13.7-bo'lim: Yo'nalishli hosilalar
Shu paytgacha biz faqat ikkita qisman \({f_x}\left( {x,y} \right)\) va \({f_y}\left( {x,y} \right)\) hosilalarini ko'rib chiqdik. Eslatib o'tamiz, bu hosilalar \(f\) ning o'zgarish tezligini ifodalaydi, chunki biz \(x\) (\(y\) o'zgarmas holda) va biz \(y\) (\(x\) o'zgarmas holda) o'zgartiramiz. Endi biz \(f\) ning o‘zgarish tezligini qanday topishni muhokama qilishimiz kerak, agar biz ikkala \(x\) va \(y\) bir vaqtning o‘zida o‘zgarishiga ruxsat bersak. Muammo shundaki, \(x\) va \(y\) o'zgarishiga ruxsat berishning ko'plab usullari mavjud. Misol uchun, biri boshqasidan tezroq o'zgarishi mumkin va keyin har birining ortishi yoki kamayishi masalasi ham bor. Shunday qilib, o'zgarish tezligini topishdan oldin, avvalo, bir nechta dastlabki g'oyalarni olishimiz kerak. Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan asosiy g'oya - \(x\) va/yoki \(y\) o'zgarishini qanday aniqlashimiz.
Keling, ma'lum bir nuqtada \(f\) ning o'zgarish tezligini xohlaymiz deb faraz qilishdan boshlaylik, deylik \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\). Keling, \(x\) ham, \(y\) ham ortib bormoqda deb faraz qilaylik va bu holda \(x\) \(y\) o'sishidan ikki baravar tez o'smoqda. Shunday qilib, \(y\) bir o'lchov birligini oshirganda \(x\) ikki o'lchov birligini oshiradi.
Ushbu o'zgarishni qanday aniqlashni ko'rishga yordam berish uchun, faraz qilaylik, zarracha \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) da o'tiradi va zarracha o'zgaruvchan \(x\) va \(y\) tomonidan berilgan yo'nalishda harakat qiladi. Shunday qilib, zarracha \(x\) va \(y\) ni oshirish yo'nalishi bo'yicha siljiydi va nuqtaning \(x\) koordinatasi \(y\) koordinatasiga qaraganda ikki baravar tez ortadi. Endi biz \(x\) va \(y\) o'zgarishini harakat yo'nalishi sifatida o'ylab ko'rsak, biz o'zgarishni aniqlash usulini olishimiz mumkin. Biz hisob-kitob II dan bilamizki, vektorlar yo'nalishni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin va shuning uchun zarracha bu nuqtada yo'nalishda harakat qilmoqda, deyish mumkin,
\[\vec v = \left\langle {2,1} \right\rangle \]Ushbu vektor nuqtadagi zarrachaning qanday o'zgarishini aniqlash uchun ishlatilishi mumkinligi sababli, biz undan \(x\) va/yoki \(y\) nuqtada qanday o'zgarishini tasvirlash uchun ham foydalanishimiz mumkin. Bizning misolimiz uchun biz \(f\) ning \(\vec v = \left\langle {2,1} \right\rangle \) yo'nalishi bo'yicha o'zgarish tezligini xohlayotganimizni aytamiz. Shunday qilib, biz \(x\) \(y\) dan ikki baravar tez o'sib borayotganini bilib olamiz. Biroq, bu borada hali ham kichik muammo bor. Xuddi shu yo'nalishga ishora qiluvchi ko'plab vektorlar mavjud. Masalan, quyidagi vektorlarning barchasi \(\vec v = \left\langle {2,1} \right\rangle \) bilan bir xil yo'nalishga ishora qiladi.
\[\vec v = \left\langle {\frac{1}{5},\frac{1}{{10}}} \right\rangle \,\hspace{0.25in}\,\,\,\vec v = \left\langle {6,3} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec v = \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \]Bizga funktsiyaning ma'lum yo'nalishdagi o'zgarish tezligini doimiy ravishda topish usuli kerak. Biz buni o'zgarish yo'nalishini belgilaydigan vektor birlik vektor bo'lishini talab qilish orqali qilamiz. Eslatib o'tamiz, birlik vektor uzunligi yoki kattaligi 1 bo'lgan vektordir. Bu shuni anglatadiki, biz o'ylab boshlagan misol uchun biz foydalanmoqchimiz.
\[\vec v = \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \]chunki bu o'zgarish yo'nalishini ko'rsatadigan birlik vektori.
