4.10-bo'lim: L'hospital qoidalari va noaniq shakllar
Limitlar bobida biz quyidagi chegaralar bilan ishlash usullarini ko'rdik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} - 5x}}{{1 - 3{x^2}}}\]Agar biz \(x = 4\) ga ulangan bo'lsak, birinchi chegarada biz 0/0 ga ega bo'lamiz va ikkinchi chegarada cheksizlikka "ulasak" \({\infty }/{-\infty }\;\) (eslash \(x\) cheksizlikka o'tayotganda, ko'phad o'zining eng katta kuchiga o'xshash tarzda harakat qiladi). Bu ikkalasi ham deyiladi noaniq shakllar. Bu ikkala holatda ham raqobatlashuvchi manfaatlar yoki qoidalar mavjud va qaysi biri g'alaba qozonishi aniq emas.
0/0 bo'lsa, biz odatda nolga teng bo'lgan kasrni nol deb hisoblaymiz. Biroq, biz maxraj chegarasida nolga tushadigan kasrlarni cheksizlik deb o'ylaymiz yoki umuman mavjud bo'lmasligi mumkin. Xuddi shunday, biz hisoblagich va maxraj bir xil bo'lgan kasr haqida o'ylaymiz. Xo'sh, qaysi biri g'alaba qozonadi? Yoki ikkalasi ham g'alaba qozonmaydi va ularning barchasi "bekor qiladi" va chegara boshqa qiymatga etadi?
\({\infty }/{-\infty }\;\) misolida bizda shunga o'xshash muammolar to'plami mavjud. Agar kasrning soni cheksizlikka ketayotgan bo'lsa, biz butun kasr cheksizlikka ketadi deb o'ylaymiz. Bundan tashqari, agar maxraj cheksiz bo'lsa, chegarada, biz kasrni nolga boradi deb o'ylaymiz. Bizda, shuningdek, ayiruvchi va maxraj bir xil bo'lgan (minus belgisini e'tiborsiz qoldiradigan) kasr holati mavjud va shuning uchun biz -1 ni olishimiz mumkin. Shunga qaramay, ulardan qaysi biri g'alaba qozonishi aniq emas, agar ulardan biri g'alaba qozonadi.
Ikkinchi chegara bilan yana bir muammo borki, cheksizlik haqiqatan ham raqam emas va shuning uchun biz uni raqam sifatida ko'rib chiqmasligimiz kerak. Ko'pincha u raqam bo'lsa, biz kutgandek harakat qilmaydi. Buni biroz ko'proq o'rganish uchun, qarang Infinity turlari ushbu hujjatning oxiridagi Qo'shimchalar bo'limida.
Bu noaniq shakllar bilan bog'liq muammo. Faqat chegarada nima sodir bo'layotgani aniq emas. Noaniq shakllarning boshqa turlari ham mavjud. Boshqa ba'zi turlari,
\[\left( 0 \right)\left( { \pm \,\infty } \right)\hspace{0.25in}{1^\infty }\hspace{0.25in}{0^0}\hspace{0.25in}{\infty ^0}\hspace{0.25in}\infty - \infty \]Bularning barchasi bir-biriga zid bo'lgan manfaatlar yoki qoidalarga ega, ular bizga nima bo'lishi kerakligini aytadi va agar mavjud bo'lsa, qaysi manfaatlar yoki qoidalar g'alaba qozonishi aniq emas. Ushbu bo'limning mavzusi bunday cheklovlar bilan qanday kurashishdir.
Yuqorida aytib o'tilganidek, biz allaqachon noaniq shakllarning ba'zi turlari bilan qanday kurashishni bilamiz. Yuqoridagi ikkita chegara uchun biz ularni quyidagicha ishlaymiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right) = 8\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} - 5x}}{{1 - 3{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} - 3}} = - \frac{4}{3}\]Birinchi holda, biz shunchaki faktorlarga ajratdik, bekor qildik va limitni oldik, ikkinchi holatda esa biz surat va maxrajdan \({x^2}\) ni ajratib oldik va limitni oldik. Shuni ham yodda tutingki, bu holatlarda raqobatdosh manfaatlar yoki qoidalarning hech biri g'alaba qozonmaydi! Ko'pincha shunday bo'ladi.
