Differensial tenglamalar
Mana, men Lamar universitetida o'qitadigan differensial tenglamalar kursim uchun eslatmalar. Bu mening "sinf eslatmalarim" bo'lishiga qaramay, ular differentsial tenglamalarni qanday echishni o'rganishni xohlaydigan yoki differentsial tenglamalar bo'yicha yangilanishga muhtoj bo'lganlar uchun ochiq bo'lishi kerak.Men ushbu eslatmalarni iloji boricha mustaqil qilishga harakat qildim, shuning uchun ularni o'qish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlar Kalkulyator yoki Algebra darsidan yoki eslatmalarning boshqa bo'limlarida mavjud.
Siz o'tkazib yuborgan kuningizda sodir bo'lgan voqealarning nusxasini olish uchun bu yerda bo'lishi mumkin bo'lgan talabalarimga bir nechta ogohlantirishlar.
- Men buni differensial tenglamalarni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun to'liq eslatmalar to'plamiga aylantirmoqchi bo'lganim uchun, odatda sinfda o'tishga vaqtim bo'lmagan ba'zi materiallarni o'z ichiga olgan va bu semestrdan semestrga o'zgarib turadi, chunki bu erda qayd etilmagan. Ushbu eslatmalarda sinfda yoritilmagan biror narsa bor yoki yo'qligini bilish uchun sinfdoshlaringizdan birini topishingiz kerak bo'ladi.
- Umuman olganda, men darsda eslatmalarimdan farq qiladigan masalalarni ishlashga harakat qilaman. Biroq, differensial tenglama bilan ko'pgina muammolarni bir vaqtning o'zida to'ldirish qiyin va shuning uchun bu sinfda mening sinf ishim ushbu eslatmalarni ishlangan masalalar bo'yicha juda yaqin davom ettiradi. Shu bilan birga, ba'zida men o'zimning eslatmalarimdan ko'ra ko'proq misollar keltira olsam, boshimdagi muammolarni hal qilaman. Bundan tashqari, ko'pincha darsda eslatmalardagi barcha muammolarni hal qilish uchun vaqtim yo'q, shuning uchun siz ba'zi bo'limlarda vaqt cheklovlari tufayli sinfda ishlanmagan muammolar mavjudligini bilib olasiz.
- Ba'zida sinfdagi savollar bu erda ko'rsatilmagan yo'llarga olib keladi. Men bularni yozayotganda iloji boricha ko'proq savollarni oldindan bilishga harakat qilaman, lekin haqiqat shundaki, men barcha savollarni oldindan ko'ra olmayman. Ba'zan sinfda juda yaxshi savol beriladi, bu men bu yerga kiritmagan tushunchalarga olib keladi. Siz har doim o'tkazib yuborgan kuni sinfda bo'lgan odam bilan gaplashishingiz va bu eslatmalarni ularning eslatmalari bilan solishtirishingiz va qanday farqlar borligini ko'rishingiz kerak.
- Bu avvalgi uchta element bilan bir oz bog'liq, lekin o'z elementiga munosib bo'lish uchun etarlicha muhim. USHBU ISHLAB CHIQARISH DARS ISHLATISH O'RNINI O'RNISH EMAS!! Ushbu eslatmalarni sinf o'rniga ishlatish sizni muammoga duchor qilishi mumkin. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu eslatmalarda hamma narsa sinfda yoritilmaydi va ko'pincha bu eslatmalarda bo'lmagan materiallar yoki tushunchalar sinfda yoritiladi.
Quyida ushbu eslatmalar to'plamidagi materiallarning ro'yxati (va qisqacha tavsifi) keltirilgan.
Asosiy tushunchalar - Ushbu bobda biz tipik differensial tenglamalar kursida uchraydigan ko'plab asosiy tushunchalar va ta'riflar bilan tanishamiz. Shuningdek, biz yo'nalish maydonlarini va ulardan differentsial tenglamalar yechimlarining ba'zi xatti-harakatlarini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz.Ta'riflar – Ushbu bo'limda differensial tenglamalar kursidagi ba'zi umumiy ta'riflar va tushunchalar bilan tanishtiriladi, jumladan tartib, chiziqli va chiziqli bo'lmagan, boshlang'ich shartlar, boshlang'ich qiymat muammosi va amal qilish oralig'i.
Yo'nalish maydonlari - Ushbu bo'limda biz yo'nalish maydonlarini va ularni qanday chizishni muhokama qilamiz. Shuningdek, biz differensial tenglamaning yechimiga oid ba'zi ma'lumotlarni aniqlash uchun yo'nalish maydonlaridan qanday foydalanish mumkinligini tekshiramiz.
Yakuniy fikrlar - Ushbu bo'limda biz ushbu kurs davomida nimani ko'rib chiqishimiz haqida bir nechta yakuniy fikrlarni beramiz.
Yo'nalish maydonlari - Ushbu bo'limda biz yo'nalish maydonlarini va ularni qanday chizishni muhokama qilamiz. Shuningdek, biz differensial tenglamaning yechimiga oid ba'zi ma'lumotlarni aniqlash uchun yo'nalish maydonlaridan qanday foydalanish mumkinligini tekshiramiz.
Yakuniy fikrlar - Ushbu bo'limda biz ushbu kurs davomida nimani ko'rib chiqishimiz haqida bir nechta yakuniy fikrlarni beramiz.
Birinchi tartibli DE - Ushbu bobda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun bir nechta standart yechim usullarini ko'rib chiqamiz, shu jumladan chiziqli, ajratiladigan, aniq va Bernulli differentsial tenglamalari. Shuningdek, biz haqiqiylik intervallarini, muvozanat yechimlarini va Eyler usulini ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, biz birinchi tartibli differentsial tenglamalar bilan ba'zi jismoniy vaziyatlarni modellashtiramiz.
Chiziqli tenglamalar – Ushbu bo'limda chiziqli birinchi tartibli differensial tenglamalarni, ya'ni \(y' + p(t) y = g(t)\) ko'rinishdagi differensial tenglamalarni yechamiz. Biz ushbu turdagi differensial tenglamani echishda qo'llaniladigan jarayonni chuqur ko'rib chiqamiz, shuningdek, yechim jarayonida qo'llaniladigan integrallashtiruvchi omil uchun zarur bo'lgan formulaning hosilasini beramiz.
Ajraladigan tenglamalar – Ushbu bo'limda biz ajratiladigan birinchi tartibli differensial tenglamalarni, ya'ni \(N(y) y' = M(x)\) ko'rinishidagi differentsial tenglamalarni yechamiz. Ushbu turdagi differensial tenglamani yechish jarayonining hosilasini beramiz. Differensial tenglama yechimining amal qilish oralig'ini topishni ham boshlaymiz.
