \) uchun berilgan, biz \(\varepsilon \) ni olishimiz sharti bilan, \(L\)6K ni olishimiz mumkin. \(M\) dan kattaroq bo'lsa, bu \(x\) funksiyasining grafigi \(L\) ga \(L - \varepsilon \) va \(L + \varepsilon \) ga qaraganda yaqinroq bo'ladi. Yoki, boshqacha qilib aytganda, grafik quyidagi eskizda ko'rsatilganidek, soyali mintaqada bo'ladi.
Va nihoyat, shuni yodda tutingki, biz \(\varepsilon \)-ni qanchalik kichikroq qilsak, \(M\)-ni shunchalik kattaroq qilishimiz kerak bo'ladi.
Mana bu chegaralardan birining tezkor misoli.
Yechim
\(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin va biz \(N < 0\) ni tanlashimiz kerak, shunda
\[\left| {\frac{1}{x} - 0} \right| = \frac{1}{{\left| x \right|}} < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}x < N\]\(N\) haqidagi taxminimizni olish bu erda unchalik yomon emas.
\[\frac{1}{{\left| x \right|}} < \varepsilon \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| x \right| > \frac{1}{\varepsilon }\]Biz manfiy cheksizlik tomon ketayotganimiz sababli \(N = - \frac{1}{\varepsilon }\) ni tanlashimiz mumkin. E'tibor bering, \(N\) salbiy ekanligiga ishonch hosil qilish uchun bizga "-" kerak (\(\varepsilon > 0\) ni eslang).
Bizning taxminimiz ishlayotganiga ishonch hosil qilaylik. \(\varepsilon > 0\) ga ruxsat bering va \(N = - \frac{1}{\varepsilon }\) ni tanlang va \(x < - \frac{1}{\varepsilon }\) deb faraz qiling. Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz bu erda ishlayotgan funktsiya bu farazdan boshlash osonroq bo'ladi va chap tengsizlikni undan chiqarishimiz mumkinligini ko'rsatadi.
\[\begin{align*}x & < - \frac{1}{\varepsilon }\\ & \left| x \right| > \left| { - \frac{1}{\varepsilon }} \right| & & \hspace{0.25in}{\mbox{take the absolute value}}\\ & \left| x \right| > \frac{1}{\varepsilon } & & \hspace{0.25in}{\mbox{do a little simplification}}\\ & \frac{1}{{\left| x \right|}} < \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{solve for }}\left| x \right|\\ & \left| {\frac{1}{x} - 0} \right| < \varepsilon & & \hspace{0.25in}{\mbox{rewrite things a little}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz ikkala tomonning mutlaq qiymatini olganimizda, biz ikkala tomonni manfiy sonlardan musbat sonlarga o'zgartirdik va shuning uchun ham tengsizlikning yo'nalishini o'zgartirishimiz kerak edi.
Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik,
\[\left| {\frac{1}{x} - 0} \right| = \frac{1}{{\left| x \right|}} < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}x < - \frac{1}{\varepsilon }\]va shuning uchun bizda mavjud bo'lgan chegara ta'rifiga ko'ra,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\]Yakuniy chegara ta'rifimiz uchun cheksiz qiymatga ega bo'lgan cheksiz limitlarni ko'rib chiqaylik. Bu erda aniqlash mumkin bo'lgan to'rtta chegara mavjud. Biz ulardan birini bajaramiz va qolgan uchtasini sizga yozib qo'yamiz, agar xohlasangiz.
Musbat cheksizlikda cheksiz chegara ta'rifi
agar har bir \(N > 0\) raqami uchun \(M > 0\) soni bo'lsa, shunday
\[f\left( x \right) > N\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}x > M\]Qolgan uchta ta'rif deyarli bir xil. Faqatgina farqlar \(M\) va/yoki \(N\) belgilari va mos keladigan tengsizlik yo‘nalishlaridir.
Ushbu bo'limdagi yakuniy ta'rif sifatida, biz ilgari funktsiya uzluksiz ekanligini aytganimizni eslaylik, agar:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]Demak, uzluksizlik, avvalroq ta’riflaganimizdek, chegara bilan belgilanadigan bo‘lsak, endi biz davomiylikning aniqroq ta’rifini ham bera olamiz. Mana,
Uzluksiz funktsiyaning ta'rifi
Ushbu ta'rif ushbu bo'limdagi birinchi ta'rifga juda o'xshaydi va, albatta, bu qandaydir ma'noga ega bo'lishi kerak, chunki bu biz funktsiyaning uzluksizligini ko'rsatish uchun qilayotgan chegara turidir. Yagona haqiqiy farq shundaki, bu erda biz funktsiya \(x = a\) da aniqlanganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak, lekin birinchi ta'rif uchun bu haqda tashvishlanishga hojat yo'q edi, chunki chegaralar o'sha paytda nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaydi.
Biz bu yerda funksiyaning uzluksizligini isbotlash uchun hech qanday misol keltirmaymiz, chunki biz allaqachon ba'zi misollar keltirganmiz. Orqaga qayting va dastlabki uchta misolga qarang. Ushbu misollarning har birida limitning qiymati \(x = a\) da baholangan funktsiyaning qiymati edi va shuning uchun bu misollarning har birida biz nafaqat limitning qiymatini isbotladik, balki ushbu funksiyalarning har biri ko'rib chiqilayotgan nuqtada uzluksiz ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik.