12.6-bo'lim: Vektor funktsiyalari
Biz vektor funksiyalarini birinchi marta ko'rib chiqqanimizda ko'rdik Chiziqlar tenglamasi. Ushbu bo'limda biz ular haqida gapirdik, chunki biz \({\mathbb{R}^3}\)-dagi chiziq tenglamasini a shaklida yozdik. vektor funktsiyasi (ba'zan a deb ataladi vektor qiymatli funksiya). Ushbu bo'limda biz ularni biroz yaqinroq ko'rib chiqmoqchimiz va biz chiziqlardan tashqari \({\mathbb{R}^3}\)-dagi ba'zi vektor funktsiyalarni ham ko'rib chiqmoqchimiz.
Vektor funksiya - bu bir yoki bir nechta o'zgaruvchini oladigan va vektorni qaytaruvchi funksiya. Biz ushbu bo'limning ko'p qismini bitta o'zgaruvchining vektor funktsiyalarini ko'rib chiqishga sarflaymiz, chunki bu erda vektor funktsiyalari ko'rsatiladigan joylarning aksariyati bitta o'zgaruvchining vektor funktsiyalari bo'ladi. Ammo biz ushbu bo'lim oxirida ikkita o'zgaruvchining vektor funksiyalarini qisqacha ko'rib chiqamiz.
\({\mathbb{R}^2}\) va \({\mathbb{R}^3}\) da bitta o‘zgaruvchining vektor funksiyalari quyidagi ko‘rinishga ega:
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right)} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \]mos ravishda, bu erda \(f\left( t \right)\), \(g\left( t \right)\) va \(h\left( t \right)\) deyiladi. komponent funktsiyalari.
Ushbu bo'limda biz muhokama qilmoqchi bo'lgan asosiy g'oya - vektor funktsiyasi tomonidan berilgan grafikni grafik qilish va aniqlashdir. Buni qilishdan oldin vektor funksiyaning sohasi haqida qisqacha gapirishimiz kerak. The domen vektor funksiyasi - bu barcha komponentlar funktsiyalari aniqlangan barcha \(t\) lar to'plami.
Yechim
Birinchi komponent barcha \(t\) uchun belgilangan. Ikkinchi komponent faqat \(t < 4\) uchun belgilangan. Uchinchi komponent faqat \(t \ge - 1\) uchun belgilangan. Bularning barchasini jamlash quyidagi domenni beradi.
\[\left[ { - 1,4} \right)\]Bu uchta komponent aniqlangan eng katta mumkin bo'lgan intervaldir.
Keling, vektor funktsiyalar grafigini ko'rib chiqaylik. Vektor funksiyasining grafigini tuzish uchun vektor funksiya tomonidan qaytarilgan vektorni grafikdagi nuqtalar uchun pozitsiya vektori sifatida tasavvur qilishimiz kerak. Eslatib o'tamiz, pozitsiya vektori, masalan, \(\vec v = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \), vektor bo'lib, u boshlang'ichdan boshlanib, \(\left( {a,b,c} \right)\) nuqtasida tugaydi.
Shunday qilib, vektor funksiyasining grafigini chizish uchun biz faqat \(t\) ning ba'zi qiymatlarini kiritishimiz kerak, so'ngra vektor funktsiyasidan chiqamiz.
\({\mathbb{R}^2}\)-dagi vektor funktsiyalarining grafiklarini ko'rib chiqishdan boshlaymiz, narsalarni tasavvur qilish biroz osonroq.
- \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,1} \right\rangle \)
- \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,{t^3} - 10t + 7} \right\rangle \)
a \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,1} \right\rangle \) Yechim
Yaxshi, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa \(t\) ning bir nechta qiymatlarini kiritish va ba'zi pozitsiya vektorlarini olishdir. Mana bir nechtasi,
\[\vec r\left( { - 3} \right) = \left\langle { - 3,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( { - 1} \right) = \left\langle { - 1,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 2 \right) = \left\langle {2,1} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 5 \right) = \left\langle {5,1} \right\rangle \]Shunday qilib, bu bizga shuni aytadiki, quyidagi nuqtalarning barchasi ushbu vektor funksiyasining grafigida joylashgan.
\[\left( { - 3,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( { - 1,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {2,1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {5,1} \right)\]Mana bu vektor funksiyaning eskizi.
