12.8-bo'lim: Tangent, normal va binormal vektorlar
Ushbu bo'limda biz vektor funksiyalar uchun hosilalarni qo'llashni ko'rib chiqmoqchimiz. Aslida, bir nechta ilovalar mavjud, ammo ularning barchasi birinchisiga muhtoj bo'lib qoladi.
Ilgari biz funktsiyaning hosilasi tangens chizig'ining qiyaligi ekanligidan foydalanganmiz. Vektor funktsiyalari bilan biz bir xil natijani olamiz, bitta istisno.
\(\vec r\left( t \right)\) vektor funksiyasini hisobga olib, biz \(\vec r'\left( t \right)\) deb ataymiz tangens vektori Agar u mavjud bo'lsa va \(\vec r'\left( t \right) \ne \vec 0\) taqdim etilsa. \(P\) da \(\vec r\left( t \right)\) ga teguvchi chiziq \(P\) nuqtasidan o'tuvchi va \(\vec r'\left( t \right)\) tangens vektoriga parallel bo'lgan chiziqdir. Tangens vektoriga ega bo'lish uchun biz haqiqatan ham \(\vec r'\left( t \right) \ne \vec 0\) talab qilishimiz kerakligini unutmang. Agar bizda bo'lsa \[\vec r'\left( t \right) = \vec 0\] bizda kattaligi bo'lmagan vektor bo'lar edi va shuning uchun bizga tangens yo'nalishini bera olmagan.
Shuningdek, \(\vec r'\left( t \right) \ne \vec 0\) taqdim etilgan birlik tangent vektori egri chiziq bilan berilgan,
Tangent vektor birligi
Birlik tangens vektorining komponentlari biroz chalkash bo'lishi mumkin bo'lsa-da, ba'zida biz tangens vektor o'rniga birlik tangens vektorini ishlatishimiz kerak bo'ladi.
Yechim
Birinchidan, umumiy formula bilan biz ma'lum bir \(t\) ni ulamasligimizni nazarda tutamiz va shuning uchun egri chiziqning istalgan nuqtasida tangensni topmoqchi bo'lsak, keyinroq foydalanishimiz mumkin bo'lgan formulani topamiz. Aytgancha, bu vaqtda ishni bajarishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
Bu egri chiziqqa tangens vektori.
\[\vec r'\left( t \right) = 2t\,\vec i + 2\cos t\,\vec j - 2\sin t\,\vec k\]Birlik tangens vektorini olish uchun bizga tangens vektorining uzunligi kerak.
\[\begin{align*}\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {4{t^2} + 4{{\cos }^2}t + 4{{\sin }^2}t} \\ & = \sqrt {4{t^2} + 4} \end{align*}\]U holda birlik tangens vektori,
\[\begin{align*}\vec T\left( t \right) & = \frac{1}{{\sqrt {4{t^2} + 4} }}\left( {2t\,\vec i + 2\cos \,t\,\vec j - 2\sin t\,\vec k} \right)\\ & = \frac{{2t}}{{\sqrt {4{t^2} + 4} }}\,\vec i + \frac{{2\cos t}}{{\sqrt {4{t^2} + 4} }}\vec j - \frac{{2\sin t}}{{\sqrt {4{t^2} + 4} }}\,\vec k\end{align*}\]Yechim
Birinchidan, bizga tangens vektori kerak va bu biz oldingi misolda ishlagan funksiya bo'lgani uchun biz ushbu misoldagi tangens vektorini qayta ishlatishimiz va \(t = \frac{\pi }{3}\) ni ulashimiz mumkin.
\[\vec r'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\,\vec i + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\,\vec j - 2\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\,\vec k = \frac{{2\pi }}{3}\,\vec i + \vec j - \sqrt 3 \,\vec k\]Bizga \(t = \frac{\pi }{3}\) chizig'idagi nuqta ham kerak bo'ladi, shuning uchun
\[\vec r\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{9}\,\vec i + \sqrt 3 \,\vec j + \,\vec k\]Chiziqning vektor tenglamasi u holda,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {\frac{{{\pi ^2}}}{9},\sqrt 3 ,1} \right\rangle + t\left\langle {\frac{{2\pi }}{3},1, - \sqrt 3 } \right\rangle \]Davom etishdan oldin, oldingi misol haqida bir nechta narsalarni eslatib o'tamiz. Birinchidan, biz parallel vektor uchun birlik tangens vektoridan foydalanishimiz mumkin edi. Biroq, bu tangens chizig'i uchun yanada murakkab tenglamani yaratgan bo'lar edi.
Ikkinchidan, biz \(\vec r\left( t \right)\) dan funksiya uchun ham foydalanganimizga qaramay, tangens chiziqni ifodalash uchun foydalanganimizga e'tibor bering. Bundan hayajonlanmang. Bu erda \(\vec r\left( t \right)\) normal funktsiyalarga ega \(y\) ga o'xshaydi. Oddiy funktsiyalarda \(y\) biz funktsiyalarni ifodalash uchun ishlatgan umumiy harfdir va \(\vec r\left( t \right)\) vektor funktsiyalari bilan bir xil tarzda ishlatiladi.
Keyinchalik, bu haqda gapirishimiz kerak normal birlik va binormal vektorlar.
