8.2-bo'lim: Er yuzasi
Ushbu bo'limda biz inqilobning qattiq jismlarini yana bir bor ko'rib chiqamiz. Biz ularni birinchi bo'lib Hisoblash Ida topib ko'rdik inqilob jismining hajmi. Ushbu bo'limda biz ushbu mintaqaning sirt maydonini topmoqchimiz.
Shunday qilib, formulani chiqarish uchun keling, \(y = f\left( x \right)\) uzluksiz funksiyasini \(x\) o'qi atrofida \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida aylantirishni ko'rib chiqaylik. Shuningdek, hosila \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz deb taxmin qilishimiz kerak. Quyida funktsiyaning eskizi va inqilobning qattiq qismi funktsiyani \(x\) o'qi atrofida aylantirish orqali olinadi.
Biz formulani olganimizdek, sirt maydoni uchun formulani olishimiz mumkin yoy uzunligi. Biz intervalni \(n\) kengligi \(\Delta x\) teng subintervallariga bo'lishdan boshlaymiz. Har bir kichik oraliqda biz funktsiyani har bir intervalning so'nggi nuqtalaridagi funktsiyaga mos keladigan to'g'ri chiziq bilan yaqinlashtiramiz. Mana, \(n = 4\) yordamida vakili funktsiyamiz uchun uning eskizi.
Endi \(x\) o'qi bo'yicha taxminlarni aylantiring va biz quyidagi qattiqlikni olamiz.
Har bir oraliqdagi yaqinlashish qattiq jismning alohida qismini beradi va buni aniq qilish uchun har bir qism boshqacha ranglanadi. Ushbu qismlarning har biri deyiladi umidsizliklar va biz frustumning sirt maydonini qanday topishni bilamiz.
Frustumning sirt maydoni quyidagicha ifodalanadi:
\[A = 2\pi rl\]qayerda,
\[\begin{align*}r = \frac{1}{2}\left( {{r_1} + {r_2}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{r_1} = & {\mbox{radius of right end}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{r_2} = & {\mbox{radius of left end}}\end{align*}\]va \(l\) - qiya qirrasining uzunligi.
\(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) oralig'idagi umidsizlik uchun bizda,
\[\begin{align*}{r_1} = & f\left( {{x_i}} \right)\\ {r_2} = & f\left( {{x_{i - 1}}} \right)\\ l = & \left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|\,\,\,\,\,\,\left( {{\mbox{length of the line segment connecting }}{P_i}\text{ va }{P_{i - 1}}} \right)\end{align*}\]va biz oldingi bo'limdan bilamizki,
\[\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right| = \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x\,\,\,\,\,{\mbox{where }}x_i^*{\mbox{ is some point in }}\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\]Sirt maydoni formulasini yozishdan oldin biz \(\Delta x\) "kichik" deb faraz qilamiz va \(f\left( x \right)\) uzluksiz bo'lgani uchun biz shunday deb taxmin qilishimiz mumkin:
\[f\left( {{x_i}} \right) \approx f\left( {x_i^*} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( {{x_{i - 1}}} \right) \approx f\left( {x_i^*} \right)\]Shunday qilib, \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) oraliqda yirtiqning sirt maydoni taxminan,
\[\begin{align*}{A_{\,i}} & = 2\pi \left( {\frac{{f\left( {{x_i}} \right) + f\left( {{x_{i - 1}}} \right)}}{2}} \right)\left| {{P_{i - 1}}\,\,{P_i}} \right|\,\,\\ & \approx 2\pi f\left( {x_i^*} \right)\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x\end{align*}\]Butun qattiq jismning sirt maydoni taxminan,
\[S \approx \sum\limits_{i = 1}^n {2\pi f\left( {x_i^*} \right)\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x} \]va biz \(n\) cheksizlikka o'tishi bilan chegarani olib, aniq sirt maydonini olishimiz mumkin.
