5-bob: Differensial tenglamalar sistemalari
Ko'rib chiqish: Tenglamalar sistemalari - Ushbu bo'limda biz chiziqli algebra sinfining an'anaviy boshlang'ich nuqtasini ko'rib chiqamiz. Biz tenglamalar sistemasini echish uchun chiziqli algebra usullaridan foydalanamiz, shuningdek, tenglamalar sistemasiga ega bo'lishi mumkin bo'lgan echimlar soni haqida bir nechta foydali faktlarni keltiramiz.
Ko'rib chiqish: Matritsalar va vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsalar va vektorlarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz matritsalar va vektorlarni o'z ichiga olgan arifmetikani, matritsaning teskarisini topishni, matritsaning determinantini hisoblashni, chiziqli bog'liq/mustaqil vektorlarni va tenglamalar sistemasini matritsa shakliga o'tkazishni ko'rib chiqamiz.
Ko'rib chiqish: Xususiy qiymatlar va xos vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlari tushunchasi bilan tanishamiz. Biz xarakterli polinomni aniqlaymiz va undan matritsa uchun xos qiymatlarni topish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Matritsa uchun xos qiymatlarni olgandan so'ng, biz matritsa uchun mos keladigan xos qiymatlarni qanday topishni ham ko'rsatamiz.
Differensial tenglamalar sistemalari - Ushbu bo'limda biz differentsial tenglamalar sistemasining ba'zi asoslarini ko'rib chiqamiz. Differensial tenglamalar sistemasini matritsa shakliga qanday o'tkazishni ko'rsatamiz. Bundan tashqari, biz \(n^{ \text{th}}\) tartibli differensial tenglamani differensial tenglamalar sistemasiga qanday aylantirishni ko'rsatamiz.
Tizimlar uchun yechimlar - Ushbu bo'limda biz matritsa ko'rinishidagi differensial tenglamalar sistemasini qanday echishimiz haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Shuningdek, biz differensial tenglamalar sistemalari uchun Wronskianni aniqlaymiz va differensial tenglamalar sistemasiga umumiy yechim borligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Faza tekisligi – Ushbu bo'limda biz faza tekisligi va fazali portretlar haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Differensial tenglamalarning bir hil sistemasi uchun muvozanat yechimi/nuqtasini va muvozanat yechimining barqarorligini aniqlash uchun fazali portretlardan qanday foydalanish mumkinligini aniqlaymiz. Fazali portretlar qanday tuzilganligining rasmiy usulini ham ko'rsatamiz.
Haqiqiy xususiy qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari aniq haqiqiy sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Shuningdek, biz haqiqiy aniq o'ziga xos qiymatlar (egar nuqtalari va tugunlari) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Murakkab xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari kompleks sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Bu, odatda, biz bunday holatlarda biz kutadigan kompleks sonlarni o'z ichiga olmaydigan yechimni qanday olish mumkinligini ko'rsatishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz murakkab o'ziga xos qiymatlar (markazlar va spirallar) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Takroriy xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechamiz, ularning o'z qiymatlari haqiqiy takrorlangan (bu holda ikki barobar) sonlardir. Bu tizimning umumiy yechimini shakllantirishimiz kerak bo'lgan ikkinchi chiziqli mustaqil yechimni olishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz haqiqiy takroriy o'z qiymatlari (noto'g'ri tugunlar) bilan bog'liq bo'lgan fazali portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Bir jinsli bo'lmagan tizimlar - Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar sistemasini echish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar va parametrlarning o'zgarishini ko'rsatadigan tezkor misollar bilan ishlaymiz. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli n-tartibli differensial tenglamalar uchun bo'lgani kabi ishlaydi, parametrlarning o'zgarishi esa tizimlarda qo'llashimiz mumkin bo'lgan formula/jarayonni olish uchun qo'shimcha hosila olish ishlarini talab qiladi.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini echish uchun Laplas konvertatsiyalaridan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatadigan tezkor misol bilan ishlaymiz.
Modellashtirish - Ushbu bo'limda biz oldingi boblarda qilgan ba'zi modellashtirishning ba'zi kengaytmalarini tez ko'rib chiqamiz, ular differentsial tenglamalar sistemasiga olib keladi. Xususan, biz aralashtirish masalalarini ko'rib chiqamiz, ularda bizda bir-biriga bog'langan ikkita suv idishi, ikkalasining populyatsiyalari hisobga olinadigan yirtqich-o'lja muammosi va buloq bilan bog'langan va har biri devorga buloq bilan bog'langan ikki massali mexanik tebranish muammosi.