Ma'lumot uchun \(\vec v = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \) vektorining kattaligi yoki uzunligi quyidagicha berilganligini eslaylik:
\[\left\| {\vec v} \right\| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]Ikki o'lchovli vektorlar uchun biz \(c\) ni formuladan chiqaramiz.
Ba'zan biz \(x\) va \(y\) ni burchak sifatida o'zgartirish yo'nalishini beramiz. Masalan, biz \(f\) ning \(\theta = \frac{\pi }{3}\) yo'nalishi bo'yicha o'zgarish tezligini xohlaymiz deb aytishimiz mumkin. Ushbu yo'nalishni ko'rsatadigan birlik vektori quyidagicha ifodalanadi:
\[\vec u = \left\langle {\cos \theta ,\sin \theta } \right\rangle \]Xo'sh, endi biz \(x\) va \(y\) ning o'zgarish yo'nalishini qanday aniqlashni bilganimizdan so'ng, \(f\) ning ushbu yo'nalishdagi o'zgarish tezligini topish haqida gapirishni boshlash vaqti keldi. Rasmiy ta'rifdan boshlaylik.
Yo'nalishli hosilaning ta'rifi
\(f\left( {x,y} \right)\) ning \(\vec u = \left\langle {a,b} \right\rangle \) birlik vektori yo'nalishi bo'yicha o'zgarish tezligi deyiladi. yo'nalishli hosila va \({D_{\vec u}}f\left( {x,y} \right)\) bilan belgilanadi. Yo'nalishli hosilaning ta'rifi:
\[{D_{\vec u}}f\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + ah,y + bh} \right) - f\left( {x,y} \right)}}{h}\]Demak, yo'nalishli hosila ta'rifi qisman hosilalarning ta'rifiga juda o'xshash. Biroq, amalda bu hisoblash uchun juda qiyin chegara bo'lishi mumkin, shuning uchun bizga yo'naltirilgan hosilalarni olishning osonroq usuli kerak. Yo'nalishli hosilalarni olish uchun ekvivalent formulani olish juda oddiy.
Buni qanday qilishimiz mumkinligini ko'rish uchun keling, bitta o'zgaruvchining yangi funktsiyasini aniqlaymiz,
\[g\left( z \right) = f\left( {{x_0} + az,{y_0} + bz} \right)\]bu erda \({x_0}\), \({y_0}\), \(a\) va \(b\) ba'zi bir sobit raqamlardir. E'tibor bering, bu haqiqatan ham bitta o'zgaruvchining funktsiyasidir, chunki \(z\) sobit raqamni ifodalamaydigan yagona harfdir.
Keyin bitta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun hosila ta'rifi bilan bizda,
\[g'\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {z + h} \right) - g\left( z \right)}}{h}\]va \(z = 0\) da hosila quyidagicha berilgan:
\[g'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( h \right) - g\left( 0 \right)}}{h}\]Agar biz hozir \(g\left( z \right)\) ni almashtirsak, biz olamiz,
\[g'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( h \right) - g\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + ah,{y_0} + bh} \right) - f\left( {{x_0},{y_0}} \right)}}{h} = {D_{\vec u}}f\left( {{x_0},{y_0}} \right)\]Shunday qilib, bizda quyidagi munosabatlar mavjud.
