3.1-bo'lim: Asosiy tushunchalar
Ushbu bobda biz faqat ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Eng umumiy chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama shaklda.
\[\begin{equation}p\left( t \right)y'' + q\left( t \right)y' + r\left( t \right)y = g\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]Aslida, biz kamdan-kam hollarda doimiy bo'lmagan koeffitsientli chiziqli ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. O'zgarmas koeffitsientlarni qabul qilsak, biz quyidagi differentsial tenglamadan foydalanamiz.
\[\begin{equation}ay'' + by' + cy = g\left( t \right)\label{eq:eq2}\end{equation}\]Iloji bo'lsa, biz \(\eqref{eq:eq1}\) dan faqat ma'lum faktlar, teoremalar, xususiyatlar va/yoki texnikalar doimiy bo'lmagan shaklda ishlatilishi mumkinligiga ishora qilish uchun foydalanamiz. Biroq, ko'pincha biz \(\eqref{eq:eq2}\) dan foydalanamiz, chunki ikkinchi tartibli doimiy bo'lmagan koeffitsientli differentsial tenglamalarni echish juda qiyin bo'lishi mumkin.
Dastlab biz \(g(t) = 0\) yordamida differentsial tenglamalarni ko'rib, hayotimizni osonlashtiramiz. \(g(t) = 0\) qachon biz differentsial tenglamani chaqiramiz bir hil va \(g\left( t \right) \ne 0\) qachon biz differentsial tenglamani chaqiramiz bir hil bo'lmagan.
Shunday qilib, keling, doimiy koeffitsient, bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamani qanday hal qilish haqida o'ylashni boshlaylik. Bu erda umumiy doimiy koeffitsient, bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglama.
\[ay'' + by' + cy = 0\]Ehtimol, misol bilan boshlash yaxshidir. Bu misol bizni shu nuqtadan boshlab har bir muammoda foydalaniladigan juda muhim haqiqatga olib boradi. Misol shuningdek, ularni qanday hal qilish haqida umumiy ma'lumot beradi.
Yechim
Biz bu erda oddiygina tekshirish orqali ba'zi echimlarni olishimiz mumkin. Bizga ikkinchi hosilasi asl funktsiyadan 9 marta ko'p bo'lgan funksiyalar kerak. Ikki hosiladan so'ng o'ziga qaytadi deb o'ylashim mumkin bo'lgan birinchi funksiyalardan biri bu eksponensial funktsiyadir va to'g'ri ko'rsatkichlar bilan 9 ga ham g'amxo'rlik qilinadi.
Shunday qilib, quyidagi ikkita funktsiya yechimga o'xshaydi.
\[y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{3t}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\text{va}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{ - 3t}}\]Bu haqiqatan ham yechimlar ekanligini tekshirish uchun buni sizga qoldiramiz.
Biroq, bu ikki funktsiya differentsial tenglamaning yagona echimi emas. Quyidagilardan birortasi ham differensial tenglamaning yechimidir.
\[\begin{align*}y\left( t \right) & = - 9{{\bf{e}}^{3t}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = 123{{\bf{e}}^{3t}}\\ y\left( t \right) & = 56{{\bf{e}}^{ - 3t}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = \frac{{14}}{9}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\\ y\left( t \right) & = 7{{\bf{e}}^{3t}} - 6{{\bf{e}}^{ - 3t}}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = - 92{{\bf{e}}^{3t}} - 16{{\bf{e}}^{ - 3t}}\end{align*}\]Aslida, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, shakldagi har qanday funktsiya
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{3t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\]differensial tenglamaning yechimi bo'ladi.
Bu misol bizni ushbu bobdagi deyarli har bir masalada foydalaniladigan juda muhim haqiqatga olib boradi.
Superpozitsiya printsipi
Agar \({y_1}\left( t \right)\) va \({y_2}\left( t \right)\) chiziqli, bir hil differensial tenglamaning ikkita yechimi bo'lsa, u holda shunday bo'ladi.
\[\begin{equation}y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\label{eq:eq3}\end{equation}\]E'tibor bering, biz bunga doimiy koeffitsient yoki ikkinchi tartib cheklovini kiritmadik. Bu har qanday chiziqli bir hil differentsial tenglama uchun ishlaydi.
Agar biz ikkinchi tartibni va boshqa shartni (bir soniyada beramiz) qabul qilsak, biz bir qadam oldinga borishimiz mumkin.
Agar \({y_1}\left( t \right)\) va \({y_2}\left( t \right)\) chiziqli, ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning ikkita yechimi bo'lsa va ular "etarlicha yaxshi" bo'lsa, chiziqli, ikkinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglamaning umumiy yechimi \(\eqref{eq:eq3}\) tomonidan beriladi.
