4.5-bo'lim: Grafik shakli, I qism

Oldingida biz funktsiyaning mutlaq minimal va maksimal qiymatlarini aniqlash uchun hosiladan qanday foydalanishni ko'rib chiqdik. Biroq, funktsiyaning birinchi hosilasidan aniqlanishi mumkin bo'lgan grafik haqida ko'proq ma'lumotlar mavjud. Biz ushbu bo'limda ushbu ma'lumotlarni ko'rib chiqishni boshlaymiz. Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan asosiy g'oya funktsiyaning barcha nisbiy ekstremallarini aniqlash bo'ladi.

Keling, ushbu bo'limni oldingi bobdagi tanish mavzuni qayta ko'rib chiqishdan boshlaylik. Faraz qilaylik, bizda \(f\left( x \right)\) funksiyasi bor. Biz oldingi bobdagi ishimizdan ma'lumki, birinchi hosila \(f'\left( x \right)\) funksiyaning o'zgarish tezligidir. Biz bu fikrdan funksiya qayerda ortib borayotgan, kamaygan yoki o‘zgarmasligini aniqlash uchun foydalandik.

Ushbu fikrni ko'rib chiqishdan oldin, birinchi navbatda, o'sish va kamayishning matematik ta'rifini yozamiz. Biz hammamiz o'sish/kamayuvchi funksiya grafigi qanday ko'rinishini bilamiz, lekin ba'zida matematik ta'rifga ega bo'lish yoqimli. Mana.

O'sish va kamayish ta'rifi

Ushbu ta'rif aslida ushbu bo'limdagi keyingi faktni isbotlashda qo'llaniladi.

Eslatib o‘tamiz, avvalgi bobda biz doimiy ravishda funktsiyaning hosilasi bir nuqtada musbat bo‘lsa, funktsiya o‘sha nuqtada ortib boradi, agar hosila biror nuqtada manfiy bo‘lsa, funksiya o‘sha nuqtada kamayib boradi, degan fikrdan doimo foydalanganmiz. Agar funktsiyaning hosilasi bir nuqtada nolga teng bo'lsa, bu nuqtada funktsiya o'zgarmasligini ham ishlatdik. Biz ushbu fikrlardan funktsiya ortib borayotgan va kamayadigan oraliqlarni aniqlash uchun foydalandik.

Quyidagi fakt oldingi bobda nima qilganimizni umumlashtiradi.

O'sish/kamayish va birinchi hosila

The proof of this fact is in the Hosila ilovalaridan dalillar Qo'shimchalar bo'limi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. This example has two purposes. Birinchidan, bu bizga oldingi bobda qilgan muammolarning ortib borayotgan/kamayayotgan turini eslatib turadi. Ikkinchidan, va, ehtimol, bundan ham muhimi, u endi muhim fikrlarni yechimga kiritadi. Oldingi bobda biz tanqidiy nuqtalar haqida bilmasdik, lekin agar siz orqaga qaytsangiz va bu misollarga qarasangiz, deyarli har bir ortib boruvchi/kamayuvchi muammoning birinchi bosqichi funksiyaning kritik nuqtalarini topishdir, shuning uchun biz quyidagi misolda ishlatadigan jarayon tanish bo‘lishi kerak.

1-misol Quyidagi funksiya ortib borayotgan yoki kamayuvchi barcha intervallarni aniqlang. \[f\left( x \right) = - {x^5} + \frac{5}{2}{x^4} + \frac{{40}}{3}{x^3} + 5\]

Yechim

Funktsiyaning ortib borayotganini yoki kamayib borayotganini aniqlash uchun bizga hosila kerak bo'ladi.

\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = - 5{x^4} + 10{x^3} + 40{x^2}\\ & = - 5{x^2}\left( {{x^2} - 2x - 8} \right)\\ & = - 5{x^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\end{align*}\]

E'tibor bering, biz hosilani faktorlarga ajratganimizda, faktoringning qolgan qismini biroz osonlashtirish uchun birinchi navbatda "-1" ni ko'tardik.

