Endi, yuqorida aytib o'tilganidek, biz faktoring jarayoniga hech qanday tafsilot kiritmaymiz, shuning uchun bu erda faktoringni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.

Birinchidan, tenglama tomonida hamma narsani oling va keyin omil.

\[\begin{align*}{x^2} - x - 12 & = 0\\ \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) & = 0\end{align*}\]

Endi bu nuqtada biz nolga teng bo'lgan ikkita haddan iborat mahsulotga ega bo'ldik. Bu shuni anglatadiki, quyidagilardan kamida bittasi to'g'ri bo'lishi kerak.

\[\begin{align*}x - 4 & = 0 & \hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} & & x + 3 & = 0\\ x & = 4&\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} & & x & = - 3\end{align*}\]

E'tibor bering, ularning har biri echilishi oson bo'lgan chiziqli tenglamadir. Bu bizga shuni aytadiki, bizda \(x = 4\) va \(x = - 3\) tenglamasining ikkita yechimi bor. Chiziqli tenglamalarda bo'lgani kabi, biz har doim yechimni tenglamaga qayta ulash orqali yechimlarimizni tekshirishimiz mumkin. Biz \(x = - 3\) ni tekshiramiz va ikkinchisini tekshirishni sizga qoldiramiz.

\[\begin{align*}{\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) & \mathop = \limits^? 12\\ 9 + 3 & \mathop = \limits^? 12\\ 12 & = 12\,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Demak, bu aslida yechim edi.

Birinchisida bo'lgani kabi, biz avval hamma narsani teng belgi tomonida olamiz, keyin esa faktor.

\[\begin{align*}{x^2} + 40 + 14x & = 0\\ \left( {x + 4} \right)\left( {x + 10} \right) & = 0\end{align*}\]

Endi biz yana bir bor nolga teng bo'lgan ikkita haddan iborat mahsulotga egamiz, shuning uchun biz ulardan biri yoki ikkalasi ham nolga teng bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib, texnik jihatdan biz har birini nolga tenglashtirishimiz va hal qilishimiz kerak. Biroq, buni odatda boshimizda qilish juda oson va shuning uchun bundan buyon biz buni boshimizda qilamiz.

Bu tenglamaning yechimlari,

\[x = - 4\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}x = - 10\]

Joyni tejash uchun biz bu yerda boshqa yechimlarni tekshirmaymiz, lekin xato qilmasligimiz uchun buni qilish kerak.

Bunday holda, bizda bir tomonda nol bor va shuning uchun tenglamaga hech qanday manipulyatsiya qilishning hojati yo'q, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa omil. Bundan tashqari, biz hozir tenglamada \(y\) borligidan hayajonlanmang. Biz har doim \(x\) bilan ishlamaymiz, shuning uchun ularni doimo ko'rishni kutmang.

Shunday qilib, keling, ushbu tenglamani koeffitsientga olaylik.

\[\begin{align*}{y^2} + 12y + 36 & = 0\\ {\left( {y + 6} \right)^2} & = 0\\ \left( {y + 6} \right)\left( {y + 6} \right) & = 0\end{align*}\]

Bu holda biz mukammal kvadratga ega bo'lamiz. Bizda nol omil xususiyatini qo'llash haqiqatan ham borligini ko'rsatish uchun kvadratni ajratdik. Biroq, biz odatda buni qilmaymiz. Biz odatda to'g'ridan-to'g'ri kvadrat qismdan javobga o'tamiz.

Bu holda tenglamaning yechimi:

\[y = - 6\]

Biz hozirgacha erishgan ikkita yechimdan farqli o'laroq, bu erda faqat bitta qiymatga egamiz. Biz bu yechimni tez-tez a deb ataymiz qo'sh ildiz yoki borligini ayting ko'pligi 2 chunki u kvadrat bo'lgan atamadan kelgan.

Har doimgidek, birinchi navbatda tenglamani ko'paytiramiz.

\[\begin{align*}4{m^2} - 1 & = 0\\ \left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Endi nol omil xususiyatini qo'llang. Nol omil xususiyati bizga shuni aytadi:

\[\begin{align*}2m - 1 & = 0 & \hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} & & 2m + 1 & = 0\\ 2m & = 1 & \hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} & & m & = - 1\\ m & = \frac{1}{2} & \hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} & & m & = - \frac{1}{2}\end{align*}\]

Shunga qaramay, biz ularni odatda boshimizda hal qilamiz, lekin biz kamida bittasini to'liq batafsil bajarishimiz kerak edi. Demak, tenglamaning ikkita yechimi bor.

\[m = \frac{1}{2}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}m = - \frac{1}{2}\]

Endi biz bularning bir nechtasini bajarganimizdan so'ng, keyingi ikkita muammo uchun unchalik batafsil ma'lumot bermaymiz. Mana bu tenglama uchun ish.

\[\begin{align*}3{x^2} - 2x - 8 & = 0\\ \left( {3x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - \frac{4}{3}\,\,\,\,\,\text{va}\,\,\,\,\,x = 2\end{align*}\]

Shunga qaramay, buning uchun nol omil xususiyatidan foydalaning.

\[\begin{align*}10{z^2} + 19z + 6 & = 0\\ \left( {5z + 2} \right)\left( {2z + 3} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} z = - \frac{2}{5}\,\,\,\,\,{\mbox{and }}z = - \frac{3}{2}\end{align*}\]

Bu har doim talabalar uchun muammo tug'diradi, garchi bu juda yomon emas.