Aniq tenglamalar – Ushbu bo'limda biz aniq differensial tenglamalarni aniqlash va yechish masalalarini muhokama qilamiz. Biz aniq differensial tenglamalarni aniqlash va hal qilish jarayonini batafsil tushuntirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan testni ishlab chiqamiz. Shuningdek, biz bu erda yana bir qancha vaqt oralig'i bilan bog'liq muammolarni hal qilamiz.
Bernulli differensial tenglamalari – Bu bo‘limda Bernulli differensial tenglamalarini, ya’ni \(y' + p(t) y = y^{n}\) ko‘rinishdagi differentsial tenglamalarni yechamiz. Ushbu bo'lim, shuningdek, differentsial tenglamalarni echishda yordam berish uchun almashtirishdan foydalanish g'oyasini taqdim etadi.
O'zgartirishlar - Ushbu bo'limda biz oxirgi bo'lim tugagan joyni davom ettiramiz va ba'zi bir differentsial tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta almashtirishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, \(y' = F(\frac{y}{x})\) va \(y' = G(ax + by)\) ko'rinishdagi differensial tenglamalarni yechish uchun yechimlardan foydalanishni muhokama qilamiz.
Yaroqlilik intervallari - Ushbu bo'limda biz amal qilish oraliqlarini chuqur ko'rib chiqamiz, shuningdek, birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun mavjudligi va yagonaligi haqidagi savolga javob beramiz.
Birinchi tartibli DE bilan modellashtirish - Ushbu bo'limda biz jismoniy vaziyatlarni modellashtirish uchun birinchi tartibli differentsial tenglamalardan foydalanamiz. Xususan, biz aralashtirish masalalarini (suyuqlikda erigan va suyuqlikda erigan moddalar miqdorini modellashtirish), populyatsiya muammolarini (populyatsiyaning kirishi yoki chiqishi mumkin bo'lgan turli vaziyatlarda populyatsiyani modellashtirish) va qulab tushadigan ob'ektlarni (ham tortishish kuchi, ham havo qarshiligi ta'sirida tushgan jismning tezligini modellashtirish) ko'rib chiqamiz.
Muvozanat yechimlari – Ushbu bo'limda avtonom differensial tenglamalar uchun muvozanat yechimlarini (yoki muvozanat nuqtalarini) aniqlaymiz, \(y' = f(y)\). Biz muvozanatli yechimlarni asimptotik barqaror, beqaror yoki yarim barqaror muvozanat yechimlari deb tasniflashni muhokama qilamiz.
Eyler usuli - Ushbu bo'limda biz differensial tenglamalarning yechimlarini taxmin qilishning juda oddiy usulini qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz Eyler usulida qo'llaniladigan formulalarni chiqaramiz va yechimlarning yaqinlashuvidagi xatolar haqida qisqacha ma'lumot beramiz.
Ajraladigan tenglamalar – Ushbu bo'limda biz ajratiladigan birinchi tartibli differensial tenglamalarni, ya'ni \(N(y) y' = M(x)\) ko'rinishidagi differentsial tenglamalarni yechamiz. Ushbu turdagi differensial tenglamani yechish jarayonining hosilasini beramiz. Differensial tenglama yechimining amal qilish oralig'ini topishni ham boshlaymiz.
Aniq tenglamalar – Ushbu bo'limda biz aniq differensial tenglamalarni aniqlash va yechish masalalarini muhokama qilamiz. Biz aniq differensial tenglamalarni aniqlash va hal qilish jarayonini batafsil tushuntirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan testni ishlab chiqamiz. Shuningdek, biz bu erda yana bir qancha vaqt oralig'i bilan bog'liq muammolarni hal qilamiz.
Bernulli differensial tenglamalari – Bu bo‘limda Bernulli differensial tenglamalarini, ya’ni \(y' + p(t) y = y^{n}\) ko‘rinishdagi differentsial tenglamalarni yechamiz. Ushbu bo'lim, shuningdek, differentsial tenglamalarni echishda yordam berish uchun almashtirishdan foydalanish g'oyasini taqdim etadi.
O'zgartirishlar - Ushbu bo'limda biz oxirgi bo'lim tugagan joyni davom ettiramiz va ba'zi bir differentsial tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta almashtirishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, \(y' = F(\frac{y}{x})\) va \(y' = G(ax + by)\) ko'rinishdagi differensial tenglamalarni yechish uchun yechimlardan foydalanishni muhokama qilamiz.
Yaroqlilik intervallari - Ushbu bo'limda biz amal qilish oraliqlarini chuqur ko'rib chiqamiz, shuningdek, birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun mavjudligi va yagonaligi haqidagi savolga javob beramiz.
Birinchi tartibli DE bilan modellashtirish - Ushbu bo'limda biz jismoniy vaziyatlarni modellashtirish uchun birinchi tartibli differentsial tenglamalardan foydalanamiz. Xususan, biz aralashtirish masalalarini (suyuqlikda erigan va suyuqlikda erigan moddalar miqdorini modellashtirish), populyatsiya muammolarini (populyatsiyaning kirishi yoki chiqishi mumkin bo'lgan turli vaziyatlarda populyatsiyani modellashtirish) va qulab tushadigan ob'ektlarni (ham tortishish kuchi, ham havo qarshiligi ta'sirida tushgan jismning tezligini modellashtirish) ko'rib chiqamiz.
Muvozanat yechimlari – Ushbu bo'limda avtonom differensial tenglamalar uchun muvozanat yechimlarini (yoki muvozanat nuqtalarini) aniqlaymiz, \(y' = f(y)\). Biz muvozanatli yechimlarni asimptotik barqaror, beqaror yoki yarim barqaror muvozanat yechimlari deb tasniflashni muhokama qilamiz.
Eyler usuli - Ushbu bo'limda biz differensial tenglamalarning yechimlarini taxmin qilishning juda oddiy usulini qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz Eyler usulida qo'llaniladigan formulalarni chiqaramiz va yechimlarning yaqinlashuvidagi xatolar haqida qisqacha ma'lumot beramiz.
Ikkinchi darajali DE - Ushbu bobda biz ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni ko'rib chiqishni boshlaymiz. Biz asosan doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarga e'tibor qaratamiz. Biz bir jinsli differensial tenglamalar yechimlarini topamiz va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni echishda aniqlanmagan koeffitsientlar va parametrlarni o'zgartirish usullaridan foydalanamiz. Bundan tashqari, biz tartibni qisqartirishni, echimlar to'plamining asoslarini, Wronskian va mexanik tebranishlarni muhokama qilamiz.
