Shunday qilib, bizda manbalarsiz issiqlik tenglamasi, belgilangan harorat chegara shartlari (bu ham bir hil) va boshlang'ich sharti mavjud. Dastlabki shart faqat shu yerda, chunki u shu yerga tegishli, lekin keyingi bo'limga o'tgunimizcha, biz buni e'tiborsiz qoldiramiz.

O'zgaruvchilarni ajratish usuli bizga yechim mahsulot shaklini oladi, deb taxmin qilishni aytadi,

\[u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\]

shuning uchun biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni differentsial tenglamaga qo'shish va biz nimaga erishganimizni ko'rishdir.

\[\begin{align*}\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\varphi \left( x \right)G\left( t \right)} \right) & = k\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {\varphi \left( x \right)G\left( t \right)} \right)\\ \varphi \left( x \right)\frac{{dG}}{{dt}} & = k\,G\left( t \right)\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}}\end{align*}\]

Yuqorida ko'rsatilganidek, biz \(\varphi \left( x \right)\) ni vaqt hosilasidan va \(G\left( t \right)\) ni fazoviy hosiladan ajratishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz ularni hisobga olganimizdan keyin muammoda qisman hosila qolmaydi. Vaqtinchalik hosilada biz hozir faqat \(G\left( t \right)\) ni \(t\) ga nisbatan farqlaymiz va bu endi oddiy hosiladir. Xuddi shunday, fazoviy hosilada biz endi faqat \(\varphi \left( x \right)\) ni \(x\) ga nisbatan farqlaymiz va shuning uchun biz yana oddiy hosilaga egamiz.

Hozirgi vaqtda muammoni soddalashtirish uchun ko'p ish qilmaganga o'xshaymiz. Biroq, biz qisman hosilalarni oddiy hosilalarga aylantirganimiz, hatto bizda hal qilish uchun tartibsizliklar mavjud bo'lsa ham, yaxshi narsa bo'lishi mumkin.

Bu zohiriy (ha, biz zohiriy deb aytdik) tartibsizliklar haqida gapiradigan bo'lsak, bu haqiqatan ham tartibsizlikka o'xshaydimi? Maqsad oxir-oqibat tenglamaning bir tomonida barcha \(t\)-larni va boshqa tomonida barcha \(x\)-larni olishdir. Boshqacha qilib aytganda, biz "o'zgaruvchilarni ajratishni" va shuning uchun usulning nomini olishni xohlaymiz. Bu holda, agar ikkala tomonni \(\varphi \left( x \right)G\left( t \right)\) ga bo'lsak, biz xohlagan narsaga erishamiz va shuni ta'kidlashimiz kerakki, bu har doim ham mahsulot yechimiga bo'lish kabi oson bo'lmaydi. Shunday qilib, bo'linish bizga beradi,

\[\frac{1}{G}\frac{{dG}}{{dt}} = k\frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\frac{1}{{kG}}\frac{{dG}}{{dt}} = \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}}\]

E'tibor bering, biz ikkala tomonni ham \(k\) orqali ajratdik. Bu faqat yo'lda qulaylik uchun qilingan. Buni qilish shart emas va agar u yomon fikr bo'lib chiqsa, biz har doim bu bosqichga qaytib, uni o'ng tomonga qo'yishimiz mumkin. Xuddi shunday, agar biz buni qilmasak va bu unchalik yomon bo'lmasa, biz har doim qaytib kelib, uni ajratishimiz mumkin. Hozircha, iltimos, bu muammoni hal qilish uchun qilingan yaxshi ish bo'lgan degan so'zimizni qabul qiling. Biz bu misolni tugatgandan so'ng, buning sabablarini muhokama qilamiz.

Endi biz shuni xohlayotganimizni aytgan bo'lsak ham, bizda tartibsizlik borga o'xshaydi. E'tibor bering, chap tomon faqat \(t\) funktsiyasi, o'ng tomon esa biz xohlagandek faqat \(x\) funktsiyasidir. Shuni ham yodda tutingki, bu ikki funktsiya teng bo'lishi kerak.

