7.6-bo'lim: Differensial tenglamalar sistemalari
Ushbu bo'limda biz \(2 \times 2\) dan kattaroq bo'lgan differentsial tenglamalar sistemalarini qisqacha ko'rib chiqmoqchimiz. Muammo shundaki, biz \(n\) ni ko'rib chiqqan birinchi bo'limlardan farqli o'laroqth differensial tenglamalarni buyurtma qiling, biz har doim har bir tizim uchun ishlaydigan formulalar to'plamini topa olmaymiz. Shunday qilib, biz \(3 \times 3\) tizimi uchun barcha mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqamiz (ba'zida tekshirishingiz uchun ba'zi tafsilotlarni qoldiramiz) va keyin 4 x 4 tizimlar haqida bir nechta tezkor sharhlarni yanada kattaroq tizimlarga qanday kengaytirishni ko'rsatamiz va agar xohlasangiz, aslida narsalarni kengaytirishni sizga qoldiramiz.
Shuningdek, biz ushbu bo'limda hech qanday haqiqiy misollar keltirmaymiz. Ushbu bo'limning maqsadi faqat \(2 \times 2\) tizimlari haqida bilganimizni kattaroq tizimlarga qanday kengaytirishni ko'rsatishdir.
Dastlab, jarayon tizimning o'lchamidan qat'i nazar, bir xil bo'ladi. Shunday qilib, 3 ta noma'lum funktsiyali 3 ta differentsial tenglamalar sistemasi uchun birinchi navbatda tizimni matritsa ko'rinishiga keltiramiz,
\[\vec x' = A\,\vec x\]bu erda koeffitsient matritsasi, \(A\), \(3 \times 3\) matritsasi. Keyinchalik \(A\) uchun xos qiymatlar va xos vektorlarni aniqlashimiz kerak va \(A\) \(3 \times 3\) matritsasi bo'lgani uchun biz 3 ta xos qiymat bo'lishini bilamiz (agar mavjud bo'lsa, takroriy o'z qiymatlari ham).
Bu erda \(2 \times 2\) tizimlaridagi jarayon o'zgara boshlaydi. Umumiy yechimni shakllantirish uchun bizga jami 3 ta chiziqli mustaqil yechim kerak bo'ladi. \(2 \times 2\) tizimlaridan biz bilgan ba'zi narsalarni shu nuqtaga keltirish mumkin. Masalan, biz bilamizki, yechimlar oddiy xos qiymatlarga mos keladi (i.e. ular faqat bir marta xos qiymatlar ro'yxatida uchraydi) chiziqli mustaqil bo'ladi. Bilamizki, murakkab konjugat xos qiymatlar to‘plamidan olingan yechimlar chiziqli mustaqil bo‘ladi. Biz, shuningdek, bitta xos vektorli qo'sh xos qiymatdan chiziqli mustaqil yechimlar to'plamini qanday olishni bilamiz.
Bundan tashqari, o'z qiymatlari/o'z vektorlari haqida bir nechta faktlar mavjud, biz bu erda ham ko'rib chiqishimiz kerak. Birinchidan, agar \(A\) faqat haqiqiy yozuvlarga ega bo'lsa (u har doim bu erda bo'ladi), barcha murakkab o'z qiymatlari konjugat juftliklarida paydo bo'ladi (i.e.\(\lambda = \alpha \pm \beta \,i\)) va ular bilan bog'liq xos vektorlar ham bir-birining murakkab konjugatlari bo'ladi. Keyinchalik, agar xos qiymat ko'plik \(k \ge 2\) bo'lsa (i.e. xos qiymatlar roʻyxatida kamida ikki marta uchraydi) keyin xos qiymat uchun 1 dan \(k\) gacha chiziqli mustaqil xos vektorlar boʻladi.
Ushbu g'oyalarning barchasini yodda tutgan holda, keling, \(3 \times 3\) ishi uchun ega bo'lishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan o'z qiymatlari kombinatsiyalarini ko'rib chiqaylik. Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, \(3 \times 3\) tizimi uchun faqat ikkita haqiqiy farqli xos qiymatga ega bo'lish mumkin emas. Yagona imkoniyatlar 1 yoki 3 ta haqiqiy alohida o'z qiymatlariga ega bo'lishdir.
Bu erda barcha mumkin bo'lgan holatlar mavjud.
