6.5-bo'lim: Ilovalar
Ushbu bobning yakuniy qismida biz eksponensial va logarifm funksiyalarining ba'zi ilovalarini ko'rib chiqishimiz kerak.
Murakkab foiz
Ushbu birinchi dastur qiziqishni kuchaytiradi va biz bu erda ko'rib chiqiladigan ikkita alohida formulalar mavjud. Keling, avvalo ularni yo'ldan chiqaraylik.
Agar biz \(P\) dollarini \(r\) (o'nlik kasr sifatida yozilgan) stavkasida \(t\) yil davomida (ha, yillar bo'lishi kerak) foiz oladigan hisob raqamiga qo'yadigan bo'lsak, u holda,
- Agar foiz yiliga \(m\) marta qo'shilsa, bizda bo'ladi
\[A = P{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{t\,m}}\]
dollarga \(t\) yillardan keyin.
- agar foiz doimiy ravishda qo'shilsa, bizda bo'ladi
\[A = P{{\bf{e}}^{r\,t}}\]
dollarga \(t\) yillardan keyin.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- foizlar har chorakda qo'shiladi.
- foizlar har oy qo'shiladi.
- foizlar doimiy ravishda qo'shiladi.
Munozarani ko'rsatish
Har bir qismga kirishdan oldin, barcha qismlarga kerak bo'ladigan va o'zgarmasligini aniqlaymiz.
\[P = 100,000\hspace{0.25in}r = \frac{{7.5}}{{100}} = 0.075\hspace{0.25in}t = \frac{{54}}{{12}} = 4.5\]Esda tutingki, foiz stavkalari ushbu hisob-kitoblar uchun o'nli kasr bo'lishi kerak va \(t\) yillar bo'lishi kerak! Endi muammolarni hal qilaylik.
a Foizlar har chorakda qo'shiladi. Yechim
Ushbu qismda foizlar har chorakda qo'shiladi va bu yiliga 4 marta qo'shiladi. 54 oydan keyin bizda,
\[\begin{align*}A & = 100000{\left( {1 + \frac{{0.075}}{4}} \right)^{\left( 4 \right)\left( {4.5} \right)}}\\ & = 100000{\left( {1.01875} \right)^{18}}\\ & = 100000\left( {1.39706686207} \right)\\ & = 139706.686207 = \$ \,139,706.69\end{align*}\]Bu erda ishlatiladigan kasrlar miqdoriga e'tibor bering. Biz oxirgi bosqichgacha hech qanday yaxlitlash qilmadik. Ushbu muammolar bilan oraliq bosqichlarda juda ko'p yaxlitlash qilmaslik muhimdir.
b Foizlar har oy qo'shiladi. Yechim
Bu erda biz har oyda yig'ilamiz va demak, biz yiliga 12 marta qo'shamiz. Mana 54 oydan keyin qancha pulga ega bo'lamiz.
\[\begin{align*}A & = 100000{\left( {1 + \frac{{0.075}}{{12}}} \right)^{\left( {12} \right)\left( {4.5} \right)}}\\ & = 100000{\left( {1.00625} \right)^{54}}\\ & = 100000\left( {1.39996843023} \right)\\ & = 139996.843023 = \$ 139,996.84\end{align*}\]Shunday qilib, yiliga ko'proq marta yig'ish ko'proq pul beradi.
c Foizlar doimiy ravishda qo'shiladi. Yechim
Nihoyat, agar biz doimiy ravishda aralashsak, 54 oydan keyin bizda shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}A & = 100000{{\bf{e}}^{\left( {0.075} \right)\left( {4.5} \right)}}\\ & = 100000\left( {1.40143960839} \right)\\ & = 140143.960839 = \$ 140,143.96\end{align*}\]Endi, ushbu misolning birinchi qismida ta'kidlanganidek, yakuniy javobdan oldin juda ko'p aylanmaslik kerak. Keling, orqaga qaytaylik va birinchi qismni qayta ishlaymiz va bu safar har bir qadamda uchta kasrga aylanamiz.