Keling, bu haqda bir daqiqa o'ylab ko'raylik. Qanday qilib bizda mavjud bo'lgan \(t\) va/yoki \(x\) ni tanlashdan qat'i nazar, faqat \(t\) funksiyasi faqat \(x\) funksiyasiga teng bo'lishi mumkin? Bu haqiqat bo'lishining bir yo'li borligini tushunmaguningizcha, bu imkonsiz bo'lib tuyulishi mumkin. Agar ikkala funktsiya (i.e. tenglamaning ikkala tomoni) aslida doimiy va faqat doimiy emas, balki bir xil doimiy bo'lsa, ular aslida teng bo'lishi mumkin.

Shunday qilib, bizda bo'lishi kerak,

\[\frac{1}{{kG}}\frac{{dG}}{{dt}} = \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \]

bu erda \( - \lambda \) deyiladi ajralish doimiysi va o'zboshimchalik bilan.

Endi hal qilishimiz kerak bo'lgan keyingi savol - nega minus belgisi? Shunga qaramay, yuqoridagi \(k\) ni bo'lish kabi, javob shundaki, buni tanlash yo'lda qulay bo'ladi. Minus belgisi u erda bo'lishi shart emas va aslida biz u erda istamaydigan paytlar bor.

Xo'sh, u erda bo'lishi kerak yoki yo'qligini qanday bilamiz? Bunga javob - jarayonning keyingi bosqichiga o'tish (keyingi bo'limda ko'rib chiqamiz) va o'sha paytda biz buni qilish qulay yoki yo'qligini bilib olamiz va biz bu bosqichga qaytib, bu erda nima qilishni tanlaganimizga qarab, uni qo'shishimiz yoki olib tashlashimiz mumkin.

OK, jarayonni davom ettiramiz. Keyingi qadam, yuqoridagi tenglamani olishimiz va uni quyidagi ikkita oddiy differentsial tenglamaga bo'lishimiz mumkinligini tan olishdir.

\[\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \]

Bu ikkalasi ham juda oddiy differentsial tenglamalar, ammo biz \(\lambda \) nima ekanligini bilmasligimiz sababli fazoviy tenglamani hali hal qila olmaymiz. Vaqt tenglamasini, agar biz xohlasak, shu nuqtada echish mumkin, garchi bu har doim ham shunday bo'lmaydi. Hozircha biz bularning hech birini hal qilish haqida o'ylamoqchi emasmiz.

Ushbu bo'limda biz bajaradigan jarayonning oxirgi bosqichi, shuningdek, mahsulot yechimimiz \(u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\) chegara shartlariga javob berishiga ishonch hosil qilishdir, shuning uchun uni ikkalasiga ham ulashamiz.

\[u\left( {0,t} \right) = \varphi \left( 0 \right)G\left( t \right) = 0\hspace{0.25in}u\left( {L,t} \right) = \varphi \left( L \right)G\left( t \right) = 0\]

Keling, birinchisini bir soniya ko'rib chiqaylik. Bu erda bizda ikkita variant bor. Har bir \(t\) uchun \(\varphi \left( 0 \right) = 0\) yoki \(G\left( t \right) = 0\). Ammo, agar bizda har bir \(t\) uchun \(G\left( t \right) = 0\) bo'lsa, bizda \(u\left( {x,t} \right) = 0\) ham bo'ladi, i.e. arzimas yechim va biz avvalgi bobda muhokama qilganimizdek, bu, albatta, har qanday chiziqli bir hil tenglamaning yechimidir, biz haqiqatan ham ahamiyatsiz yechimni xohlaymiz.

Shuning uchun biz aslida \(\varphi \left( 0 \right) = 0\) ga ega bo'lishimiz kerak deb taxmin qilamiz. Xuddi shunday, ikkinchi chegara shartidan biz arzimas yechimdan qochish uchun \(\varphi \left( L \right) = 0\) ni olamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz chegara shartlarini faqat shu tarzda qisqartira oldik, chunki ular bir hil edi. Agar ular bir xil bo'lmaganida, biz buni qila olmasdik.