Shunday qilib, biz ulardan ba'zilari bilan shug'ullanishimiz mumkin. Biroq, quyidagi ikkita chegara haqida nima deyish mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{x^2}}}\]Bu birinchi 0/0 noaniq shakl, lekin biz buni faktor qilib bo'lmaydi. Ikkinchisi - \({\infty }/{\infty }\;\) noaniq shakl, lekin biz suratning faqat \({x^2}\) outini faktor qilib bo'lmaydi. Shunday qilib, bizning hiylalar sumkamizdagi hech narsa bu ikki chegara bilan ishlamaydi.
Bu erda ushbu bo'limning mavzusi o'ynaydi.
L'Hospital qoidasi
Aytaylik, bizda quyidagi holatlardan biri bor,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{0}\hspace{0.5in}{\mbox{OR}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{ \pm \,\infty }}{{ \pm \,\infty }}\]bu erda \(a\) har qanday haqiqiy son, cheksizlik yoki manfiy cheksizlik bo'lishi mumkin. Bunday hollarda bizda,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}\]Shunday qilib, L'Hospital qoidasi bizga aytadiki, agar bizda noaniq shakl 0/0 yoki \({\infty }/{\infty }\;\) bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa hisobni farqlash va maxrajni farqlash va keyin chegarani olishdir.
Misollar bilan davom etishdan oldin, menga "L'Hospital" imlosiga murojaat qilaylik. Eng zamonaviy imlo "L'Hôpital". Biroq, men hisobni birinchi marta o'rganganimda, o'qituvchim men ushbu eslatmalarda ishlatadigan imlodan foydalangan va men hisobdan o'rgatgan birinchi darslik ham bu erda ishlatadigan imlodan foydalangan.
Shuningdek, kabi qayd etdi uchun Vikipediya sahifasida L'Hospital qoidasi,
"17-18-asrlarda bu nom odatda "l'Hospital" deb yozilgan va uning o'zi ham o'z ismini shunday yozgan. Biroq, frantsuzcha imlolar o'zgartirilgan: jim 'lar' olib tashlandi va o'rniga sirkumfleks oldingi unlining ustida. Avvalgi imlo hali ham ingliz tilida sirkumfleks bo'lmagan joyda qo'llaniladi.
Shunday qilib, men bu erda ishlatgan imlo zamonaviy imlo bo'lmasa ham, uning ismining maqbul imlosidir va men uni "L'Hospital" deb yozishga odatlanganim sababli, men ushbu eslatmalarda ishlatmoqchi bo'lgan imlo.
Keling, ba'zi misollar bilan ishlaylik.
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{5{t^4} - 4{t^2} - 1}}{{10 - t - 9{t^3}}}\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{x^2}}}\)
a \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\) Yechim
Shunday qilib, biz bu 0/0 noaniq shakl ekanligini allaqachon aniqladik, shuning uchun L'Hospital qoidasini qo'llaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{1} = \frac{1}{1} = 1\]b \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{5{t^4} - 4{t^2} - 1}}{{10 - t - 9{t^3}}}\) Yechim
Bu holda bizda 0/0 noaniq shakl ham bor va agar biz faktoringni chindan ham yaxshi bilganimizda, pay va maxrajni faktorga qo'yishimiz, soddalashtirishimiz va chegarani olishimiz mumkin edi. Biroq, bu L'Hospital qoidasidan foydalanishdan ko'ra ko'proq ish bo'ladi.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{5{t^4} - 4{t^2} - 1}}{{10 - t - 9{t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{20{t^3} - 8t}}{{ - 1 - 27{t^2}}} = \frac{{20 - 8}}{{ - 1 - 27}} = - \frac{3}{7}\]c \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{x^2}}}\) Yechim
Bu biz ko'rib chiqishni boshlagan boshqa chegara edi va biz bu \({\infty }/{\infty }\;\) noaniq shakli ekanligini bilamiz, shuning uchun L'Hospital qoidasini qo'llaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{2x}}\]Endi bizda kichik muammo bor. Bu yangi chegara ham \({\infty }/{\infty }\;\) noaniq shakldir. Biroq, bu haqiqatan ham muammo emas. Biz bunday cheklovlar bilan qanday kurashishni bilamiz. Faqat L'Hospital qoidasini qo'llang.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{2} = \infty \]Ba'zan L'Hospital qoidasini bir necha marta qo'llashimiz kerak bo'ladi.
