Bu chegara uchun haqiqatan ham ko'p narsa yo'q. Darhaqiqat, bu erda faqat keyingi misoldan farq qilish uchun, buning qanday ishlashidagi farqni ko'rishingiz mumkin. Bunday holda, maxrajda faqat 6 bo'lganligi sababli, biz buni hisobga olamiz va keyin faktdan foydalanamiz.

\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{{6\theta }} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = \frac{1}{6}\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\]

Endi, bu holda, biz sinusdan 6 ni hisobga ololmaymiz, shuning uchun biz u erda qolibmiz va u bilan kurashish yo'lini aniqlashimiz kerak. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz sinusning argumenti maxraj bilan bir xil ekanligini ta'kidlashimiz kerak (i.e. ikkala \(\theta \)). Shunday qilib, biz sinus va maxrajning argumentini bir xil bo'lishini olishimiz kerak. Buni pay va maxrajni 6 ga ko‘paytirish orqali quyidagicha qilishimiz mumkin.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {6x} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6\sin \left( {6x} \right)}}{{6x}} = 6\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {6x} \right)}}{{6x}}\]

E'tibor bering, biz hisoblagichdagi 6 ni chegaradan tashqariga chiqardik. Ayni paytda, u kabi ko'rinmasa-da, chegarani tugatish uchun yuqoridagi faktdan foydalanishimiz mumkin.

Ushbu chegaradagi faktdan foydalanishimiz mumkinligini ko'rish uchun, keling, buni qilaylik o'zgaruvchilarning o'zgarishi. O'zgaruvchilarning o'zgarishi haqiqatan ham muammoning qismlari nomini o'zgartirishdan iborat bo'lib, biror narsani biz qanday hal qilishni bilamiz. Ular har doim ham amalga oshirilmaydi, lekin ba'zida, masalan, bu holatda, ular muammoni soddalashtirishi mumkin. Bu erda o'zgaruvchilarning o'zgarishi \(\theta = 6x\) ga ruxsat berish va keyin \(x \to 0\) sifatida bizda \(\theta \to 6\left( 0 \right) = 0\) mavjudligini ko'rishdir. Limitdagi o'zgaruvchilarni o'zgartirishda biz barcha \(x\)-larni \(\theta \)-ga o'zgartirishimiz kerak va u chegaradagini ham o'z ichiga oladi.

Ushbu chegarada o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshirish,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {6x} \right)}}{x} & = 6\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {6x} \right)}}{{6x}}\hspace{0.5in}{\rm{let }}\theta = 6x\\ & = 6\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \left( \theta \right)}}{\theta }\\ & = 6\left( 1 \right)\\ & = 6\hspace{0.25in}\end{align*}\]

Va biz shu yerdamiz. E'tibor bering, biz bu erda o'zgaruvchilarni o'zgartirishimiz shart emas edi. Biz diqqat qilishimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, sinus argumenti maxraj bilan bir xil bo'ladi va keyin biz faktdan foydalanishimiz mumkin. O'zgaruvchilarni o'zgartirish, bu holda, haqiqatan ham haqiqat ishlayotganini aniq ko'rsatish uchun kerak.

Bunday holda, bizda kichik muammo bordek tuyuladi, chunki biz bu erda cheklovni qabul qilayotgan funktsiya haqiqatdagiga nisbatan teskari. Bu muammo emas, biz buni payqaganimizda paydo bo'ladi,

\[\frac{x}{{\sin \left( {7x} \right)}} = \frac{1}{{\,\,\,\frac{{\sin \left( {7x} \right)}}{x}\,\,\,}}\]

va keyin biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa chegaralarning yaxshi xususiyatini eslash, bu bizga imkon beradi,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin \left( {7x} \right)}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\,\,\,\frac{{\sin \left( {7x} \right)}}{x}\,\,\,}}\\ & = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1}}{{\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {7x} \right)}}{x}\,\,\,}}\\ & = \frac{1}{{\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {7x} \right)}}{x}\,\,\,}}\end{align*}\]

Bir oz qayta yozish bilan biz aslida oldingi qismda qilganimiz kabi chegara qilishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib, keling, bu erda cheklovni bajaraylik va bu safar bizga yordam berish uchun o'zgaruvchini o'zgartirish bilan bezovta qilmaymiz. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - faktdan foydalanish uchun narsalarni sozlash uchun maxrajdagi kasrning soni va maxrajini 7 ga ko'paytirish. Mana bu chegara uchun ish.