\[\begin{align*}A & = 100000{\left( {1 + \frac{{0.075}}{4}} \right)^{\left( 4 \right)\left( {4.5} \right)}}\\ & = 100000{\left( {1.019} \right)^{18}}\\ & = 100000\left( {1.403} \right)\\ & = \$ 140,300.00\end{align*}\]Bu javob to'g'ri javobdan $593,31 ga o'chirilgan va bu juda katta farq. Xo'sh, bularda nechta kasrni saqlashimiz kerak? Afsuski, javob bu bog'liq. Dastlabki miqdor qanchalik katta bo'lsa, biz shunchalik ko'p kasrlarni saqlashimiz kerak bo'ladi. Umumiy qoida sifatida, kalkulyatoringizni u ishlay oladigan o'nlik kasrlarning maksimal soniga qo'ying va yakuniy javobga qadar ularning barchasini oling va keyin o'sha nuqtada yaxlitlang.
Keling, foizlarni qo'shish bilan boshqa turdagi misolni ko'rib chiqaylik.
- biz doimiy ravishda foizlarni aralashtiramiz.
- biz yiliga 6 marta foizlarni qo'shamiz.
Munozarani ko'rsatish
Yana, keling, har bir qism bilan o'zgarmas miqdorlarni aniqlaylik.
\[A = 4000\hspace{0.25in}P = 2500\hspace{0.25in}r = \frac{{12}}{{100}} = 0.12\]E'tibor bering, bu safar bizga \(A\) berildi va \(t\) ni topishni so'raymiz. Bu javobni olish uchun eksponensial tenglamani yechishimiz kerakligini anglatadi.
a Murakkab foizlar doimiy ravishda. Yechim
Avval hal qilishimiz kerak bo'lgan tenglamani o'rnatamiz.
\[4000 = 2500{{\bf{e}}^{0.12\,t}}\]Endi biz bu turdagi tenglamalarni qanday yechish mumkinligini ko'rdik bo'limlar oldin. Ushbu bo'limda biz bir tomonning ko'rsatkichini 1 koeffitsient bilan mustaqil ravishda olishimiz kerakligini va keyin ikkala tomonning natural logarifmini olishimiz kerakligini ko'rdik. Keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}\frac{{4000}}{{2500}} & = {{\bf{e}}^{0.12\,t}}\\ 1.6 & = {{\bf{e}}^{0.12\,t}}\\ \ln 1.6 & = \ln {{\bf{e}}^{0.12\,t}}\\ \ln 1.6 & = 0.12\,t\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \frac{{\ln 1.6}}{{0.12}} = 3.917\end{align*}\]4000 dollar olish uchun hisobdagi summani 3,917 yil davomida saqlashimiz kerak.
b Yiliga 6 marta murakkab foizlar. Yechim
Shunga qaramay, avval biz yechishimiz kerak bo'lgan tenglamani o'rnatamiz.
\[\begin{align*}4000 & = 2500{\left( {1 + \frac{{0.12}}{6}} \right)^{6\,t}}\\ 4000 & = 2500{\left( {1.02} \right)^{6t}}\end{align*}\]Biz buni oldingi qismni qanday hal qilgan bo'lsak, xuddi shunday hal qilamiz. Ish biroz chalkash bo'ladi, lekin ko'pincha u bir xil bo'ladi.
\[\begin{align*}\frac{{4000}}{{2500}} & = {\left( {1.02} \right)^{6t}}\\ 1.6 & = {\left( {1.02} \right)^{6t}}\\ \ln 1.6 & = \ln {\left( {1.02} \right)^{6t}}\\ \ln 1.6 & = 6t\ln \left( {1.02} \right)\\ t & = \frac{{\ln 1.6}}{{6\ln \left( {1.02} \right)}} = \frac{{0.470003629246}}{{6\left( {0.019802627296} \right)}} = 3.956\end{align*}\]Bunday holda, biz 4000 dollarga etishimiz uchun miqdorni biroz uzoqroq saqlashimiz kerak.