3 ta haqiqiy farqli xos qiymatlar
Bu holda biz \({\lambda _{\,1}} \ne {\lambda _{\,2}} \ne {\lambda _{\,3}}\) haqiqiy, aniq o'z qiymatlariga ega bo'lamiz va ular bilan bog'liq o'z vektorlari, \({\vec \eta _1}\), \({\vec \eta _2}\) va \({\vec \eta _3}\) chiziqli mustaqil bo'lishi kafolatlanadi va shuning uchun biz bu holatdan olingan uchta chiziqli mustaqil echimlar:
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,1}}t}}{\vec \eta _1}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}{\vec \eta _2}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,3}}t}}{\vec \eta _3}\]1 ta haqiqiy va 2 ta murakkab xos qiymatlar
Haqiqiy xos qiymat/o'z vektor juftligidan \({\lambda _{\,1}}\) va \({\vec \eta _1}\) biz bitta yechimni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,1}}t}}{\vec \eta _1}\]Biz boshqa ikkita yechimni xuddi shu tarzda olamiz \(2 \times 2\) korpusi. Agar o'z qiymatlari \({\lambda _{\,2,3}} = \alpha \pm \beta \,i\) bo'lsa, \({\vec \eta _2}\) va \({\vec \eta _3} = \overline {\left( {{{\vec \eta }_2}} \right)} \) xos vektorlari bilan biz ikkita haqiqiy qiymatli yechimni olishimiz mumkin. Eyler formulasi kengaytirish,
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}{\vec \eta _2} = {{\bf{e}}^{\left( {\alpha + \beta \,i} \right)t}}{\vec \eta _2} = {{\bf{e}}^{\alpha \,t}}\left( {\cos \left( {\beta t} \right) + i\sin \left( {\beta t} \right)} \right){\vec \eta _2}\]uning haqiqiy va xayoliy qismlariga \(\vec u + i\,\vec v\). Bizga kerak bo'lgan oxirgi ikkita haqiqiy echimlar,
\[\vec u\hspace{0.25in}\vec v\]1 ta xos vektorga ega 1 ta haqiqiy farq va 1 ta qoʻsh xususiy qiymat
Haqiqiy o'z qiymat/o'z vektor juftligidan \({\lambda _{\,1}}\) va \({\vec \eta _1}\), biz bitta yechimni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,1}}t}}{\vec \eta _1}\]\(2 \times 2\) tizimlaridagi ishimizdan biz bilish Yagona xos vektorli \({\lambda _{\,2}}\) juft xos qiymatidan \({\vec \eta _2}\) quyidagi ikkita yechimni olamiz:
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}{\vec \eta _2}\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}\vec \xi + {{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}\vec \rho \]bu erda \(\vec \xi \) va \(\vec \rho \) quyidagi tenglamalarni qondirishi kerak,
\[\left( {A - {\lambda _{\,2}}I} \right)\vec \xi = \vec 0\hspace{0.25in}\left( {A - {\lambda _{\,2}}I} \right)\vec \rho = \vec \xi \]E'tibor bering, birinchi tenglama oddiygina \(\vec \xi \) bu xos qiymat \({\vec \eta _2}\) uchun yagona xos vektor bo'lishi kerakligini aytadi va biz odatda ikkita ildiz holatidan olingan ikkinchi yechimni aytamiz:
\[t\,{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}{\vec \eta _2} + {{\bf{e}}^{{\lambda _{\,2}}t}}\vec \rho \hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,\vec \rho {\mbox{ satisfies}}\,\,\left( {A - {\lambda _{\,2}}I} \right)\vec \rho = {\vec \eta _2}\]2 ta chiziqli mustaqil xos vektorga ega 1 ta haqiqiy farqli va 1 ta qoʻsh xususiy qiymat
Biz \(2 \times 2\) tizimlarini o'rganayotganimizda bu ishni ko'rib chiqmadik, ammo bu bilan kurashish juda oson. Bu holda bizda bitta haqiqiy aniq/o'z vektor juftligi, \({\lambda _{\,1}}\) va \({\vec \eta _1}\), shuningdek, \({\lambda _{\,2}}\) qo'sh o'ziga xos qiymat va qo'sh xususiy qiymat ikkita chiziqli erkli xos vektorga ega bo'ladi: \({\vec \eta _2}\) va \({\vec \eta _3}\).
Bu holda uchta xos vektor ham chiziqli mustaqildir va shuning uchun biz quyidagi uchta chiziqli mustaqil yechimni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,1}}t}}{\vec \eta _1}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,\,2}}t}}{\vec \eta _2}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{\lambda _{\,\,2}}t}}{\vec \eta _3}\]Endi biz \(2 \times 2\) tizimlari bilan taqqoslanadigan holatlardan tashqaridamiz va endi biz \(3 \times 3\) tizimlari uchun tanlagan yangi korpusga o'tishimiz kerak. Bu yangi holat ko'paytmasi 3 bo'lgan xos qiymatlarni o'z ichiga oladi. Yuqorida ta'kidlaganimizdek, bizda 1, 2 yoki 3 ta chiziqli mustaqil xos vektorlar bo'lishi mumkin va shuning uchun bizda 3 ta sub holatlar mavjud. Shunday qilib, keling, \(3 \times 3\) tizimi uchun ushbu yakuniy 3 holatni ko'rib chiqaylik.
