3.1-bo'lim: Hosilaning ta'rifi
Birinchisida bo'limi Limitlar bobida biz tangens chiziqning qiyaligini hisoblash, funktsiyaning bir lahzalik o'zgarish tezligi va \(x = a\) da ob'ektning oniy tezligini hisoblash bizdan quyidagi chegarani hisoblashni talab qilishini ko'rdik.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\]Shuningdek, biz kichik belgi o'zgarishi bilan bu chegarani quyidagicha yozish mumkinligini ham ko'rdik:
\[\begin{equation}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \label{eq:eq1}\end{equation}\]Bu juda muhim chegara va u juda ko'p joylarda paydo bo'ladi, biz unga nom beramiz. Biz uni a deb ataymiz hosila. Bu erda hosilaning rasmiy ta'rifi.
Hosila tushunchasi
E'tibor bering, biz hamma narsani almashtirdik a bilan \(\eqref{eq:eq1}\) da mavjud x hosila haqiqatan ham funktsiya ekanligini tan olishdir. Biz tez-tez \(f'\left( x \right)\) ni "f shtrix x" deb o'qiymiz.
Keling, ta'rifdan foydalanib, bir nechta hosilalarni hisoblaylik.
Yechim
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bu funktsiyani hosila, \(\eqref{eq:eq2}\) ta'rifiga ulash va biroz algebra qilishdir. Tan olish kerakki, algebra ba'zida biroz yoqimsiz bo'ladi, lekin bu shunchaki algebra, shuning uchun biz endi hosilalarni hisoblashimizdan hayajonlanmang.
Avval funktsiyani hosila ta'rifiga kiriting.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2{{\left( {x + h} \right)}^2} - 16\left( {x + h} \right) + 35 - \left( {2{x^2} - 16x + 35} \right)}}{h}\end{align*}\]Ehtiyot bo'ling va ayirish paytida qavslar bilan to'g'ri ishlaganingizga ishonch hosil qiling.
Endi biz oldingi bobdan ma'lumki, biz \(h = 0\)-ni shunchaki ulab bo'lmaydi, chunki bu bizga nolga bo'linish xatosini beradi. Shunday qilib, biz biroz ish qilishimiz kerak. Bunday holda, bu hamma narsani ko'paytirish va minus belgisini ikkinchi hadga taqsimlashni anglatadi. Buni qilish,
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2{x^2} + 4xh + 2{h^2} - 16x - 16h + 35 - 2{x^2} + 16x - 35}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4xh + 2{h^2} - 16h}}{h}\end{align*}\]E'tibor bering, suratdagi har bir atamada a bo'lmagan h unda bekor qilindi va biz endi faktor qilishimiz mumkin h ga qarshi bekor qiladigan suratdan h maxrajda. Shundan so'ng biz chegarani hisoblashimiz mumkin.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left( {4x + 2h - 16} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 4x + 2h - 16\\ & = 4x - 16\end{align*}\]Shunday qilib, hosila,
\[f'\left( x \right) = 4x - 16\]Yechim
Bu algebraga qaraganda biroz chalkashroq bo'ladi. Biroq, bundan tashqari, u avvalgi misollar bilan bir xil tarzda ishlaydi. Birinchidan, biz funktsiyani hosila ta'rifiga kiritamiz,
\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {t + h} \right) - g\left( t \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left( {\frac{{t + h}}{{t + h + 1}} - \frac{t}{{t + 1}}} \right)\end{align*}\]E'tibor bering, biz ta'rifdagi barcha harflarni berilgan funktsiyaga mos kelishi uchun o'zgartirdik. Shuni ham yodda tutingki, biz kasrni ishda yordam berish uchun ancha ixchamroq yozganmiz.
