1.7-bo'lim: Kompleks sonlar
Ushbu bo'limdagi so'nggi mavzu, biz ko'rib turganimizdek, radikallar bo'limi bilan bog'liq bo'lsa-da, ushbu bobda qilgan ishlarning aksariyati bilan bog'liq emas. Shuningdek, ushbu kursning qolgan qismida bu erdagi material bizga tez-tez kerak bo'lmaydi, lekin bizga bu kerak bo'lgan bir nechta bo'limlar mavjud va shuning uchun hozir uni yo'ldan olib tashlash yaxshiroqdir.
Radikallar bo'limida biz manfiy sonning kvadrat ildizidan haqiqiy raqam ololmasligimizni ta'kidladik. Misol uchun, \(\sqrt { - 9} \) haqiqiy raqam emas, chunki kvadratga aylantirib, NEGATİF 9 ni olishimiz mumkin bo'lgan haqiqiy raqam yo'q.
Endi biz \(a\) va \(b\) ikkalasi ham ijobiy bo'lsa, \(\sqrt {ab} = \sqrt a \,\sqrt b \) ekanligini ham ko'rdik. Bir lahzaga bu cheklovni unutamiz va quyidagilarni bajaramiz.
\[\sqrt { - 9} = \sqrt {\left( 9 \right)\left( { - 1} \right)} = \sqrt 9 \sqrt { - 1} = 3\sqrt { - 1} \]Endi, \(\sqrt { - 1} \) haqiqiy son emas, lekin agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, buni manfiy sonning istalgan kvadrat ildizi uchun qilishimiz mumkin. Masalan,
\[\begin{align*}\sqrt { - 100} & = \sqrt {100} \sqrt { - 1} = 10\sqrt { - 1} \\ \sqrt { - 5} & = \sqrt 5 \,\,\sqrt { - 1} \\ \sqrt { - 290} & = \sqrt {290} \,\,\sqrt { - 1} \hspace{0.25in}etc.\end{align*}\]Shunday qilib, agar raqam mukammal kvadrat bo'lmasa ham, biz har doim manfiy sonning kvadrat ildizini musbat sonning kvadrat ildiziga (biz yoki kalkulyator hal qila oladi) \(\sqrt { - 1} \) marta kamaytirishimiz mumkin.
Shunday qilib, agar bizda \(\sqrt { - 1} \) bilan shug'ullanishning bir usuli bo'lsa, biz manfiy sonlarning kvadrat ildizlari bilan shug'ullanishimiz mumkin edi. Haqiqat shundaki, bu darajada \(\sqrt { - 1} \) bilan shug'ullanishning hech qanday usuli yo'q, shuning uchun u bilan shug'ullanish o'rniga, biz quyidagi ta'rifdan foydalanib, "uni yo'q qilamiz".
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{i = \sqrt { - 1} }}\]E'tibor bering, agar biz buning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak, biz
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{i^2} = - 1}}\]Buni keyinroq eslash muhim bo'ladi. Bu shuni ko'rsatadiki, qaysidir ma'noda, \(i\) biz kvadrat va salbiy qiymatni olishimiz mumkin bo'lgan yagona "raqam".
Ushbu ta'rifdan foydalanib, yuqoridagi barcha kvadrat ildizlar quyidagicha bo'ladi:
\[\begin{align*}\sqrt { - 9} & = 3\,i & \hspace{0.5in}\sqrt { - 100} & = 10\,i\\ \sqrt { - 5} & = \sqrt 5 \,i & \hspace{0.5in} \sqrt { - 290} & = \sqrt {290} \,i\end{align*}\]Bularning barchasi misoldir murakkab sonlar.
Shu nuqtada tabiiy savol, ehtimol, nima uchun biz bu haqda qayg'uramiz? Javob shundan iboratki, keyingi bobda ko'rib turganimizdek, ba'zida biz manfiy sonlarning kvadrat ildizlari bo'ylab yuguramiz va ular bilan kurashish usuli kerak bo'ladi. Shunday qilib, ular bilan shug'ullanish uchun biz kompleks sonlarni muhokama qilishimiz kerak.