\[\begin{equation}g'\left( 0 \right) = {D_{\vec u}}f\left( {{x_0},{y_0}} \right) \label{eq:eq1} \end{equation}\]Endi keling, buni boshqa nuqtai nazardan ko'rib chiqaylik. \(g\left( z \right)\) ni quyidagicha qayta yozamiz,
\[g\left( z \right) = f\left( {x,y} \right)\,\,\,\,{\mbox{where}}\,\,\,x = {x_0} + az{\mbox{ and }}y = {y_0} + bz\]Endi hisoblash uchun oldingi bo'limdagi zanjir qoidasidan foydalanishimiz mumkin,
\[g'\left( z \right) = \frac{{dg}}{{dz}} = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{dx}}{{dz}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dz}} = {f_x}\left( {x,y} \right)a + {f_y}\left( {x,y} \right)b\]Demak, zanjir qoidasidan quyidagi munosabatni olamiz.
\[\begin{equation}g'\left( z \right) = {f_x}\left( {x,y} \right)a + {f_y}\left( {x,y} \right)b \label{eq:eq2}\end{equation}\]Agar biz \(z = 0\)-ni olsak, biz \(x = {x_0}\) va \(y = {y_0}\)-ni olamiz (yuqorida \(x\) va \(y\)-ni qanday aniqlaganmiz) va ularni \(\eqref{eq:eq2}\)-ga ulaymiz,
\[\begin{equation}g'\left( 0 \right) = {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)a + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)b \label{eq:eq3}\end{equation}\]Endi buni olish uchun \(\eqref{eq:eq1}\) va \(\eqref{eq:eq3}\) ni tenglashtiring,
\[{D_{\vec u}}f\left( {{x_0},{y_0}} \right) = g'\left( 0 \right) = {f_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)a + {f_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)b\]Agar biz \(x\) va \(y\) har qanday raqam bo'lishiga ruxsat beradigan bo'lsak, yo'nalishli hosilalarni hisoblash uchun quyidagi formulani olamiz.
2D yo'nalishli hosila formulasi
Bu chegara ta'rifidan ancha sodda. Shuni ham yodda tutingki, ushbu ta'rif biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlayotganimizni taxmin qildi. Ikki dan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan funktsiyalar uchun bir xil turdagi argumentlar bilan olinishi mumkin bo'lgan shunga o'xshash formulalar mavjud. Masalan, \(f\left( {x,y,z} \right)\) ning \(\vec u = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \) birlik vektori yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan hosilasi quyidagicha ifodalanadi:
3D yo'nalishli hosila formulasi
Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
- \({D_{\vec u}}f\left( {2,0} \right)\) bu erda \(f\left( {x,y} \right) = x{{\bf{e}}^{xy}} + y\) va \(\vec u\) \(\displaystyle \theta = \frac{{2\pi }}{3}\) yo'nalishidagi birlik vektoridir.
- \({D_{\vec u}}f\left( {x,y,z} \right)\) bu erda \(f\left( {x,y,z} \right) = {x^2}z + {y^3}{z^2} - xyz\) \(\vec v = \left\langle { - 1,0,3} \right\rangle \) yo'nalishida.
a \({D_{\vec u}}f\left( {2,0} \right)\) bu erda \(f\left( {x,y} \right) = x{{\bf{e}}^{xy}} + y\) va \(\vec u\) \(\displaystyle \theta = \frac{{2\pi }}{3}\) yo'nalishidagi birlik vektoridir. Yechim
Biz avval \({D_{\vec u}}f\left( {x,y} \right)\) ni topamiz, keyin esa \({D_{\vec u}}f\left( {2,0} \right)\) ni topish uchun formuladan foydalanamiz. Yo'nalishni beruvchi birlik vektor,
\[\vec u = \left\langle {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right),\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right\rangle = \left\langle { - \frac{1}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\rangle \]Shunday qilib, yo'nalish hosilasi,
\[{D_{\vec u}}f\left( {x,y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( {{{\bf{e}}^{xy}} + xy{{\bf{e}}^{xy}}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\left( {{x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + 1} \right)\]Endi, ko'rib chiqilayotgan nuqtani kiritish,
\[{D_{\vec u}}f\left( {2,0} \right) = \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\left( 5 \right) = \frac{{5\sqrt 3 - 1}}{2}\]b \({D_{\vec u}}f\left( {x,y,z} \right)\) bu erda \(f\left( {x,y,z} \right) = {x^2}z + {y^3}{z^2} - xyz\) \(\vec v = \left\langle { - 1,0,3} \right\rangle \) yo'nalishida. Yechim
Bu holda, avval yo'nalish vektori birlik vektori yoki yo'qligini va uni bittaga aylantirmaganligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa uning hajmini hisoblashdir.
