2.9-bo'lim: Shaklda kvadratga tushiriladigan tenglamalar
Ushbu bo'limda biz chaqirilgan tenglamalarni ko'rib chiqamiz kvadratik shaklda or shaklda kvadratik shaklga keltiriladi. Buning ma'nosi shundaki, biz tenglamalarni ko'rib chiqamiz, agar ularga to'g'ri nuqtai nazardan qarasak, ularni kvadrat tenglamalarga o'xshatishimiz mumkin. O'sha paytda biz kvadrat tenglamalar uchun ishlab chiqilgan usullardan haqiqiy tenglamani echishda yordam berishimiz mumkin.
Odatda bu jarayonni misol bilan ko'rsatish yaxshi, shuning uchun buni qilaylik.
Yechim
Keling, buni e'tiborga olishdan boshlaylik
\[{x^4} = {\left( {{x^2}} \right)^2}\]Boshqacha qilib aytganda, biz bu erda birinchi atamaning o'zgaruvchan qismi (i.e. koeffitsientni e'tiborsiz qoldirish) ikkinchi hadning o'zgaruvchan qismining kvadratidan boshqa narsa emas. Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda haqiqatan ham e'tibor berishimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, birinchi hadda ko'rsatkich ikkinchi haddan ikki baravar ko'p edi.
Bu uchinchi hadning konstanta ekanligi bilan bir qatorda bu tenglamaning kvadratik shaklga keltirilishini bildiradi. Biz buni birinchi navbatda aniqlash orqali hal qilamiz,
\[u = {x^2}\]Endi bu shuni anglatadi
\[{u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\]Shuning uchun tenglamani \(x\) o‘rniga \(u\) ko‘rinishida quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[{x^4} - 7{x^2} + 12 = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{u^2} - 7u + 12 = 0\]Yangi tenglama (\(u\) bilan tenglama) kvadratik tenglama va biz buni hal qila olamiz. Aslida, bu tenglama faktorli, shuning uchun yechim:
\[{u^2} - 7u + 12 = \left( {u - 4} \right)\left( {u - 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}u = 3,\,\,u = 4\]Shunday qilib, biz yuqorida ko'rsatilgan ikkita echimni olamiz. Bular biz izlayotgan yechimlar emas. Biz \(u\) qiymatlarini emas, balki \(x\) qiymatlarini xohlaymiz. Biz aniqlaganimizni eslasak, bu aslida muammo emas
\[u = {x^2}\]Yechim uchun \(x\) qiymatlarini olish uchun biz faqat \(u\) ni ushbu tenglamaga ulab, \(x\) uchun hal qilishimiz kerak. Keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}u = 3 : & \hspace{0.25in}3 = {x^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt 3 \\ u = 4 : & \hspace{0.25in}4 = {x^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt 4 = \pm 2\end{align*}\]Shunday qilib, bizda asl tenglamaning to'rtta yechimi bor, \(x = \pm 2\) va \(x = \pm \sqrt 3 \).
Shunday qilib, asosiy jarayon bu tenglamaning kvadratik shaklga tushirilishini tekshirish va keyin uni kvadrat tenglamaga aylantirish uchun tez almashtirishni amalga oshirishdir. Biz \(u\) uchun yangi tenglamani, almashtirishdan o'zgaruvchini yechamiz, so'ngra o'zimiz xohlagan tenglamaning yechimlarini olish uchun ushbu echimlar va almashtirish ta'rifidan foydalanamiz.
Aksariyat hollarda uning kvadratik shaklga tushirilishini tekshirish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu ko'rsatkichlardan biri ikkinchisining ikki barobarini tekshirishdir. Buning bitta istisnosi borki, biz misollar to'plamiga kirganimizdan keyin ko'ramiz.
