Asosiy tarkibga o'tish

2.6-bo'lim: Cheksiz limitlar

Ushbu bo'limda biz qiymati cheksizlik yoki minus cheksizlik bo'lgan chegaralarni ko'rib chiqamiz. Ushbu turdagi cheklovlar keyingi bo'limlarda va boshqa kurslarda muntazam ravishda namoyon bo'ladi va shuning uchun siz ularga duch kelganingizda ular bilan shug'ullanishingiz kerak bo'ladi.

Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, chegara cheksizlik yoki minus cheksizlik qiymatiga ega deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlashdir.

Cheksiz limitlarning ta'rifi

Biz aytamiz

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \]

agar biz \(x = a\) ga ruxsat bermasdan, har ikki tomondan \(x=a\) ga etarlicha yaqin bo'lgan barcha \(x\) uchun \(f(x)\) ni o'zboshimchalik bilan kattalashtira olsak.

Biz aytamiz

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \]

agar biz \(x = a\) ga ruxsat bermasdan, har ikki tomondan \(x=a\) ga etarlicha yaqin bo'lgan barcha \(x\) uchun o'zboshimchalik bilan katta va manfiy qila olsak.

Ushbu ta'riflar bir tomonlama chegaralar uchun ham mos ravishda o'zgartirilishi mumkin. Ushbu turdagi chegaraning aniqroq va matematik ta'rifini ko'rish uchun qarang Limitning ta'rifi ushbu bobning oxiridagi bo'lim.

Keling, cheksiz limitlarni ko'rsatadigan odatiy misol bilan boshlaylik.

1-misol Quyidagi chegaralarning har birini baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\]
Yechim

Shunday qilib, biz bu erda oddiy chegara bilan bir qatorda bir tomonlama chegaralarni ham ko'rib chiqamiz. Har uch holatda ham biz \(x = 0\)-ni ulab bo'lmasligimizga e'tibor bering. Agar shunday qilsak, biz nolga bo'linamiz. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi ta'riflar bizga bu erda kerak bo'ladigan ikkita bir tomonlama chegaralar uchun o'xshash ta'riflarni berish uchun osongina o'zgartirilishi mumkin.

Endi bu chegaralar uchun qiymatlarni olishning bir necha yo'li mavjud. Buning bir usuli - ba'zi nuqtalarni ulash va funktsiya qanday qiymatga yaqinlashayotganini ko'rish. Oldingida biz endi buni qilmoqchi emasligimizni aytdik, ammo bu holda bu funksiya bilan nima sodir bo'layotganini tasvirlashning yaxshi usuli.

Shunday qilib, bu erda chap va o'ng tomondan \(x\) qiymatlari jadvali. Ushbu qiymatlardan foydalanib, biz ikkita bir tomonlama chegaraning qiymatini taxmin qilishimiz mumkin va buni bajarganimizdan so'ng, biz foydalanishimiz mumkin haqiqat normal chegara faqat ikkita bir tomonlama chegara mavjud bo'lsa va bir xil qiymatga ega bo'lsa mavjud bo'ladi.

\(x\) \(\displaystyle \frac{1}{x}\) \(x\) \(\displaystyle \frac{1}{x}\)
-0.1 -10 0.1 10
-0.01 -100 0.01 100
-0.001 -1000 0.001 1000
-0.0001 -10000 0.0001 10000

Ushbu jadvaldan biz \(x\) ni kichikroq va kichikroq qilishimiz bilan \(\frac{1}{x}\) funksiyasi tobora kattalashib borishini va \(x\) ning dastlab ega bo'lgan belgisini saqlab qolishini ko'rishimiz mumkin. Ushbu tendentsiya biz tanlagan \(x\) ning har qanday kichikroq qiymatida davom etishi mantiqiy bo'lishi kerak. Funktsiya doimiy (bu holda bitta) borgan sari kichik songa bo'linadi. Olingan kasr tobora katta son bo'lishi kerak va yuqorida aytib o'tilganidek, kasr \(x\) bilan bir xil belgini saqlab qoladi.