Hosilaning faktorlangan shaklidan biz uchta muhim nuqtaga ega ekanligini ko'ramiz: \(x = - 2\), \(x = 0\) va \(x = 4\). We’ll need these in a bit.

Endi lotin qayerda ijobiy va qayerda salbiy ekanligini aniqlashimiz kerak. Biz buni Sharh bobida ham, oldingi bobda ham bir necha marta qildik. Hosil ko'phad bo'lgani uchun u uzluksiz va shuning uchun biz bilamizki, uning belgilarini o'zgartirishning yagona yo'li avval noldan o'tishdir.

Boshqacha qilib aytganda, lotin bo'lgan yagona joy mumkin o'zgarish belgilari funktsiyaning muhim nuqtalarida. We’ve now got another use for critical points. Shunday qilib, biz raqamlar chizig'ini quramiz, kritik nuqtalarning grafigini tuzamiz va lotin har bir mintaqada ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlash uchun har bir mintaqadan sinov nuqtalarini tanlaymiz.

Mana son chizig'i va lotin uchun sinov nuqtalari.

O'z ballaringizni hosilada sinab ko'rganingizga ishonch hosil qiling. Bu erda eng keng tarqalgan xatolardan biri bu funksiyadagi nuqtalarni sinab ko'rishdir! Eslatib o'tamiz, lotin har bir mintaqada bir xil belgi bo'lishini bilamiz. Losmalar belgilarni o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy - bu kritik nuqtalar va biz raqamlar chizig'idagi yagona muhim nuqtalarni belgilab oldik.

Shunday qilib, bizda quyidagi o'sish va pasayish intervallari borga o'xshaydi.

\[\begin{align*}{\mbox{Increase :}} & - 2 < x < 0\text{ va }0 < x < 4\\ {\mbox{Decrease : }} & - \infty < x < - 2\text{ va }4 < x < \infty \end{align*}\]

Bu misolda biz lotin belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy kritik nuqtalarda ekanligidan foydalandik. Bundan tashqari, bu funktsiya uchun kritik nuqtalar lotin nolga teng bo'lganlar edi. Biroq, xuddi shu narsani lotin mavjud bo'lmagan tanqidiy nuqtalar uchun ham aytish mumkin. Buni bilish yoqimli. Funktsiya, bu bo'limda hosila, u nolga teng yoki mavjud bo'lmagan belgilarni o'zgartirishi mumkin. Oldingi bobda ushbu turdagi barcha misollarimizda lotin nolga teng bo'lgan tanqidiy nuqtalar mavjud edi. Endi biz tanqidiy fikrlar haqida ko'proq bilganimizdan so'ng, lotin mavjud bo'lmagan tanqidiy nuqtalar bilan bir yoki ikkita misolni ko'ramiz.

Funktsiyalar (ular, albatta, hosila bo'lishi shart emas) mavjud bo'lmagan joyda belgini o'zgartirishi mumkinligiga ishonchingiz komil bo'lmasa, \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) ni ko'rib chiqing. Bu funktsiya \(x = 0\) da mavjud emas va agar \(x < 0\) manfiy, agar \(x > 0\) bo'lsa musbat va u mavjud bo'lmagan nuqtada belgi o'zgaradi. Biroq, bu har doim to'g'ri bo'ladi deb o'ylamaslikdan ehtiyot bo'ling. Take \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) for example. Shunga qaramay, bu \(x = 0\) da mavjud emas va yet is positive on both sides of \(x = 0\).

So, just to reiterate one more time. Funktsiyalar lotin yoki yo'qligidan qat'i nazar, ular nolga teng yoki mavjud bo'lmagan joyda belgini o'zgartirishi mumkin (lekin bunga kafolat berilmaydi).

Endi bizda oldingi "eslatma" misoli bor, keling, yangi materialga o'tamiz. Funktsiyani oshirish va kamaytirish oraliqlariga ega bo'lgach, biz ushbu ma'lumotdan grafikning eskizini olish uchun foydalanishimiz mumkin. E'tibor bering, eskiz, bu nuqtada, grafikning egriligiga kelganda juda aniq bo'lmasligi mumkin, lekin u hech bo'lmaganda asosiy shaklga ega bo'ladi. Grafikning egri chizig'ini to'g'ri olish uchun bizga keyingi bo'limdagi ma'lumotlar kerak bo'ladi.