L'Hospital qoidasi ikkita noaniq shaklda 0/0 va \({{ \pm \,\infty }}/{{ \pm \,\infty }}\;\) da juda yaxshi ishlaydi. Biroq, biz ilgari ko'rganimizdek, u erda juda ko'p noaniq shakllar mavjud. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik va bunday noaniq shakllar bilan qanday kurashishimizni ko'rib chiqaylik.
Biz \(\left( 0 \right)\left( { \pm \,\infty } \right)\) noaniq shaklidan boshlaymiz.
Yechim
E'tibor bering, biz bu erda o'ng qo'l chegarasini bajarishimiz kerak. Biz tabiiy logarifm faqat ijobiy \(x\) uchun aniqlanganligini bilamiz va shuning uchun bu har qanday ma'noga ega bo'lgan yagona chegaradir.
Endi chegarada biz \(\left( 0 \right)\left( { - \infty } \right)\) noaniq shaklni olamiz. L'Hospital qoidasi mahsulotlarda ishlamaydi, u faqat ko'rsatkichlar bo'yicha ishlaydi. Biroq, agar biz narsalarni biroz qayta yozsak, buni kasrga aylantirishimiz mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln x}}{{{}^{1}/{}_{x}}}\]Funktsiya bir xil, shunchaki qayta yozilgan va chegara endi \( - {\infty }/{\infty }\;\) shaklida va biz endi L'Hospital qoidasidan foydalanishimiz mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln x}}{{{}^{1}/{}_{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{}^{1}/{}_{x}}}{{ - {}^{1}/{}_{{{x^2}}}}}\]Endi bu tartibsizlik, lekin u yaxshi tozalanadi.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{}^{1}/{}_{x}}}{{ - {}^{1}/{}_{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - x} \right) = 0\]Oldingi misolda biz quyidagi amallardan birini bajarib, har doim funksiyalar mahsulotini qism sifatida yozishimiz mumkinligidan foydalanganmiz.
\[f\left( x \right)g\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{{}^{1}/{}_{{f\left( x \right)}}}}\hspace{0.5in}{\mbox{OR}}\hspace{0.5in}f\left( x \right)g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{{}^{1}/{}_{{g\left( x \right)}}}}\]Ushbu ikkita faktdan foydalanish \(\left( 0 \right)\left( { \pm \,\infty } \right)\) shaklidagi istalgan chegarani 0/0 yoki \({{ \pm \,\infty }}/{{ \pm \,\infty }}\;\) shaklidagi chegaraga aylantirish imkonini beradi. Qayta yozishni amalga oshirgandan so'ng biz ushbu ikkitadan qaysi birini olishimiz, biz qaysi faktni qayta yozishimizga bog'liq bo'ladi. Qayta yozishlardan biri 0/0, ikkinchisi esa \({{ \pm \,\infty }}/{{ \pm \,\infty }}\;\) beradi. Hammasi qaysi funktsiya hisoblagichda qolishi va qaysi biri maxrajga ko'chirilishiga bog'liq.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, u \(\left( \infty \right)\left( 0 \right)\) shaklida. Bu shuni anglatadiki, biz uni qism sifatida yozishimiz kerak. \(x\)-ni maxrajga o'tkazish oldingi misolda ishlagan edi, shuning uchun keling, buni ushbu muammo bilan ham sinab ko'raylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{{\bf{e}}^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{}^{1}/{}_{x}}}\]Mahsulotni shu tarzda yozish bizga limitda 0/0 shakliga ega bo'lgan mahsulotni beradi. Shunday qilib, keling, L'Hospital qoidasidan ko'rsatkich bo'yicha foydalanamiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{{\bf{e}}^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{}^{1}/{}_{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{ - {}^{1}/{}_{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{{}^{2}/{}_{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{ - {}^{6}/{}_{{{x^4}}}}} = \cdots \]
Hummm…. Bu bizni hech qayoqqa olib bormayotganga o'xshaydi. L'Hospital qoidasining har bir qo'llanilishi bilan biz yana 0/0 noaniq shaklga ega bo'lamiz va aslida hosilalar tobora yomonlashayotganga o'xshaydi. Shuni ham yodda tutingki, agar biz mahsulotga qismni soddalashtirsak, biz faqat \(\left( \infty \right)\left( 0 \right)\) yoki \(\left( { - \infty } \right)\left( 0 \right)\) bilan yakunlanamiz va bu bizga hech qanday foyda keltirmaydi.
