3.2-bo'lim: Haqiqiy va aniq ildizlar
Doimiy koeffitsientli, bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishni boshlash vaqti keldi. Shunday qilib, keling, oxirgi qismdan buni qanday qilishimizni takrorlaymiz. Biz differentsial tenglamadan boshlaymiz.
\[ay'' + by' + cy = 0\]Xarakteristik tenglamani yozing.
\[a{r^2} + br + c = 0\]Ikki ildiz, \(r_{1}\) va \(r_{2}\) uchun xarakteristik tenglamani yeching. Bu ikkita echimni beradi
\[{y_1}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,t}}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{y_2}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,t}}\]Endi, agar ikkita ildiz haqiqiy va aniq bo'lsa (i.e. \({r_1} \ne {r_2}\)) ma'lum bo'ladiki, bu ikki yechim umumiy yechimni yaratish uchun "etarlicha yaxshi".
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,t}}\]Oxirgi bo'limda bo'lgani kabi, biz "etarlicha yoqimli" desak, bizga ishonishingizni so'raymiz. Buni keyinroq yetib kelganimizdan keyin osonlikcha isbotlay olasiz bo'limi.
Haqiqiy, aniq ildizlarga ega bo'lgan holda, bir nechta misollarni ishlab chiqishdan boshqa ko'p ish yo'q, shuning uchun buni qilaylik.
Yechim
Xarakteristik tenglama
\[\begin{align*}{r^2} + 11r + 24 & = 0\\ \left( {r + 8} \right)\left( {r + 3} \right) & = 0\end{align*}\]Uning ildizlari \(r_{1} = - 8\) va \(r_{2} = -3\) va shuning uchun umumiy yechim va uning hosilasi.
\[\begin{align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 8t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\\ y'\left( t \right) & = - 8{c_1}{{\bf{e}}^{ - 8t}} - 3{c_2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\end{align*}\]Endi, quyidagi tenglamalar sistemasini olish uchun dastlabki shartlarni ulang.
\[\begin{align*}0 & = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2}\\ - 7 & = y'\left( 0 \right) = - 8{c_1} - 3{c_2}\end{align*}\]Ushbu tizimni hal qilish \({c_1} = \frac{7}{5}\) va \({c_2} = - \frac{7}{5}\) ni beradi. Differensial tenglamaning haqiqiy yechimi shunday bo'ladi
\[y\left( t \right) = \frac{7}{5}{{\bf{e}}^{ - 8t}} - \frac{7}{5}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\]Yechim
Xarakteristik tenglama
\[\begin{align*}{r^2} + 3r - 10 & = 0\\ \left( {r + 5} \right)\left( {r - 2} \right) & = 0\end{align*}\]Uning ildizlari \(r_{1} = - 5\) va \(r_{2} = 2\) va shuning uchun umumiy yechim va uning hosilasi.
\[\begin{align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 5t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{2t}}\\ y'\left( t \right) & = - 5{c_1}{{\bf{e}}^{ - 5t}} + 2{c_2}{{\bf{e}}^{2t}}\end{align*}\]Endi, quyidagi tenglamalar sistemasini olish uchun dastlabki shartlarni ulang.
\[\begin{align*}4 & = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2}\\ - 2 & = y'\left( 0 \right) = - 5{c_1} + 2{c_2}\end{align*}\]Ushbu tizimni hal qilish \({c_1} = \frac{{10}}{7}\) va \({c_2} = \frac{{18}}{7}\) ni beradi. Differensial tenglamaning haqiqiy yechimi shunday bo'ladi
\[y\left( t \right) = \frac{{10}}{7}{{\bf{e}}^{ - 5t}} + \frac{{18}}{7}{{\bf{e}}^{2t}}\]Yechim
Xarakteristik tenglama
\[\begin{align*}3{r^2} + 2r - 8 & = 0\\ \left( {3r - 4} \right)\left( {r + 2} \right) & = 0\end{align*}\]Uning ildizlari \(r_{1} = \frac{4}{3}\) va \(r_{2} = -2\) va shuning uchun umumiy yechim va uning hosilasi.
\[\begin{align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{\frac{{4\,t}}{3}}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\\ y'\left( t \right) & = \frac{4}{3}{c_1}{{\bf{e}}^{\frac{{4t}}{3}}} - 2{c_2}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\end{align*}\]Endi, quyidagi tenglamalar sistemasini olish uchun dastlabki shartlarni ulang.
