6.1-bo'lim: Funktsiyaning o'rtacha qiymati
Biz ko'rib chiqadigan integrallarning birinchi qo'llanilishi funksiyaning o'rtacha qiymatidir. Quyidagi fakt buni qanday hisoblashni aytadi.
Funktsiyaning o'rtacha qiymati
\(f\left( x \right)\) uzluksiz funksiyasining \(\left[ {a,b} \right]\) oralig‘idagi o‘rtacha qiymati quyidagicha ifodalanadi:
\[{f_{avg}} = \frac{1}{{b - a}}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Ushbu formulaning asoslanishini ko'rish uchun qarang Har xil integral xossalarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Keling, bir nechta tezkor misollar bilan ishlaylik.
- \(f\left( t \right) = {t^2} - 5t + 6\cos \left( {\pi \,t} \right)\) on \(\left[ { - 1,\frac{5}{2}} \right]\)
- \(R\left( z \right) = \sin \left( {2z} \right){{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}\) on \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]\)
a \(f\left( t \right) = {t^2} - 5t + 6\cos \left( {\pi \,t} \right)\) on \(\left[ { - 1,\frac{5}{2}} \right]\) Yechim
Bu muammoni hal qilish uchun formuladan foydalanishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
\[\begin{align*}{f_{avg}} & = \frac{1}{{\frac{5}{2} - \left( { - 1} \right)}}\int_{{\, - 1}}^{{\,\frac{5}{2}}}{{{t^2} - 5t + 6\cos \left( {\pi \,t} \right)\,dt}}\\ & = \frac{2}{7}\left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} - \frac{5}{2}{t^2} + \frac{6}{\pi }\sin \left( {\pi t} \right)} \right)} \right|_{ - 1}^{\frac{5}{2}}\\ & = \frac{{12}}{{7\pi }} - \frac{{13}}{6}\\ & = - 1.620993\end{align*}\]Uchinchi muddat uchun zarur bo'lgan almashtirishni ushladingiz, to'g'rimi?
Demak, berilgan intervalning bu funksiyasining o‘rtacha qiymati -1,620993 ga teng.
b \(R\left( z \right) = \sin \left( {2z} \right){{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}\) on \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]\) Yechim
Shunga qaramay, formuladan foydalanishdan tashqari, bu erda ko'p narsa qilish kerak emas. E'tibor bering, integral quyidagi almashtirishni talab qiladi.
\[u = 1 - \cos \left( {2z} \right)\]Mana bu funktsiyaning o'rtacha qiymati,
\[\begin{align*}{R_{avg}} & = \frac{1}{{\pi - \left( { - \pi } \right)}}\int_{{\, - \pi }}^{{\,\pi }}{{\sin \left( {2z} \right){{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}\,dz}}\\ & = \left. {\frac{1}{{4\pi }}{{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}} \right|_{ - \pi }^\pi \\ & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda o'rtacha funktsiya qiymati nolga teng. Bu yerda nolga erishganingizdan hayajonlanmang. Vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi. Aslida, agar siz ushbu oraliqdagi funktsiya grafigiga qarasangiz, bu to'g'ri javob ekanligini ko'rish unchalik qiyin emas.
O'rtacha funktsiya qiymati bilan bog'liq bo'lgan teorema ham mavjud.
Integrallar uchun o'rtacha qiymat teoremasi
Agar \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz funktsiya bo'lsa, \(\left[ {a,b} \right]\) da \(c\) raqami mavjud, shundayki,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = f\left( c \right)\left( {b - a} \right)\]E'tibor bering, bu juda o'xshash O'rtacha qiymat teoremasi Biz hosilalarni qo'llash bo'limida ko'rganmiz. ga qarang Har xil integral xossalarni isbotlash dalil uchun Qo'shimchalar bo'limi.
E'tibor bering, ushbu teoremani o'ylashning bir usuli quyidagicha. Avval natijani quyidagicha yozing:
\[\frac{1}{{b - a}}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = f\left( c \right)\]va bundan biz bu teorema \({f_{avg}} = f\left( c \right)\) kabi \(a < c < b\) soni borligini bildirayotganini ko'rishimiz mumkin. Yoki boshqacha qilib aytganda, agar \(f\left( x \right)\) uzluksiz funktsiya bo'lsa, \(\left[ {a,b} \right]\) da biror joyda funktsiya o'zining o'rtacha qiymatini oladi.
Keling, ushbu teoremadan foydalanib, misolni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, funktsiya ko'phad ekanligini va berilgan oraliqda uzluksiz ekanligini bilib olaylik. Bu biz o'rtacha qiymat teoremasidan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}\int_{{\,1}}^{{\,4}}{{{x^2} + 3x + 2\,dx}} & = \left( {{c^2} + 3c + 2} \right)\left( {4 - 1} \right)\\ & \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^4 = 3\left( {{c^2} + 3c + 2} \right)\\ & \frac{{99}}{2} = 3{c^2} + 9c + 6\\ & 0 = 3{c^2} + 9c - \frac{{87}}{2}\end{align*}\]Bu biz hal qila oladigan kvadrat tenglama. Kvadrat formuladan foydalanib, quyidagi ikkita yechimni olamiz:
\[\begin{align*}c & = \frac{{ - 3 + \sqrt {67} }}{2} = 2.593\\ c & = \frac{{ - 3 - \sqrt {67} }}{2} = - 5.593\end{align*}\]Shubhasiz, ikkinchi raqam oraliqda emas va shuning uchun biz kutayotgan raqam ham emas. Biroq, birinchisi intervalda va shuning uchun biz xohlagan raqam.
E'tibor bering, ikkala raqam ham intervalda bo'lishi mumkin, shuning uchun oraliqda faqat bittasi bo'lishini kutmang.