Bundan tashqari, siz bularni "yaxshi" olsangiz, ko'pincha almashtirishni ham amalga oshirishingiz shart emas. Ishning aniq bo'lishiga ishonch hosil qilish uchun ularni qilamiz. Biroq, bu muammolarni ko'p hollarda almashtirishsiz amalga oshirish mumkin.
- \({x^{\frac{2}{3}}} - 2{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0\)
- \({y^{ - 6}} - 9{y^{ - 3}} + 8 = 0\)
- \(z - 9\sqrt z + 14 = 0\)
- \({t^4} - 4 = 0\)
a \({x^{\frac{2}{3}}} - 2{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0\) Yechim
OK, bu holatda biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{2}{3} = 2\left( {\frac{1}{3}} \right)\]va shuning uchun ko'rsatkichlardan biri ikkinchisidan ikki baravar ko'pdir, shuning uchun bizda kvadratik shaklga keltiriladigan tenglama borga o'xshaydi. Shunda almashtirish quyidagicha bo'ladi:
\[u = {x^{\frac{1}{3}}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}{u^2} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} = {x^{\frac{2}{3}}}\]Buni tenglamaga almashtirsak,
\[\begin{align*}{u^2} - 2u - 15 & = 0\\ \left( {u - 5} \right)\left( {u + 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}u = - 3,\,\,\,u = 5\end{align*}\]Endi biz \(u\) uchun echimlarni oldik, biz \(x\) qiymatlarini topishimiz mumkin.
\[\begin{align*}u = - 3: & \hspace{0.25in}{x^{\frac{1}{3}}} = - 3\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = {\left( { - 3} \right)^3} = - 27\\ u = 5: & \hspace{0.25in}{x^{\frac{1}{3}}} = 5\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = {\left( 5 \right)^3} = 125\end{align*}\]Shunday qilib, bizda \(x = - 27\) va \(x = 125\) ikkita echim bor.
b \({y^{ - 6}} - 9{y^{ - 3}} + 8 = 0\) Yechim
Ushbu qism uchun e'tibor bering,
\[ - 6 = 2\left( { - 3} \right)\]va shuning uchun biz kvadrat shaklga keltiriladigan tenglamaga egamiz. O'zgartirish - bu,
\[u = {y^{ - 3}}\hspace{0.25in}{u^2} = {\left( {{y^{ - 3}}} \right)^2} = {y^{ - 6}}\]Tenglama bo'ladi,
\[\begin{align*}{u^2} - 9u + 8 & = 0\\ \left( {u - 8} \right)\left( {u - 1} \right) & = 0\hspace{0.5in}u = 1,\,\,u = 8\end{align*}\]Endi \(y\)-ga qaytish bu erda biroz ko'proq ish talab qiladi, lekin juda yomon bo'lmasligi kerak.
\[\begin{align*}u = 1\ : & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y^{ - 3}} = \frac{1}{{{y^3}}} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y^3} = \frac{1}{1} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} y = {\left( 1 \right)^{\frac{1}{3}}} = 1\\ u = 8 : & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y^{ - 3}} = \frac{1}{{{y^3}}} = 8\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} {y^3} = \frac{1}{8}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} y = {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\end{align*}\]Bu tenglamaning ikkita yechimi \(y = 1\) va \(y = \frac{1}{2}\).
c \(z - 9\sqrt z + 14 = 0\) Yechim
Bu kvadrat shaklda ekanligini ko'rish biroz qiyinroq, ammo shunday. Kvadrat ildizdagi ko'rsatkich bir yarimga teng ekanligini eslash uchun birinchi hadda ko'rsatkich ikkinchi haddagi ko'rsatkichdan ikki baravar ko'p ekanligini ko'rishimiz mumkin. Demak, bu tenglama aslida kvadratik shaklga keltiriladi.