Ushbu eskizda biz yuqoridagilardan ko'ra ko'proq baholashlarni kiritdik. Shuni ham yodda tutingki, biz vektorlarni (kulrang va chizilgan) joylashtirdik, shunda bularning barchasi qanday ishlashini ko'rishingiz mumkin. Shuni yodda tutingki, amalda pozitsiya vektorlari odatda eskizga kiritilmaydi.
Bu holda biz \(y = 1\) chizig'ining grafigini olganga o'xshaymiz.
b \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,{t^3} - 10t + 7} \right\rangle \) Yechim
Bu vektor funktsiyasi uchun bir nechta baholash.
\[\vec r\left( { - 3} \right) = \left\langle { - 3,10} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec r\left( { - 1} \right) = \left\langle { - 1,16} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec r\left( 1 \right) = \left\langle {1, - 2} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec r\left( 3 \right) = \left\langle {3,4} \right\rangle \]Shunday qilib, biz ushbu funktsiyaning grafigida bir nechta nuqtalarni oldik. Biroq, birinchi qismdan farqli o'laroq, bu grafik haqida yaxshi tasavvurga ega bo'lish uchun etarli ball bo'lmaydi. Umuman olganda, grafik nima ekanligi haqida tasavvurga ega bo'lish uchun bir nechta funktsiyani baholash kerak bo'lishi mumkin va odatda grafikani bajarish uchun kompyuterdan foydalanish osonroq.
Mana bu grafikning eskizi. Biz ularni tasvirlash uchun bir nechta vektor/baholarni kiritdik, ammo haqiqat shundaki, bu erda yaxshi eskiz olish uchun kompyuterdan foydalanishimiz kerak edi.
Yuqoridagi misoldagi ikkala vektor funksiyasi quyidagi shaklda edi:
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,g\left( t \right)} \right\rangle \]Va biz chizgan narsa - bu \(y = g\left( x \right)\) grafigi, ehtimol siz ko'rgansiz. Keling, ushbu naqshga kirmaydigan yana bir nechta vektor funktsiyalarning grafigini tuzamiz.
- \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {6\cos t,3\sin t} \right\rangle \)
- \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t - 2\sin t,{t^2}} \right\rangle \)
Munozarani ko'rsatish
Oldingi misolning oxirgi qismida ko'rganimizdek, vektor funksiyasining grafigini chizish uchun haqiqatan ham bir nechta funktsiyani baholash kerak bo'ladi. Shuning uchun biz bu erda barcha funktsiyalarni baholashni o'tkazib yuboramiz va shunchaki grafikni beramiz. Ushbu misollar to'plamining asosiy nuqtasi sizni biz yuqorida ko'rib chiqqan shaklga o'tkazib yubormaslikdir. Birinchi qism, shuningdek, ushbu misoldan keyin muhokama qiladigan muhim fikrga olib keladi.
Shunday qilib, bu erda aytilganlarning har birining eskizlari.
a \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {6\cos t,3\sin t} \right\rangle \) Yechim
Shunday qilib, bu holda bizda ellips borga o'xshaydi.
b \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {t - 2\sin t,{t^2}} \right\rangle \) Yechim
Mana bu vektor funksiyasining eskizi.