\[\begin{align*} - 6 = y\left( 0 \right) & = {c_1} + {c_2}\\ - 18 = y'\left( 0 \right) & = \frac{4}{3}{c_1} - 2{c_2}\end{align*}\]Ushbu tizimni hal qilish \(c_{1} = -9\) va \(c_{2} = 3\) ni beradi. Differensial tenglamaning haqiqiy yechimi shunday bo'ladi.
\[y\left( t \right) = - 9{{\bf{e}}^{\frac{{4t}}{3}}} + 3{{\bf{e}}^{ - 2t}}\]Yechim
Xarakteristik tenglama
\[\begin{align*}4{r^2} - 5r & = 0\\ r\left( {4r - 5} \right) & = 0\end{align*}\]Bu tenglamaning ildizlari \(r_{1} = 0 \) va \(r_{2} = \frac{5}{4}\). Bu erda umumiy yechim va uning hosilasi.
\[\begin{align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^0} + {c_2}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{4}}} = {c_1} + {c_2}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{4}}}\\ y'\left( t \right) & = \frac{5}{4}{c_2}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{4}}}\end{align*}\]Shu paytgacha barcha dastlabki shartlar \(t = 0\) da bo'lgan va bu emas. Har doim \(t = 0\) da bo'lgan boshlang'ich sharoitlarga juda qattiq yopishib qolmang va siz ma'lum bir muammo uchun haqiqiy qiymat o'rniga uni avtomatik ravishda ishlatasiz.
Shunday qilib, dastlabki shartlarni ulash quyidagi tenglamalar sistemasini echish uchun beradi.
\[\begin{align*}0 & = y\left( { - 2} \right) = {c_1} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \frac{5}{2}}}\\ 7 & = y'\left( { - 2} \right) = \frac{5}{4}{c_2}{{\bf{e}}^{ - \frac{5}{2}}}\end{align*}\]Buni hal qilish beradi.
\[{c_1} = - \frac{{28}}{5}\hspace{0.25in}{c_2} = \frac{{28}}{5}{{\bf{e}}^{\frac{5}{2}}}\]Differensial tenglamaning yechimi shunday bo'ladi.
\[y\left( t \right) = - \frac{{28}}{5} + \frac{{28}}{5}{{\bf{e}}^{\frac{5}{2}}}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{4}}} = - \frac{{28}}{5} + \frac{{28}}{5}{{\bf{e}}^{\frac{{5t}}{4} + \frac{5}{2}}}\]Differensial tenglamalar sinfida ko'pchilik o'qituvchilar (jumladan, men ....) \(t = 0\) da boshlang'ich shartlardan foydalanishadi, chunki bu talabalar uchun ishni biroz osonlashtiradi, chunki ular mavzuni o'rganishga harakat qilishadi. Biroq, har doim shunday bo'lishini kutishga hech qanday sabab yo'q, shuning uchun har doim \(t = 0\) da dastlabki shartlarni kutishni boshlamang!
Ogoh bo'lishingiz kerak bo'lgan yana bir fikrni ta'kidlash uchun yakuniy misol keltiraylik.
Yechim
Xarakteristik tenglama.
\[{r^2} - 6r - 2 = 0\]Bu tenglamaning ildizlari.
\[{r_{1,2}} = 3 \pm \sqrt {11} \]Endi, bu ildizlar haqida hayajonlanmang, ular faqat ikkita haqiqiy raqamdir.
\[{r_1} = 3 + \sqrt {11} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{and }}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{r_2} = 3 - \sqrt {11} \]Tan olish kerakki, ular biz o'rganib qolgandek go'zal ko'rinishga ega emas, lekin ular shunchaki haqiqiy raqamlar. Shunday qilib, umumiy yechim
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{\left( {3 + \sqrt {11} } \right)\,t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)\,t}}\]Agar bizda dastlabki shartlar bo'lsa, biz avvalgi ikkita misolda bo'lgani kabi davom etishimiz mumkin edi, lekin ish biroz chigal bo'lar edi va shuning uchun biz bu misol uchun buni qilmoqchi emasmiz.
Oxirgi misolning mohiyati shundaki, siz "yaxshi", oddiy ildizlarga o'rganib qolmasligingizga ishonch hosil qiling. Amalda xarakterli tenglamaning ildizlari odatda chiroyli, oddiy butun sonlar yoki kasrlar bo'lmaydi, shuning uchun ularga ko'nikmang!