Asosiy tushunchalar – Ushbu bo'limda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan jarayonni chuqur muhokama qiling, \(ay'' + by' + cy = 0\). Biz xarakterli polinomni olamiz va umumiy yechimni olish uchun Superpozitsiya printsipidan qanday foydalanishni muhokama qilamiz.
Haqiqiy va aniq ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir.
Murakkab ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir. Shuningdek, biz murakkab ildizlardan bu holda odatda qo'llaniladigan, murakkab sonlarni o'z ichiga olmaydigan standart yechimni olamiz.
Takroriy ildizlar – Bu boʻlimda bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli ko'phadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) takrorlanadi, ya'ni qo'sh, ildizlar. Bu holda umumiy yechimni olish uchun zarur bo'lgan ikkinchi yechimni olish uchun tartibni qisqartirishdan foydalanamiz.
Buyurtmani qisqartirish - Ushbu bo'limda biz tartibni qisqartirish, bir hil chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun takroriy ildiz holatlarining yechimini olish uchun ishlatiladigan jarayonni batafsilroq muhokama qilamiz. Ushbu bobda doimiy bo'lmagan koeffitsientli differentsial tenglama ko'rib chiqiladigan bir necha martadan biri bo'ladi.
Yechimlarning asosiy to'plami - Ushbu bo'limda biz ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni hal qilishning ba'zi nazariyalarini ko'rib chiqamiz. Biz asosiy yechimlar to'plamini aniqlaymiz va ulardan bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimini olish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz Wronskianni aniqlaymiz va uning yordamida bir juft yechim asosiy yechimlar to'plami ekanligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Wronskian haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limda kiritilgan Wronskian ikki funktsiyaning chiziqli mustaqil yoki chiziqli bog'liqligini aniqlash uchun qanday ishlatilishini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz Wronskianni topishning muqobil usulini beramiz.
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni yechish asoslarini muhokama qilamiz. Biz qo'shimcha va xususiy yechimni aniqlaymiz va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechim shaklini beramiz.
Aniqlanmagan koeffitsientlar – Ushbu bo'limda bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan tanishamiz. Biz usul uchun zarur bo'lgan muayyan yechim shaklini dastlabki taxmin qilish uchun ko'plab ko'rsatmalarni ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz.
Parametrlarning o'zgarishi – Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun parametrlarni o'zgartirish usuli bilan tanishamiz. Biz usulni batafsil ko'rib chiqamiz, shuningdek, muayyan echimlarni topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani olamiz.
Mexanik tebranishlar – Ushbu bo'limda biz mexanik tebranishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bahorga ulangan va yuqoriga va pastga harakatlanadigan ob'ektni modellashtiramiz. Shuningdek, biz tizimga damperni kiritish va ob'ektga umumiy tashqi kuchlar ta'sir qilishiga ruxsat beramiz. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu bo'limda mexanik tebranishlarni misol qilib olsak, oddiy belgilarni o'zgartirish (va miqdorlar nimani anglatishini o'zgartirish) buni deyarli har qanday muhandislik sohasiga o'tkazishi mumkin.
Haqiqiy va aniq ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir.
Murakkab ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir. Shuningdek, biz murakkab ildizlardan bu holda odatda qo'llaniladigan, murakkab sonlarni o'z ichiga olmaydigan standart yechimni olamiz.
Takroriy ildizlar – Bu boʻlimda bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli ko'phadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) takrorlanadi, ya'ni qo'sh, ildizlar. Bu holda umumiy yechimni olish uchun zarur bo'lgan ikkinchi yechimni olish uchun tartibni qisqartirishdan foydalanamiz.
Buyurtmani qisqartirish - Ushbu bo'limda biz tartibni qisqartirish, bir hil chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun takroriy ildiz holatlarining yechimini olish uchun ishlatiladigan jarayonni batafsilroq muhokama qilamiz. Ushbu bobda doimiy bo'lmagan koeffitsientli differentsial tenglama ko'rib chiqiladigan bir necha martadan biri bo'ladi.
Yechimlarning asosiy to'plami - Ushbu bo'limda biz ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni hal qilishning ba'zi nazariyalarini ko'rib chiqamiz. Biz asosiy yechimlar to'plamini aniqlaymiz va ulardan bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimini olish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz Wronskianni aniqlaymiz va uning yordamida bir juft yechim asosiy yechimlar to'plami ekanligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Wronskian haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limda kiritilgan Wronskian ikki funktsiyaning chiziqli mustaqil yoki chiziqli bog'liqligini aniqlash uchun qanday ishlatilishini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz Wronskianni topishning muqobil usulini beramiz.
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni yechish asoslarini muhokama qilamiz. Biz qo'shimcha va xususiy yechimni aniqlaymiz va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechim shaklini beramiz.
Aniqlanmagan koeffitsientlar – Ushbu bo'limda bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan tanishamiz. Biz usul uchun zarur bo'lgan muayyan yechim shaklini dastlabki taxmin qilish uchun ko'plab ko'rsatmalarni ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz.
Parametrlarning o'zgarishi – Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun parametrlarni o'zgartirish usuli bilan tanishamiz. Biz usulni batafsil ko'rib chiqamiz, shuningdek, muayyan echimlarni topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani olamiz.
Mexanik tebranishlar – Ushbu bo'limda biz mexanik tebranishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bahorga ulangan va yuqoriga va pastga harakatlanadigan ob'ektni modellashtiramiz. Shuningdek, biz tizimga damperni kiritish va ob'ektga umumiy tashqi kuchlar ta'sir qilishiga ruxsat beramiz. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu bo'limda mexanik tebranishlarni misol qilib olsak, oddiy belgilarni o'zgartirish (va miqdorlar nimani anglatishini o'zgartirish) buni deyarli har qanday muhandislik sohasiga o'tkazishi mumkin.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bobda biz Laplas o'zgartirishlari va ular boshlang'ich qiymat masalalarini hal qilishda qanday qo'llanilishi bilan tanishamiz. Laplace Transforms-ni joriy qilish bilan biz endi boshqa yo'l bilan hal qila olmaydigan ba'zi bir boshlang'ich qiymat muammolarini hal qila olamiz. Biz Heaviside va Dirac Delta funktsiyalarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni yechamiz. Doimiy bo'lmagan koeffitsientli differensial tenglamalarni echishda Laplas o'zgartirishlaridan foydalanish haqida ham qisqacha ma'lumot beramiz. Bundan tashqari, biz konvolyutsiya integralini aniqlaymiz va undan teskari o'zgarishlarni olish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Ta'rif – Ushbu bo'limda biz Laplas konvertatsiyasining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz ta'rifdan foydalanib, bir nechta Laplas o'zgarishlarini hisoblaymiz.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz odatda Laplas o'zgarishlarini hisoblash usulini tanishtiramiz, bu ta'rifdan foydalanishni talab qilmaydi. Biz ushbu materialda foydalanilgan Laplas o'zgarishlar jadvalini muhokama qilamiz va Laplas o'zgartirishlar jadvalidan foydalanishni ko'rsatadigan turli misollar bilan ishlaymiz.