Xo'sh, "etarlicha yaxshi" deganda nimani tushunamiz? Biz buni keyinroq ushlab turamiz bo'limi. Shu nuqtada, biz aniq funktsiyalar "etarlicha yoqimli" deb aytsak, bunga ishonasiz.
Shunday qilib, agar biz chiziqli, ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama bilan ishlaymiz, deb taxmin qilsak, endi biz \(\eqref{eq:eq3}\) uning umumiy yechimi bo'lishini bilamiz. Keyingi savol \(c_{1}\) va \(c_{2}\) konstantalarini qanday topish mumkin. Bizda ikkita doimiy bo'lganligi sababli, ularni topish uchun bizga ikkita tenglama yoki shart kerak bo'ladi, deb umid qilaman.
Buning usullaridan biri yechimning qiymatini ikkita alohida nuqtada belgilash yoki,
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y\left( {{t_1}} \right) = {y_1}\]Ular odatda chegaraviy qiymatlar deb ataladi va aslida bu kursning diqqat markazida emas, shuning uchun biz bu erda ular bilan ishlamaymiz. Chegara qiymatlari qanday ishlashini va chegaraviy qiymatlar bilan ishlashda yuzaga keladigan ba'zi muammolarni ko'rishni istasangiz, keyingi bobda chegara qiymatlari haqida qisqacha ma'lumot beramiz.
Konstantalarni topishning yana bir usuli ma'lum bir nuqtada eritma va uning hosilasi qiymatini ko'rsatishdir. Yoki,
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y'\left( {{t_0}} \right) = {y'_0}\]Bu biz bu erda ishlatadigan ikkita shart. Birinchi tartibli differensial tenglamalarda bo'lgani kabi, ular boshlang'ich shartlar deb ataladi.
Yechim
Birinchidan, ikkita funktsiya
\[y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{3t}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\text{va}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{ - 3t}}\]differensial tenglamaning umumiy yechimini yaratishimiz uchun "etarli darajada yoqimli". Shu nuqtada, iltimos, bunga ishoning. Buni bir necha bo'limda o'zingiz tekshirishingiz mumkin.
Differensial tenglamamizning umumiy yechimi shunday bo'ladi
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 3t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{3t}}\]Endi biz faqat dastlabki shartlarni qo'llashimiz kerak. Bu bizga yechimning hosilasi kerakligini anglatadi.
\[y'\left( t \right) = - 3{c_1}{{\bf{e}}^{ - 3t}} + 3{c_2}{{\bf{e}}^{3t}}\]Dastlabki sharoitlarni rozetkaga ulang
\[\begin{align*}2 & = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2}\\ - 1 & = y'\left( 0 \right) = - 3{c_1} + 3{c_2}\end{align*}\]Bu bizga echilishi mumkin bo'lgan ikkita tenglama va ikkita noma'lum tizimni beradi. Buni qilish natija beradi
\[{c_1} = \frac{7}{6}\hspace{0.25in}{c_2} = \frac{5}{6}\]IVP ning yechimi shundan iboratki,
\[y\left( t \right) = \frac{7}{6}{{\bf{e}}^{ - 3t}} + \frac{5}{6}{{\bf{e}}^{3t}}\]Shu paytgacha biz faqat bitta differensial tenglamani ko'rib chiqdik va uning yechimini tekshirish orqali oldik. Kamdan kam bir nechta differentsial tenglamalar uchun biz buni qila olamiz. Biroq, ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarning aksariyati uchun biz buni qila olmaymiz.
Shunday qilib, har qanday chiziqli, doimiy koeffitsientli, ikkinchi tartibli bir hil differensial tenglama uchun ishlaydigan umumiy yechimni yaratish uchun bizga kerak bo'lgan ikkita echimga kelish usulini xohlaymiz. Bu dastlab ko'rinadiganidan osonroq.
Biz birinchi misolda topilgan echimlardan qo'llanma sifatida foydalanamiz. Ushbu misoldagi barcha echimlar shaklda edi
\[y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{r\,t}}\]E'tibor bering, biz uning oldiga doimiyni kiritmadik, chunki biz o'zimiz xohlagan har qanday konstantani tom ma'noda qo'shishimiz mumkin va hali ham yechim topamiz. Bu erda muhim g'oya eksponensial funktsiyani olishdir. Unga ega bo'lganimizdan so'ng, qalbimiz mazmuniga doimiylarni qo'shishimiz mumkin.