Eksponensial o'sish va yemirilish
Dunyoda (hech bo'lmaganda qisqa vaqt davomida) tenglama bilan boshqariladigan ko'plab miqdorlar mavjud,
\[Q = {Q_0}{{\bf{e}}^{k\,t}}\]bu erda \({Q_0}\) musbat va dastlab \(t = 0\) da mavjud bo'lgan miqdor va \(k\) nolga teng bo'lmagan doimiydir. Agar \(k\) musbat bo'lsa, tenglama chegarasiz o'sadi va deyiladi eksponentsial o'sish tenglama. Xuddi shunday, agar \(k\) manfiy bo'lsa, tenglama nolga tushadi va shunday deyiladi. eksponensial yemirilish tenglama.
Aholining qisqa muddatli o'sishi ko'pincha eksponensial o'sish tenglamasi bilan modellashtiriladi va radioaktiv elementning parchalanishi eksponensial yemirilish tenglamasi bilan boshqariladi.
Agar dastlab 500 ta bakteriya mavjud bo'lsa va \(t\) soatlab berilgan bo'lsa, quyidagilardan har birini aniqlang.
- Yarim kundan keyin qancha bakteriya bor?
- Koloniyada 10000 ta bakteriya bo'lguncha qancha vaqt ketadi?
Munozarani ko'rsatish
Bu bakteriyalarning boshlang'ich miqdori uchun tenglama.
\[Q = 500\,{{\bf{e}}^{0.195\,\,t}}\]a Yarim kundan keyin qancha bakteriya bor? Yechim
Bunday holda, agar biz sutkaning yarmidan keyin bakteriyalar sonini bilmoqchi bo'lsak, \(t = 12\) dan foydalanishimiz kerak, chunki \(t\) soatlarda. Shunday qilib, ushbu qismga javob olish uchun biz tenglamaga \(t\) ni ulashimiz kerak.
\[Q = 500\,{{\bf{e}}^{0.195\,\left( {12} \right)}} = 500\left( {10.3812365627} \right) = 5190.618\]Shunday qilib, fraksiyonel populyatsiya unchalik ma'noga ega emasligi sababli, biz yarim kundan keyin 5190 ta bakteriya borligini aytamiz.
b Koloniyada 10000 ta bakteriya bo'lguncha qancha vaqt ketadi? Yechim
Oldingi qismga berilgan javobga asoslanib, bu javob uchun taxminan 1 kun bo'ladi, deb xatoga yo'l qo'ymang. Eksponensial o'sish bilan narsalar biz ko'rib turganimizdek ishlamaydi. Ushbu qismga javob berish uchun biz quyidagi eksponensial tenglamani echishimiz kerak.
\[10000 = 500\,{{\bf{e}}^{0.195\,\,t}}\]Keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}\frac{{10000}}{{500}} & = \,{{\bf{e}}^{0.195\,\,t}}\\ 20 & = {{\bf{e}}^{0.195\,\,t}}\\ \ln 20 & = \ln {{\bf{e}}^{0.195\,\,t}}\\ \ln 20 & = 0.195t\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \frac{{\ln 20}}{{0.195}} = 15.3627\end{align*}\]Shunday qilib, 10000 ta bakteriyaga erishish uchun bor-yo'g'i 15,4 soat kerak bo'ladi, agar birinchi qismdan ikki baravar ko'paytirsak, EMAS 24 soat. Boshqacha aytganda, ehtiyot bo'ling!
bu erda \(t\) yillar bo'lib, \({Q_0}\) o'lim paytida mavjud bo'lgan uglerod 14 miqdori va bu misol uchun o'limda 100 milligramm bo'ladi deb faraz qilaylik.
- 1000 yildan keyin karbon 14 qancha bo'ladi?