Teskari Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limga qarama-qarshi savol beramiz. Boshqacha qilib aytganda, Laplas konvertatsiyasini hisobga olgan holda, biz dastlab qanday funktsiyaga ega edik? Buni amalga oshirish uchun Laplas o'zgartirishlar jadvalidan qanday foydalanishni, shuningdek, jadvaldan foydalanish uchun zarur bo'lgan ushbu Laplas konvertatsiyasining ba'zi bir manipulyatsiyasini ko'rsatadigan turli xil misollarni yana bir bor ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalar – Ushbu bo'limda biz qadam yoki Heaviside funktsiyasi bilan tanishamiz. Biz Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan bo'laklarga bo'lingan funktsiyani qanday yozishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan Laplas va teskari Laplas konvertatsiyalarini qanday olish kerakligini ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan funktsiyalarning Laplas konvertatsiyasini olish uchun formulalarni olamiz.
IVP ni Laplace Transforms bilan hal qilish - Ushbu bo'limda biz IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limdagi misollar Laplas konvertatsiyasidan foydalanmasdan yechish mumkin bo'lgan differentsial tenglamalar bilan cheklangan. Ushbu turdagi differensial tenglamadan boshlashning afzalligi shundaki, ish unchalik aralashmaydi va agar xohlasak, biz har doim javoblarimizni tekshirishimiz mumkin.
Doimiy bo'lmagan IVP koeffitsienti - Ushbu bo'limda biz ba'zi doimiy bo'lmagan IVP koeffitsientlarini echish uchun Laplas konvertatsiyasidan foydalanish haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Biz bu bo'limda juda ko'p misollar ishlamaymiz. Laplas o'zgarishlari bilan jarayon qanday ishlashini ko'rsatish uchun biz faqat ikkita ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalarga ega IVP - Bu Laplas transformatsiyasidan foydalanish sababi haqiqatan ham aniq bo'ladigan bo'lim. Biz Heaviside (yoki qadam) funktsiyalarini o'z ichiga olgan IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan foydalanamiz. Laplas transformatsiyasisiz ularni hal qilish juda ko'p ishlarni talab qiladi. Biz ushbu misollardan birini Laplas konvertatsiyasisiz ishlayotgan bo'lsak-da, biz buni faqat misollardan birini Laplas transformatsiyasidan foydalanmasdan echishga harakat qilsak, nima bo'lishini ko'rsatish uchun qilamiz.
Dirac Delta funktsiyasi – Ushbu bo'limda biz Dirac Delta funktsiyasi bilan tanishamiz va Dirac Delta funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini olamiz. Biz Dirac Delta funksiyalarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni yechishning bir nechta misollarini ishlab chiqamiz va Heaviside funktsiyalari bilan bog'liq muammolardan farqli o'laroq, bu turdagi differensial tenglama uchun yagona haqiqiy variantimiz Laplas transformatsiyasidan foydalanishdir. Shuningdek, biz Heaviside va Dirac Delta funktsiyalari o'rtasida yaxshi munosabatni beramiz.
Konvolyutsiya integrallari – Ushbu bo'limda biz konvolyutsiya integrali va undan teskari Laplas o'zgarishlarini olish uchun qanday foydalanish mumkinligi haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Majburlash funksiyasi (ya'ni y harfi bo'lmagan atama) noma'lum bo'lgan differentsial tenglamani yechishda foydalanishni ham ko'rsatamiz.
Laplas o'zgarishlari jadvali - Ushbu bo'lim biz materialda foydalanadigan Laplace Transforms jadvalidir. Biz imkon qadar turli xil Laplas o'zgarishlarini beramiz, shu jumladan Laplas o'zgarishlari jadvallarida tez-tez berilmaydigan ba'zilari.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz odatda Laplas o'zgarishlarini hisoblash usulini tanishtiramiz, bu ta'rifdan foydalanishni talab qilmaydi. Biz ushbu materialda foydalanilgan Laplas o'zgarishlar jadvalini muhokama qilamiz va Laplas o'zgartirishlar jadvalidan foydalanishni ko'rsatadigan turli misollar bilan ishlaymiz.
Teskari Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limga qarama-qarshi savol beramiz. Boshqacha qilib aytganda, Laplas konvertatsiyasini hisobga olgan holda, biz dastlab qanday funktsiyaga ega edik? Buni amalga oshirish uchun Laplas o'zgartirishlar jadvalidan qanday foydalanishni, shuningdek, jadvaldan foydalanish uchun zarur bo'lgan ushbu Laplas konvertatsiyasining ba'zi bir manipulyatsiyasini ko'rsatadigan turli xil misollarni yana bir bor ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalar – Ushbu bo'limda biz qadam yoki Heaviside funktsiyasi bilan tanishamiz. Biz Heaviside funktsiyalari nuqtai nazaridan bo'laklarga bo'lingan funktsiyani qanday yozishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan Laplas va teskari Laplas konvertatsiyalarini qanday olish kerakligini ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz. Shuningdek, biz Heaviside funktsiyalarini o'z ichiga olgan funktsiyalarning Laplas konvertatsiyasini olish uchun formulalarni olamiz.
IVP ni Laplace Transforms bilan hal qilish - Ushbu bo'limda biz IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limdagi misollar Laplas konvertatsiyasidan foydalanmasdan yechish mumkin bo'lgan differentsial tenglamalar bilan cheklangan. Ushbu turdagi differensial tenglamadan boshlashning afzalligi shundaki, ish unchalik aralashmaydi va agar xohlasak, biz har doim javoblarimizni tekshirishimiz mumkin.
Doimiy bo'lmagan IVP koeffitsienti - Ushbu bo'limda biz ba'zi doimiy bo'lmagan IVP koeffitsientlarini echish uchun Laplas konvertatsiyasidan foydalanish haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Biz bu bo'limda juda ko'p misollar ishlamaymiz. Laplas o'zgarishlari bilan jarayon qanday ishlashini ko'rsatish uchun biz faqat ikkita ishlaymiz.