\[\begin{align*}S & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {2\pi f\left( {x_i^*} \right)\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( {x_i^*} \right)} \right]}^2}} \,\,\,\Delta x} \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{2\pi f\left( x \right)\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,dx}}\end{align*}\]Agar biz xohlasak, \(x = h\left( y \right)\) ni \(y\) o'qi atrofida \(\left[ {c,d} \right]\) da aylantirish uchun shunga o'xshash formulani olishimiz mumkin. Bu quyidagi formulani beradi.
\[S = \int_{{\,c}}^{{\,d}}{{2\pi \,h\left( y \right)\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( y \right)} \right]}^2}} \,dy}}\]Biroq, bu "standart" formulalar emas. E'tibor bering, ikkala formuladagi ildizlar biz avvalgi bo'limda foydalangan ikkita \(ds\) dan boshqa narsa emas. Shuningdek, biz \(f\left( x \right)\) ni \(y\) bilan va \(h\left( y \right)\) ni \(x\) bilan almashtiramiz. Buni bajarish sirt maydoni uchun quyidagi ikkita formulani beradi.
Sirt maydoni formulalari
qayerda,
\[\begin{array}{ll}\begin{aligned}ds = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx\,\hspace{0.25in}{\mbox{if }}y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy\,\hspace{0.25in}{\mbox{if }}x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\end{aligned}\end{array}\]Ushbu formulalarga e'tibor berish kerak bo'lgan bir nechta narsa bor. Birinchidan, integraldagi o'zgaruvchi har doim biz aylanayotgan o'zgaruvchiga qarama-qarshi bo'lganiga e'tibor bering. Ikkinchidan, ikkala formulada ham \(ds\) dan foydalanishga ruxsat berilgan. Bu shuni anglatadiki, bu erda qandaydir tarzda to'rtta formula mavjud. Biz \(ds\) ni qaysi funksiya va masala uchun eng qulay bo‘lganiga qarab tanlaymiz.
Endi bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Bu erda biz foydalanadigan formula:
\[S = \int{{2\pi y\,ds}}\]chunki biz \(x\) o'qi atrofida aylanamiz va bu holda biz birinchi \(ds\) dan foydalanamiz, chunki bizning funktsiyamiz ushbu \(ds\) uchun to'g'ri shaklda va biz uni \(x\) uchun yechish orqali hech narsaga erisha olmaymiz.
Keling, birinchi navbatda hosila va ildizga g'amxo'rlik qilaylik.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}{\left( {9 - {x^2}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\left( { - 2x} \right) = - \frac{x}{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\] \[\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{9 - {x^2}}}} = \sqrt {\frac{9}{{9 - {x^2}}}} = \frac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\]Bu erda sirt maydoni uchun integral,
\[S = \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{2\pi y\frac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\,dx}}\]Biroq, muammo bor. \(dx\) integralda hech qanday \(y\) bo'lmasligi kerakligini anglatadi. Shunday qilib, integralni baholashdan oldin biz \(y\) ni ham almashtirishimiz kerak.
Keyin sirt maydoni,
\[\begin{align*}S & = \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{2\pi \sqrt {9 - {x^2}} \frac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\,dx}}\\ & = \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{6\pi \,dx}}\\ & = 24\pi \end{align*}\]Ilgari biz \(ds\) dan sirt maydoni formulalarida foydalanishimiz mumkinligi haqida fikr bildirgan edik. Keling, \(ds\)-dan foydalanish ham baholash juda qiyin bo'lgan integrallarni yaratmaydigan va ikkala \(ds\)-ni tekshirishimiz mumkin bo'lgan misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, bizga birinchi \(ds\) uchun o'rnatilgan funksiya va ikkinchi \(ds\) uchun ishlaydigan cheklovlar berilgan.
Yechim 1
Ushbu yechim yuqorida sanab o'tilgan birinchi \(ds\) dan foydalanadi. Biz lotin va ildizdan boshlaymiz.
