12.4-bo'lim: To'rtburchak yuzalar
Oldingi ikki bo'limda biz uch o'lchamdagi (yoki \({\mathbb{R}^3}\)) chiziqlar va tekisliklarni ko'rib chiqdik va ular Ba'zan Calculus kursida juda ko'p ishlatilsa-da, boshqa ko'plab sirtlar ham juda muntazam ravishda ishlatiladi va shuning uchun biz ularni ko'rib chiqishimiz kerak.
Ushbu bo'limda biz kvadrat yuzalarni ko'rib chiqamiz. Kvadrik sirtlar umumiy shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamaning grafiklari
\[A{x^2} + B{y^2} + C{z^2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0\]bu yerda \(A\), … , \(J\) doimiylar.
Ularning barchasini sanab o'tishning iloji yo'q, lekin ba'zi standart tenglamalar mavjud, shuning uchun bu erda eng keng tarqalgan kvadratik yuzalar ro'yxati keltirilgan.
Ellipsoid
Mana ellipsoidning umumiy tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]Bu erda odatiy ellipsoidning eskizi.
Agar \(a = b = c\) bo'lsa, biz sharga ega bo'lamiz.
E'tibor bering, biz faqat markazlashgan ellipsoid uchun tenglamani berdik. Shubhasiz, ellipsoidlar kelib chiqishi markazida bo'lishi shart emas. Biroq, ushbu bo'limda muhokamani biroz osonlashtirish uchun biz u yoki bu tarzda kelib chiqishiga "markazlangan" sirtlarga e'tibor qaratishni tanladik.
Konus
Bu erda konusning umumiy tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\]Bu erda odatiy konusning eskizi.
E'tibor bering, biz buni konus deb ataganimizda, u ko'pchilik konus deb ataydigan narsadan ko'ra ko'proq soatlik shisha shaklidir. Albatta, soat stakanining yuqori va pastki qismi, biz odatda ular haqida o'ylaganimizdek, konusdir.
Agar biz haqiqatan ham yuqori yoki pastki qismni xohlasak nima bo'ladi degan savol tug'iladi (i.e. an'anaviy ma'noda konus)? Bunga javob berish juda oson. Bizga faqat \(z\) uchun berilgan tenglamani quyidagicha yechish kerak,
\[{z^2} = {c^2}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right) = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{y^2} = {A^2}{x^2} + {B^2}{y^2}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,z = \pm \sqrt {{A^2}{x^2} + {B^2}{y^2}} \]Tenglama(lar) bilan ishlashni osonlashtirish uchun koeffitsientlarni biroz soddalashtirdik. Endi biz bilamizki, kvadrat ildizlar har doim ijobiy sonlarni qaytaradi va shuning uchun biz \(z = \sqrt {{A^2}{x^2} + {B^2}{y^2}} \) har doim ijobiy bo'lishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun yuqoridagi "konusning" yuqori qismi uchun tenglama bo'ladi. Xuddi shunday, \(z = - \sqrt {{A^2}{x^2} + {B^2}{y^2}} \) har doim salbiy bo'ladi va shuning uchun yuqoridagi "konusning" pastki qismining tenglamasi bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, bu \(z\) o'qi bo'ylab ochiladigan konusning tenglamasi. Boshqa o'qlardan biri bo'ylab ochiladigan konusning tenglamasini olish uchun biz tenglamani biroz o'zgartirishimiz kerak. Bu biz ushbu bo'limda ko'rib chiqiladigan qolgan sirtlar uchun ham shunday bo'ladi.
Konus bo'lsa, teng belgining bir tomonida joylashgan o'zgaruvchi konusning ochiladigan o'qini aniqlaydi. Masalan, \(x\) o'qi bo'ylab ochiladigan konus tenglamaga ega bo'ladi:
\[\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\]Quyidagi yuzalarning aksariyati uchun biz boshqa mumkin bo'lgan formulalarni bermaymiz. Biroq, biz har bir formulani sirt uchun yo'nalishni o'zgartirish uchun qanday o'zgartirish kerakligini tan olamiz.