\({\mathbb{R}^3}\) da vektor funktsiyalariga o'tishdan oldin, keling, orqaga qaytaylik va oldingi misolda chizilgan birinchi vektor funksiyani ko'rib chiqaylik, \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {6\cos t,3\sin t} \right\rangle \). Bu yerda bizda ellips borligi sizni ajablantirmasa kerak. Biz bilamizki, birinchi komponent funksiyasi \(x\) koordinatasini, ikkinchi komponent funksiyasi esa biz chizgan nuqtaning \(y\) koordinatalarini beradi. Agar biz buni aniq qilish uchun ularni olib tashlasak, biz olamiz,
\[x = 6\cos t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = 3\sin t\]Bu sizga tanish ko'rinishi kerak. Biz qaraganimizda Parametrik tenglamalar biz bu ellipsni bergan parametrik tenglamalar to'plamidan boshqa narsa emasligini ko'rdik.
Bu vektor funktsiyalarini o'rganishda muhim g'oya. Har qanday vektor funksiyani bir xil grafikni ifodalovchi parametrik tenglamalar to‘plamiga bo‘lish mumkin. Umuman olganda, \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right)} \right\rangle \) ikki o'lchovli vektor funktsiyasini parametrik tenglamalarga bo'lish mumkin,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\]Xuddi shunday, uch o'lchovli vektor funktsiyasi, \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \), parametrik tenglamalarga bo'linishi mumkin,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}z = h\left( t \right)\]Biz hozir \({\mathbb{R}^3}\)-da parametrik tenglamalarni ko'rib chiqayotganimizdan juda hayajonlanmang. Ular biz allaqachon ishlashga odatlangan \({\mathbb{R}^2}\) da parametrik tenglamalar bilan bir xil tarzda ishlaydi. Faqatgina farq shundaki, bizda uchinchi komponent mavjud.
Keling, vektor funktsiyalarining bir nechta grafiklarini ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, bu chiziqdan boshqa narsa emas. Bir oz qayta yozsak, yordam berishi mumkin.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {2, - 1,3} \right\rangle + t\left\langle { - 4,5,1} \right\rangle \]Bu shaklda bu \(\left( {2, - 1,3} \right)\) nuqtadan o'tuvchi va \(\vec v = \left\langle { - 4,5,1} \right\rangle \) vektoriga parallel bo'lgan chiziq tenglamasi ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Ushbu chiziqning grafigini tuzish uchun biz nuqtani chizishimiz va keyin parallel vektorning eskizini chizishimiz kerak. Eskizni olish uchun vektor chiziqda joylashgan deb taxmin qilinadi va chiziqning nuqtasidan boshlanadi. Chiziqda eskizni chizish uchun biz parallel vektorni chiziqqa cho'zamiz.
Mana eskiz.
Yechim
Bunday holda, grafik uchun nima borligini ko'rish uchun egri chiziq uchun parametrik tenglamalarni olamiz.
\[x = 2\cos t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = 2\sin t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}z = 3\]Agar biz \(z\) tenglamasini biroz e'tiborsiz qoldiramiz eslash (umid qilamanki) \(x\) va \(y\) uchun parametrik tenglamalar koordinata markazida joylashgan radius 2 doirasini beradi (yoki biz \({\mathbb{R}^3}\) da bo'lganimiz uchun \(z\) o'qi atrofida).
Endi bu yerdagi barcha parametrik tenglamalar bizga shuni aytadiki, grafikda nima sodir bo'lishidan qat'i nazar, barcha \(z\) koordinatalari 3 bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz \(z\) o'qida va \(z = 3\) darajasida markazlashgan radius 2 doirasini olamiz.
Mana eskiz.
Shuni esda tutingki, \(x\) yoki \(y\) o'qlarida markazlashtirilgan aylana olish uchun yuqoridagi vektor funksiyasini o'zgartirish juda oson. Masalan,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {10\sin t, - 3,10\cos t} \right\rangle \]markazi \(y\) o'qida va \(y = - 3\) da joylashgan radiusi 10 bo'lgan doira bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, atamalardan ikkitasi sinus va kosinus (bir xil koeffitsientga ega) va ikkinchisi sobit son bo'lsa, bizda sobit son tomonidan berilgan o'qning markazida joylashgan doira bo'ladi.
Keling, bu modifikatsiyani ko'rib chiqaylik.