\[\left\| {\vec v} \right\| = \sqrt {1 + 0 + 9} = \sqrt {10} \ne 1\]Demak, bu birlik vektori emas. Eslatib o'tamiz, biz har qanday vektorni vektorni uning kattaligiga bo'lish orqali bir xil yo'nalishni ko'rsatadigan birlik vektoriga aylantira olamiz. Shunday qilib, bizga kerak bo'lgan birlik vektor,
\[\vec u = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left\langle { - 1,0,3} \right\rangle = \left\langle { - \frac{1}{{\sqrt {10} }},0,\frac{3}{{\sqrt {10} }}} \right\rangle \]Yo'nalishli hosila u holda,
\[\begin{align*}{D_{\vec u}}f\left( {x,y,z} \right) & = \left( { - \frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)\left( {2xz - yz} \right) + \left( 0 \right)\left( {3{y^2}{z^2} - xz} \right) + \left( {\frac{3}{{\sqrt {10} }}} \right)\left( {{x^2} + 2{y^3}z - xy} \right)\\ & = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left( {3{x^2} + 6{y^3}z - 3xy - 2xz + yz} \right)\end{align*}\]Yo'nalish hosilasini olish uchun formulaning yana bir shakli bor, u biroz chiroyliroq va biroz ixchamroq. Bu, shuningdek, yuqoridagi formulalarning ikkalasini ham qamrab oladigan ancha umumiy formuladir.
Keling, ikkinchisidan boshlaylik va buni quyidagicha yozishimiz mumkinligiga e'tibor bering:
\[\begin{align*}{D_{\vec u}}f\left( {x,y,z} \right) & = {f_x}\left( {x,y,z} \right)a + {f_y}\left( {x,y,z} \right)b + {f_z}\left( {x,y,z} \right)c\\ & = \left\langle {{f_x},{f_y},{f_z}} \right\rangle \centerdot \left\langle {a,b,c} \right\rangle \end{align*}\]Boshqacha qilib aytganda, biz yo'nalish hosilasini nuqta mahsuloti sifatida yozishimiz mumkin va ikkinchi vektor o'zgarish yo'nalishini beruvchi \(\vec u\) birlik vektoridan boshqa narsa emasligini ko'rishimiz mumkin. Bundan tashqari, agar biz versiyani ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari uchun ishlatgan bo'lsak, uchinchi komponent u erda bo'lmaydi, lekin bundan tashqari formula bir xil bo'lar edi.
Keling, nuqta mahsulotidagi birinchi vektorga nom va belgi beraylik, chunki bu vektor kurs davomida (va boshqa kurslarda) muntazam ravishda namoyon bo'ladi. \(f\) gradienti or \(f\) gradient vektori deb belgilangan,
\[\nabla f = \left\langle {{f_x},{f_y},{f_z}} \right\rangle \hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.5in}\nabla f = \left\langle {{f_x},{f_y}} \right\rangle \]Yoki, agar biz standart vektorlardan foydalanmoqchi bo'lsak, gradient,
\[\nabla f = {f_x}\,\vec i + {f_y}\vec j + {f_z}\,\vec k\hspace{0.5in}\text{yoki}\hspace{0.5in}\nabla f = {f_x}\,\vec i + {f_y}\vec j\]Ta'rif faqat ikki yoki uchta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun ko'rsatilgan, ammo biz xohlagan o'zgaruvchilar sonining funktsiyalari uchun tabiiy kengaytma mavjud.