Birinchi muammoda bo'lgani kabi, biz faqat \(h = 0\) ni ulay olmaymiz. Shunday qilib, biz narsalarni biroz soddalashtirishimiz kerak. Bunday holda, hisoblagichdagi ikkita atamani quyidagi tarzda bitta ratsional ifodaga birlashtirishimiz kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left( {\frac{{\left( {t + h} \right)\left( {t + 1} \right) - t\left( {t + h + 1} \right)}}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left( {\frac{{{t^2} + t + th + h - \left( {{t^2} + th + t} \right)}}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\left( {\frac{h}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)\end{align*}\]Buni tugatmasdan oldin, bir nechta narsalarni eslatib o'tamiz. Birinchidan, biz maxrajni ko'paytirmadik. Maxrajni ko'paytirish narsalarni haddan tashqari murakkablashtiradi, shuning uchun uni oddiy tutaylik. Keyinchalik, birinchi misolda bo'lgani kabi, soddalashtirilgandan keyin bizda faqat shartlar mavjud h 's ularda hisoblagichda qoldirilgan va shuning uchun biz endi bekor qilishimiz mumkin h tashqariga.
Shunday qilib, bekor qilinganda h chegarani baholab, hosilani olishimiz mumkin.
\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\left( {t + h + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}\\ & = \frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}\\ & = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\end{align*}\]Demak, hosila,
\[g'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\]Yechim
Avval oldingi ikkita misolda qilganimizdek, hosila ta'rifini kiriting.
\[\begin{align*}R'\left( z \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{R\left( {z + h} \right) - R\left( z \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} - \sqrt {5z - 8} }}{h}\end{align*}\]Bu masalada biz hisoblagichni ratsionalizatsiya qilishimiz kerak. Siz eslaysiz ratsionalizatsiya Algebra darsidan, to'g'rimi? Algebra darsida siz faqat maxrajni ratsionalizatsiya qilgandirsiz, lekin hisoblagichlarni ham ratsionalizatsiya qilishingiz mumkin. Esda tutingki, hisoblagichni ratsionalizatsiya qilishda (bu holda) biz ayirma va maxrajni ham hisoblagichga ko'paytiramiz, bundan mustasno, biz ikkita atama orasidagi belgini o'zgartiramiz. Mana bu muammoni ratsionalizatsiya qilish,
\[\begin{align*}R'\left( z \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} - \sqrt {5z - 8} } \right)}}{h}\frac{{\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} + \sqrt {5z - 8} } \right)}}{{\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} + \sqrt {5z - 8} } \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{5z + 5h - 8 - \left( {5z - 8} \right)}}{{h\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} + \sqrt {5z - 8} } \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{5h}}{{h\left( {\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} + \sqrt {5z - 8} } \right)}}\end{align*}\]Shunga qaramay, soddalashtirilgandan keyin bizda faqat h sanoqchida qoldirilgan. Shunday qilib, bekor qiling h va chegarani baholang.
\[\begin{align*}R'\left( z \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{5}{{\sqrt {5\left( {z + h} \right) - 8} + \sqrt {5z - 8} }}\\ & = \frac{5}{{\sqrt {5z - 8} + \sqrt {5z - 8} }}\\ & = \frac{5}{{2\sqrt {5z - 8} }}\end{align*}\]Shunday qilib, biz hosila olamiz,
\[R'\left( z \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5z - 8} }}\]Keling, yana bir misol bilan ishlaylik. Bu biroz boshqacha bo'ladi, lekin buning bir nuqtasi bor.
Yechim
Bu muammo ma'lum bir nuqtada hosilani so'raganligi sababli, biz davom etamiz va undan ishimizda foydalanamiz. Bu bizning hayotimizni osonlashtiradi va bu har doim yaxshi narsa.
Shunday qilib, ta'rifga ulang va soddalashtiring.
\[\begin{align*}f'\left( 0 \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left| {0 + h} \right| - \left| 0 \right|}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left| h \right|}}{h}\end{align*}\]Biz qaraganimizda shunga o'xshash vaziyatga guvoh bo'ldik cheksizlikdagi chegaralar. Ushbu bo'limda bo'lgani kabi, biz shunchaki bekor qila olmaymiz h ning. Biz ikkita bir tomonlama chegaralarni ko'rib chiqishimiz va buni eslashimiz kerak
\[\left| h \right| = \left\{ {\begin{array}{lr}h&{{\mbox{if }}h \ge 0}\\{ - h}&{{\mbox{if }}h < 0}\end{array}} \right.\] \[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{\left| h \right|}}{h} & = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{ - h}}{h}\hspace{0.25in}{\mbox{because \(h < 0\) in a left-hand limit.}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \left( { - 1} \right)\\ & = - 1\end{align*}\] \[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left| h \right|}}{h} & = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{h}{h}\hspace{0.25in}{\mbox{because \(h > 0\) in a right-hand limit.}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} 1\\ & = 1\end{align*}\]Ikki bir tomonlama chegaralar boshqacha va shunga o'xshash
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left| h \right|}}{h}\]mavjud emas. Biroq, bu biz izlayotgan hosilani beradigan chegaradir.