Biz funktsiyani barcha \(x\) uchun nolga etarlicha yaqin bo'lgan holda, biz xohlagan darajada katta va ijobiy qilishimiz mumkin (i.e. o'ngda). Xuddi shunday, biz funktsiyani barcha \(x\) uchun kerakli darajada katta va manfiy qilishimiz mumkin, shu bilan birga manfiy bo'lib qoladi (i.e. chapda). Shunday qilib, yuqoridagi ta'rifimizdan ikkita bir tomonlama chegaralar uchun quyidagi qiymatlarga ega bo'lishimiz kerak.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \]

Bu erda ikkita bir tomonlama chegaralarning qiymatlarini ko'rishning yana bir usuli bu funktsiyaning grafigini ko'rsatishdir. Shunga qaramay, oldingi bo'limda biz buni tez-tez qilmasligimizni eslatib o'tdik, chunki ko'pgina funktsiyalar biz tezda chizib qo'yadigan narsa emas, shuningdek, grafikdan qiymatlarni o'qishda aniqlik bilan bog'liq muammolar. Biroq, bu holda, funktsiyaning grafigini chizish unchalik qiyin emas va bu holda aniqlik muammo bo'lmaydi. Shunday qilib, bu erda grafikning qisqacha eskizi.

Graph of \(y=\frac{1}{x}\) on the range \(-2<x<2\). Where x>0 the graph is completely in the first quadrant and moves up the y-axis as it approaches the y-axis and as x get larger the graph approaches the x-axis but never crosses it. When x<0 the graph is completely in the third quadrant and moves down the y-axis and as x get larger and negative the graph approaches the x-axis but never crosses it.

Shunday qilib, biz ushbu grafikdan funktsiya biz taxmin qilganimizdek, jadval qiymatlari bo'yicha harakat qilishini ko'rishimiz mumkin. \(x\) o'ngdan nolga qanchalik yaqin bo'lsa, funktsiya shunchalik katta bo'ladi (ijobiy ma'noda), \(x\) chapdan nolga qanchalik yaqin bo'lsa, funktsiya shunchalik katta bo'ladi (salbiy ma'noda).

Nihoyat, bu holda normal chegara mavjud bo'lmaydi, chunki ikkita bir tomonlama chegaralar turli qiymatlarga ega.

Xulosa qilib aytganda, bu misol uchun uchta chegaraning qiymatlari.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\mbox{ doesn't exist}}\]

Ushbu bo'limdagi qolgan misollarning ko'pchiligi uchun biz har bir chegaradan o'tishga harakat qilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz funktsiyaga nima bo'lishi kerakligini tahlil qila olamizmi yoki yo'qmi, biz ko'rib chiqilayotgan nuqtaga yaqinlashamiz, chunki funktsiyaga hech qanday qiymat kiritmasdan. Quyidagi misollarning aksariyati uchun bunday tahlilni amalga oshirish unchalik qiyin bo'lmasligi kerak. Biz tahlilimizni tezkor grafik bilan ham tasdiqlaymiz.

Shunday qilib, keling, yana bir nechta misol keltiraylik.

2-misol Quyidagi chegaralarning har birini baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{6}{{{x^2}}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{6}{{{x^2}}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{{x^2}}}\]
Yechim

Oldingi misolda bo'lgani kabi, ikkita bir tomonlama chegaralarni ko'rib chiqishdan boshlaylik. Ularga ega bo'lgach, biz normal chegara qiymatini aniqlay olamiz.

Shunday qilib, keling, avval o'ng chegarani ko'rib chiqaylik va yuqorida aytib o'tilganidek, har bir chegara nima qilishini aniqlay olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik, biz aslida \(x\) ning hech qanday qiymatlarini funktsiyaga kiritmasdan. Biz \(x\) ning kichikroq va kichikroq qiymatlarini oladigan bo'lsak, ijobiy bo'lib qolgan holda, ularni kvadratga solish ularni faqat kichraytiradi (nol va bir o'rtasidagi sonni kvadratga eslab qo'yish uni kichikroq qiladi) va, albatta, ijobiy bo'lib qoladi. Shunday qilib, bizda tobora kichik ijobiy songa bo'lingan ijobiy doimiy bor. Natijada tobora kattaroq ijobiy raqam bo'lishi kerak. Bu holatda o'ng chegara uchun quyidagi qiymatga ega bo'lishimiz kerak.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{6}{{{x^2}}} = \infty \]