Gradientning ta'rifi bilan endi yo'nalish hosilasi quyidagicha ifodalanishini aytishimiz mumkin:
Yo'nalishli hosilaviy gradient formulasi
bu erda biz endi o'zgaruvchini ko'rsatmaymiz va bu formuladan istalgan miqdordagi o'zgaruvchilar uchun foydalanamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz ba'zan quyidagi belgidan foydalanamiz:
\[{D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right) = \nabla f\centerdot \vec u\]Bu erda kerak bo'lganda \(\vec x = \left\langle {x,y,z} \right\rangle \) yoki \(\vec x = \left\langle {x,y} \right\rangle \). Ushbu belgi biz o'zgaruvchilarni qandaydir tarzda qayd etishni xohlaganimizda qo'llaniladi, lekin o'zimizni ma'lum miqdordagi o'zgaruvchilar bilan cheklashni xohlamasak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, \(\vec x\) formulada qancha kerak bo'lsa, shuncha ko'p o'zgaruvchilarni ko'rsatish uchun ishlatiladi va biz muammo/formulada vektor yoki vektor belgilaridan foydalanayotganimizda ko'pincha bu belgidan foydalanamiz.
Keling, yo'nalish hosilasining ushbu formulasidan foydalanib, bir nechta misollarni ishlab chiqaylik.
- \(\vec v = \left\langle {2,1} \right\rangle \) yo'nalishi bo'yicha \(f\left( {x,y} \right) = x\cos \left( y \right)\) uchun \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\).
- \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\) \(f\left( {x,y,z} \right) = \sin \left( {yz} \right) + \ln \left( {{x^2}} \right)\) uchun \(\left( {1,1,\pi } \right)\) da \(\vec v = \left\langle {1,1, - 1} \right\rangle \) yo‘nalishi bo‘yicha.
a \(\vec v = \left\langle {2,1} \right\rangle \) yo'nalishi bo'yicha \(f\left( {x,y} \right) = x\cos \left( y \right)\) uchun \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\). Yechim
Keling, avval ushbu funktsiya uchun gradientni hisoblaylik.
\[\nabla f = \left\langle {\cos \left( y \right), - x\sin \left( y \right)} \right\rangle \]Bundan tashqari, biz ushbu bo'limda avvalroq ko'rganimizdek, ushbu yo'nalish uchun birlik vektori:
\[\vec u = \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \]Yo'nalishli hosila u holda,
\[\begin{align*}{D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right) & = \left\langle {\cos \left( y \right), - x\sin \left( y \right)} \right\rangle \centerdot \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \\ & = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {2\cos \left( y \right) - x\sin \left( y \right)} \right)\end{align*}\]b \(\vec v = \left\langle {1,1, - 1} \right\rangle \) yo'nalishi bo'yicha \(\left( {1,1,\pi } \right)\) da \(f\left( {x,y,z} \right) = \sin \left( {yz} \right) + \ln \left( {{x^2}} \right)\) uchun \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\). Yechim
Bunday holda, ma'lum bir nuqtada yo'nalish hosilasi so'raladi. Buning uchun biz birinchi navbatda gradientni hisoblaymiz, uni ko'rib chiqilayotgan nuqtada baholaymiz va keyin nuqta mahsulotini qilamiz. Shunday qilib, gradientni olamiz.