Bosqichli funksiyalarga ega IVP - Bu Laplas transformatsiyasidan foydalanish sababi haqiqatan ham aniq bo'ladigan bo'lim. Biz Heaviside (yoki qadam) funktsiyalarini o'z ichiga olgan IVP ni hal qilish uchun Laplas transformlaridan foydalanamiz. Laplas transformatsiyasisiz ularni hal qilish juda ko'p ishlarni talab qiladi. Biz ushbu misollardan birini Laplas konvertatsiyasisiz ishlayotgan bo'lsak-da, biz buni faqat misollardan birini Laplas transformatsiyasidan foydalanmasdan echishga harakat qilsak, nima bo'lishini ko'rsatish uchun qilamiz.
Dirac Delta funktsiyasi – Ushbu bo'limda biz Dirac Delta funktsiyasi bilan tanishamiz va Dirac Delta funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini olamiz. Biz Dirac Delta funksiyalarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni yechishning bir nechta misollarini ishlab chiqamiz va Heaviside funktsiyalari bilan bog'liq muammolardan farqli o'laroq, bu turdagi differensial tenglama uchun yagona haqiqiy variantimiz Laplas transformatsiyasidan foydalanishdir. Shuningdek, biz Heaviside va Dirac Delta funktsiyalari o'rtasida yaxshi munosabatni beramiz.
Konvolyutsiya integrallari – Ushbu bo'limda biz konvolyutsiya integrali va undan teskari Laplas o'zgarishlarini olish uchun qanday foydalanish mumkinligi haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Majburlash funksiyasi (ya'ni y harfi bo'lmagan atama) noma'lum bo'lgan differentsial tenglamani yechishda foydalanishni ham ko'rsatamiz.
Laplas o'zgarishlari jadvali - Ushbu bo'lim biz materialda foydalanadigan Laplace Transforms jadvalidir. Biz imkon qadar turli xil Laplas o'zgarishlarini beramiz, shu jumladan Laplas o'zgarishlari jadvallarida tez-tez berilmaydigan ba'zilari.
Differensial tenglamalar sistemalari - Ushbu bobda biz differensial tenglamalar sistemasini yechishni ko'rib chiqamiz. Muhokama maqsadlari uchun biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan cheklanamiz, ammo ko'plab usullar chiziqli differentsial tenglamalarning kattaroq tizimlariga taalluqlidir. Shuningdek, biz ikkita differentsial tenglamalar sistemasi uchun eskiz fazasi tekisliklarini/portretlarini ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, biz tizimlarni echishda Laplas konvertatsiyasidan foydalanish va differentsial tenglamalar sistemasini keltirib chiqaradigan ba'zi modellashtirish haqida qisqacha muhokama qilamiz.
Ko'rib chiqish: Tenglamalar sistemalari - Ushbu bo'limda biz chiziqli algebra sinfining an'anaviy boshlang'ich nuqtasini ko'rib chiqamiz. Biz tenglamalar sistemasini echish uchun chiziqli algebra usullaridan foydalanamiz, shuningdek, tenglamalar sistemasiga ega bo'lishi mumkin bo'lgan echimlar soni haqida bir nechta foydali faktlarni keltiramiz.
Ko'rib chiqish: Matritsalar va vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsalar va vektorlarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz matritsalar va vektorlarni o'z ichiga olgan arifmetikani, matritsaning teskarisini topishni, matritsaning determinantini hisoblashni, chiziqli bog'liq/mustaqil vektorlarni va tenglamalar sistemasini matritsa shakliga o'tkazishni ko'rib chiqamiz.
Ko'rib chiqish: Xususiy qiymatlar va xos vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlari tushunchasi bilan tanishamiz. Biz xarakterli polinomni aniqlaymiz va undan matritsa uchun xos qiymatlarni topish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Matritsa uchun xos qiymatlarni olgandan so'ng, biz matritsa uchun mos keladigan xos qiymatlarni qanday topishni ham ko'rsatamiz.
Differensial tenglamalar sistemalari - Ushbu bo'limda biz differentsial tenglamalar sistemasining ba'zi asoslarini ko'rib chiqamiz. Differensial tenglamalar sistemasini matritsa shakliga qanday o'tkazishni ko'rsatamiz. Bundan tashqari, biz n-tartibli differensial tenglamani differensial tenglamalar sistemasiga qanday aylantirishni ko'rsatamiz.
Tizimlar uchun yechimlar - Ushbu bo'limda biz matritsa ko'rinishidagi differensial tenglamalar sistemasini qanday echishimiz haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Shuningdek, biz differensial tenglamalar sistemalari uchun Wronskianni aniqlaymiz va differensial tenglamalar sistemasiga umumiy yechim borligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Faza tekisligi – Ushbu bo'limda biz faza tekisligi va fazali portretlar haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Differensial tenglamalarning bir hil sistemasi uchun muvozanat yechimi/nuqtasini va muvozanat yechimining barqarorligini aniqlash uchun fazali portretlardan qanday foydalanish mumkinligini aniqlaymiz. Fazali portretlar qanday tuzilganligining rasmiy usulini ham ko'rsatamiz.
Haqiqiy xususiy qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari aniq haqiqiy sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Shuningdek, biz haqiqiy aniq o'ziga xos qiymatlar (egar nuqtalari va tugunlari) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Murakkab xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari kompleks sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Bu, odatda, biz bunday holatlarda biz kutadigan kompleks sonlarni o'z ichiga olmaydigan yechimni qanday olish mumkinligini ko'rsatishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz murakkab o'ziga xos qiymatlar (markazlar va spirallar) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Takroriy xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechamiz, ularning o'z qiymatlari haqiqiy takrorlangan (bu holda ikki barobar) sonlardir. Bu tizimning umumiy yechimini shakllantirishimiz kerak bo'lgan ikkinchi chiziqli mustaqil yechimni olishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz haqiqiy takroriy o'z qiymatlari (noto'g'ri tugunlar) bilan bog'liq bo'lgan fazali portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Bir jinsli bo'lmagan tizimlar - Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar sistemasini echish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar va parametrlarning o'zgarishini ko'rsatadigan tezkor misollar bilan ishlaymiz. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli n-tartibli differensial tenglamalar uchun bo'lgani kabi ishlaydi, parametrlarning o'zgarishi esa tizimlarda qo'llashimiz mumkin bo'lgan formula/jarayonni olish uchun qo'shimcha hosila olish ishlarini talab qiladi.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini echish uchun Laplas konvertatsiyalaridan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatadigan tezkor misol bilan ishlaymiz.