Mana almashtirish.
\[u = \sqrt z \hspace{0.5in}{u^2} = {\left( {\sqrt z } \right)^2} = z\]Keyin tenglama shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}{u^2} - 9u + 14 & = 0\\ \left( {u - 7} \right)\left( {u - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in}u = 2,\,\,u = 7\end{align*}\]Now go back to \(z\)’s.
\[\begin{align*}u = 2: & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\sqrt z = 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = {\left( 2 \right)^2} = 4\\ u = 7: & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\sqrt z = 7\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = {\left( 7 \right)^2} = 49\end{align*}\]Bu tenglamaning ikkita yechimi \(z = 4\) va \(z = 49\)
d \({t^4} - 4 = 0\) Yechim
Endi bu qism kvadratik shaklga tushiriladigan tenglamalarni aniqlash uchun biz ishlatgan qoidadan istisno. Unda \(t\) bilan faqat bitta atama mavjud. Biroq, tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkinligiga e'tibor bering:
\[{\left( {{t^2}} \right)^2} - 4 = 0\]So, if we use the substitution,
\[u = {t^2}\hspace{0.25in}{u^2} = {\left( {{t^2}} \right)^2} = {t^4}\]tenglama bo'ladi,
\[{u^2} - 4 = 0\]and so it is reducible to quadratic in form.
Endi biz buni kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanib hal qilishimiz mumkin. Buni qilish,
\[u = \pm \sqrt 4 = \pm 2\]Now, going back to \(t\)’s gives us,
\[\begin{align*}u = 2 : & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{t^2} = 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \pm \sqrt 2 \\ u = - 2 : &\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{t^2} = - 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \pm \sqrt { - 2} = \pm \sqrt 2 \,\,i\end{align*}\]Bu holda biz to'rtta yechimni olamiz va ulardan ikkitasi murakkab echimlardir. Ulardan murakkab echimlarni olish, bu misollar to'plami taklif qiladigan darajada keng tarqalgan. Muammo shundaki, ba'zi murakkab echimlarni olish uchun biz ushbu kursda yoritmagan (va yo'q) bilimlarni talab qiladi. So, they don’t show up all that often.
Bu nuqtaga keltirilgan barcha misollar faktorli bo'lgan kvadrat tenglamalarni berdi yoki oldingi misolning oxirgi qismi kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanishimiz mumkin bo'lgan tenglama bo'lgan taqdirda. That need not always be the case however. Ulardan ba'zilarini bajarish uchun bizga kvadrat formula kerak bo'lishi mumkin. Fikrni anglash uchun biz ulardan birini misol qilib keltirishimiz kerak.
Yechim
Bunday holda biz almashtirishni qo'llash orqali buni kvadratik shaklga qisqartirishimiz mumkin,
\[u = {x^5}\hspace{0.5in}{u^2} = {x^{10}}\]Using this substitution the equation becomes,
\[2{u^2} - u - 4 = 0\]Bu faktor emas va shuning uchun biz kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak. From the quadratic formula the solutions are,
\[u = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{4}\]Endi, \(x\)-ga qaytish uchun bizga o'nlik qiymatlari kerak bo'ladi, shuning uchun,
\[u = \frac{{1 + \sqrt {33} }}{4} = 1.68614\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}u = \frac{{1 - \sqrt {33} }}{4} = - 1.18614\]Endi \(x\)-ga qaytish uchun almashtirishdan foydalanish quyidagilarni beradi:
\[\begin{align*}u = 1.68614 : & \hspace{0.25in}{x^5} = 1.68614\hspace{0.25in}x = {\left( {1.68614} \right)^{\frac{1}{5}}} = 1.11014\\ u = - 1.18614: & \hspace{0.25in}{x^5} = - 1.18614\hspace{0.25in}x = {\left( { - 1.18614} \right)^{\frac{1}{5}}} = - 1.03473\end{align*}\]Bularga yakuniy javob olish uchun kalkulyatordan foydalanishimiz kerak edi. Bu Algebra darsida juda ko'p bajarilishini ko'rmasligingizning sabablaridan biridir. Ish va/yoki javoblar biroz chalkash bo'ladi.