Shunday qilib, keling, murakkab sonlar uchun ba'zi asosiy ta'riflar va terminologiyadan boshlaylik. standart shakl kompleks son hisoblanadi
\[a + bi\]bu erda \(a\) va \(b\) haqiqiy sonlar bo'lib, ular har qanday narsa bo'lishi mumkin: musbat, manfiy, nol, butun sonlar, kasrlar, o'nlilar, bu muhim emas. Standart shaklda \(a\) deb ataladi haqiqiy qismi kompleks soni va \(b\) deyiladi xayoliy qism kompleks sondan.
Bu yerda murakkab sonlarga misollar keltiramiz.
\[3 + 5i\hspace{0.25in}\,\,\,\,\sqrt 6 - 10i\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} + i\,\,\,\,\,\,\,16i\,\,\,\,\,\,\,\,\,113\]Oxirgi ikkita, ehtimol, biroz ko'proq tushuntirish kerak. \(a\) yoki \(b\) nolga teng bo'lishi mumkin va shuning uchun 16\(i\) da haqiqiy qism nolga teng. Haqiqiy qism nolga teng bo'lsa, biz ko'pincha a kompleks raqamini chaqiramiz sof xayoliy raqam. Oxirgi misolda (113) xayoliy qism nolga teng va bizda aslida haqiqiy raqam bor. Shunday qilib, raqamlarni shu nuqtai nazardan o'ylab ko'ramiz, haqiqiy sonlar shunchaki murakkab sonlarning kichik to'plamidir.
konjugat \(a + bi\) kompleks soni \(a - bi\) kompleks raqamidir. Boshqacha qilib aytganda, bu xayoliy qismdagi belgi o'zgartirilgan asl kompleks sondir. Bu yerda murakkab sonlar va ularning konjugatlariga misollar keltiramiz.
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mbox{complex number}}}&{\hspace{0.25in}{\mbox{conjugate}}}\\{3 + \frac{1}{2}i}&{\hspace{0.25in}3 - \frac{1}{2}i}\\{12 - 5i}&{\hspace{0.25in}12 + 5i}\\{1 - i}&{\hspace{0.25in}1 + i}\\{45i}&{\hspace{0.25in} - 45i}\\{101}&{\hspace{0.25in}101}\end{array}\hspace{0.25in}\]E'tibor bering, haqiqiy sonning konjugati hech qanday o'zgarishsiz o'zidir.
Endi kompleks sonlar uchun asosiy amallarni muhokama qilishimiz kerak. Biz qo'shish va ayirish bilan boshlaymiz. Murakkab sonlarni qo‘shish va/yoki ayirish haqida o‘ylashning eng oson yo‘li har bir kompleks sonni ko‘phad sifatida ko‘rib chiqish va ko‘phadlarni qo‘shish yoki ayirish kabi qo‘shish va ayirish amallarini bajarishdir.
- \(\left( { - 4 + 7i} \right) + \left( {5 - 10i} \right)\)
- \(\left( {4 + 12i} \right) - \left( {3 - 15i} \right)\)
- \(5i - \left( { - 9 + i} \right)\)
Yechim
Bu erda qo'shish yoki ayirishdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q. E'tibor bering, birinchi atamalardagi qavslar biz bu atamani murakkab son deb o'ylayotganimizni va umuman ishlatilmasligimizni bildirish uchun mavjud.
a \(\left( { - 4 + 7i} \right) + \left( {5 - 10i} \right) = 1 - 3i\)
b \(\left( {4 + 12i} \right) - \left( {3 - 15i} \right) = 4 + 12i - 3 + 15i = 1 + 27i\)
c \(5i - \left( { - 9 + i} \right) = 5i + 9 - i = 9 + 4i\)
Keyin ko'paytirishni ko'rib chiqaylik. Yana bitta kichik farq bilan, murakkab sonlarni polinomlar deb o'ylash eng oson, shuning uchun ularni polinomlar kabi ko'paytiring. Bitta farq, biz ko'rib turganimizdek, oxirgi bosqichda bo'ladi.