Modellashtirish - Ushbu bo'limda biz oldingi boblarda qilgan ba'zi modellashtirishning ba'zi kengaytmalarini tez ko'rib chiqamiz, ular differentsial tenglamalar sistemasiga olib keladi. Xususan, biz aralashtirish masalalarini ko'rib chiqamiz, ularda bizda bir-biriga bog'langan ikkita suv idishi, ikkalasining populyatsiyalari hisobga olinadigan yirtqich-o'lja muammosi va buloq bilan bog'langan va har biri devorga buloq bilan bog'langan ikki massali mexanik tebranish muammosi.
Ko'rib chiqish: Matritsalar va vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsalar va vektorlarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz matritsalar va vektorlarni o'z ichiga olgan arifmetikani, matritsaning teskarisini topishni, matritsaning determinantini hisoblashni, chiziqli bog'liq/mustaqil vektorlarni va tenglamalar sistemasini matritsa shakliga o'tkazishni ko'rib chiqamiz.
Ko'rib chiqish: Xususiy qiymatlar va xos vektorlar – Ushbu bo'limda biz matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlari tushunchasi bilan tanishamiz. Biz xarakterli polinomni aniqlaymiz va undan matritsa uchun xos qiymatlarni topish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Matritsa uchun xos qiymatlarni olgandan so'ng, biz matritsa uchun mos keladigan xos qiymatlarni qanday topishni ham ko'rsatamiz.
Differensial tenglamalar sistemalari - Ushbu bo'limda biz differentsial tenglamalar sistemasining ba'zi asoslarini ko'rib chiqamiz. Differensial tenglamalar sistemasini matritsa shakliga qanday o'tkazishni ko'rsatamiz. Bundan tashqari, biz n-tartibli differensial tenglamani differensial tenglamalar sistemasiga qanday aylantirishni ko'rsatamiz.
Tizimlar uchun yechimlar - Ushbu bo'limda biz matritsa ko'rinishidagi differensial tenglamalar sistemasini qanday echishimiz haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Shuningdek, biz differensial tenglamalar sistemalari uchun Wronskianni aniqlaymiz va differensial tenglamalar sistemasiga umumiy yechim borligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Faza tekisligi – Ushbu bo'limda biz faza tekisligi va fazali portretlar haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Differensial tenglamalarning bir hil sistemasi uchun muvozanat yechimi/nuqtasini va muvozanat yechimining barqarorligini aniqlash uchun fazali portretlardan qanday foydalanish mumkinligini aniqlaymiz. Fazali portretlar qanday tuzilganligining rasmiy usulini ham ko'rsatamiz.
Haqiqiy xususiy qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari aniq haqiqiy sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Shuningdek, biz haqiqiy aniq o'ziga xos qiymatlar (egar nuqtalari va tugunlari) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Murakkab xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz o'z qiymatlari kompleks sonlar bo'lgan ikkita chiziqli differentsial tenglamalar sistemasini yechamiz. Bu, odatda, biz bunday holatlarda biz kutadigan kompleks sonlarni o'z ichiga olmaydigan yechimni qanday olish mumkinligini ko'rsatishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz murakkab o'ziga xos qiymatlar (markazlar va spirallar) bilan bog'liq bo'lgan bosqichli portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Takroriy xos qiymatlar - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechamiz, ularning o'z qiymatlari haqiqiy takrorlangan (bu holda ikki barobar) sonlardir. Bu tizimning umumiy yechimini shakllantirishimiz kerak bo'lgan ikkinchi chiziqli mustaqil yechimni olishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz haqiqiy takroriy o'z qiymatlari (noto'g'ri tugunlar) bilan bog'liq bo'lgan fazali portretlarni qanday chizishni ko'rsatamiz.
Bir jinsli bo'lmagan tizimlar - Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar sistemasini echish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar va parametrlarning o'zgarishini ko'rsatadigan tezkor misollar bilan ishlaymiz. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli n-tartibli differensial tenglamalar uchun bo'lgani kabi ishlaydi, parametrlarning o'zgarishi esa tizimlarda qo'llashimiz mumkin bo'lgan formula/jarayonni olish uchun qo'shimcha hosila olish ishlarini talab qiladi.
Laplas o'zgarishlari - Ushbu bo'limda biz ikkita chiziqli differensial tenglamalar sistemasini echish uchun Laplas konvertatsiyalaridan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatadigan tezkor misol bilan ishlaymiz.
Modellashtirish - Ushbu bo'limda biz oldingi boblarda qilgan ba'zi modellashtirishning ba'zi kengaytmalarini tez ko'rib chiqamiz, ular differentsial tenglamalar sistemasiga olib keladi. Xususan, biz aralashtirish masalalarini ko'rib chiqamiz, ularda bizda bir-biriga bog'langan ikkita suv idishi, ikkalasining populyatsiyalari hisobga olinadigan yirtqich-o'lja muammosi va buloq bilan bog'langan va har biri devorga buloq bilan bog'langan ikki massali mexanik tebranish muammosi.
Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish - Ushbu bobda biz differensial tenglamaning yechimini darajalar qatori bilan qanday ifodalashni ko'rib chiqamiz. Eyler differensial tenglamasini yechish usullarini ham ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, bobda ishlashda yordam berish uchun darajali qatorlar va Teylor qatorlarini qisqacha takrorlaymiz.
Darajali qatorlar (takrorlash) - Ushbu bo'limda darajali qatorlarning asoslari ko'rib chiqiladi: yaqinlashish sohasi va radiusi, qatorlarni qo'shish, ayirish, differensiallash hamda indekslarni siljitish usullari bayon etiladi.
Teylor qatorlari (takrorlash) – Ushbu bo'limda funksiyalar uchun Teylor qatorini tuzish usullari ko'rib chiqiladi. eˣ va cos(x) funksiyalarini x = 0 nuqta atrofida qatorga yoyish hamda ko'phadlar uchun Teylor qatorini tuzish o'rganiladi.
Qatorlar yordamida yechish – Ushbu bo'limda differensial tenglamalarning oddiy va maxsus nuqtalari aniqlanadi. Oddiy nuqta atrofida differensial tenglamaning yechimini darajali qatorlar ko'rinishida topish usuli ko'rsatiladi.
Eyler tenglamalari – Bu boʻlimda ax²y'' + bxy' + cy = 0 ko'rinishidagi Eyler differensial tenglamalarini yechish usullari ko'rib chiqiladi va maxsus nuqtalarda yechimlarni topish yo'llari tushuntiriladi.