1 ta xos vektor bilan 1 ta uchta xos qiymat
Bu holda o'z qiymat/o'z vektor juftligi \(\lambda \) va \(\vec \eta \) hisoblanadi. Xususiy qiymat haqiqiy bo'lgani uchun biz bilamizki, bizga kerak bo'lgan birinchi yechim,
\[{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \eta \]Biz ikkinchi yechimni olish uchun ikkita xususiy qiymatdan bitta xos vektor bilan ishni ishlatishimiz mumkin,
\[t\,{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \eta + {{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \rho \hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,\vec \rho {\mbox{ satisfies}}\,\,\left( {A - \lambda I} \right)\vec \rho = \vec \eta \]Uchinchi yechim uchun biz \(n\) bilan qanday ishlaganimiz haqida ma'lumot olishimiz mumkinth ildizlar ko'paytmali differensial tenglamalarni tartiblash 3. Bunday hollarda biz dastlabki yechimni \({t^2}\) ga ko'paytirdik. Biroq, xuddi er-xotin o'z qiymati holatida bo'lgani kabi, bu bizga yechim topish uchun etarli bo'lmaydi. Bu holda uchinchi yechim bo'ladi:
\[\frac{1}{2}{t^2}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \xi + t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \rho + {{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \mu \]bu erda \(\vec \xi \), \(\vec \rho \) va \(\vec \mu \) qanoatlantirishi kerak,
\[\left( {A - \lambda I} \right)\vec \xi = \vec 0\hspace{0.25in}\left( {A - \lambda I} \right)\vec \rho = \vec \xi \hspace{0.25in}\left( {A - \lambda I} \right)\vec \mu = \vec \rho \]Bu yechim va shartlar ekanligini hosilani olib, tizimga ulash orqali tekshirishingiz mumkin.
Endi, birinchi shart shunchaki \(\vec \xi = \vec \eta \) ekanligini aytadi, chunki bizda faqat bitta xos vektor bor va shuning uchun biz ushbu uchinchi yechimni quyidagiga qisqartirishimiz mumkin:
\[\frac{1}{2}{t^2}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \eta + t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \rho + {{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \mu \]bu erda \(\vec \rho \) va \(\vec \mu \) qondirishi kerak,
\[\left( {A - \lambda I} \right)\vec \rho = \vec \eta \hspace{0.25in}\left( {A - \lambda I} \right)\vec \mu = \vec \rho \]va nihoyat e'tibor bering, biz yuqoridagi ikkinchi yechimni aniqlashda yangi birinchi shartni hal qilgan bo'lardik va shuning uchun biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa oxirgi shartni hal qilishdir.
Bu holatda yakuniy eslatma sifatida \(\frac{1}{2}\) faqat sharoitda qo'shimcha konstantalar paydo bo'lmasligi uchun yechimda bo'lib, bu o'z navbatida oldingi natijalarni qayta ishlatishga imkon beradi.
2 ta chiziqli mustaqil xos vektorli 1 ta uch karra xos qiymat
Bu holda biz ikkita chiziqli mustaqil xususiy vektor \({\vec \eta _1}\) va \({\vec \eta _2}\) bilan \(\lambda \) xos qiymatiga ega bo'lamiz, shuning uchun biz quyidagi ikkita chiziqli mustaqil echimlarni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{\lambda t}}{\vec \eta _1}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}{\vec \eta _2}\]Endi bizga uchinchi yechim kerak. Uchinchi yechim shaklda bo'ladi,
\[t\,{{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \xi + {{\bf{e}}^{\lambda t}}\vec \rho \]bu erda \(\vec \xi \) va \(\vec \rho \) quyidagi tenglamalarni qondirishi kerak,
\[\left( {A - \lambda I} \right)\vec \xi = \vec 0\hspace{0.25in}\left( {A - \lambda I} \right)\vec \rho = \vec \xi \]Biz allaqachon tekshirib ko'rdikki, bu ikki tomonlama o'z qiymat holatida ushbu shartlar bilan yechim bo'ladi (bu ish faqat takroriy o'z qiymatni talab qiladi, qo'shaloq emas).