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin \left( {7x} \right)}} & = \frac{1}{{\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7\sin \left( {7x} \right)}}{{7x}}\,\,\,}}\\ & = \frac{1}{{\,\,\,7\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {7x} \right)}}{{7x}}\,\,\,}}\\ & = \frac{1}{{\left( 7 \right)\left( 1 \right)}}\\ & = \frac{1}{7}\end{align*}\]

Bu chegara haqiqatda chegaraga o'xshamaydi, biroq uni biroz qayta yozish orqali oldingi ikki qismning kombinatsiyasi deb hisoblash mumkin. Birinchidan, kasrni quyidagicha ajratamiz:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{{\sin \left( {8t} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{1}\frac{1}{{\sin \left( {8t} \right)}}\]

Endi fakt birinchining maxrajida va ikkinchisining suratida \(t\) ni xohlaydi. Agar biz hamma narsani \({\textstyle{t \over t}}\) ga ko'paytirsak (bu faqat bitta va shuning uchun muammoni o'zgartirmaydi) va keyin quyidagi tarzda biroz o'zgartirishni amalga oshirsak, buni qilish juda oson,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{{\sin \left( {8t} \right)}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{1}\frac{1}{{\sin \left( {8t} \right)}}\frac{t}{t}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{t}\frac{t}{{\sin \left( {8t} \right)}}\\ & = \left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{t}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\sin \left( {8t} \right)}}} \right)\end{align*}\]

Shu nuqtada, bu haqiqatan ham biz ilgari ko'rgan ikkita chegara ekanligini ko'rishimiz mumkin. Mana bularning har biri uchun ish va ikkinchi chegarada biz buni avvalgi qismda qilganimizdan biroz boshqacharoq ishlaymiz. Bu safar biz sinusning suratda yoki maxrajda bo'lishining ahamiyati yo'qligini ko'rib chiqamiz, chunki sinusning argumenti hisoblagichdagi chegara hali ham bir xil bo'lsa.

Mana bu chegara uchun ish.

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{{\sin \left( {8t} \right)}} & = \left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{3\sin \left( {3t} \right)}}{{3t}}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{8t}}{{8\sin \left( {8t} \right)}}} \right)\\ & = \left( {3\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \left( {3t} \right)}}{{3t}}} \right)\left( {\frac{1}{8}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{8t}}{{\sin \left( {8t} \right)}}} \right)\\ & = \left( 3 \right)\left( {\frac{1}{8}} \right)\\ & = \frac{3}{8}\end{align*}\]

Bu chegara sinusning argumenti maxrajdagi narsa bilan bir xil bo'lishi ma'nosida deyarli bir xil ko'rinadi. Biroq, e'tibor bering, chegarada \(x\) haqiqat talab qilganidek 0 emas, balki 4 ga boradi. Biroq, o'zgaruvchilarning o'zgarishi bilan biz ushbu chegara haqiqatdan qat'i nazar, yuqoridagi faktdan foydalanish uchun o'rnatilganligini ko'rishimiz mumkin.

Shunday qilib, \(\theta = x - 4\) ga ruxsat bering va keyin \(x \to 4\) sifatida bizda \(\theta \to 0\) borligiga e'tibor bering. Shuning uchun, o'zgaruvchini o'zgartirgandan so'ng, chegara bo'ladi,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sin \left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\]

Ushbu misolning oldingi qismlarida faktning sinus qismi ishlatilgan. Biroq, biz kosinus qismini osongina ishlatishimiz mumkin edi, shuning uchun buni ko'rsatish uchun kosinus qismidan foydalanishning tezkor misoli. Biz bu erda ko'p izoh bermaymiz, chunki bu haqiqatan ham sinus qismi bilan bir xil ishlaydi.

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\cos \left( {2z} \right) - 1}}{z} & = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{2\left( {\cos \left( {2z} \right) - 1} \right)}}{{2z}}\\ & = 2\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\cos \left( {2z} \right) - 1}}{{2z}}\\ & = 2\left( 0 \right)\\ & 0\end{align*}\]

Faktdan foydalanish uchun zarur bo'lgan narsa kosinusning argumenti maxraj bilan bir xil bo'lishidir.

