3.8-bo'lim: Bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar
Endi bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni qanday echish haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi. Ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglama
\[\begin{equation}y'' + p\left( t \right)y' + q\left( t \right)y = g\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]bu erda \(g(t)\) nolga teng bo'lmagan funksiyadir. E'tibor bering, biz bu erda doimiy koeffitsientlar bilan bormadik, chunki bu bo'limda biz qiladigan hamma narsa buni talab qilmaydi. Bundan tashqari, biz ikkinchi hosila bo'yicha 1 koeffitsientidan foydalanmoqdamiz, bu faqat ba'zi ishlarni yozishni biroz osonlashtiradi. 1 bo'lishi shart emas.
Ulardan birini qanday hal qilish haqida gapirishdan oldin, biz ushbu bo'limning mazmuni bo'lgan ba'zi bir asoslarni olib tashlashimiz kerak.
Birinchidan, biz qo'ng'iroq qilamiz
\[\begin{equation}y'' + p\left( t \right)y' + q\left( t \right)y = 0\label{eq:eq2}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq1}\) ga bog'langan bir hil differensial tenglama.
Keling, quyidagi teoremani ko'rib chiqaylik.
\(\eqref{eq:eq1}\) va \(\eqref{eq:eq2}\) yechimlari o'rtasidagi bog'liqlik
Faraz qilaylik, \(Y_{1}(t)\) va \(Y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq1}\) ning ikkita yechimi va \(y_{1}(t)\) va \(y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq2}\) bilan bog‘liq bir hil differensial tenglamaning asosiy yechimlari to‘plamidir, deylik,
\[{Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right)\]\(\eqref{eq:eq2}\) ning yechimidir va uni shunday yozish mumkin
\[{Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]Bu erda ishlatiladigan belgiga e'tibor bering. Katta harflar \(\eqref{eq:eq1}\) yechimlariga, kichik harflar esa \(\eqref{eq:eq2}\) yechimlariga ishora qiladi. Bu bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalar bilan ishlashda juda keng tarqalgan konventsiyadir.
Bu teoremani isbotlash oson, shuning uchun buni qilaylik. \(Y_{1}(t) - Y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq2}\) ning yechimi ekanligini isbotlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa buni differentsial tenglamaga ulash va tekshirish.
\[\begin{align*}{\left( {{Y_1} - {Y_2}} \right)^{\prime \prime }} + p\left( t \right){\left( {{Y_1} - {Y_2}} \right)^\prime } + q\left( t \right)\left( {{Y_1} - {Y_2}} \right) & = 0\\ {Y_1}^{\prime \prime } + p\left( t \right){Y_1}^\prime + q\left( t \right){Y_1} - \left( {{Y_2}^{\prime \prime } + p\left( t \right){Y_2}^\prime + q\left( t \right){Y_2}} \right) & = 0\\ g\left( t \right) - g\left( t \right) & = 0\\ 0 & = 0\end{align*}\]Uchinchi bosqichda biz \(Y_{1}(t)\) va \(Y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq1}\) uchun ikkita yechim ekanligidan foydalandik. Ular \(\eqref{eq:eq1}\) ning echimlari bo'lgani uchun biz buni bilamiz
\[\begin{align*}{Y_1}^{\prime \prime } + p\left( t \right){Y_1}^\prime + q\left( t \right){Y_1} & = g\left( t \right)\\ {Y_2}^{\prime \prime } + p\left( t \right){Y_2}^\prime + q\left( t \right){Y_2} & = g\left( t \right)\end{align*}\]Shunday qilib, biz ikkita yechimning farqi \(\eqref{eq:eq2}\) yechimi ekanligini isbotlay oldik.
Buni isbotlash
\[{Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]yanada osonroq. \(y_{1}(t)\) va \(y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq2}\) yechimlarining asosiy to‘plami bo‘lgani uchun biz ular umumiy yechimni tashkil qilishini bilamiz va shuning uchun \(\eqref{eq:eq2}\) ning istalgan yechimi shaklda yozilishi mumkin.
\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]Xo'sh, \(Y_{1}(t) - Y_{2}(t)\) - bu \(\eqref{eq:eq2}\) ning yechimidir, biz yuqorida ko'rsatganimizdek, uni shunday yozish mumkin
\[{Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]Xo'sh, bu teorema biz uchun nima qiladi? Bu teoremadan \(\eqref{eq:eq1}\) ning umumiy yechim shaklini yozish uchun foydalanishimiz mumkin. Faraz qilaylik, \(y(t)\) \(\eqref{eq:eq1}\) ning umumiy yechimi va \(Y_{P}(t)\) \(\eqref{eq:eq1}\) ning har qanday yechimi bo‘lib, biz uni qo‘limizga olishimiz mumkin. Keyin teoremamizning ikkinchi qismidan foydalanib, biz buni bilamiz
\[y\left( t \right) - {Y_P}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]bu erda \(y_{1}(t)\) va \(y_{2}(t)\) \(\eqref{eq:eq2}\) uchun asosiy yechimlar to'plamidir. \(y(t)\) ni hal qilish,
\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\]Biz qo'ng'iroq qilamiz
\[{y_c}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]qo'shimcha yechim va \(Y_{P}(t)\) ma'lum bir yechim. Differensial tenglamaning umumiy yechimini shunday yozish mumkin.
\[y\left( t \right) = {y_c}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\]Shunday qilib, bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamani echish uchun biz doimiy koeffitsientli differentsial tenglamalar uchun juda oson bajariladigan \(\eqref{eq:eq2}\) bir jinsli differentsial tenglamani echishimiz kerak va bizga \(\eqref{eq:eq1}\) yechimi kerak bo'ladi.
Bu dumaloq argumentga o'xshaydi. \(\eqref{eq:eq1}\) ga yechim yozish uchun bizga yechim kerak. Biroq, bu ko'rinadigan muammo emas. \(\eqref{eq:eq1}\) ga yechim topish usullari mavjud. Ular, umuman olganda, umumiy yechim bo'lmaydi. Darhaqiqat, keyingi ikki bo'lim aynan shunga bag'ishlangan bo'lib, bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning ma'lum bir yechimini topishga qaratilgan.
Muayyan echimlarni topishning ikkita umumiy usuli mavjud: Aniqlanmagan koeffitsientlar va parametrlarning o'zgarishi. Ikkalasining ham afzalliklari va kamchiliklari bor, chunki keyingi bo'limlarda ko'rasiz.