- \(7i\left( { - 5 + 2i} \right)\)
- \(\left( {1 - 5i} \right)\left( { - 9 + 2i} \right)\)
- \(\left( {4 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)\)
- \(\left( {1 - 8i} \right)\left( {1 + 8i} \right)\)
a \(7i\left( { - 5 + 2i} \right)\) Yechim
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - 7\(i\) ni qavs orqali tarqatish.
\[7i\left( { - 5 + 2i} \right) = - 35i + 14{i^2}\]Endi bu erda yuqorida aytib o'tilgan kichik farq o'ynaydi. Bu raqam standart shaklda EMAS. Kompleks sonlar uchun standart shaklda \({i^2}\) mavjud emas. Biroq, biz buni eslasak, bu muammo emas
\[{i^2} = - 1\]Buning yordamida biz olamiz,
\[7i\left( { - 5 + 2i} \right) = - 35i + 14\left( { - 1} \right) = - 14 - 35i\]Shuningdek, biz tartibni shunday tartibga keltirdikki, birinchi navbatda haqiqiy qism ro'yxatga olinadi.
b \(\left( {1 - 5i} \right)\left( { - 9 + 2i} \right)\) Yechim
Bunday holda biz ikkita raqamni FOIL qilamiz va \({i^2}\)-dan xalos bo'lishni ham unutmasligimiz kerak.
\[\left( {1 - 5i} \right)\left( { - 9 + 2i} \right) = - 9 + 2i + 45i - 10{i^2} = - 9 + 47i - 10\left( { - 1} \right) = 1 + 47i\]c \(\left( {4 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)\) Yechim
Bu bilan ham xuddi shunday.
\[\left( {4 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 8 + 12i + 2i + 3{i^2} = 8 + 14i + 3\left( { - 1} \right) = 5 + 14i\]d \(\left( {1 - 8i} \right)\left( {1 + 8i} \right)\) Yechim
Mana bizni keyingi mavzuga olib boradigan yakuniy ko'paytirish.
\[\left( {1 - 8i} \right)\left( {1 + 8i} \right) = 1 + 8i - 8i - 64{i^2} = 1 + 64 = 65\]Ikkita murakkab sonning ko'paytmasi haqiqiy son bo'lsa, bundan hayajonlanmang. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'lishi mumkin va bo'ladi.
Oldingi misolning yakuniy qismida biz raqamni uning konjugati bilan ko'paytirdik. Buning uchun murakkab sonlarning bo'linishini muhokama qilishda qulay bo'lgan yaxshi umumiy formula mavjud.
\[\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - abi + abi - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2}\]Shunday qilib, biz kompleks sonni uning konjugatiga ko'paytirsak, biz quyidagi bilan berilgan haqiqiy sonni olamiz:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}}}\]Endi biz ushbu formulani murakkab sonlarni bo'lishda qulay bo'lishini izohlab berdik, shuning uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \frac{{3 - i}}{{2 + 7i}}\)
- \(\displaystyle \frac{3}{{9 - i}}\)
- \(\displaystyle \frac{{8i}}{{1 + 2i}}\)
- \(\displaystyle \frac{{6 - 9i}}{{2i}}\)
Munozarani ko'rsatish
Shunday qilib, har bir holatda biz ikkita murakkab sonning bo'linishini ko'rib chiqamiz. Bu erda asosiy g'oya shundaki, biz ularni standart shaklda yozishni xohlaymiz. Standart shakl hech qanday \(i\) ning maxrajda bo'lishiga ruxsat bermaydi. Shunday qilib, biz \(i\)-ni maxrajdan chiqarishimiz kerak.
Agar kompleks sonni uning konjugatiga ko'paytiradigan haqiqiy son ekanligini eslasak, bu juda oddiy. Shunday qilib, agar biz pay va maxrajni maxrajning konjugatiga ko'paytirsak, biz \(i\) ni maxrajdan chiqarib tashlashimiz mumkin bo'ladi.