\[\begin{align*}\nabla f\left( {x,y,z} \right) & = \left\langle {\frac{2}{x},z\cos \left( {yz} \right),y\cos \left( {yz} \right)} \right\rangle \\ & \nabla f\left( {1,1,\pi } \right) = \left\langle {\frac{2}{1},\pi \cos \left( \pi \right),\cos \left( \pi \right)} \right\rangle = \left\langle {2, - \pi , - 1} \right\rangle \end{align*}\]Keyinchalik, yo'nalish uchun birlik vektori kerak,
\[\left\| {\vec v} \right\| = \sqrt 3 \hspace{0.5in}\vec u = \left\langle {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}, - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\rangle \]Nihoyat, ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi yo'nalish hosilasi,
\[\begin{align*}{D_{\vec u}}f\left( {1,1,\pi } \right) & = \left\langle {2, - \pi , - 1} \right\rangle \centerdot \left\langle {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}, - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\rangle \\ & = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2 - \pi + 1} \right)\\ & = \frac{{3 - \pi }}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]Davom etishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, biz ko'pchilik bo'limda ko'rib chiqqan birinchi tartibli qisman hosilalarni yo'nalishli hosilalarning maxsus holatlari sifatida ko'rib chiqish mumkin. Misol uchun, \({f_x}\) biz ishlayotgan o'zgaruvchilar soniga qarab \(f\) ning \(\vec u = \left\langle {1,0} \right\rangle \) yoki \(\vec u = \left\langle {1,0,0} \right\rangle \) yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan hosilasi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. \({f_y}\) va \({f_z}\) uchun ham xuddi shunday qilish mumkin
Biz ushbu bo'limni gradient vektori haqida bir nechta yoqimli faktlar bilan yakunlaymiz. Birinchisi, funktsiyaning nuqtadagi maksimal o'zgarish tezligini va ushbu maksimal o'zgarish tezligiga erishish uchun harakat qilishimiz kerak bo'lgan yo'nalishni qanday aniqlashni aytadi.
Maksimal o'zgarish tezligi
\({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\) ning maksimal qiymati (demak, \(f\left( {\vec x} \right)\) funktsiyasining maksimal o'zgarish tezligi) \(\left\| {\nabla f\left( {\vec x} \right)} \right\|\) tomonidan berilgan va \(\nabla f\left( {\vec x} \right)\) tomonidan berilgan yo'nalishda sodir bo'ladi.
Maksimal o'zgarish tezligini isbotlash
Bu haqiqatan ham oddiy dalil. Birinchidan, biz nuqta mahsulot shakli \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\) bilan boshlash va chiroyli foydalanish bo'lsa haqiqat nuqta mahsulotlari haqida, shuningdek, \(\vec u\) biz oladigan birlik vektor ekanligi,
\[{D_{\vec u}}f = \nabla f\centerdot \vec u = \left\| {\nabla f} \right\|\,\,\left\| {\vec u} \right\|\cos \theta = \left\| {\nabla f} \right\|\cos \theta \]
Bu erda \(\theta \) - gradient va \(\vec u\) orasidagi burchak.
Endi \(\cos \theta \) ning mumkin bo'lgan eng katta qiymati \(\theta = 0\) da uchraydigan 1 ga teng. Shuning uchun \({D_{\vec u}}f\left( {\vec x} \right)\) ning maksimal qiymati \(\left\| {\nabla f\left( {\vec x} \right)} \right\|\). Bundan tashqari, maksimal qiymat gradient va \(\vec u\) orasidagi burchak nolga teng bo'lganda yoki boshqacha qilib aytganda \(\vec u\) gradient, \(\nabla f\left( {\vec x} \right)\) bilan bir xil yo'nalishga ishora qilganda sodir bo'ladi.
Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, umid qilamanki, undan eslaysiz Kvadrat yuzalar Bu pastga qarab ochiladigan elliptik paraboloid bo'lgan qism. Shunday qilib, ko'pchilik tepaliklar bu qadar nosimmetrik bo'lmasa ham, u hech bo'lmaganda noaniq tepalik shaklida bo'ladi va shuning uchun savol hech bo'lmaganda bir oz ma'noga ega.
Endi muammoga. Bu erda javob berish uchun bir nechta savol bor, ammo teoremadan foydalanish ularga javob berishni juda oson qiladi. Bizga birinchi navbatda gradient vektori kerak bo'ladi.