Shunday qilib, berilgan qisman differentsial tenglamaga o'zgaruvchilarni ajratishni qo'llaganimizdan so'ng, biz 1 ga erishamiz.^st \(G\left( t \right)\) va 2 uchun echishimiz kerak bo'lgan tartibli differentsial tenglama^nd \(\varphi \left( x \right)\) uchun hal qilishimiz kerak bo'lgan buyurtma chegaraviy masala. Biroq, ushbu bo'limning maqsadi shu nuqtaga etib borishdir va biz ularni hal qilishni keyingi bo'limga qadar to'xtatamiz.

Keling, bu erda aniqlagan hamma narsani umumlashtiramiz.

\[\begin{align*}\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in} & \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} + \lambda \varphi = 0\\ & \varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( L \right) = 0\end{align*}\]

va shuni yodda tutingki, bizda vaqt differensial tenglamasi uchun shart yo'q va muammo emas. Shuni ham yodda tutingki, biz ikkinchisini biroz qayta yozdik.

Bu holda biz manbalarsiz va mukammal izolyatsiyalangan chegaralarsiz issiqlik tenglamasini ko'rib chiqamiz.

Shunday qilib, mahsulot yechimimiz shaklga ega bo'ladi deb o'ylab, yana boshlaymiz,

\[u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\]

va bu erda differentsial tenglamaning o'zi o'zgarmaganligi sababli, biz oldingi misolda bo'lgani kabi, uni ulash natijasida bir xil natijaga erishamiz, shuning uchun biz hal qilishimiz kerak bo'lgan ikkita oddiy differentsial tenglama:

\[\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \]

Endi, bu misolning maqsadi chegaraviy shartlar bilan shug'ullanish edi, shuning uchun keling, mahsulot echimini ularga qo'shamiz,

\[\begin{align*}\frac{{\partial \left( {G\left( t \right)\varphi \left( x \right)} \right)}}{{\partial x}}\left( {0,t} \right) & = 0 & \hspace{0.25in}\frac{{\partial \left( {G\left( t \right)\varphi \left( x \right)} \right)}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) & = 0\\ G\left( t \right)\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( 0 \right) & = 0 & \hspace{0.25in}G\left( t \right)\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) & = 0\end{align*}\]

Endi, xuddi birinchi misolda bo'lgani kabi, agar biz arzimas yechimdan qochishni istasak va shuning uchun har bir \(t\) uchun \(G\left( t \right) = 0\) ga ega bo'lolmasak va shunday bo'lishi kerak,

\[\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) = 0\]

Ushbu muammoga o'zgaruvchilarni ajratishni qo'llash orqali nima olishimiz haqida qisqacha ma'lumot.

\[\begin{align*}\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in} & \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} + \lambda \varphi = 0\\ &\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) = 0\end{align*}\]

Birinchidan, bu chegara shartlari haqiqatan ham bir hil chegara shartlari ekanligini unutmang. Agar ularni qayta yozsak,

\[u\left( { - L,t} \right) - u\left( {L,t} \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( { - L,t} \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = 0\]

ko'rish biroz osonroq.

Endi biz yana qisman differentsial tenglamani qildik, shuning uchun biz boshlaymiz:

\[u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\]

va biz hal qilishimiz kerak bo'lgan ikkita oddiy differentsial tenglamalar,

\[\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \]