Endi biz buni qanday qilishni aniqlaganimizdan so'ng, keling, muammolarni hal qilaylik.
a \(\displaystyle \frac{{3 - i}}{{2 + 7i}}\) Yechim
E'tibor bering, javobni rasman standart shaklda qo'yish uchun biz kasrni haqiqiy va xayoliy qismlarga ajratdik.
b \(\displaystyle \frac{3}{{9 - i}}\) Yechim
c \(\displaystyle \frac{{8i}}{{1 + 2i}}\) Yechim
d \(\displaystyle \frac{{6 - 9i}}{{2i}}\) Yechim
Bu oldingilaridan bir oz farq qiladi, chunki maxraj sof xayoliy sondir. Buni avvalgilari bilan bir xil qilish mumkin, ammo muammoni hal qilishning biroz osonroq yo'li mavjud.
Birinchidan, kasrni quyidagicha ajrating.
\[\frac{{6 - 9i}}{{2i}} = \frac{6}{{2i}} - \frac{{9i}}{{2i}} = \frac{3}{i} - \frac{9}{2}\]Endi biz \(i\) ning maxrajdan chiqishini istaymiz va birinchi hadning maxrajida faqat \(i\) bo‘lgani uchun biz birinchi hadning payini va maxrajini \(i\) ga ko‘paytiramiz.
\[\frac{{6 - 9i}}{{2i}} = \frac{{3\left( i \right)}}{{i\left( i \right)}} - \frac{9}{2} = \frac{{3i}}{{{i^2}}} - \frac{9}{2} = \frac{{3i}}{{ - 1}} - \frac{9}{2} = - \frac{9}{2} - 3i\]Bu erda muhokama qilmoqchi bo'lgan navbatdagi mavzu - \(i\) vakolatlari. Keling, \(i\) ning turli kuchlarini ko'rib chiqishni boshlaganimizda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.
\[\begin{align*}{i^1} & = i & \hspace{0.75in}{i^1} & = i\\ {i^2} & = - 1 & \hspace{0.75in}{i^2} & = - 1\\ {i^3} & = i \cdot {i^2} = - i & \hspace{0.75in}{i^3} & = - i\\ {i^4} & = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 & \hspace{0.75in}{i^4} & = 1\\ {i^5} & = i \cdot {i^4} = i & \hspace{0.75in}{i^5} & = i\\ {i^6} & = {i^2} \cdot {i^4} = \left( { - 1} \right)\left( 1 \right) = - 1 & \hspace{0.75in} {i^6} & = - 1\\ {i^7} & = i \cdot {i^6} = - i & \hspace{0.75in}{i^7} & = - i\\ {i^8} & = {\left( {{i^4}} \right)^2} = {\left( 1 \right)^2} = 1 & \hspace{0.75in}{i^8} & = 1\end{align*}\]Shaklni ko'ra olasizmi? Agar \(i\) bo'lsa, barcha kuchlar to'rtta mumkin bo'lgan javoblardan biriga qisqartirilishi mumkin va ular har to'rtta quvvatda takrorlanadi. Bu eslash uchun qulay fakt bo'lishi mumkin.
Keyinchalik salbiy sonlarning kvadrat ildizlari bilan ishlash masalasini hal qilishimiz kerak. Radikallar bo'limidan biz quyidagilarni amalga oshirishimiz mumkinligini bilamiz.
\[6 = \sqrt {36} = \sqrt {\left( 4 \right)\left( 9 \right)} = \sqrt 4 \,\sqrt 9 = \left( 2 \right)\left( 3 \right) = 6\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ikkala raqam ham ijobiy bo'lsa, kvadrat ildiz ostidagi mahsulotlarni kvadrat ildizlar mahsulotiga ajratishimiz mumkin.