Oldingi misolda ishlatgan funksiya grafigining eskizini olishga harakat qilaylik.

2-misol Quyidagi funksiya grafigini chizing. \[f\left( x \right) = - {x^5} + \frac{5}{2}{x^4} + \frac{{40}}{3}{x^3} + 5\]

Yechim

Bu misol uchun haqiqatan ham ko'p narsa yo'q. Grafikni chizganimizda, bizga boshlang'ich joyni berish uchun grafikda bir nechta nuqtalar bo'lishi yoqimli. Shunday qilib, biz muhim nuqtalardan funktsiyadan boshlaymiz. Grafikni chizishga borganimizda, bular bizga boshlang'ich nuqtalarni beradi. Bu nuqtalar,

\[f\left( { - 2} \right) = - \frac{89}{3} = - 29.67\hspace{0.25in}f\left( 0 \right) = 5\hspace{0.5in}f\left( 4 \right) = \frac{1423}{3} = 474.33\]

Bu nuqtalar grafik chizilganidan so'ng biz ortib borayotgan va kamayuvchi ma'lumotlarga o'tamiz va eskizni boshlaymiz. Malumot uchun bu erda ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotlar keltirilgan.

\[\begin{align*}{\mbox{Increase :}} & - 2 < x < 0\text{ va }0 < x < 4\\ {\mbox{Decrease : }} & - \infty < x < - 2\text{ va }4 < x < \infty \end{align*}\]

E'tibor bering, biz faqat grafikning eskizidan keyinmiz. Ushbu misolni boshlashdan oldin aytib o'tganimizdek, biz ushbu nuqtada grafikning egriligini aniq taxmin qila olmaymiz. Biroq, bu ma'lumotsiz ham biz grafik qanday ko'rinishi haqida asosiy tasavvurga ega bo'lamiz.

Ushbu eskizni olish uchun biz grafikning eng chap qismidan boshlaymiz va grafik kamayishi kerakligini va \(x = - 2\) ga yetgunimizcha pasayishda davom etishini bilamiz. Bu vaqtda funktsiya \(x = 4\) ga yetguncha o'sishda davom etadi. Ammo shuni yodda tutingki, o'sish bosqichida u \(x = 0\) nuqtasidan o'tishi kerak va bu nuqtada hosila bu erda nolga teng ekanligini ham bilamiz va shuning uchun grafik \(x = 0\) gorizontal ravishda o'tadi. Nihoyat, \(x = 4\) ni bosganimizdan keyin grafik boshlanadi va pasayishda davom etadi. Shuni ham yodda tutingki, xuddi \(x = 0\) da bo'lgani kabi, grafik boshqa ikkita muhim nuqtadan o'tganda ham gorizontal bo'lishi kerak.

Mana funktsiyaning grafigi. Biz, albatta, ushbu grafikni yaratish uchun grafik dasturdan foydalanganmiz, ammo ba'zi mumkin bo'lgan egrilik muammolaridan tashqari, agar siz ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotlarga amal qilsangiz va avvalo barcha muhim nuqtalarni chizgan bo'lsangiz, shunga o'xshash narsaga ega bo'lishingiz kerak.

Kritik nuqtalarni nisbiy maksimallar, nisbiy minimumlar yoki minimal yoki maksimal deb tasniflash uchun bizga juda yaxshi test berish uchun ushbu misoldagi eskizdan foydalanamiz.

dan eslang Minimal va maksimal qiymatlar funktsiyaning barcha nisbiy ekstremallari kritik nuqtalar ro'yxatidan keladigan bo'lim. Oldingi misoldagi grafik ikkita nisbiy ekstremaga ega va ikkalasi ham o'sha bo'limda bashorat qilganimizdek, kritik nuqtalarda sodir bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, bizda nisbatan ekstremal bo'lmagan muhim nuqta bor (\(x = 0\)). Bu yaxshi, chunki barcha muhim nuqtalar nisbiy ekstremal bo'ladi deb o'ylash uchun hech qanday sabab yo'q. Biz faqat nisbiy ekstremal tanqidiy nuqtalar ro'yxatidan kelishini bilamiz.