Yechim
Agar bu \(z\) komponentida doimiy bo'lsa, bizda boshqa doira bo'lar edi. Biroq, bu holatda bizda doimiylik yo'q. Buning o'rniga bizda \(t\) bor va bu egri chiziqni o'zgartiradi. Biroq, \(x\) va \(y\) komponent funktsiyalari hali ham parametrik tenglamalarda aylana bo'lganligi sababli, bizning egri chiziq qandaydir tarzda aylana xarakteriga ega bo'lishi kerak.
Aslida, yagona o'zgarish \(z\) komponentida va \(t\) oshgani sayin \(z\) koordinatasi ortadi. Bundan tashqari, \(t\) oshgani sayin \(x\) va \(y\) koordinatalari \(z\) o'qida markazlashtirilgan doira hosil qilishda davom etadi. Ushbu ikkita fikrni bir joyga qo'yish bizga \(t\) ni ko'paytirishimiz bilan \(x\) va \(y\) yo'nalishlarida kuzatilayotgan doira ham ko'tarilishi kerakligini aytadi.
Mana bu egri chiziqning eskizi.
Shunday qilib, bizda spiral (yoki spiral, siz uni nima deb atashingizga qarab) bor.
Doiralarda bo'lgani kabi, \(t\) ga ega bo'lgan komponent spiral aylanadigan o'qni aniqlaydi. Masalan,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,6\cos t,6\sin t} \right\rangle \]\(x\) o'qi atrofida aylanadigan spiraldir.
Shuni ham yodda tutingki, agar biz aylana va spiral uchun sinus va kosinusdagi koeffitsientlar boshqacha bo'lishiga ruxsat bersak, biz ellipslarni olamiz.
Masalan,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {9\cos t,t,2\sin t} \right\rangle \]\(y\) o'qi atrofida aylanadigan va ellips shaklida bo'lgan spiral bo'ladi.
Ikki o'zgaruvchining vektor funktsiyalariga o'tishdan oldin biz olishimiz kerak bo'lgan yaxshi formula mavjud.
Yechim
Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, biz faqat \(P\) da boshlanadigan va \(Q\) da tugaydigan chiziq segmentining tenglamasini xohlaymiz. Biz chiziqning boshqa qismini xohlamaymiz va biz \(t\) ni oshirganimizda chiziq segmentining yo'nalishi saqlanib qolishini xohlaymiz. Bularning barchasi bilan, keling, bu haqda tashvishlanmaylik va faqat ikkita nuqtadan o'tadigan chiziqning vektor tenglamasini topamiz. Buni olganimizdan so'ng, biz xohlagan narsaga erisha olamiz.
Shunday qilib, bizga chiziqda nuqta kerak. Bizda ikkitasi bor va biz \(P\) dan foydalanamiz. Bizga chiziqqa parallel bo'lgan vektor kerak va bizda ikkita nuqta borligi sababli ular orasidagi vektorni topishimiz mumkin. Bu vektor chiziq ustida yotadi va shuning uchun chiziqqa parallel bo'ladi. Bundan tashqari, biz chiziq segmentining boshlang'ich va tugash nuqtasini saqlab qolishni xohlayotganimizni eslaylik, shuning uchun bir xil "orientatsiya" yordamida vektorni tuzamiz.
\[\vec v = \left\langle {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right\rangle \]Ushbu vektor va \(P\) nuqtasidan foydalanib, chiziqning quyidagi vektor tenglamasini olamiz.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle + t\left\langle {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right\rangle \]Bu chiziqning vektor tenglamasi bo'lsa-da, keling, tenglamani biroz qayta yozamiz.
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle + t\left\langle {{x_2},{y_2},{z_2}} \right\rangle - t\left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle \\ & = \left( {1 - t} \right)\left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle + t\left\langle {{x_2},{y_2},{z_2}} \right\rangle \end{align*}\]Bu \(P\) va \(Q\) nuqtalarini o'z ichiga olgan chiziq tenglamasi. Biz, albatta, faqat \(P\) da boshlanadigan va \(Q\) da tugaydigan chiziq segmentini xohlaymiz. Biz buni faqat \(t\) qiymatlarini cheklash orqali olishimiz mumkin.