Agar chegara mavjud bo'lmasa, hosila ham mavjud emas.
Ushbu misolda biz nihoyat bir nuqtada hosilasi mavjud bo'lmagan funktsiyani ko'rdik. Bu biz bilishimiz kerak bo'lgan hayot haqiqatidir. Tsikllar har doim ham mavjud bo'lmaydi. Shuni ham yodda tutingki, bu lotin boshqa joyda mavjud yoki yo'qligi haqida hech narsa aytmaydi. Aslida, mutlaq qiymat funktsiyasining hosilasi biz ko'rib chiqqan \(x = 0\) dan tashqari har bir nuqtada mavjud.
Oldingi muhokama quyidagi ta'rifga olib keladi.
Differensiallanuvchi funksiyaning ta’rifi
\(f\left( x \right)\) funksiyasi chaqiriladi farqlanishi mumkin \(x = a\) da, agar \(f'\left( a \right)\) mavjud bo'lsa va \(f\left( x \right)\) intervalda differentsiallanuvchi deb ataladi, agar hosila shu oraliqdagi har bir nuqta uchun mavjud bo'lsa.
Keyingi teorema bizga uzluksiz va differentsial bo'lgan funktsiyalar o'rtasidagi juda yaxshi munosabatni ko'rsatadi.
Differensial funksiyalar uzluksiz
Agar \(f\left( x \right)\) \(x = a\) da differentsiallansa, \(f\left( x \right)\) \(x = a\) da uzluksizdir.
E'tibor bering, bu teorema teskari ishlamaydi. \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) ni ko'rib chiqing va ko'rib chiqing,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)\]Shunday qilib, \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) \(x = 0\) da uzluksiz, lekin biz yuqorida 4-misolda \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) \(x = 0\) da farqlanmasligini ko‘rsatdik.
Muqobil notation
Keyinchalik, hosila uchun ba'zi muqobil yozuvlarni muhokama qilishimiz kerak. Odatiy lotin yozuvi "bosh" belgisidir. Biroq, ba'zida ishlatiladigan yana bir belgi bor, shuning uchun buni yoritib olaylik.
\(y = f\left( x \right)\) funktsiyasi berilgan bo'lsa, quyida keltirilganlarning barchasi ekvivalent va \(f\left( x \right)\) ning hosilasini ifodalaydi x.
\[f'\left( x \right) = y' = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( y \right)\]Vaqti-vaqti bilan hosilalarni baholashimiz kerak bo'lganligi sababli, kasr belgilaridan foydalanganda hosilalarni baholash uchun belgi kerak. Shunday qilib, agar biz \(x = a\) da hosilani baholamoqchi bo'lsak, quyida keltirilganlarning barchasi ekvivalentdir.
\[f'\left( a \right) = {\left. {y'} \right|_{x = a}} = {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = a}} = {\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = a}}\]Shuni ham yodda tutingki, ba'zida biz belgini biroz soddalashtirish uchun funktsiyaga \(\left( x \right)\) qismini tushiramiz. Bunday hollarda quyidagilar ekvivalent hisoblanadi.
\[f'\left( x \right) = f'\]Ushbu bo'limdagi yakuniy eslatma sifatida biz ko'pgina lotinlarni to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan hisoblash xato qilish imkoniyatlari bilan to'ldirilgan juda murakkab (va ba'zan og'riqli) jarayon ekanligini tan olamiz. Bir nechta bo'limlarda biz ko'plab umumiy funktsiyalarning hosilasini olishga yordam beradigan formulalar va/yoki xususiyatlarni ishlab chiqishni boshlaymiz, shuning uchun hosila ta'rifiga tez-tez murojaat qilishimiz shart emas.
Biroq, bu hosila ta'rifini bilish muhim emas degani emas! Bu biz doimo bilishimiz va yodda saqlashimiz kerak bo'lgan muhim ta'rifdir. Bu shunchaki biz unchalik ishlamaydigan narsa.