Birlik normal vektor quyidagicha aniqlanadi:
Oddiy vektor birligi
Normal birlik birlik tangens vektoriga va demak, egri chiziqqa ham ortogonal (yoki normal yoki perpendikulyar). Biz ishlayotganimizda oddiy vektorlarni allaqachon ko'rganmiz Tekislik tenglamalari. Ular bir nechta Calculus III mavzularida muntazamlik bilan namoyon bo'ladi.
Oddiy vektor birligining ta'rifi uni birinchi marta ko'rganingizda har doim biroz sirli ko'rinadi. Bu to'g'ridan-to'g'ri quyidagi faktdan kelib chiqadi.
Fakt
Faraz qilaylik, \(\vec r\left( t \right)\) barcha \(t\) uchun \(\left\| {\vec r\left( t \right)} \right\| = c\) kabi vektor bo'lsin. Keyin \(\vec r'\left( t \right)\) \(\vec r\left( t \right)\) ga ortogonal bo'ladi.
Bu haqiqatni isbotlash juda oddiy. Fakt bayonotidan va vektorning kattaligi va nuqta mahsuloti o'rtasidagi bog'liqlikdan biz quyidagilarga ega bo'lamiz.
\[\vec r\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right) = {\left\| {\vec r\left( t \right)} \right\|^2} = {c^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{for all }}t\]Endi, bu barcha \(t\) uchun to'g'ri bo'lgani uchun biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{d}{{dt}}\left( {\vec r\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right)} \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {{c^2}} \right) = 0\]Bundan tashqari, oldingi bo'limdagi nuqta mahsulotini farqlash haqidagi faktni eslab, biz shuni ko'ramizki,
\[\frac{d}{{dt}}\left( {\vec r\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right)} \right) = \vec r'\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right) + \vec r\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r'\left( t \right) = 2\vec r'\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right)\]Yoki bularning barchasini birlashtirgandan so'ng, biz
\[2\vec r'\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r'\left( t \right)\,\centerdot \,\vec r\left( t \right) = 0\]Shuning uchun \(\vec r'\left( t \right)\) \(\vec r\left( t \right)\) ga ortogonaldir.
Oddiy birlikning ta'rifi to'g'ridan-to'g'ri bundan tushadi. \(\vec T\left( t \right)\) birlik vektori bo'lgani uchun biz \(\left\| {\vec T\left( t \right)} \right\| = 1\) barcha \(t\) uchun ma'lum va shuning uchun \(\vec T'\left( t \right)\) fakti bo'yicha \(\vec T\left( t \right)\) ga ortogonal ekanligini bilamiz. Biroq, \(\vec T\left( t \right)\) egri chiziqqa tangens bo'lganligi sababli, \(\vec T'\left( t \right)\) egri chiziqqa ortogonal yoki normal bo'lishi kerak va shuning uchun egri chiziq uchun normal vektor bo'lishi kerak. Bunda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa birlik normal vektorga erishish uchun \(\left\| {\vec T'\left( t \right)} \right\|\) ga bo'lishdir.
Keyingi, binormal vektor. Binormal vektor quyidagicha aniqlanadi:
Binormal vektor
Binormal vektor birlik tangensi va birlik normal vektorning o'zaro ko'paytmasi sifatida aniqlanganligi sababli, biz binormal vektor tangens vektoriga ham, normal vektorga ham ortogonal ekanligini bilamiz.
Yechim
Bizga birinchi navbatda birlik tangens vektori kerak, shuning uchun avval tangens vektorini va uning kattaligini oling.
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = \left\langle {1,3\cos t, - 3\sin t} \right\rangle \\ \left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {1 + 9{{\cos }^2}t + 9{{\sin }^2}t} = \sqrt {10} \end{align*}\]U holda birlik tangens vektori,
\[\vec T\left( t \right) = \left\langle {\frac{1}{{\sqrt {10} }},\frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t} \right\rangle \]Birlik normal vektori endi birlik tangensining hosilasini va uning kattaligini talab qiladi.
\[\begin{align*}\vec T'\left( t \right) & = \left\langle {0, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t} \right\rangle \\ \left\| {\vec T'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {\frac{9}{{10}}{{\sin }^2}t + \frac{9}{{10}}{{\cos }^2}t} = \sqrt {\frac{9}{{10}}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\end{align*}\]Birlik normal vektor u holda,
\[\vec N\left( t \right) = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\left\langle {0, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t} \right\rangle = \left\langle {0, - \sin t, - \cos t} \right\rangle \]Nihoyat, binormal vektor,
\[\begin{align*}\vec B\left( t \right) & = \vec T\left( t \right) \times \vec N\left( t \right)\\ & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\frac{1}{{\sqrt {10} }}}&{\frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t}&{ - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t}\\0&{ - \sin t}&{ - \cos t}\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\{\frac{1}{{\sqrt {10} }}}&{\frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t}\\0&{ - \sin t}\end{array}\\ & = - \frac{3}{{\sqrt {10} }}{\cos ^2}t\,\vec i - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin t\,\vec k + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\cos t\,\,\vec j - \frac{3}{{\sqrt {10} }}{\sin ^2}t\,\vec i\\ & = - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\,\vec i + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\cos t\,\,\vec j - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin t\,\,\vec k\end{align*}\]