Silindr
Bu erda silindrning umumiy tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]Bu kesma ellips bo'lgan silindr. Agar \(a = b\) bo'lsa, bizda kesma doira bo'lgan silindr bor. Biz bunday silindrlar bilan umumiy shakldan ko'ra ko'proq shug'ullanamiz, shuning uchun dumaloq kesimli silindrning tenglamasi:
\[{x^2} + {y^2} = {r^2}\]Bu erda ellips kesimli odatiy silindrning eskizi.
Tsilindr tenglamada ko'rinmaydigan o'zgaruvchiga mos keladigan o'qning markazida bo'ladi.
Buni doira bilan aralashtirib yubormaslik uchun ehtiyot bo'ling. Ikki o'lchamda u aylana, lekin uch o'lchamda u silindrdir.
Bir varaqning giperboloidi
Mana bitta varaqning giperboloidi tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]Mana bitta varaqning tipik giperboloidining eskizi.
Oldinda salbiy bo'lgan o'zgaruvchi grafik markazlashtirilgan o'qni beradi.
Ikki varaqning giperboloidi
Ikki varaqdan iborat giperboloid tenglamasi.
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]Bu erda ikkita varaqdan iborat odatiy giperboloidning eskizi.
Oldinda musbat bo'lgan o'zgaruvchi grafik markazlashtirilgan o'qni beradi.
E'tibor bering, bitta varaqning giperboloidi va ikkita varaqning giperboloidi o'rtasidagi yagona farq o'zgaruvchilar oldidagi belgilardir. Ular mutlaqo qarama-qarshi belgilar.
Shuni ham yodda tutingki, konuslar bilan qilishimiz mumkin bo'lganidek, agar biz \(z\) uchun tenglamani yechisak, ijobiy qism uning yuqori qismi uchun tenglamani beradi, salbiy qism esa pastki qismi uchun tenglamani beradi.
Elliptik paraboloid
Mana elliptik paraboloidning tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{z}{c}\]Tsilindrlarda bo'lgani kabi, bu ellipsning kesmasiga ega va agar \(a = b\) bo'lsa, u aylana kesmasiga ega bo'ladi. Ular bilan shug'ullanganimizda, biz odatda kesma uchun aylana bo'lgan turlar bilan shug'ullanamiz.
Bu erda tipik elliptik paraboloidning eskizi.
Bunday holda, kvadrat bo'lmagan o'zgaruvchi paraboloid ochiladigan o'qni aniqlaydi. Shuningdek, \(c\) belgisi paraboloid ochiladigan yo'nalishni aniqlaydi. Agar \(c\) ijobiy bo'lsa, u ochiladi va \(c\) salbiy bo'lsa, u pastga ochiladi.
Giperbolik paraboloid
Bu erda giperbolik paraboloidning tenglamasi.
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{z}{c}\]Bu erda tipik giperbolik paraboloidning eskizi.
Ushbu grafiklar noaniq egar shaklida bo'lib, elliptik paraboloidda bo'lgani kabi \(c\) belgisi sirtning "ochilishi" yo'nalishini aniqlaydi. Yuqoridagi grafik \(c\) musbat uchun ko'rsatilgan.
Yuqorida ko'rib chiqilgan paraboloidlarning ikkala turi bilan, chap tomondan doimiyni qo'shish/ayirish orqali sirtni osongina yuqoriga yoki pastga siljitish mumkinligini unutmang.
Masalan
\[z = - {x^2} - {y^2} + 6\]elliptik paraboloid boʻlib, u pastga qarab ochiladi (ehtiyot boʻling, “-” \(z\) oʻrniga \(x\) va \(y\) da joylashgan) va \(z = 0\) oʻrniga \(z = 6\) da boshlanadi.
Mana bu sirtning bir nechta tezkor eskizlari.
E'tibor bering, biz bu erda eskizning ikkita shaklini berdik. Chapdagi eskizda standart o'qlar to'plami mavjud, ammo o'qdagi raqamlarni ko'rish qiyin. O'ngdagi eskiz "qutilangan" va bu eskizga istiqbol hissi berish uchun raqamlarni ko'rishni osonlashtiradi. O'q tizimidagi raqamlarni o'z ichiga olgan aksariyat eskizlarda biz eskiz qanday ko'rinishini his qilish uchun ikkala eskizni ham beramiz.