Biroq, bu chegarani amalga oshirish mumkin emas degani emas. Bu shunchaki noto'g'ri funktsiyani maxrajga o'tkazganimizni anglatadi. Buning o'rniga eksponensial funktsiyani ko'chiraylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{{\bf{e}}^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{{}^{1}/{}_{{{{\bf{e}}^x}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{{{\bf{e}}^{ - x}}}}\]E'tibor bering, biz bundan foydalanganmiz,
\[\frac{1}{{{{\bf{e}}^x}}} = {{\bf{e}}^{ - x}}\]qismni biroz soddalashtirish uchun. Bu bizga ba'zi lotinlarni olish vaqti kelganda yordam beradi. Bo'lim endi \( - {\infty }/{\infty }\;\) ning noaniq shakli bo'lib, L'Hospital qoidasidan foydalangan holda,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{{\bf{e}}^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{{{\bf{e}}^{ - x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{ - {{\bf{e}}^{ - x}}}} = 0\]Shunday qilib, \(\left( 0 \right)\left( { \pm \,\infty } \right)\) mahsulotiga duch kelganimizda, biz uni L'Hospital qoidasidan foydalanishga imkon beradigan qismga aylantira olamiz. Biroq, oxirgi misolda ko'rganimizdek, ba'zida buni qanday qilishimizga ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ba'zan biz ikkala qismdan ham foydalanishimiz mumkin va boshqa hollarda faqat bittasi ishlaydi.
Keling, noaniq shakllarni ko'rib chiqaylik,
\[{1^\infty }\hspace{0.25in}{0^0}\hspace{0.25in}{\infty ^0}\]Bularning barchasini quyidagi tarzda hal qilish mumkin, shuning uchun biz faqat bitta misol bilan ishlaymiz.
Yechim
Limitda bu \[{\infty ^0}\] noaniq shakldir. Biz aslida bu muammoning ko'p qismini boshqa chegaraga sarflaymiz. Keling, avval quyidagilarni aniqlaylik.
\[y = {x^{\frac{1}{x}}}\]Endi, agar biz ikkala tomonning tabiiy logini olsak, olamiz
\[\ln \left( y \right) = \ln \left( {{x^{\frac{1}{x}}}} \right) = \frac{1}{x}\ln x = \frac{{\ln x}}{x}\]Keling, quyidagi chegarani ko'rib chiqaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( y \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{}^{1}/{}_{x}}}{1} = 0\]Bu chegara faqat L'Hospital qoidasi muammosi edi va biz buni qanday qilishni bilamiz. Xo'sh, bu bizning chegaramizga qanday aloqasi bor edi? Xo'sh, birinchi navbatda, e'tibor bering,
\[{{\bf{e}}^{\ln \left( y \right)}} = y\]va shuning uchun bizning chegaramiz quyidagicha yozilishi mumkin:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{\ln \left( y \right)}}\]Endi bu muammoni tugatish uchun yuqoridagi chegaradan foydalanishimiz mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{\ln \left( y \right)}} = {{\bf{e}}^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( y \right)}} = {{\bf{e}}^0} = 1\]L'Hospital qoidasi bilan biz ushbu bo'limdan oldin hal qila olmagan turli xil noaniq shakllar chegarasini olishimiz mumkin.