Oldingi misoldagi grafaning eskizida biz \(x = - 2\) ning chap tomonida grafik kamayib borayotganini va \(x = - 2\) ning o‘ng tomonida grafik ortib borayotganini va \(x = - 2\) nisbiy minimum ekanligini ko‘rishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, grafik \(x = - 2\) minimal bo'lishi uchun xuddi shunday bo'lishi kerak bo'lgan minimal atrofida harakat qilmoqda. Xuddi shu narsani \(x = 4\) da nisbiy maksimal uchun aytish mumkin . Grafik \(x = 4\) maksimal bo'lishi uchun xuddi shunday bo'lishi kerak bo'lganidek, chap tomonda ortib bormoqda va o'ngda kamaymoqda. Va nihoyat, grafik \(x = 0\) ning har ikki tomonida ham oshib bormoqda va shuning uchun bu muhim nuqta minimal yoki maksimal bo'lishi mumkin emas.

Kritik nuqta nisbiy minimal, nisbiy maksimal yoki hech biri emasligini tekshirishning yaxshi usuliga erishish uchun bu fikrlar umumlashtirilishi mumkin. Agar \(x = c\) kritik nuqta bo'lsa va funktsiya \(x = c\) dan chapga kamayib, o'ngga o'sayotgan bo'lsa, \(x = c\) funktsiyaning nisbiy minimumi bo'lishi kerak. Xuddi shunday, agar funktsiya \(x = c\) ning chap tomoniga ortib, o'ngga kamaysa, \(x = c\) funksiyaning nisbiy maksimali bo'lishi kerak. Va nihoyat, agar funktsiya \(x = c\) ning ikkala tomonida ortib borayotgan bo'lsa yoki ikkala tomondan kamaysa \(x = c\) dan keyin \(x = c\) na nisbiy minimum, na nisbiy maksimal bo'lishi mumkin.

Ushbu fikrlarni quyidagi testda umumlashtirish mumkin.

Birinchi hosilaviy test

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, birinchi hosilaviy test faqat tanqidiy nuqtalarni mutlaq ekstrema sifatida emas, balki nisbiy ekstremal deb tasniflaydi. dan eslaganimizdek Mutlaq ekstremalni topish bo'limning mutlaq ekstremallari eng katta va eng kichik funktsiya qiymatlari bo'lib, hatto mavjud bo'lmasligi yoki mavjud bo'lsa, kritik nuqtalar bo'lishi mumkin.

Birinchi hosila testi aynan shunday, birinchi hosiladan foydalangan holda test. U hech qachon funktsiyaning qiymatini ishlatmaydi va shuning uchun kritik nuqtalarda funktsiyaning nisbiy "o'lchami" (mutlaq ekstremalarni aniqlash uchun kerak bo'ladi) to'g'risida hech qanday xulosa chiqarib bo'lmaydi va hatto tanqidiy nuqtalarda mutlaq ekstremallar paydo bo'lmasligi faktini hal qila olmaydi.

Yana bir misolni olaylik.

3-misol Quyidagi funksiyaning barcha kritik nuqtalarini toping va tasniflang. Funksiya ortib borayotgan va kamayuvchi oraliqlarni keltiring. \[g\left( t \right) = t\,\sqrt[3]{{{t^2} - 4}}\]

Yechim

Birinchidan, biz tanqidiy nuqtalarni olishimiz uchun hosila kerak bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, biz muhim nuqtalarni topishga yordam berish uchun hosilani biroz soddalashtiramiz.