\[\nabla f\left( {\vec x} \right) = \left\langle { - 0.02x, - 0.04y} \right\rangle \]Balandlikning maksimal o'zgarish tezligi keyin yo'nalishda sodir bo'ladi
\[\nabla f\left( {60,100} \right) = \left\langle { - 1.2, - 4} \right\rangle \]Bu nuqtada balandlikning maksimal o'zgarish tezligi,
\[\left\| {\nabla f\left( {60,100} \right)} \right\| = \sqrt {{{\left( { - 1.2} \right)}^2} + {{\left(- 4 \right)}^2}} = \sqrt {17.44} = 4.176\]Ushbu misolni tark etishdan oldin biz \(\left( {60,100} \right)\) nuqtasida ekanligimizni va bu nuqtada balandlikning eng katta o'zgarish yo'nalishi \(\left\langle { - 1.2, - 4} \right\rangle \) vektori tomonidan berilganligini ta'kidlaymiz. Ikkala komponent ham manfiy bo'lganligi sababli, maksimal o'zgarish yo'nalishi tepalikdan uzoqroqda emas, balki tepadan markazga qaraganga o'xshaydi.
Ushbu bo'limda biz berishimiz kerak bo'lgan gradient vektori haqidagi ikkinchi fakt keyingi bo'limlarda juda qulay bo'ladi.
Gradient ortogonal darajali egri chiziqlardir
\(\nabla f\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) gradient vektori ortogonal (yoki perpendikulyar). daraja egri chizig'i \(f\left( {x,y} \right) = k\) \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) nuqtasida. Xuddi shunday, \(\nabla f\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) gradient vektori \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) nuqtasida \(f\left( {x,y,z} \right) = k\) sath yuzasiga ortogonaldir.
Gradientning ortogonal darajali egri ekanligini isbotlash
Biz \({\mathbb{R}^3}\) case uchun dalil qilmoqchimiz. \({\mathbb{R}^2}\) ishi uchun dalil bir xil. Bundan tashqari, hayotimizni osonlashtirish uchun bizga ba'zi belgilar kerak bo'ladi, keling, \(S\) \(f\left( {x,y,z} \right) = k\) tomonidan berilgan tekis sirt bo'lsin va \(P = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) bo'lsin. Shuni ham yodda tutingki, \(P\) \(S\) da bo'ladi.
Endi \(C\) \(P\) ni o'z ichiga olgan \(S\) dagi istalgan egri chiziq bo'lsin. \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right\rangle \) \(C\) uchun vektor tenglamasi bo'lsin va \({t_0}\) \(\vec r\left( {{t_0}} \right) = \left\langle {{x_0},{y_0},{z_0}} \right\rangle \) qiymatiga teng \(t\) qiymati bo'lsin. Boshqacha qilib aytganda, \({t_0}\) \(P\) ni beradigan \(t\) qiymati bo'ladi.
\(C\) \(S\) da joylashganligi sababli biz \(C\) nuqtalari \(S\) tenglamasini qondirishi kerakligini bilamiz. Yoki,
\[f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right) = k\]
Keyin, keling, zanjir qoidasidan foydalanamiz:
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{dx}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\frac{{dz}}{{dt}} = 0\]
E'tibor bering, \(\nabla f = \left\langle {{f_x},{f_y},{f_z}} \right\rangle \) va \(\vec r'\left( t \right) = \left\langle {x'\left( t \right),y'\left( t \right),z'\left( t \right)} \right\rangle \) shunday bo'ladi:
\[\nabla f\,\centerdot \,\vec r'\left( t \right) = 0\]
\(t = {t_0}\) da bu,
\[\nabla f\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\,\centerdot \,\vec r'\left( {{t_0}} \right) = 0\]
Bu shuni ko'rsatadiki, \(P\) nuqtada \(\nabla f\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) gradient vektori \(P\) orqali o'tadigan va \(S\) sirtda yotuvchi har qanday \(C\) egri chizig'ining \(\vec r'\left( {{t_0}} \right)\) urinma vektoriga ortogonaldir, demak, u \(P\) nuqtada \(S\) sirtga ham ortogonal bo'lishi kerak.
Keyingilarda ko'rib turganimizdek, biz ko'pincha sirt yoki egri chiziqqa ortogonal vektorlarga muhtoj bo'lamiz va bu faktdan foydalanib, biz faqat gradient vektorini hisoblashimiz kerakligini bilib olamiz va biz kerakli ortogonal vektorni olamiz. Buning birinchi qo'llanilishini keyingi bobda ko'rib chiqamiz.