Mahsulot yechimini qayta yozilgan chegara shartlariga ulash quyidagilarni beradi:

\[\begin{align*} & G\left( t \right)\varphi \left( { - L} \right) - G\left( t \right)\varphi \left( L \right) = G\left( t \right)\left[ {\varphi \left( { - L} \right) - \varphi \left( L \right)} \right] = 0\hspace{0.25in}\\ & G\left( t \right)\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( { - L} \right) - G\left( t \right)\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) = G\left( t \right)\left[ {\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( { - L} \right) - \frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right)} \right] = 0\end{align*}\]

va biz faqat arzimas yechimga erishishimizni ko'rishimiz mumkin, agar:

\[\begin{align*}\varphi \left( { - L} \right) - \varphi \left( L \right) & = 0 & \hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( { - L} \right) - \frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) & = 0\\ \varphi \left( { - L} \right) & = \varphi \left( L \right) & \hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( { - L} \right) & = \frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right)\end{align*}\]

Shunday qilib, biz ushbu muammoga o'zgaruvchilarni ajratishni qo'llash orqali erishamiz.

\[\begin{align*}\frac{{dG}}{{dt}} = - k\lambda G\hspace{0.25in} & \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} + \lambda \varphi = 0\\ & \varphi \left( { - L} \right) = \varphi \left( L \right)\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( { - L} \right) = \frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right)\end{align*}\]

Endi, issiqlik tenglamasida bo'lgani kabi, ikkita boshlang'ich shart ham bu erda, chunki ular muammo uchun bu erda bo'lishi kerak. Biz bu erda ular bilan hech narsa qilmaymiz va yuqorida aytib o'tilganidek, mahsulot yechimi ularni kamdan-kam hollarda qondiradi. Biz ular bilan keyinroq shug'ullanamiz bo'limi biz aslida bu birinchi qadamni bosib o'tganimizda. Shunga qaramay, ushbu misolning maqsadi faqat o'zgaruvchilarni ajratish beradigan ikkita oddiy differentsial tenglamaga tushishdir.

Shunday qilib, keling, buni davom ettiramiz va \(u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)h\left( t \right)\) mahsulot yechimini (ikkinchi dastlabki holatda \(g\) bilan chalkashmaslik uchun bu erda \(G\) ni \(h\) ga almashtirdik) to'lqin tenglamasiga ulang,

\[\begin{align*}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\left( {\varphi \left( x \right)h\left( t \right)} \right) & = {c^2}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {\varphi \left( x \right)h\left( t \right)} \right)\\ \varphi \left( x \right)\frac{{{d^2}h}}{{d{t^2}}} & = {c^2}\,h\left( t \right)\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}}\\ \frac{1}{{{c^2}\,h}}\frac{{{d^2}h}}{{d{t^2}}} & = \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz \({c^2}\)-ni issiqlik tenglamasida xuddi shu sababga ko'ra o'ng tomonga o'tkazdik. Bu chegaraviy muammoni hal qilishni biroz osonlashtiradi.

Endi biz tenglamani chap tomonda faqat \(t\) funksiyasiga va o‘ng tomonda faqat \(x\) funksiyasiga ajratganimizdan so‘ng, biz ajratish konstantasini kiritishimiz mumkin va yana \( - \lambda \) dan foydalanamiz, shunda biz o‘zimizga tanish bo‘lgan chegaraviy masalaga erishamiz. Shunday qilib, ajratish konstantasini kiritgandan so'ng, biz olamiz,

\[\frac{1}{{{c^2}\,h}}\frac{{{d^2}h}}{{d{t^2}}} = \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \]

Biz olgan ikkita oddiy differensial tenglamalar,

\[\frac{{{d^2}h}}{{d{t^2}}} = - \lambda {c^2}h\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \]

Ushbu misoldagi chegara shartlari birinchi misoldagi bilan bir xil va shuning uchun mahsulot yechimini chegara shartlariga ulash quyidagilarni beradi:

\[\varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( L \right) = 0\]

Ushbu muammoga o'zgaruvchilarni ajratishni qo'llash,

\[\begin{align*}\frac{{{d^2}h}}{{d{t^2}}} = - \lambda {c^2}h\hspace{0.25in} & \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \\ & \varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( L \right) = 0\end{align*}\]

Bu muammo issiqlik va to'lqin tenglamalaridan biroz farq qiladi (ya'ni, aslida biroz). Birinchidan, bizda endi haqiqatan ham tenglamada vaqt o'zgaruvchisi yo'q, lekin buning o'rniga biz odatda ikkala o'zgaruvchini fazoviy o'zgaruvchilar deb hisoblaymiz va biz ikkala o'zgaruvchi yuqorida muammolar bayonotida ko'rsatilgan diapazonlarda deb taxmin qilamiz. E'tibor bering, bu bizda endi boshlang'ich shartlar yo'qligini anglatadi, lekin buning o'rniga bizda ikkita chegara shartlari mavjud, biri \(x\) va biri \(y\) uchun.