Teylor qatorlari (takrorlash) – Ushbu bo'limda funksiyalar uchun Teylor qatorini tuzish usullari ko'rib chiqiladi. eˣ va cos(x) funksiyalarini x = 0 nuqta atrofida qatorga yoyish hamda ko'phadlar uchun Teylor qatorini tuzish o'rganiladi.
Qatorlar yordamida yechish – Ushbu bo'limda differensial tenglamalarning oddiy va maxsus nuqtalari aniqlanadi. Oddiy nuqta atrofida differensial tenglamaning yechimini darajali qatorlar ko'rinishida topish usuli ko'rsatiladi.
Eyler tenglamalari – Bu boʻlimda ax²y'' + bxy' + cy = 0 ko'rinishidagi Eyler differensial tenglamalarini yechish usullari ko'rib chiqiladi va maxsus nuqtalarda yechimlarni topish yo'llari tushuntiriladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar - Ushbu bobda biz oldingi boblarning ko'pgina fikrlarini 2-tartibdan yuqori tartibli differentsial tenglamalarga kengaytirishni ko'rib chiqamiz. Ba'zi hollarda bu jarayon haqiqatan ham o'zgarmasligini ko'rsatish uchun misol bilan ishlashni anglatadi, lekin ko'p hollarda muhokama qilinadigan ba'zi masalalar mavjud.
Asosiy tushunchalar - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalarni echishning asosiy g'oyalarini qisqacha ko'rib chiqish bilan bobni boshlaymiz. Superpozitsiya printsipi, chiziqli mustaqil funktsiyalar va Wronskian uchun yangilangan ta'riflar/faktlar kiritiladi.
Bir jinsli differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli, chiziqli, bir jinsli differensial tenglamalarni yechish g'oyalarini ko'rib chiqamiz.
Noma'lum koeffitsiyentlar usuli – Bu bo‘limda biz noma'lum koeffitsiyentlar usulini yuqori tartibli differensial tenglamalarda qo‘llashni ko‘rib chiqamiz.
Parametrlarning o'zgarishi - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli differentsial tenglamalar uchun parametrlarni o'zgartirish jarayonini batafsil muhokama qilamiz.
Laplas almashtirishlari – Bu boʻlimda yuqori tartibli differensial tenglamalarni yechish uchun Laplas almashtirishlaridan foydalanish ko'rsatiladi.
Differensial tenglamalar sistemalari – Ushbu boʻlimda 2×2 sistemalarni 3×3 va undan yuqori oʻlchamli tizimlargacha kengaytirish o'rganiladi.
Qatorlar yordamida yechish – Ushbu bo‘limda yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun qatorli yechimlarni topish jarayoni ko'rsatiladi.
Bir jinsli differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli, chiziqli, bir jinsli differensial tenglamalarni yechish g'oyalarini ko'rib chiqamiz.
Noma'lum koeffitsiyentlar usuli – Bu bo‘limda biz noma'lum koeffitsiyentlar usulini yuqori tartibli differensial tenglamalarda qo‘llashni ko‘rib chiqamiz.
Parametrlarning o'zgarishi - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli differentsial tenglamalar uchun parametrlarni o'zgartirish jarayonini batafsil muhokama qilamiz.
Laplas almashtirishlari – Bu boʻlimda yuqori tartibli differensial tenglamalarni yechish uchun Laplas almashtirishlaridan foydalanish ko'rsatiladi.
Differensial tenglamalar sistemalari – Ushbu boʻlimda 2×2 sistemalarni 3×3 va undan yuqori oʻlchamli tizimlargacha kengaytirish o'rganiladi.
Qatorlar yordamida yechish – Ushbu bo‘limda yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun qatorli yechimlarni topish jarayoni ko'rsatiladi.
Chegaraviy masalalar va Furye qatorlari - Ushbu bobda biz asosiy qisman differensial tenglamalarni yechish usullari uchun integral bo'lgan ikkita mavzu bilan tanishamiz. Birinchi mavzu, chegara muammolari deyarli har bir qisman differentsial tenglamalarda uchraydi. Ikkinchi mavzu, Furye seriyasi, asosiy yechim usullaridan birini ishlaydigan narsadir.
Chegaraviy qiymat muammolari - Ushbu bo'limda biz chegara shartlarini va chegaraviy muammoni aniqlaymiz.
Xususiy qiymatlar va xos funktsiyalar - Ushbu bo'limda biz chegara masalalari uchun xos qiymatlar va xususiy funktsiyalarni aniqlaymiz.
Davriy va ortogonal funksiyalar - Ushbu bo'limda biz davriy funktsiyalarni, ortogonal funktsiyalarni va ularning xossalarini o'rganamiz.
Furye sinus qatorlari – Ushbu bo‘limda Furye sinus qatorlarini aniqlaymiz va misollarni ishlab chiqamiz.
Furye kosinus qatorlari – Bu boʻlimda Furye kosinus qatorlarini o'rganamiz.
To'liq Furye qatorlari – Bu boʻlimda umumiy Furye qatorlarini o'rganamiz.
Furye qatorlarining yaqinlashishi - Ushbu bo'limda Furye qatorlarining yaqinlashish shartlarini ko'rib chiqamiz.
Xususiy qiymatlar va xos funktsiyalar - Ushbu bo'limda biz chegara masalalari uchun xos qiymatlar va xususiy funktsiyalarni aniqlaymiz.
Davriy va ortogonal funksiyalar - Ushbu bo'limda biz davriy funktsiyalarni, ortogonal funktsiyalarni va ularning xossalarini o'rganamiz.
Furye sinus qatorlari – Ushbu bo‘limda Furye sinus qatorlarini aniqlaymiz va misollarni ishlab chiqamiz.
Furye kosinus qatorlari – Bu boʻlimda Furye kosinus qatorlarini o'rganamiz.
To'liq Furye qatorlari – Bu boʻlimda umumiy Furye qatorlarini o'rganamiz.
Furye qatorlarining yaqinlashishi - Ushbu bo'limda Furye qatorlarining yaqinlashish shartlarini ko'rib chiqamiz.
Qisman differensial tenglamalar - Ushbu bobda biz qisman differentsial tenglamalarni yechishning asosiy usullaridan biri bo'lgan o'zgaruvchilarni ajratish bilan tanishamiz. Issiqlik tenglamasi va to'lqin tenglamasi uchun qisman hosilalar kiritilgan. Bundan tashqari, biz issiqlik tenglamasi, to'lqin tenglamasi va Laplas tenglamasi uchun misollar yechimlarini beramiz.