- Karbon 14 ning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
a 1000 yildan keyin karbon 14 qancha bo'ladi? Yechim
Bunday holda, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ulanishdir t=1000 tenglamaga kiradi.
\[Q = 100{{\bf{e}}^{ - 0.000124\,\left( {1000} \right)}} = 100\left( {0.883379840883} \right) = 88.338{\mbox{ milligrams}}\]Shunday qilib, bizda 1000 yildan keyin 88,338 milligramm qoladi.
b Karbon 14 ning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi? Yechim
Shunday qilib, biz 50 milligramm uglerod 14 qolguncha qancha vaqt ketishini bilmoqchimiz. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagi tenglamani echishimiz kerak,
\[50 = 100{{\bf{e}}^{ - 0.000124\,t}}\]Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}\frac{{50}}{{100}} & = {{\bf{e}}^{ - 0.000124\,t}}\\ \frac{1}{2} & = {{\bf{e}}^{ - 0.000124\,t}}\\ \ln \frac{1}{2} & = \ln {{\bf{e}}^{ - 0.000124\,t}}\\ \ln \frac{1}{2} & = - 0.000124\,t\hspace{0.25in}\\ t & = \frac{{\ln \frac{1}{2}}}{{ - 0.000124}} = \frac{{ - 0.69314718056}}{{ - 0.000124}} = 5589.89661742\end{align*}\]Shunday qilib, uglerod 14 ning yarmi parchalanishi uchun taxminan 5589,897 yil kerak bo'ladi. Bu raqam deyiladi yarim yemirilish davri uglerod 14.
Endi biz eksponensial tenglamalarning bir nechta qo'llanilishini ko'rib chiqdik va endi logarifmning tezkor qo'llanilishini ko'rib chiqishimiz kerak.
Zilzila intensivligi
Rixter shkalasi odatda zilzila intensivligini o'lchash uchun ishlatiladi. Turli xil miqdorlar asosida buni hisoblashning ko'plab turli usullari mavjud. Biz zilzila paytida chiqarilgan energiyadan foydalanadigan formulani tezda ko'rib chiqamiz.
Agar \(E\) zilzila paytida joul bilan o'lchanadigan ajralib chiqadigan energiya bo'lsa, zilzila magnitudasi quyidagicha aniqlanadi:
\[M = \frac{2}{3}\log \left( {\frac{E}{{{E_0}}}} \right)\]bu erda \({E_0} = {10^{4.4}}\) joul.
Yechim
Bu erda, albatta, formulaga ulanishdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[M = \frac{2}{3}\log \left( {\frac{{8 \times {{10}^{14}}}}{{{{10}^{4.4}}}}} \right) = \frac{2}{3}\log \left( {8 \times {{10}^{9.6}}} \right) = \frac{2}{3}\left( {10.50308999} \right) = 7.002\]Shunday qilib, biz taxminan 7 magnitudaga ega bo'lamiz.
Yechim
Bunday holda biz quyidagi tenglamani echishimiz kerak bo'ladi.
\[5.9 = \frac{2}{3}\log \left( {\frac{E}{{{{10}^{4.4}}}}} \right)\]Ushbu turdagi tenglamalarni qanday echishini biz avvalgi maqolada ko'rib chiqdik bo'limi. Avval bizga bir koeffitsient bilan bir tomondan logarifm kerak. Biz uni shu shaklda olganimizdan so'ng, biz eksponensial shaklga aylantiramiz va hal qilamiz.
\[\begin{align*}5.9 & = \frac{2}{3}\log \left( {\frac{E}{{{{10}^{4.4}}}}} \right)\\ 8.85 & = \log \left( {\frac{E}{{{{10}^{4.4}}}}} \right)\\ {10^{8.85}} & = \frac{E}{{{{10}^{4.4}}}}\\ E & = {10^{8.85}}\left( {{{10}^{4.4}}} \right) = {10^{13.25}}\end{align*}\]Shunday qilib, 5,9 magnitudali zilzila paytida \({10^{13.25}}\) joul energiya ajralib chiqadi.