Bundan tashqari, shuni ta'kidlash kerakki, bizda uchta chegara shartlari bir hil va bitta sababga ko'ra bir hil bo'lmagan. Ushbu Laplas tenglamasini echishga kirishganimizda, bu yechim topishimiz uchun zarur ekanligini ko'ramiz.

Ushbu muammo uchun biz mahsulot yechimidan foydalanamiz,

\[u\left( {x,y} \right) = h\left( x \right)\varphi \left( y \right)\]

Differensial tenglama haqida g'amxo'rlik qilishdan oldin, ko'pincha ushbu mahsulot yechimi beradigan chegara shartlarini qo'lda saqlash qulay bo'ladi. Bu holda bizda uchta bir xil chegara shartlari mavjud va shuning uchun biz ularning barchasini aylantirishimiz kerak. Biz bu kabi chegara shartlarini allaqachon o'zgartirganimiz sababli, ular shunday bo'lishini tekshirishni sizga qoldiramiz,

\[h\left( L \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( H \right) = 0\]

Buni differentsial tenglamaga kiritish va ajratish,

\[\begin{align*}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {h\left( x \right)\varphi \left( y \right)} \right) + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\left( {h\left( x \right)\varphi \left( y \right)} \right) & = 0\\ \varphi \left( y \right)\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} + \,h\left( x \right)\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} & = 0\\ \frac{1}{h}\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} & = - \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}}\end{align*}\]

OK, endi biz ajratish doimiysi haqida qaror qabul qilishimiz kerak. E'tibor bering, biz har safar ajratish konstantasini tanlaganimizda, biz differentsial tenglama mavjudligiga ishonch hosil qilish uchun shunday qildik

\[\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} + \lambda \varphi = 0\]

namoyon bo'lardi. Albatta, mahsulot yechimini qanday belgilaganimizga qarab harflar boshqacha bo'lishi mumkin (chunki ular bu erda bo'lishi kerak). Biz birinchi misoldan keyin muhokamada ta'kidlaganimizdek, bu xos qiymat/o'z funksiya muammosini qanday hal qilishni bilamiz. Biroq, uni hal qilish uchun bizga ikkita chegara sharti kerak.

Shunday qilib, bizning muammomiz uchun bizda \(\varphi \left( y \right)\) uchun ikkita chegara sharti borligini, lekin \(h\left( x \right)\) uchun faqat bittasini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz hal qilishimiz kerak bo'lgan chegara muammosi \(\varphi \left( y \right)\) ni o'z ichiga olishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz allaqachon hal qilgan chegaraviy masaladan foydalanishga imkon beradigan ajratish konstantasini tanlashimiz kerak. Bunday holda, bu ajratish doimiysi uchun \(\lambda \) ni tanlashimiz kerakligini anglatadi. Agar bunga ishonchingiz komil bo'lmasa, bir soniya ushlab turing va bu erda haqiqatan ham to'g'ri tanlov ekanligini ko'rasiz.

Ajratish konstantasini qo'yish,

\[\frac{1}{h}\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} = - \frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} = \lambda \]

Laplas tenglamasidan olingan ikkita oddiy differentsial tenglamalar,

\[\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} = \lambda h\hspace{0.25in} - \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} = \lambda \varphi \]

E'tibor bering, agar biz ularni biroz qayta yozsak, biz shunday bo'lamiz,

\[\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} - \lambda h = 0\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} + \lambda \varphi = 0\]

Endi biz ikkinchisi endi biz hal qilgan narsaga o'xshashligini ko'rishimiz mumkin (albatta, harflardagi kichik o'zgarishlar bilan, lekin bu haqiqatan ham narsani o'zgartirmaydi).