Birinchi navbatda. \(x\) NI IKKI TOMONDAN BEKOR QILMANG!!!! Yomon bo'lishi mumkinligi haqida fikringiz bormi? Bu. Agar siz \(x\)-ni ikkala tomondan bekor qilsangiz, siz yechimni o'tkazib yuborasiz, shuning uchun buni qilmang. Esda tutingki, biz bu erda faktoring orqali hal qilamiz, shuning uchun avval hamma narsani teng belgisining bir tomoniga olaylik.

\[5{x^2} - 2x = 0\]

Endi e'tibor bering, faktoring uchun biz qila oladigan narsa hamma narsadan \(x\) ni faktor qilishdir. Buni qilish,

\[x\left( {5x - 2} \right) = 0\]

Birinchi omildan biz \(x = 0\) ni, ikkinchisidan esa \(x = \frac{2}{5}\) ni olamiz. Bu tenglamaning ikkita yechimi. E'tibor bering, agar biz \(x\)-ni birinchi bosqichda bekor qilganimizda, javob sifatida \(x = 0\)-ni olmagan bo'lardik!

To'g'ri, xuddi chiziqli tenglamalarda bo'lgani kabi, biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa LCD-ga ko'paytirish orqali maxrajlarni tozalashdir. Eslatib o'tamiz, biz \(x\) ning nolga bo'linishini ta'minlaydigan qiymat(lar)ni ham qayd etishimiz kerak, shunda biz ular yechimga kiritilmaganiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.

Ushbu muammo uchun LCD displey \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 4} \right)\) va biz nolga bo'linmasligimiz uchun \(x = - 1\) va \(x = 2\) dan qochishimiz kerak. Mana bu tenglama uchun ish.

\[\begin{align*}\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 4} \right)\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right) & = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 4} \right)\left( {1 - \frac{5}{{2x - 4}}} \right)\\ 2x - 4 & = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 4} \right) - 5\left( {x + 1} \right)\\ 2x - 4 & = 2{x^2} - 2x - 4 - 5x - 5\\ 0 & = 2{x^2} - 9x - 5\\ 0 & = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\end{align*}\]

Shunday qilib, bu tenglamaning ikkita yechimi ko'rinadi:

\[x = - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{and }}x = 5\]

E'tibor bering, bularning hech biri biz oldini olishimiz kerak bo'lgan \(x\) qiymatlari emas va shuning uchun ikkalasi ham yechimdir.

Bu holda LCD displey \(x - 1\) va biz nolga bo'linmaslik uchun \(x = 1\) dan qochishimiz kerak. Mana bu muammo uchun ish.

\[\begin{align*}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3 + \frac{3}{{x - 1}}} \right) & = \left( {\frac{{4 - x}}{{x - 1}}} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + 3 & = 4 - x\\ {x^2} + 2x - 3 + 3 & = 4 - x\\ {x^2} + 3x - 4 & = 0\\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) & = 0\end{align*}\]

Demak, biz faktorlarga ajratgan va yechgan kvadratik ikkita yechimga ega: \(x = 1\) va \(x = - 4\). Biroq, LCD displeyni topganimizda, biz \(x = 1\) dan qochishimiz kerakligini ham ko'rdik, shuning uchun biz nolga bo'linmadik. Demak, bu tenglama bitta yechimga ega,

\[x = - 4\]

Qilish kerak bo'lgan birinchi narsa - bu tenglamani iloji boricha ko'proq faktor qilish. Bunday holda, bu birinchi navbatda eng katta umumiy omilni ajratib ko'rsatishni anglatadi. Mana bu tenglamaning faktorlangan shakli.

\[\begin{align*}5x\left( {{x^2} - x - 2} \right) & = 0\\ 5x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Endi nol omil xususiyati bu erda saqlanib qoladi. Bu holda bizda nolga teng bo'lgan uchta haddan iborat mahsulot mavjud. Ushbu mahsulot nolga teng bo'lishining yagona yo'li, agar shartlardan biri nolga teng bo'lsa. Bu shuni anglatadiki,

\[\begin{align*}5x & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow & x & = 0\\ x - 2 & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow & x & = 2\\ x + 1 & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow & x & = - 1\end{align*}\]

Demak, bu tenglamaning uchta yechimi bor.