Keling, chap chegarani ko'rib chiqaylik. Bu holda biz \(x\) ning kichikroq va kichikroq qiymatlarini olamiz, shu bilan birga bu safar salbiy bo'lib qolamiz. Biz ularni kvadratga aylantirsak, ular kichikroq bo'ladi, ammo kvadratga aylantirilganda natija ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, bizda tobora kichik ijobiy songa bo'lingan ijobiy doimiy bor. Natijada, o'ng chegarada bo'lgani kabi, tobora kattaroq ijobiy raqam bo'ladi va chap chegara ham shunday bo'ladi:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{6}{{{x^2}}} = \infty \]

Endi, bu misolda, birinchisidan farqli o'laroq, normal chegara mavjud bo'ladi va cheksiz bo'ladi, chunki ikkita bir tomonlama chegaralar mavjud va bir xil qiymatga ega. Xulosa qilib aytganda, bu misol uchun barcha chegaralar, shuningdek chegaralarni tasdiqlovchi tezkor grafik.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{6}{{{x^2}}} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{6}{{{x^2}}} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{{x^2}}} = \infty \]
Graph of \(y=\frac{6}{x^{2}}\) on the range \(-2<x<2\). Where x>0 the graph is completely in the first quadrant and moves up the y-axis as it approaches the y-axis and as x get larger the graph approaches the x-axis but never crosses it. When x<0 the graph is completely in the second quadrant and moves up the y-axis and as x get larger and negative the graph approaches the x-axis but never crosses it.

Ushbu keyingi misol bilan biz maxrajdagi faqat \(x\) dan uzoqlashamiz, ammo keyingi ikkita misolda ko'rib turganimizdek, ular deyarli bir xil ishlaydi.

3-misol Quyidagi chegaralarning har birini baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\]
Yechim

Yana o'ng qo'l chegarasidan boshlaylik. O'ng qo'l chegarasi bilan biz bilamizki,

\[x > - 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 > 0\]

Bundan tashqari, \(x\) -2 ga yaqinlashib borar ekan, \(x + 2\) yuqorida aytib o'tilganidek ijobiy bo'lib nolga yaqinlashadi va nolga yaqinlashadi. Shunday qilib, o'ng chegara uchun biz salbiy doimiylikni tobora kichikroq ijobiy raqamga bo'lamiz. Natijada tobora katta va salbiy raqam bo'ladi. Shunday qilib, o'ng chegara salbiy cheksizlik bo'ladi.

Chap chegara uchun bizda,

\[x < - 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 < 0\]

va \(x + 2\) tobora nolga yaqinlashadi (va manfiy bo'ladi), chunki \(x\) -2 ga yaqinlashadi. Bunday holda, biz salbiy konstantani tobora kichikroq manfiy songa bo'lamiz. Natijada tobora kattaroq ijobiy raqam bo'ladi va shuning uchun chap chegara ijobiy cheksizlikka o'xshaydi.

Nihoyat, ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil bo'lmagani uchun oddiy chegara mavjud bo'lmaydi.

Mana bu misol uchun rasmiy javoblar, shuningdek tekshirish maqsadida funksiyaning tezkor grafigi.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{ - 4}}{{x + 2}} = - \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{ - 4}}{{x + 2}} = \infty \hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\,\,{\mbox{doesn't exist}}\]
Graph of \(y=\frac{-4}{x+2}\) on the range \(-5<x<1\). There is a vertical asymptote at x=-2 that is indicated by a vertical dashed line. Where x>-2 the graph moves down the asymptote as it approaches and as x get larger the graph approaches the x-axis but never crosses it. When x<-2 the graph is moves up the asymptote as it approaches and as x get larger and negative the graph approaches the x-axis but never crosses it.

Shu o'rinda biz vertikal asimptotlar g'oyasini qisqacha tan olishimiz kerak. Oldingi uchta grafikning har birida bittadan bor edi. Algebra kursidan eslaylikki, vertikal asimptota vertikal chiziq (oldingi misoldagi \(x = - 2\) da kesilgan chiziq), unda grafik chiziqning bir yoki ikki tomonida cheksizlik va/yoki minus cheksizlik tomon ketadi.