\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = {\left( {{t^2} - 4} \right)^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3}{t^2}{\left( {{t^2} - 4} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\\ & = {\left( {{t^2} - 4} \right)^{\frac{1}{3}}} + \frac{{2{t^2}}}{{3{{\left( {{t^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}\\ & = \frac{{3\left( {{t^2} - 4} \right) + 2{t^2}}}{{3{{\left( {{t^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}\\ & = \frac{{5{t^2} - 12}}{{3{{\left( {{t^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}\end{align*}\]

Shunday qilib, bu erda bizda to'rtta muhim nuqta borga o'xshaydi. Ular,

\[\begin{align*}t & = \pm \,2 & \hspace{1.0in} & {\mbox{The derivative doesn't exist here}}{\mbox{.}}\\ t & = \pm \sqrt {\frac{{12}}{5}} = \pm 1.549 & \hspace{1.0in} & {\mbox{The derivative is zero here}}{\mbox{.}}\end{align*}\]

O'sish va pasayish oraliqlarini topish kritik nuqtalarning tasnifini ham beradi, shuning uchun avval ularni olamiz. Bu erda kritik nuqtalar grafik va sinov nuqtalari bilan raqam chizig'i.

Shunday qilib, bizda quyidagi o'sish va pasayish intervallari borga o'xshaydi.

\[\begin{align*}{\mbox{Increase :}} & - \infty < x < - 2,\,\,\, - 2 < x < - \sqrt {\frac{{12}}{5}} ,\,\,\,\sqrt {\frac{12}{5}} < x < 2,\,\,\,\,\& \,\,\,2 < x < \infty \\ {\mbox{Decrease : }} & - \sqrt {\frac{{12}}{5}} < x < \sqrt {\frac{{12}}{5}} \end{align*}\]

Bundan ko'rinib turibdiki, \(t = - 2\) va \(t = 2\) nisbiy minimal yoki nisbiy maksimal emas, chunki funktsiya ularning ikkala tomonida ham ortib bormoqda. Boshqa tomondan, \(t = - \sqrt {\frac{12}{5}} \) nisbiy maksimal, \(t = \sqrt {\frac{12}{5}} \) esa nisbiy minimumdir.

To'liqlik uchun bu erda funktsiyaning grafigi. E'tibor bering, bu grafik faqat ortib borayotgan va kamayuvchi ma'lumotlarga asoslanib eskiz qilish uchun biroz qiyinroq. Bu erda faqat ma'lumot uchun taqdim etilgan, shuning uchun uning qanday ko'rinishini ko'rishingiz mumkin.

Oldingi misolda hosila mavjud bo'lmagan ikkita muhim nuqta nisbiy ekstremal emas edi. Bu haqda hech narsa o'qimang. Ular ko'pincha nisbiy ekstremal bo'ladi. Tekshiring 5-misol Mutlaq ekstremalda shunday muhim nuqtalardan birining misolini ko'rish uchun.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

4-misol Faraz qilaylik, yo‘lning dengiz sathidan balandligi quyidagi funksiya bilan berilgan. \[E\left( x \right) = 500 + \cos \left( {\frac{x}{4}} \right) + \sqrt 3 \sin \left( {\frac{x}{4}} \right)\]

bu erda \(x\) millarda joylashgan. Faraz qilaylik, agar \(x\) ijobiy bo'lsa, biz boshlang'ich o'lchov nuqtasidan sharqdamiz va \(x\) salbiy bo'lsa, biz boshlang'ich o'lchov nuqtasidan g'arbdamiz.

Agar biz boshlang'ich o'lchov nuqtasidan g'arbga 25 mil yo'lni boshlasak va boshlang'ich nuqtadan 25 mil sharqgacha bo'lgunimizcha haydasak, biz haydashimiz uchun qancha mil qiyalik bo'lgan?