Shuningdek, biz yangi chegaralarni olishimiz kerak. Biroq, bu juda yomon emas. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, berilgan \(y\)-ni tenglamamizga kiritish va \(x\) diapazoni \(1 \le x \le 8\) ekanligini aniqlash uchun hal qilishdir. U holda sirt maydoni uchun integral,
\[\begin{align*}S & = \int_{{\,1}}^{{\,8}}{{2\pi x\frac{{\sqrt {9{x^{\frac{4}{3}}} + 1} }}{{3{x^{\frac{2}{3}}}}}\,dx}}\\ & = \frac{{2\pi }}{3}\int_{{\,1}}^{{\,8}}{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt {9{x^{\frac{4}{3}}} + 1} \,dx}}\end{align*}\]E'tibor bering, bu safar biz oldingi misolda bo'lgani kabi \(x\) ni almashtirishimiz shart emas edi. Bu holda biz \(ds\)-dan \(dx\)-ni oldik va shuning uchun biz \(x\)-ni almashtirishimiz shart emas. Aslida, agar biz \(x\) ni almashtirganimizda, biz \(y\) ni integralga qo'ygan bo'lardik, bu esa muammolarni keltirib chiqaradi.
O'zgartirishdan foydalanish
\[u = 9{x^{\frac{4}{3}}} + 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}du = 12{x^{\frac{1}{3}}}\,dx\]integral bo'ladi,
\[\begin{align*}S & = \frac{\pi }{{18}}\int_{{\,10}}^{{\,145}}{{\sqrt u \,du}}\\ & = \left. {\frac{\pi }{{27}}{u^{\frac{3}{2}}}} \right|_{10}^{145}\\ & = \frac{\pi }{{27}}\left( {{{145}^{\frac{3}{2}}} - {{10}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 199.48\end{align*}\]Yechim 2
Bu safar biz ikkinchi \(ds\) dan foydalanamiz. Shunday qilib, biz birinchi navbatda \(x\) uchun tenglamani echishimiz kerak. Biz ham davom etamiz va shu bilan birga hosila va ildizni olamiz.
Keyin sirt maydoni,
\[S = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{2\pi x\sqrt {1 + 9{y^4}} \,dy}}\]Biz bu safar asl \(y\) chegaralaridan foydalandik, chunki biz \(ds\)-dan \(dy\)-ni oldik. Shuni ham yodda tutingki, \(dy\) mavjudligi bu safar, birinchi yechimdan farqli o'laroq, biz \(x\) o'rniga o'tishimiz kerakligini anglatadi. Buni qilish,
\[\begin{align*}S & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{2\pi {y^3}\sqrt {1 + 9{y^4}} \,dy}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = 1 + 9{y^4}\\ & = \frac{\pi }{{18}}\int_{{\,10}}^{{\,145}}{{\sqrt u \,du}}\\ & = \frac{\pi }{{27}}\left( {{{145}^{\frac{3}{2}}} - {{10}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 199.48\end{align*}\]E'tibor bering, almashtirishdan keyin integral birinchi yechim bilan bir xil edi va shuning uchun ish o'tkazib yuborildi.
Ushbu misol ko'rsatganidek, biz sirt maydonini olish uchun \(ds\) dan foydalanishimiz mumkin. Shuni ham ta'kidlash kerakki, bitta \(ds\) bilan biz \(x\) o'rnini almashtirishimiz kerak edi, ikkinchisiga esa buni qilmadik. Bu har doim shunday ishlaydi.
Shuni ham yodda tutingki, oxirgi misolda \(ds\) dan foydalanish ham xuddi shunday oson edi. Ko'pincha bunday bo'lmaydi. Ko'pgina misollarda \(ds\) dan faqat bittasi bilan ishlash qulay bo'ladi, shuning uchun muammoni boshlashdan oldin qaysi \(ds\) bilan ishlash eng oson ekanligini aniqlashimiz kerak bo'ladi.