Algebra darsida biz aytgan narsalarni aytishdan tashqari ularni aniqlash biroz qiyin. Endi bizning kamarimizda cheksiz limitlar mavjud bo'lsa, biz vertikal asimptotani quyidagicha aniqlashimiz mumkin:

Vertikal asimptotaning ta'rifi

\(f(x)\) funktsiyasi \(x = a\) da vertikal asimptotaga ega bo'ladi, agar biz \(x = a\) da quyidagi chegaralardan biriga ega bo'lsak.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \pm \,\infty \]

E'tibor bering, funktsiya \(x = a\) da vertikal asimptotaga ega bo'lishi uchun yuqoridagi chegaralardan faqat bittasi talab qilinadi.

Ushbu ta'rifdan foydalanib, biz birinchi ikkita misolda \(x = 0\) da vertikal asimptota, uchinchi misolda \(x = - 2\) da vertikal asimptota borligini ko'rishimiz mumkin.

Biz bu erda vertikal asimptotlar bilan juda ko'p ish qilmoqchi emasmiz, lekin shu nuqtada ularni eslatib o'tmoqchi edik, chunki biz buni amalga oshirish uchun yaxshi nuqtaga erishdik.

Keling, ba'zida ba'zi muammolarni keltirib chiqaradigan cheksiz limitlarning yana bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

4-misol Quyidagi chegaralarning har birini baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}}\]
Yechim

O'ng qo'l chegarasidan boshlaylik. Ushbu chegara uchun bizda,

\[x > 4\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}4 - x < 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{\left( {4 - x} \right)^3} < 0\]

shuningdek, \(4 - x \to 0\) \(x \to 4\) sifatida. Shunday qilib, bizda tobora kichik salbiy songa bo'lingan ijobiy doimiy bor. Natijalar borgan sari katta salbiy son bo'ladi va shuning uchun o'ng chegara salbiy cheksizlik bo'ladi.

Chap qo'l chegarasi uchun bizda,

\[x < 4\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}4 - x > 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{\left( {4 - x} \right)^3} > 0\]

va bizda hali ham \(4 - x \to 0\) \(x \to 4\) sifatida mavjud. Bunday holda, bizda tobora kichik ijobiy songa bo'lingan ijobiy doimiy bor. Natijalar tobora kattaroq ijobiy raqam bo'ladi va shuning uchun chap chegara ijobiy cheksizlikka o'xshaydi.

Oddiy chegara mavjud bo'lmaydi, chunki ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil emas. Ushbu misolga rasmiy javoblar quyidagicha:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}} = - \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{3}{{{{\left( {4 - x} \right)}^3}}}\,\,{\mbox{doesn't exist}}\]

Mana bizning chegaralarimizni tekshirish uchun tezkor eskiz.

Graph of \(y=\frac{3}{(4-x)^{3}}\) on the range \(0<x<6\). There is a vertical asymptote at x=4 that is indicated by a vertical dashed line. Where x>4 the graph moves down the asymptote as it approaches and as x get larger the graph approaches the x-axis but never crosses it. When x<4 the graph is moves up the asymptote as it approaches and as x get larger and negative the graph approaches the x-axis but never crosses it.

Shu nuqtaga qadar barcha misollar hisoblagichda doimiyga ega va biz, ehtimol, hisoblagichda doimiy bo'lmagan misolni tezda ko'rib chiqishimiz kerak.

5-misol Quyidagi chegaralarning har birini baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x - 3}}\]
Yechim

Keling, avval o'ng qo'l chegarasini ko'rib chiqaylik. Ushbu chegara uchun bizda,

\[x > 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x - 3 > 0\]

Bu misol bilan bu erdagi asosiy farq hisoblagichning xatti-harakatidir, chunki biz \(x\) ga 3 ga yaqinlashishga imkon beramiz.

\[x - 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and }}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as }}x \to 3\]

Shunday qilib, biz \(x\) ga 3 ga yaqinlashib borishiga imkon bersak (har doim o'ng tomonda qolamiz), hisoblagich doimiy bo'lmasa-da, musbat doimiyga yaqinlashmoqda, maxraj esa nolga yaqinlashmoqda va biz o'ng tomonda bo'lganimiz uchun ijobiy bo'ladi.

Bu shuni anglatadiki, bizda nolga teng bo'lmagan va musbat doimiyga borgan sari yaqinlashib kelayotgan surat bo'lib, tobora kichikroq musbat songa bo'linadi va natijada tobora kattaroq ijobiy son bo'lishi kerak. Keyin o'ng chegara ijobiy cheksizlik bo'lishi kerak.