Shunday qilib, keling, bu erda xulosa qilaylik.

\[\begin{align*}\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}} - \lambda h & = 0 & \hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{y^2}}} + \lambda \varphi & = 0\\ h\left( L \right) & = 0 & \hspace{0.25in}\varphi \left( 0 \right) & = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( H \right) = 0\end{align*}\]

E'tibor bering, bu \(Q\left( {x,t} \right) = - c\rho \,u\) manba atamasi bilan issiqlik tenglamasi va chiziqli va bir hildir. Shuni ham yodda tutingki, biz birinchi marta chegaraviy shart turlarini aralashtirdik. \(x = 0\) da biz belgilangan haroratga egamiz va \(x = L\) da biz Nyutonning sovutish tipidagi chegara sharti qonuniga egamiz. Birinchi misollardan ikkala chegaradagi chegara shartlari har doim bir xil bo'ladi degan fikrdan uzoqlashmasligimiz kerak. Ularning bir xil turiga ega bo'lish chegaraviy muammoni ko'p hollarda hal qilishni biroz osonlashtiradi.

Shunday qilib, biz boshlaymiz,

\[u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\]

va buni qisman differentsial tenglamaga kiritish,

\[\begin{align*}\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\varphi \left( x \right)G\left( t \right)} \right) & = k\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left( {\varphi \left( x \right)G\left( t \right)} \right) - \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\\ \varphi \left( x \right)\frac{{dG}}{{dt}} & = k\,G\left( t \right)\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} - \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\end{align*}\]

Endi keyingi qadam \(\varphi \left( x \right)G\left( t \right)\) ga bo'lish va shuni e'tiborga olish kerakki, buni bajargandan so'ng o'ngdagi ikkinchi atama bitta bo'lib qoladi va shuning uchun har ikki tomonga o'tishi mumkin. Nazariy jihatdan, ikkala tomonda ham bo'lmasligi uchun hech qanday sabab yo'q, ammo amaliy nuqtai nazardan, biz yana narsalarni iloji boricha sodda saqlashni xohlaymiz, shuning uchun uni \(t\) tomoniga o'tkazamiz, chunki bu biz ilgari ko'rgan chegaraviy qiymat muammosi uchun differentsial tenglamani olishimizni kafolatlaydi.

Shunday qilib, ajratish va ajratish doimiysini kiritish,

\[\frac{1}{k}\left( {\frac{1}{G}\frac{{dG}}{{dt}} + 1} \right) = \,\frac{1}{\varphi }\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \]

Biz olgan ikkita oddiy differensial tenglamalar (qayta yozish bilan),

\[\frac{{dG}}{{dt}} = - \left( {\lambda k + 1} \right)G\hspace{0.25in}\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} = - \lambda \varphi \]

Endi chegara shartlari bilan shug'ullanamiz.

\[\begin{align*} & G\left( t \right)\varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\\ & G\left( t \right)\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) + G\left( t \right)\varphi \left( L \right) = G\left( t \right)\left[ {\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) + \varphi \left( L \right)} \right] = 0\end{align*}\]

va biz faqat arzimas yechimga erishishimizni ko'rishimiz mumkin, agar:

\[\varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) + \varphi \left( L \right) = 0\]

Shunday qilib, biz ushbu muammoga o'zgaruvchilarni ajratishni qo'llash orqali erishamiz.

\[\begin{align*}\frac{{dG}}{{dt}} = - \left( {\lambda k + 1} \right)G\hspace{0.25in} & \frac{{{d^2}\varphi }}{{d{x^2}}} + \lambda \varphi = 0\\ & \varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi }}{{dx}}\left( L \right) + \varphi \left( L \right) = 0\end{align*}\]