4.11-bo'lim: Chiziqli taxminlar
Ushbu bo'limda biz hosilalarni emas, balki funktsiyaga teginish chizig'ini qo'llashni ko'rib chiqamiz. Albatta, tangens chizig'ini olish uchun biz hosilalarni olishimiz kerak, shuning uchun bu qandaydir tarzda hosilalarni qo'llashdir.
\(f\left( x \right)\) funksiyasini hisobga olsak, biz uning tangensini \(x = a\) da topishimiz mumkin. Ushbu muhokama uchun biz \(L\left( x \right)\) deb nomlanadigan tangens chiziq tenglamasi:
\[L\left( x \right) = f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right)\]Funktsiyaning quyidagi grafigini va uning tangens chizig'ini ko'rib chiqing.
Ushbu grafikdan biz \(x = a\) yaqinida tangens chizig'i va funksiya deyarli bir xil grafikga ega ekanligini ko'rishimiz mumkin. Vaqti-vaqti bilan biz \(L\left( x \right)\) tangens chizig'idan \(x = a\) yaqinidagi \(f\left( x \right)\) funksiyasiga yaqinlik sifatida foydalanamiz. Bunday hollarda biz tangens chizig'ini deb ataymiz chiziqli yaqinlashish \(x = a\) funksiyasiga.
Xo'sh, nega buni qilamiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu faqat tangens chiziq bo'lgani uchun chiziqli yaqinlashishni topish uchun unchalik ko'p narsa yo'q.
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{3\,\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\hspace{0.5in}f\left( 8 \right) = 2\hspace{0.25in}f'\left( 8 \right) = \frac{1}{{12}}\]Chiziqli yaqinlik u holda,
\[L\left( x \right) = 2 + \frac{1}{{12}}\left( {x - 8} \right) = \frac{1}{{12}}x + \frac{4}{3}\]Endi, yaqinlashishlar \(x\) ning berilgan qiymatlarini chiziqli yaqinlashuvga ulashdan boshqa narsa emas. Taqqoslash uchun biz aniq qiymatlarni ham hisoblaymiz.
\[\begin{align*}L\left( {8.05} \right) & = 2.00416667 & \hspace{0.75in} \sqrt[3]{{8.05}} & = 2.00415802\\ L\left( {25} \right) & = 3.41666667 & \hspace{0.75in} \sqrt[3]{{25}} & = 2.92401774\end{align*}\]Shunday qilib, \(x = 8.05\) da bu chiziqli yaqinlashish haqiqiy qiymatni yaqinlashtirish uchun juda yaxshi ish qiladi. Biroq, \(x = 25\)-da u unchalik yaxshi ish qilmaydi.
Agar bu haqda o'ylab ko'rsangiz, bu juda ajablanarli bo'lmasligi kerak. \(x = 8\) yaqinida funksiya ham, chiziqli yaqinlashish ham deyarli bir xil qiyalikka ega va ikkalasi ham \(\left( {8,2} \right)\) nuqtasidan o‘tgani uchun biz \(x = 8\) ga yaqin bo‘lsak, ular deyarli bir xil qiymatga ega bo‘lishi kerak. Biroq, \(x = 8\) dan uzoqlashganimizda, chiziqli yaqinlashish chiziq bo'ladi va shuning uchun har doim bir xil qiyalik bo'ladi, funktsiya qiyaligi \(x\) o'zgarishi bilan o'zgaradi va shuning uchun funktsiya, ehtimol, chiziqli yaqinlashuvdan uzoqlashadi.
Mana funktsiyaning qisqacha eskizi va uning \(x = 8\) da chiziqli yaqinlashuvi.
![This is a graph of $f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}$. Also shown on the graph is the tangent line to this graph at the point (8,2). The tangent line falls above the graph of the function.](/Classes/CalcI/LinearApproximations_Files/image002.webp)
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, \(x = 8\) dan qanchalik uzoqroq bo'lsak, biz shunchalik ko'p masofani funktsiyaning o'zi va uning chiziqli yaqinlashuvini ajratamiz.
Chiziqli yaqinlashishlar \(x = a\) "yaqinida" qolsak, \(f\left( x \right)\) qiymatlarini yaqinlashtirishda juda yaxshi ish qiladi. Biroq, \(x = a\) dan qanchalik uzoqroq bo'lsak, yaqinlashish shunchalik yomon bo'ladi. Bu erda asosiy muammo shundaki, biz yaxshi taxmin qilish uchun \(x = a\) ga qanchalik yaqin bo'lishimiz kerakligi biz foydalanadigan funktsiyaga va biz foydalanayotgan \(x = a\) qiymatiga bog'liq bo'ladi. Bundan tashqari, biz \(x = a\) dan qanchalik uzoqda bo'lishimiz va hali ham "yaxshi" yaqinlashishimizni bashorat qilishning oson usuli bo'lmaydi.
Keling, ba'zi joylarda juda ko'p ishlatiladigan boshqa misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunga qaramay, bu misol uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(\theta = 0\) da \(\sin \theta \) ga teginish chizig'ini hisoblash.
\[\begin{align*}f\left( \theta \right) & = \sin \theta & \hspace{0.75in} f'\left( \theta \right) & = \cos \theta \\ f\left( 0 \right) & = 0 & \hspace{0.75in}f'\left( 0 \right) & = 1\end{align*}\]Chiziqli yaqinlashish,
\[\begin{align*}L\left( \theta \right) & = f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)\left( {\theta - a} \right)\\ & = 0 + \left( 1 \right)\left( {\theta - 0} \right)\\ & = \theta \end{align*}\]Shunday qilib, \(\theta \) kichik bo'lib qolar ekan, biz \(\sin \theta \approx \theta \) deb ayta olamiz.
Bu aslida biroz muhim chiziqli yaqinlashishdir. Optikada bu chiziqli yaqinlashish ko'pincha formulalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Ushbu chiziqli yaqinlashish mayatnikning harakatini va ipdagi tebranishlarni tasvirlash uchun ham ishlatiladi.