2-Bob : Limitlar
Ushbu bobda biz o'rganadigan mavzu — Limitlar. Bu ushbu kurs davomida ko'rib chiqiladigan uchta asosiy fundamental mavzuning birinchisidir. Qolgan ikkita mavzu (hosila va integral)ga qaraganda limitlarga kamroq vaqt ajratilsa-da, limit tushunchasi butun Calculusning negizini tashkil qiladi. Ushbu bobdan keyingi barcha bo'limlarda biz doimiy ravishda limitlarga duch kelamiz. Xususan, hosila va integralning qat'iy matematik ta'riflari aynan limit orqali ifodalanadi.
Ushbu bobda biz limit funksiya haqida nimalarni aytib bera olishini, limit yordamida funksiyaning o'zgarish tezligi hamda funksiya grafigiga o'tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini qanday aniqlash mumkinligini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, limitning asosiy xossalari va turli ko'rinishdagi limitlarni hisoblash usullarini o'rganamiz. Bundan tashqari, qiymati cheksizlikka teng bo'lgan limitlar hamda cheksizlikdagi limitlarni hisoblash usullari tahlil qilinadi.
Shu bilan birga, biz uzluksizlik tushunchasini va uzluksizlikning Koshi teoremasida (Oraliq qiymat haqidagi teoremada) qanday qo'llanilishini o'rganamiz. Oraliq qiymat haqidagi teorema ko'plab amaliy tatbiqlarga ega bo'lib, xususan, berilgan oraliqda tenglamaning ildizi (funksiyaning noli) mavjudligini isbotlashda keng qo'llaniladi.
Bob so'ngida esa limitning qat'iy, aniq matematik ta'rifi — ba'zan epsilon-delta ta'rifi deb ataladigan fundamental tushuncha bilan tanishamiz.
Quyida ushbu bobga kiritilgan mavzular ro'yxati keltirilgan.
Urinma chiziqlar va o'zgarish tezligi – Ushbu bo'limda kurs davomida qayta-qayta duch kelinadigan ikkita muhim masala: funksiyaning o'zgarish tezligi hamda funksiyaga o'tkazilgan urinma chiziq masalasi kiritiladi. Har ikkala masala limit tushunchasining mantiqiy asosini yaratishga xizmat qiladi.
Limit tushunchasi – Ushbu bo'limda limitning matematik belgilanishi kiritiladi. Shuningdek, limitning asl ma'nosi va u orqali funksiyaning nuqta atrofidagi intilishini qanday tahlil qilish mumkinligi konseptual jihatdan ko'rib chiqiladi.
Bir tomonlama limitlar – Chap va o'ng tomonlama limitlar tushunchasi, ularning o'zaro munosabati va to'liq limit mavjud bo'lishining zaruriy va yetarli shartlari o'rganiladi.
Limit xossalari – Limitlarni taxmin qilishdan aniq algebraik hisoblashga o'tish uchun zarur bo'lgan teoremalar va asosiy xossalar bayon etiladi.
Limitlarni hisoblash – Limit xossalarini to'g'ridan-to'g'ri qo'llashdan oldin almashtirishlarni talab qiluvchi noaniqliklar (0/0), bo'lakli funksiyalar va siqish teoremasi (Squeeze Theorem) tahlil qilinadi.
Cheksiz limitlar – Qiymati musbat yoki manfiy cheksizlikka teng bo'lgan limitlar hamda funksiya grafigining vertikal asimptotalari o'rganiladi.
Cheksizlikdagi limitlar, 1-qism – Argument cheksizlikka intilgandagi xatti-harakat, ko'phadlar va ratsional ifodalar limiti hamda gorizontal asimptotalar.
Cheksizlikdagi limitlar, 2-qism – Ko'rsatkichli, logarifmik va teskari trigonometrik (arktangeks) funksiyalarning cheksizlikdagi limitlari.
Funksiya uzluksizligi – Funksiyaning nuqtada va oraliqda uzluksizligi, uzilish nuqtalari turlari hamda oraliq qiymat haqidagi teorema.
Limitning qat'iy ta'rifi (Epsilon-Delta) – Limitning klassik qat'iy ta'rifi, uning geometrik ma'nosi va ta'rifdan foydalanib limitlarni isbotlash namunalari.