Yechim

Mayli, bu \(\left[ { - 25,25} \right]\) oraliqdagi funktsiya uchun ortish va pasayish oraliqlari qanday ekanligini so'rashning chindan ham ajoyib usuli. Demak, birinchi navbatda funksiyaning hosilasi kerak.

\[E'\left( x \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\cos \left( {\frac{x}{4}} \right)\]

Buni nolga tenglashtirish,

\[\begin{align*} - \frac{1}{4}\sin \left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\cos \left( {\frac{x}{4}} \right) & = 0\\ \tan \left( {\frac{x}{4}} \right) & = \sqrt 3 \end{align*}\]

Buning yechimlari va shuning uchun muhim nuqtalar:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle \frac{x}{4} = 1.0472 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\\{\displaystyle \frac{x}{4} = 4.1888 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4.1888 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \,\,}\\{x = 16.7552 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\]

Biz kutayotgan oraliqda tushadigan muhim nuqtalar ekanligini tekshirishni sizga qoldiraman,

\[ - 20.9439,\,\,\, - 8.3775,\,\,\,4.1888,\,\,\,16.7552\]

Mana tanqidiy nuqtalar va sinov nuqtalari bilan raqam chizig'i.

Shunday qilib, o'sish va pasayish oraliqlari,

\[\begin{align*}{\mbox{Increase :}} & - 25 < x < - 20.9439, \,\,\, - 8.3775 < x < 4.1888\text{ va } 16.7552 < x < 25\\ {\mbox{Decrease : }} & - 20.9439 < x < - 8.3775{\mbox{ and }} 4.1888 < x < 16.7552 \end{align*}\]

E'tibor bering, biz intervallarni -25 va 25 da tugatishimiz kerak edi, chunki biz ushbu nuqtalardan tashqarida hech qanday ish qilmaganmiz va shuning uchun biz \(\left[ { - 25,25} \right]\) oralig'idan tashqaridagi funktsiya haqida hech narsa deya olmaymiz.

Intervallardan biz aslida savolga javob berishimiz mumkin. Biz ortib borayotgan oraliqlarda qiyalikda harakat qildik va shuning uchun umumiy millar soni,

\[\begin{align*}{\mbox{Distance }} & = \left( { - 20.9439 - \left( { - 25} \right)} \right) + \left( {4.1888 - \left( { - 8.3775} \right)} \right) + \left( {25 - 16.7552} \right)\\ & = 24.8652{\mbox{ miles}}\end{align*}\]

Muammo buni talab qilmagan bo'lsa ham, biz \(\left[ { - 25,25} \right]\) oralig'ida joylashgan muhim nuqtalarni ham tasniflashimiz mumkin.

\[\begin{align*}{\mbox{Relative Maximums : }} & - 20.9439,4.1888\\ {\mbox{Relative Minimums : }} & - 8.3775,16.7552\end{align*}\]

5-misol Ma'lum bir hududda \(t\) yildan keyin quyonlarning populyatsiyasi (yuzlab) quyidagi funktsiya bilan berilgan: \[P\left( t \right) = {t^2}\ln \left( {3t} \right) + 6\]

Birinchi ikki yil ichida aholi soni kamayganligini aniqlang.

Yechim

Shunday qilib, biz haqiqatan ham intervallardan keyinmiz va [0,2] oraliqda ortib boramiz va kamayamiz.

Biz ushbu funktsiya uchun yagona muhim nuqtani topdik Kritik nuqtalar bo'lishi kerak bo'lgan bo'lim,

\[x = \frac{1}{{3\sqrt {\bf{e}} }} = 0.202\]

Bu erda o'sish va kamayish oraliqlari uchun raqam chizig'i.

Demak, aholi qisqa muddatga kamayib, keyin abadiy ko'payishda davom etayotganga o'xshaydi.

Bundan tashqari, muammo buni talab qilmagan bo'lsa-da, biz bitta tanqidiy nuqta nisbiy minimal ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Ushbu bo'limda biz funktsiyaning birinchi hosilasidan qanday qilib grafik shakli haqida ma'lumot berishimiz mumkinligini va bu ma'lumotdan ba'zi ilovalarda qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqdik.

Bizga funktsiyaning ortishi yoki kamayishi haqida ma'lumot berish uchun birinchi hosiladan foydalanish hosilalarning juda muhim qo'llanilishi bo'lib, ko'p sohalarda muntazam ravishda yuzaga keladi.