Haqiqatan ham bu muammo uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz har bir atamani yuqoridagi formulalar yordamida farqlaymiz.

\[\begin{align*}g'\left( x \right) & = 3\sec \left( x \right)\tan \left( x \right) - 10\left( { - {{\csc }^2}\left( x \right)} \right)\\ & = 3\sec \left( x \right)\tan \left( x \right) + 10{\csc ^2}\left( x \right)\end{align*}\]

Ushbu qismda mahsulot qoidasini ikkinchi muddatda ishlatishimiz kerak va shuni ta'kidlash kerakki, bu erda mahsulot qoidasi bizga kerak bo'ladi. Mahsulot qoidasini birinchi marta ko'rib chiqqanimizda ko'rganimizdan farqli o'laroq, bu hosilani qilishning boshqa usuli yo'q. Mahsulot qoidasini birinchi marta ko'rib chiqqanimizda, biz qanday farqlashni bilgan yagona funktsiyalar polinomlar edi va bunday hollarda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ularni ko'paytirish edi va hosila qoidasisiz hosila olishimiz mumkin edi. Biz hozir shunday nuqtaga o'tmoqdamizki, biz xohlaymizmi yoki yo'qmi, ba'zida mahsulot qoidasini bajarishga majbur bo'lamiz.

Ikkinchi muddat oldidagi minus belgisiga ham ehtiyot bo'lishimiz va u to'g'ri ishlanishiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Buni hal qilishning ikki yo'li mavjud. Qavslar to'plamini quyidagi tarzda ishlatishingizga ishonch hosil qilishning bir usuli,

\[\begin{align*}h'\left( w \right) & = - 12{w^{ - 5}} - \left( {2w\tan \left( w \right) + {w^2}{{\sec }^2}\left( w \right)} \right)\\ & = - 12{w^{ - 5}} - 2w\tan \left( w \right) - {w^2}{\sec ^2}\left( w \right)\end{align*}\]

Chunki ikkinchi had birinchi haddan ayirilsa, ikkinchi hadning butun hosilasi ham birinchi hadning hosilasidan ayiriladi. Qavslar bu fikrni aniq ifodalaydi.

Buni amalga oshirishning potentsial oson yo'li - minus belgisini mahsulotdagi birinchi funktsiyaning bir qismi deb hisoblashdir. Yoki, boshqacha qilib aytganda, mahsulotdagi ikkita funktsiya, bu fikrdan foydalangan holda, \( - {w^2}\) va \(\tan \left( w \right)\). Buni qilish,

\[h'\left( w \right) = - 12{w^{ - 5}} - 2w\tan \left( w \right) - {w^2}{\sec ^2}\left( w \right)\]

Shunday qilib, bu muammoga qanday yondashishingizdan qat'i nazar, siz bir xil hosila olasiz.

Oldingi qismda bo'lgani kabi, biz birinchi muddatda mahsulot qoidasidan foydalanishimiz kerak. Shuningdek, biz 5 ni mahsulotdagi birinchi funktsiyaning bir qismi sifatida ko'rib chiqamiz va u bilan to'g'ri ishlaganimizga ishonch hosil qilamiz. Shu bilan bir qatorda, siz 5 ta to'g'ri ishlanishiga ishonch hosil qilish uchun qavslar to'plamidan foydalanishingiz mumkin. Ikkala yo'l ham ishlaydi, lekin biz mahsulotdagi birinchi atamaning bir qismi sifatida 5 ni o'ylaymiz. Mana bu funktsiyaning hosilasi.

\[\begin{align*}y' &= 5\cos \left( x \right)\cos \left( x \right) + 5\sin \left( x \right)\left( { - \sin \left( x \right)} \right) - 4\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)\\ & = 5{\cos ^2}\left( x \right) - 5{\sin ^2}\left( x \right) - 4\csc \left( x \right)\cot \left( x \right)\end{align*}\]

Ushbu qismda hosilani olish uchun ko'rsatkich qoidasidan foydalanishimiz kerak.

\[\begin{align*}P'\left( t \right) & = \frac{{\cos \left( t \right)\left( {3 - 2\cos \left( t \right)} \right) - \sin \left( t \right)\left( {2\sin \left( t \right)} \right)}}{{{{\left( {3 - 2\cos \left( t \right)} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{3\cos \left( t \right) - 2{{\cos }^2}\left( t \right) - 2{{\sin }^2}\left( t \right)}}{{{{\left( {3 - 2\cos \left( t \right)} \right)}^2}}}\end{align*}\]

Maxrajni farqlashda belgilar bilan ehtiyot bo'ling. Kosinusni farqlash natijasida olingan salbiy belgi allaqachon mavjud bo'lgan salbiy belgini bekor qiladi.