Shunday qilib, keling, barcha echimlar deb faraz qilaylik
\[\begin{equation}ay'' + by' + cy = 0\label{eq:eq4}\end{equation}\]shaklida bo'ladi
\[\begin{equation}y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{r\,t}}\label{eq:eq5}\end{equation}\]To'g'ri ekanligimizni bilish uchun buni differentsial tenglamaga ulash va nima sodir bo'lishini ko'rish kifoya. Shunday qilib, keling, lotinlarni olamiz va keyin ulang.
\[y'\left( t \right) = r{{\bf{e}}^{r\,t}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y''\left( t \right) = {r^2}{{\bf{e}}^{r\,t}}\] \[\begin{align*}a\left( {{r^2}{{\bf{e}}^{r\,t}}} \right) + b\left( {r{{\bf{e}}^{r\,t}}} \right) + c\left( {{{\bf{e}}^{r\,t}}} \right) & = 0\\ {{\bf{e}}^{r\,t}}\left( {a{r^2} + br + c} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, agar \(\eqref{eq:eq5}\) \(\eqref{eq:eq4}\) ga yechim bo'lishi kerak bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'lishi kerak.
\[{{\bf{e}}^{r\,t}}\left( {a{r^2} + br + c} \right) = 0\]Bu eksponensiallar hech qachon nolga teng emasligini ta'kidlash orqali yanada qisqartirilishi mumkin. Shuning uchun, \(\eqref{eq:eq5}\) \(\eqref{eq:eq4}\) uchun yechim bo'ladi taqdim etilgan \(r\)
\[\begin{equation}a{r^2} + br + c = 0\label{eq:eq6}\end{equation}\]Ushbu tenglama odatda deyiladi xarakterli tenglama \(\eqref{eq:eq4}\) uchun.
Xo'sh, chiziqli, doimiy koeffitsient, ikkinchi tartibli bir hil differensial tenglamaning yechimlarini topish uchun qanday foydalanamiz? Avval \(\eqref{eq:eq4}\) differensial tenglamasi uchun \(\eqref{eq:eq6}\) xarakteristik tenglamasini yozing. Bu kvadrat tenglama bo'ladi va shuning uchun biz ikkita ildizni kutishimiz kerak, \(r_{1}\) va \(r_{2}\). Ushbu ikkita ildizga ega bo'lganimizdan so'ng, biz differentsial tenglamaning ikkita echimiga ega bo'lamiz.
\[\begin{equation}{y_1}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,t}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{va}\hspace{0.25in}{y_2}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,t}}\label{eq:eq7}\end{equation}\]Keling, tezkor misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu biz birinchi misolda ko'rib chiqqan bir xil differentsial tenglama. Biroq, bu safar shunchaki taxmin qilmaylik. Yuqorida biz taxmin qilgan funktsiyalar jarayon bizga beradigan funktsiyalar bilan bir xil ekanligini ko'rish uchun yuqorida ko'rsatilgan jarayonni ko'rib chiqaylik.
Avval ushbu differentsial tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozing va uni yeching.
\[{r^2} - 9 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}r = \pm \,3\]Ikki ildiz 3 va -3. Shunday qilib, ikkita yechim mavjud
\[{y_1}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{3t}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\text{va}\hspace{0.25in}{y_2}\left( t \right) = {{\bf{e}}^{ - 3t}}\]Bular biz birinchi misolda qilgan birinchi taxminlarimizga mos keladi.
Siz \(\eqref{eq:eq7}\) da sanab o‘tilgan ikkita yechim aslida \(\eqref{eq:eq4}\) ning umumiy yechimini shakllantirish uchun “etarli darajada yaxshi” yoki yo‘qligini eslatib o‘tmaganimizni sezasiz. Bu qasddan qilingan. Bizda ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan uchta holat bor va bu har bir holatda boshqacha ko'rib chiqiladi.
Xo'sh, qanday holatlar mavjud? Yuqorida aytib o'tganimizdek, xarakteristik tenglama kvadratik bo'lib, ikkita ildizga ega bo'ladi, \(r_{1}\) va \(r_{2}\). Ildizlar uchta mumkin bo'lgan shaklga ega bo'ladi. Bular
- Haqiqiy, aniq ildizlar, \({r_1} \ne {r_2}\).
- Murakkab ildiz, \({r_{1,2}} = \lambda \pm \mu \,i\).
- Ikki ildiz, \({r_1} = {r_2} = r\).
Keyingi uchta bo'lim ularning har birini chuqurroq ko'rib chiqadi, shu jumladan umumiy yechimni olish uchun "etarlicha yoqimli" bo'lgan yechim shakllarini beradi.