Bu muammolar uchun haqiqatan ham unchalik ko'p narsa yo'q. Kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa chap tomondagi kvadrat miqdorini o'z-o'zidan 1 koeffitsienti va boshqa tomondagi raqamni olishdir. Bu bajarilgandan so'ng biz kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanishimiz mumkin.

Bu juda oddiy masala, shuning uchun bu tenglama uchun ish.

\[{x^2} = 100\hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {100} = \pm 10\]

Demak, bu tenglamaning ikkita yechimi bor, \(x = \pm 10\). Esda tutingki, bu erda haqiqatan ham ikkita echim bor, \(x = - 10\) va \(x = 10\).

To'g'ri, bu va oldingisi o'rtasidagi asosiy farq - kvadrat termin oldidagi 25. Kvadrat ildiz xususiyati u erda bir koeffitsientni xohlaydi. Biroq, bu bilan kurashish juda oson; biz faqat ikkala tomonni 25 ga bo'lamiz. Mana bu tenglama uchun ish.

\[\begin{align*}25{y^2} & = 3\\ {y^2} & = \frac{3}{{25}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \pm \sqrt {\frac{3}{{25}}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{5}\end{align*}\]

Bunday holda, echimlar biroz chalkash, ammo ularning ko'pchiligi shunday qiladi, bu haqda tashvishlanmang. Shuni ham yodda tutingki, biz 25 ning kvadrat ildizi nima ekanligini bilganimiz uchun biz oldinga o'tdik va ko'rsatilgandek kasrning kvadrat ildizini yuqoriga ajratdik. Yana shuni esda tutingki, bu erda haqiqatan ham ikkita yechim bor, biri ijobiy va biri salbiy.

Bu oldingi qism bilan deyarli bir xil bo'lib, biz misol oxirida ko'rib chiqamiz. Mana bu tenglama uchun ish.

\[\begin{align*}4{z^2} & = - 49\\ {z^2} & = - \frac{{49}}{4}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = \pm \sqrt { - \frac{{49}}{4}} = \pm \,i\,\sqrt {\frac{{49}}{4}} = \pm \frac{7}{2}i\end{align*}\]

Shunday qilib, bu tenglamaning ikkita yechimi mavjud: \(z = \pm \frac{7}{2}i\). E'tibor bering, ular murakkab echimlardir. Bu ko'plab kvadrat tenglamalarning yechimi bilan sodir bo'ladi, shuning uchun ular bilan shug'ullanishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.

Bu oldingi qismlardan farqli ko'rinadi, ammo u xuddi shunday ishlaydi. Kvadrat ildiz xususiyatidan istalgan vaqtda foydalanish mumkin nimadir kvadrat songa teng. Bu bizda bor narsa. Albatta, asosiy farq shundaki, kvadratga aylantirilgan narsa bitta o'zgaruvchi emas, balki boshqa narsadir. Shunday qilib, bu tenglama uchun kvadrat ildiz xususiyatining qo'llanilishi.

\[2t - 9 = \pm \sqrt 5 \]

Endi biz faqat \(t\) ni hal qilishimiz kerak va tenglamadagi "ortiqcha yoki minus" ga qaramay, u har qanday chiziqli tenglamani echganimiz kabi ishlaydi. Biz ikkala tomonga 9 qo'shamiz va keyin 2 ga bo'lamiz.

\[\begin{align*}2t & = 9 \pm \sqrt 5 \\ t & = \frac{1}{2}\left( {9 \pm \sqrt 5 } \right) = \frac{9}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz oxirgi javob uchun qavs orqali kasrni ko'paytirdik. Biz buni odatda ushbu muammolarda qilamiz. Bundan tashqari, agar sizdan so'ralmasa, ularni o'nli kasrlarga aylantirmang. Bu javoblar uchun standart shakl. Shu bilan birga, biz ularni o'nli kasrlarga o'tkazishimiz kerak, shunda siz buni qila olasiz. Bu erda ikkita yechimning o'nlik qiymatlari.

\[t = \frac{9}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} = 5.61803\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}t = \frac{9}{2} - \frac{{\sqrt 5 }}{2} = 3.38197\]

Ushbu yakuniy qismda biz ishning tafsilotlarini ko'p kiritmaymiz.

\[\begin{align*}{\left( {3x + 10} \right)^2} & = - 81\\ 3x + 10 & = \pm \,9\,i\\ 3x & = - 10 \pm \,9\,i\\ x & = - \frac{{10}}{3} \pm 3\,i\end{align*}\]

Shunday qilib, biz yana ikkita murakkab echimga ega bo'ldik va shuni bilamizki, oldingi ikkala qismda biz "ortiqcha yoki minus" qismini oxirgi qo'yamiz. Odatda ular shunday yoziladi.