E'tibor bering
\[\vec r\left( 0 \right) = \left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 1 \right) = \left\langle {{x_2},{y_2},{z_2}} \right\rangle \]Shunday qilib, agar biz \(t\) ni noldan birgacha cheklasak, biz chiziq segmentini qamrab olamiz va biz to'g'ri nuqtada boshlaymiz va tugatamiz.
Shunday qilib, \(P = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) da boshlanib, \(Q = \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) da tugaydigan chiziq segmentining vektor tenglamasi:
\[\vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle + t\left\langle {{x_2},{y_2},{z_2}} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le t \le 1\]Ushbu bo'limning boshida qisqacha ta'kidlanganidek, biz ikkita o'zgaruvchining vektor funksiyalariga ham ega bo'lishimiz mumkin. Bunday hollarda ikkita o'zgaruvchining vektor funktsiyasining grafiklari sirtdir. Shunday qilib, biz buni unutmasligimiz uchun, keling, u bilan ham misol qilib olaylik.
Yechim
Birinchidan, e'tibor bering, bu holda vektor funktsiyasi aslida ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bo'ladi. Bu har doim yuzalarni ifodalash uchun vektor funktsiyalaridan foydalanganda shunday bo'ladi.
Sirtni aniqlash uchun parametrik tenglamalarga qaytaylik.
\[x = x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = y\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}z = {x^2} + {y^2}\]Birinchi ikkitasi haqiqatan ham biz \(x\) va \(y\) ni bepul tanlayotganimizni tan olishadi va keyin bu ikki tanlovimizdan \(z\) ni aniqlaymiz. Oxirgi tenglama biz xohlagan tenglamadir. Biz ushbu funktsiyani bo'limdan tan olishimiz kerak kvadrat yuzalar. Uchinchi tenglama elliptik paraboloidning tenglamasidir va shuning uchun vektor funksiyasi elliptik paraboloidni ifodalaydi.
Ushbu bo'limning yakuniy mavzusi sifatida oldingi misoldagi fikrni umumlashtiramiz va shuni ta'kidlaymizki, bitta o'zgaruvchining har qanday funktsiyasi (\(y = f\left( x \right)\) yoki \(x = h\left( y \right)\)) yoki ikkita o'zgaruvchining har qanday funktsiyasi (\(z = g\left( {x,y} \right)\), \(x = g\left( {y,z} \right)\) yoki \(y = g\left( {x,z} \right)\)) berilganda biz har doim equ vektor shaklini yozishimiz mumkin.
Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun bu bo'ladi,
\[\vec r\left( x \right) = x\,\vec i + f\left( x \right)\,\vec j\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( y \right) = h\left( y \right)\,\vec i + y\,\vec j\]va ikkita o'zgaruvchili funktsiya uchun vektor shakli bo'ladi,
\[\begin{array}{c}\vec r\left( {x,y} \right) = x\,\vec i + y{\kern 1pt} \vec j + g\left( {x,y} \right)\,\vec k\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( {y,z} \right) = g\left( {y,z} \right)\,\vec i + y{\kern 1pt} \vec j + z\,\vec k\\ \vec r\left( {x,z} \right) = x\,\vec i + g\left( {x,z} \right){\kern 1pt} \vec j + z\,\vec k\end{array}\]funktsiyaning asl shakliga qarab.
Masalan, \(y = 2{x^2} - 5{z^2}\) giperbolik paraboloidini quyidagi vektor funksiya sifatida yozish mumkin.
\[\vec r\left( {x,z} \right) = x\,\vec i + \left( {2{x^2} - 5{z^2}} \right)\,\vec j + z\,\vec k\]Bu juda muhim g'oya va biz Calculus III da bu kabi narsalarni qilamiz.