Ma'lum bo'lishicha, agar biz ham xuddi shunday ishni qila olamiz bitta raqamlardan salbiy. Masalan,
\[6i = \sqrt { - 36} = \sqrt {\left( { - 4} \right)\left( 9 \right)} = \sqrt { - 4} \,\sqrt 9 = \left( {2i} \right)\left( 3 \right) = 6i\]Ammo, agar HAR IKKIDA raqam manfiy bo'lsa, bu quyidagi ko'rsatilganidek ishlamaydi.
\[6 = \sqrt {36} = \sqrt {\left( { - 4} \right)\left( { - 9} \right)} \ne \sqrt { - 4} \,\sqrt { - 9} = \left( {2i} \right)\left( {3i} \right) = 6{i^2} = - 6\]Biz buni qoidalar to'plami sifatida umumlashtirishimiz mumkin. Agar \(a\) va \(b\) ikkalasi ham ijobiy raqamlar bo'lsa,
\[\begin{align*}\sqrt a \,\sqrt b & = \sqrt {ab} \\ \sqrt { - a} \,\sqrt b & = \sqrt { - ab} \\ \sqrt a \,\sqrt { - b} & = \sqrt { - ab} \\ & \\ \sqrt { - a} \,\sqrt { - b} & \ne \sqrt {\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)} \end{align*}\]Nima uchun bu tashvishlanish uchun etarlicha muhim? Quyidagi misolni ko'rib chiqing.
Yechim
Agar biz buni hozirgi shaklda ko'paytiradigan bo'lsak, biz shunday bo'lar edik,
\[\left( {2 - \sqrt { - 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { - 36} } \right) = 2 + 2\sqrt { - 36} - \sqrt { - 100} - \sqrt { - 36} \,\sqrt { - 100} \]Endi, agar ehtiyot bo'lmasak, oxirgi muddatdagi ikkita ildizni birlashtirib bo'lar edik, buni amalga oshirish mumkin emas!
Demak, manfiy sonlarning kvadrat ildizlari bilan ishlashda umumiy qoida mavjud. Ularga duch kelganingizda, har doim qilishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa ularni murakkab songa aylantirishdir. Agar biz ushbu qoidaga amal qilsak, biz doimo to'g'ri javob olamiz.
Shunday qilib, keling, bu muammoni qanday ishlash kerak bo'lsa, shunday qilib ko'raylik.
\[\left( {2 - \sqrt { - 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { - 36} } \right) = \left( {2 - 10i} \right)\left( {1 + 6i} \right) = 2 + 2i - 60{i^2} = 62 + 2i\]Oldingi misolda keltirilgan asosiy qoida yana takrorlash uchun etarlicha muhimdir. Salbiy sonlarning kvadrat ildizlari bilan duch kelganingizda, birinchi navbatda, ularni kompleks sonlarga aylantirishingiz kerak.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin biz to'xtashimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy mavzu bor. Radikallar bo'limida aytib o'tganimizdek, \(\sqrt 9 = 3\) aslida ikkita raqam mavjud bo'lsa-da, biz 9 ni olishimiz mumkin.
Xuddi shu narsa manfiy sonlarning kvadrat ildizlari uchun ham amal qiladi. Yuqorida ko'rganimizdek \(\sqrt { - 9} = 3\,i\). Ijobiy sonlarning kvadrat ildizlarida bo'lgani kabi, bu holda biz haqiqatan ham so'raymiz -9 olish uchun nima kvadrat qildik? 3\(i\) to'g'riligini tekshirish juda oson.
\[{\left( {3i} \right)^2} = 9{i^2} = - 9\]Biroq, bu yagona imkoniyat emas. Quyidagilarni ko'rib chiqing,
\[{\left( { - 3i} \right)^2} = {\left( { - 3} \right)^2}{i^2} = 9{i^2} = - 9\]va shuning uchun agar biz -3\(i\) kvadratiga ega bo'lsak, biz ham -9 ni olamiz. Shunday qilib, manfiy sonning kvadrat ildizini olganda, radikal ostidagi sonni olish uchun ikkita raqam mavjud. Biroq, biz har doim kvadrat ildizning qiymati uchun musbat sonni, xuddi musbat sonlarning kvadrat ildizida bo'lgani kabi, qabul qilamiz.