Chap chegara uchun bizda bo'ladi,

\[x < 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x - 3 < 0\]

O'ng qo'l chegarasida bo'lgani kabi, biz hisoblagich va maxraj uchun quyidagi xatti-harakatlarga ega bo'lamiz,

\[x - 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and }}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as }}x \to 3\]

Bu holatda asosiy farq shundaki, endi maxraj manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizda musbat, nolga teng bo'lmagan doimiyga yaqinlashadigan surat bor bo'lib, tobora kichikroq manfiy songa bo'linadi. Natijada tobora katta va salbiy raqam bo'ladi.

Ushbu misol uchun rasmiy javoblar quyidagicha:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = \infty \hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = - \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x - 3}}{\mbox{ doesn't exist}}\]

Ushbu bo'limdagi misollarning aksariyatida bo'lgani kabi, normal chegara mavjud emas, chunki ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil emas.

Mana bizning chegaralarimizni tekshirish uchun tezkor grafik.

Graph of \(y=\frac{2x}{x-3}\) on the range \(-1<x<6\). There is a vertical asymptote at x=3 that is indicated by a vertical dashed line. Where x>3 the graph moves up the asymptote as it approaches and as x get larger the graph approaches the x-axis but never crosses it. When x<3 the graph is moves down the asymptote as it approaches and as x get larger and negative the graph approaches the x-axis but never crosses it.

Hozirgacha biz ratsional iboralar chegaralarini ko'rib chiqdik, keling, turli funktsiyalar bilan bir nechta tezkor misollar keltiramiz.

6-misol \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln \left( x \right)\] ni baholang
Yechim

Birinchidan, biz bu erda faqat o'ng qo'l chegarasini baholashimiz mumkinligiga e'tibor bering. Biz bilamizki, har qanday logarifmning sohasi faqat ijobiy sonlardir va shuning uchun chap qo'l chegarasi haqida gapira olmaymiz, chunki bu manfiy raqamlardan foydalanishni talab qiladi. Xuddi shunday, biz chap qo'l chegarasi bilan shug'ullana olmaganimiz uchun, biz normal chegara haqida gapira olmaymiz.

Ushbu chegarani grafikning tezkor eskizidan olish juda oddiy.

Graph of \(y=\ln \left( x \right)\). As the graph approaches the y-axis it moves down the y-axis. The graph crosses the x-axis at (1,0) and as x gets larger the function increases without bound.

Bundan shuni ko'rishimiz mumkinki,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln \left( x \right) = - \infty \]
7-misol Quyidagi ikkala chegarani ham baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \tan \left( x \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \tan \left( x \right)\]
Yechim

Mana, tangens funksiya grafigining qisqacha eskizi.

Graph of \(y=\tan \left( x \right)\) on the range \(-2 \pi<x<2\pi\). The graph does not exist at \(x=-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\). Each segment of the graph is a curve that starts at the bottom of the graph and increasing until it hits the top of the graph as it nears the next point where the graph does not exist.

Bundan shuni ko'rish mumkinki, biz ushbu chegaralarning har biri uchun quyidagi qiymatlarga egamiz,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \tan \left( x \right) = - \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \tan \left( x \right) = \infty \]

E'tibor bering, oddiy chegara mavjud bo'lmaydi, chunki ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil emas.

Biz ushbu bo'limni cheksiz limitlar haqida bir nechta faktlar bilan qoldiramiz.

Cheksiz limitlar haqida faktlar

\(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) funksiyalarini hisobga olsak, bizda mavjud, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = \infty \hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g\left( x \right) = L\]

ba'zi haqiqiy raqamlar uchun \(c\) va \(L\). Keyin,

  1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \infty \)
  2. Agar \(L > 0\), keyin \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \infty \)
  3. Agar \(L < 0\), keyin \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty \)
  4. \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 0\)

Ushbu faktlar to'plamining isbotini ko'rish uchun qarang Har xil chegaraviy xususiyatlarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limidagi bo'lim.

Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi faktlar to'plami bir tomonlama chegaralar uchun ham amal qiladi. Ular, shuningdek, agar \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = - \infty \) bo'lsa, dastlabki uch qismda cheksizliklar belgisini o'zgartirish bilan ushlab turadilar. Faktlarga kiritilgan bu o'zgarishlarning dalillari asl faktlarning isboti bilan deyarli bir xil va shuning uchun sizga qoldiriladi.