Bu amalga oshirilganga o'xshaydi, lekin aslida hali amalga oshirilishi mumkin bo'lgan juda ko'p soddalashtirish mavjud. Buni amalga oshirish uchun hisoblagichdagi oxirgi ikki shartdan “-2”ni ajratib olishimiz va \({\cos ^2}\left( \theta \right) + {\sin ^2}\left( \theta \right) = 1\) faktidan foydalanishimiz kerak.

\[\begin{align*}P'\left( t \right) & = \frac{{3\cos \left( t \right) - 2\left( {{{\cos }^2}\left( t \right) + {{\sin }^2}\left( t \right)} \right)}}{{{{\left( {3 - 2\cos \left( t \right)} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{3\cos \left( t \right) - 2}}{{{{\left( {3 - 2\cos \left( t \right)} \right)}^2}}}\end{align*}\]

Pul miqdori qachon ortib borayotganini aniqlash uchun o'zgarish tezligi qachon ijobiy ekanligini aniqlashimiz kerak. Biz bilamizki, o'zgarish tezligi hosila tomonidan beriladi, bu biz topishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa.

\[P'\left( t \right) = - 100\sin \left( t \right) - 150\cos \left( t \right)\]

Endi biz birinchi 10 yil ichida bu ijobiy bo'lishini aniqlashimiz kerak. Bu \(\left[ {0,10} \right]\) oralig'ida lotin musbat qayerda ekanligini so'rashga teng. Eslatib o'tamiz, sinus ham, kosinus ham uzluksiz funktsiyalardir va shuning uchun hosila ham uzluksiz funktsiyadir. The Oraliq qiymat teoremasi keyin hosila avval noldan o'tsagina belgini o'zgartirishi mumkinligini aytadi.

Shunday qilib, biz quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.

\[\begin{align*} - 100\sin \left( t \right) - 150\cos \left( t \right) & = 0\\ 100\sin \left( t \right) & = - 150\cos \left( t \right)\\ \frac{{\sin \left( t \right)}}{{\cos \left( t \right)}} & = - 1.5\\ \tan \left( t \right) & = - 1.5\end{align*}\]

Bu tenglamaning yechimi,

\[\begin{array}{ll}t = 2.1588 + 2\pi n,&\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ t = 5.3004 + 2\pi n, & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{array}\]

Agar trig tenglamalarni qanday yechish kerakligini eslamasangiz, orqaga qayting va bo'limlarni ko'rib chiqing trig tenglamalarni yechish Ko'rib chiqish bobida.

Bizni faqat \(\left[ {0,10} \right]\) diapazoniga kiruvchi yechimlar qiziqtiradi. Yuqoridagi echimlarga \(n\) qiymatlarini kiritsak, biz kerakli qiymatlarni ko'ramiz,

\[\begin{align*} & t = 2.1588\hspace{0.5in}t = 2.1588 + 2\pi = 8.4420\\ & t = 5.3004\end{align*}\]

Shunday qilib, polinom tengsizliklarini yechish kabi, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - raqamlar chizig'ida eskiz chizish va bu nuqtalarni qo'shish. Bu nuqtalar raqam chizig'ini hosila har doim bir xil belgi bo'lishi kerak bo'lgan mintaqalarga ajratadi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu mintaqadagi lotin belgisini aniqlash uchun har bir mintaqadan sinov nuqtasini tanlashdir.

Mana, undagi barcha ma'lumotlar bilan raqam chizig'i.

Shunday qilib, bank hisobidagi pul miqdori keyingi vaqt oralig'ida ortib borayotganga o'xshaydi.

\[2.1588 < t < 5.3004\hspace{0.5in}8.4420 < t \leq 10\]

E'tibor bering, biz \(t = 10\) dan keyin nima sodir bo'layotgani haqida hech narsa deya olmaymiz, chunki biz bu nuqtadan keyin \(t\) uchun hech qanday ish qilmaganmiz.