Issiqlik tenglamasi – Ushbu bo'limda biz L uzunlikdagi bir o'lchovli chiziqdagi haroratni berish uchun echilishi mumkin bo'lgan issiqlik tenglamasining qisman chiqarilishini qilamiz. Bundan tashqari, biz ushbu vaziyatda ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta mumkin bo'lgan chegara shartlarini beramiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda Laplacianni aniqlaymiz va ikki yoki uch o'lchovli vaziyatlar uchun issiqlik tenglamasining versiyasini beramiz.
To'lqin tenglamasi - Ushbu bo'limda biz tebranish chizig'ining bir o'lchovli siljishini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan to'lqin tenglamasining qisman hosilasini qilamiz. Bundan tashqari, biz to'lqin tenglamasining ikki va uch o'lchovli versiyasini ham beramiz.
Terminologiya - Ushbu bo'limda biz ushbu bobning qolgan qismida foydalanadigan ba'zi atamalarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, chiziqli operator, chiziqli qisman differentsial tenglama va bir jinsli qisman differentsial tenglamani aniqlaymiz. Shuningdek, biz Superpozitsiya printsipi haqida tez eslatib o'tamiz.
O'zgaruvchilarni ajratish - Ushbu bo'limda qisman differentsial tenglamani ikkita oddiy differensial tenglamaga qisqartirish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulini qanday qo'llash mumkinligini ko'rsating. Usulni bir nechta qisman differentsial tenglamalarga qo'llaymiz. Biroq, biz qisman differensial tenglamalarni hal qilish jarayonida uzoqqa bormaymiz. Bu keyingi bo'limlarda amalga oshiriladi. Ushbu bo'limning maqsadi faqat usul qanday ishlashini ko'rsatishdir.
Issiqlik tenglamasini yechish - Ushbu bo'limda biz o'zgaruvchilarni to'liq ajratish jarayonini, shu jumladan jarayon tomonidan yaratilgan ikkita oddiy differensial tenglamani echishni o'rganamiz. Buni issiqlik tenglamasini uch xil chegara shartlari to'plami bilan yechish orqali qilamiz. Uzunligi \(L\) bo'lgan novda, lekin uning o'rniga yupqa dumaloq halqada issiqlik tenglamasini yechish misoli kiritilgan.
Nol bo'lmagan harorat chegaralari bilan issiqlik tenglamasi – Ushbu bo'limda biz chegara shartlari o'zgarmas, nolga teng bo'lmagan harorat bo'lgan issiqlik tenglamasini echishni tez ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, bu avvalgi bo'limdan farqli o'laroq, biz odatda chegara shartlari ham qat'iy, ham nol bo'lishini talab qildik.
Laplas tenglamasi - Ushbu bo'limda biz Laplas tenglamasini echishni muhokama qilamiz. Ko'rib turganimizdek, agar biz manbalarsiz ikki o'lchovli issiqlik tenglamasi uchun muvozanat yechimini (ya'ni, vaqtdan mustaqil) topmoqchi bo'lsak, aynan shu tenglamani yechishimiz kerak bo'ladi. Shuningdek, biz Laplas tenglamasini qutb koordinatalariga aylantiramiz va uni \(a\) radiusli diskda yechamiz.
Vibratsiyali ip - Ushbu bo'limda biz tebranish ipining siljishini olish uchun bir o'lchovli to'lqin tenglamasini echamiz.
O‘zgaruvchilarni ajratish bo‘yicha xulosa - Ushbu yakuniy bo'limda biz qisman differentsial tenglamalarni echish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usuli haqida qisqacha ma'lumot beramiz.
To'lqin tenglamasi - Ushbu bo'limda biz tebranish chizig'ining bir o'lchovli siljishini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan to'lqin tenglamasining qisman hosilasini qilamiz. Bundan tashqari, biz to'lqin tenglamasining ikki va uch o'lchovli versiyasini ham beramiz.
Terminologiya - Ushbu bo'limda biz ushbu bobning qolgan qismida foydalanadigan ba'zi atamalarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, chiziqli operator, chiziqli qisman differentsial tenglama va bir jinsli qisman differentsial tenglamani aniqlaymiz. Shuningdek, biz Superpozitsiya printsipi haqida tez eslatib o'tamiz.
O'zgaruvchilarni ajratish - Ushbu bo'limda qisman differentsial tenglamani ikkita oddiy differensial tenglamaga qisqartirish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulini qanday qo'llash mumkinligini ko'rsating. Usulni bir nechta qisman differentsial tenglamalarga qo'llaymiz. Biroq, biz qisman differensial tenglamalarni hal qilish jarayonida uzoqqa bormaymiz. Bu keyingi bo'limlarda amalga oshiriladi. Ushbu bo'limning maqsadi faqat usul qanday ishlashini ko'rsatishdir.
Issiqlik tenglamasini yechish - Ushbu bo'limda biz o'zgaruvchilarni to'liq ajratish jarayonini, shu jumladan jarayon tomonidan yaratilgan ikkita oddiy differensial tenglamani echishni o'rganamiz. Buni issiqlik tenglamasini uch xil chegara shartlari to'plami bilan yechish orqali qilamiz. Uzunligi \(L\) bo'lgan novda, lekin uning o'rniga yupqa dumaloq halqada issiqlik tenglamasini yechish misoli kiritilgan.
Nol bo'lmagan harorat chegaralari bilan issiqlik tenglamasi – Ushbu bo'limda biz chegara shartlari o'zgarmas, nolga teng bo'lmagan harorat bo'lgan issiqlik tenglamasini echishni tez ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, bu avvalgi bo'limdan farqli o'laroq, biz odatda chegara shartlari ham qat'iy, ham nol bo'lishini talab qildik.
Laplas tenglamasi - Ushbu bo'limda biz Laplas tenglamasini echishni muhokama qilamiz. Ko'rib turganimizdek, agar biz manbalarsiz ikki o'lchovli issiqlik tenglamasi uchun muvozanat yechimini (ya'ni, vaqtdan mustaqil) topmoqchi bo'lsak, aynan shu tenglamani yechishimiz kerak bo'ladi. Shuningdek, biz Laplas tenglamasini qutb koordinatalariga aylantiramiz va uni \(a\) radiusli diskda yechamiz.
Vibratsiyali ip - Ushbu bo'limda biz tebranish ipining siljishini olish uchun bir o'lchovli to'lqin tenglamasini echamiz.
O‘zgaruvchilarni ajratish bo‘yicha xulosa - Ushbu yakuniy bo'limda biz qisman differentsial tenglamalarni echish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usuli haqida qisqacha ma'lumot beramiz.