Biroq, biz buni ko'rgan oldingi vaqtlardan farqli o'laroq, biz shunchaki \(\vec \xi \) ni xos vektor deb ayta olmaymiz. Bu holatni ko'rgan oldingi barcha holatlarda bizda bitta xos vektor bor edi va bu safar bizda ikkita chiziqli mustaqil xos vektor mavjud. Bu shuni anglatadiki, birinchi shartning eng umumiy echimi:
\[\vec \xi = {c_1}{\vec \eta _1} + {c_2}{\vec \eta _2}\]Bu ikkinchi shartni hal qilishda muammolarni keltirib chiqaradi. Ikkinchi shartda \({c_1}\) va \({c_2}\) ning har bir tanlovi uchun yechim bo'lmaydi va biz foydalanadigan tanlov xos vektorlarga bog'liq bo'ladi. Shunday qilib, birinchi shartni hal qilgandan so'ng, biz umumiy yechimni ikkinchi shartga ulashimiz kerak va keyin ikkinchi shartni hal qilish imkonini beradigan \({c_1}\) va \({c_2}\) shartlarini aniqlashga kirishamiz.
3 ta chiziqli mustaqil xos vektorli 1 ta uch karra xos qiymat
Bu holda biz \(\lambda \) o'z qiymatiga ega bo'lamiz, uchta chiziqli mustaqil xususiy vektorlar \({\vec \eta _1}\), \({\vec \eta _2}\) va \({\vec \eta _3}\), shuning uchun biz quyidagi uchta chiziqli mustaqil yechimni olamiz,
\[{{\bf{e}}^{\lambda t}}{\vec \eta _1}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}{\vec \eta _2}\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}{\vec \eta _3}\]4 x 4 tizimlar
Biz ushbu bo'limni 4 x 4 tizim haqida bir nechta sharhlar bilan yopamiz. Bunday hollarda bizda 4 ta xos qiymat bo'ladi va umumiy yechimni olish uchun 4 ta chiziqli mustaqil yechim kerak bo'ladi. Bu erdagi holatlarning aksariyati \(3 \times 3\) tizimlari holatlarining tabiiy kengaytmalari bo'lib, aslida bu ishning katta qismidan foydalanadi.
Bu erda bir nechta yangi holatlar mavjud, ammo biz ularga qisqacha izoh berishimiz kerak. 4 x 4 tizimlar bilan endi ikki xil juft xos qiymatlar to'plamiga va ikki xil murakkab konjugat xos qiymatlar to'plamiga ega bo'lish mumkin bo'ladi. Ushbu holatlarning har birida biz har birini alohida holat sifatida ko'rib chiqishimiz va kerakli echimlarni olish uchun qo'sh xususiy qiymatlar va murakkab o'z qiymatlari haqidagi oldingi bilimlarimizdan foydalanishimiz mumkin.
Bundan tashqari, endi "ikki" kompleks xos qiymatga ega bo'lish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bizda \(\lambda = \alpha \pm \beta \,i\) o'z qiymatlari ro'yxatida ikki marta uchraydi. Bu ish uchun echimlar juda yomon emas. Murakkab xos qiymatlar bilan ishlashning oddiy usulida ikkita yechimga ega bo'lamiz. Qolgan ikkita yechim biz ikki tomonlama xos qiymat uchun qilgan ishimizdan kelib chiqadi. Bu holatda qilgan ishimiz o'z qiymat/o'z vektor juftligi haqiqiy bo'lishini talab qilmadi. Shuning uchun, agar \(\lambda = \alpha + \beta \,i\) bilan bog'langan xos vektor \(\vec \eta \) bo'lsa, ikkinchi yechim quyidagicha bo'ladi:
\[t\,{{\bf{e}}^{\left( {\alpha + \beta \,i} \right)t}}\vec \eta + {{\bf{e}}^{\left( {\alpha + \beta \,i} \right)t}}\vec \rho \hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,\vec \rho {\mbox{ satisfies}}\,\,\left( {A - \lambda I} \right)\vec \rho = \vec \eta \]va biz \(\vec \rho \) ni aniqlaganimizdan so'ng, ikkita yangi haqiqiy baholi echimni olish uchun Eyler formulasidan foydalanib, uni yana haqiqiy va xayoliy qismlarga bo'lishimiz mumkin.
Nihoyat, 4 x 4 tizim bilan biz endi ko'paytmasi 4 bo'lgan xos qiymatlarga ega bo'lishimiz mumkin. Bunday hollarda biz 1, 2, 3 yoki 4 chiziqli mustaqil xususiy vektorlarga ega bo'lishimiz mumkin va biz \(3 \times 3\) tizimlari bilan ishimizdan foydalanib, bu holatlar uchun echimlarni qanday yaratishni ko'rishimiz mumkin. Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan bir masala - 2 va 3 xos vektor holatlari uchun shartlar \(3 \times 3\) tizimlarida 2 o'z vektor holatlari bilan bir xil qiyinchiliklarga ega bo'ladi.
Shunday qilib, biz \(2 \times 2\) dan kattaroq tizimlar bilan bog'liq ba'zi muammolarni muhokama qildik va umid qilamanki, biz kattaroq tizimlarga o'tganimizda ish ancha murakkablashishi mumkin.