4.5-bo'lim: Turli xil funksiyalar (miscellaneous functions)
Ushbu bo'limning asosiy maqsadi — sizni ushbu bobda shu paytgacha ko'rib chiqqan murakkab egri chiziqlarimizdek katta hisoblashlarni talab qilmaydigan bir qator muhim bazaviy funksiyalar bilan tanishtirishdir. Bu funksiyalarning ko'pchiligining grafigini yasash uchun \(x\) ning bir nechta qiymatlarini qo'yib, funksiyani hisoblash va hosil bo'lgan nuqtalarni tekislikda belgilab, o'zaro tutashtirish kifoyadir.
O'zgarmas funksiya (Constant Function)
Bu, ehtimol, biz grafigini chizadigan eng sodda funksiyadir, lekin negadir aynan u talabalarda eng ko'p chalkashlik keltirib chiqaradigan funksiyalardan biri hisoblanadi.
O'zgarmas funksiyaning eng umumiy ko'rinishi quyidagicha:
\[f\left( x \right) = c\]bu yerda \(c\) — qandaydir aniq haqiqiy son.
O'zgarmas funksiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega bo'lishini tushunish uchun \(f(x) = 4\) funksiyasini ko'rib chiqaylik. Talabalarda bu funksiya bilan bog'liq yuzaga keladigan eng katta qiyinchilik shundaki: tenglikning o'ng tomonida hisoblash uchun qo'yishga hech qanday \(x\) o'zgaruvchi yo'q! Biroq buning ma'nosi juda oddiy — o'rniga qo'yish shart emas. Boshqacha aytganda, biz funksiyaga qanday \(x\) qiymatni qo'ymaylik, funksiyaning natijasi doimo \(4\) ga (umumiy holda \(c\) ga) teng bo'ladi.
Demak, ushbu grafikdagi har bir nuqtaning \(y\) koordinatasi \(4\) ga teng. Bu esa aynan gorizontal to'g'ri chiziqning ta'rifidir! Darhaqiqat, \(f(x)\) — bu \(y\) ni belgilashning boshqacha usuli ekanini eslasak, funksiyani quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
\[y = 4\]Bu esa aynan gorizontal to'g'ri chiziq tenglamasidir.
Quyida ushbu funksiyaning grafigi keltirilgan:
Kvadrat ildiz funksiyasi (Square Root Function)
Endi \(f(x) = \sqrt{x}\) funksiyasini ko'rib chiqamiz. Avvalo, funksiyani hisoblash natijasida kompleks sonlar hosil bo'lmasligi uchun biz \(x\) ning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlariga cheklov qo'yishimiz kerak. Biz faqat \(x \ge 0\) oraliqdagi qiymatlarnigina ildiz ostiga qo'ya olamiz. Bu degani, funksiyaning grafigi ham faqat \(x \ge 0\) sohadagina (o'ng yarim tekislikda) mavjud bo'ladi.
Grafikni chizish uchun \(x\) ning bir nechta qulay qiymatlarini hisoblab olamiz:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
Hosil bo'lgan grafik quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi:
Modul funksiyasi (Absolute Value Function)
Biz modul tushunchasi bilan avvalgi darslarimizda bir necha bor to'qnash kelganmiz. Endi uning grafigini chizish vaqti keldi. Dastlab modul funksiyasining aniq matematik ta'rifini eslatib o'taylik:
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\text{agar }}x \ge 0}\\{ - x}&{{\text{agar }}x < 0}\end{array}} \right.\]Bu bo'lakli funksiya (piecewise function) bo'lib, bunday funksiyalarning grafigini qanday chizishni allaqachon bilamiz. Bizdan talab qilinadigan narsa — ikkala soha uchun ham bir nechta nuqtalarni topib, ularni tekislikda belgilashdir.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| -1 | 1 |
| 2 | 2 |
| -2 | 2 |
Ushbu funksiyaning grafigi quyidagicha:
Ko'rib turganingizdek, bu lotincha "V" harfi shaklidagi grafikdir. Uning uchi koordinata boshida \((0,0)\) joylashgan bo'lib, uning birinchi chorakdagi qismi \(y = x\) to'g'ri chizig'iga, ikkinchi chorakdagi qismi esa \(y = -x\) to'g'ri chizig'iga to'g'ri keladi.
Kubik funksiya (Cubic Function)
Biz bu yerda umumiy ko'rinishdagi uchinchi darajali ko'phadni emas, balki eng asosiy bazaviy kubik funksiya — \(f(x) = x^3\) ni qaraymiz (umumiy ko'phadlar grafiklari keyingi bobda batafsil o'rganiladi). Bu yerda ham nuqtalarni hisoblab chiqish kifoya:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| -1 | -1 |
| 2 | 8 |
| -2 | -8 |
Hosil bo'lgan kubik parabolaning grafigi quyidagicha:
Ushbu bazaviy funksiyalar (o'zgarmas funksiya, kvadrat ildiz, modul va kubik funksiya) keyingi bo'limda — Funksiyalar grafiklarini almashtirish (Transformations) mavzusida bizga juda zarur bo'ladi. Shu sababli, ularning formulalari va grafiklarining xarakterli shakllarini ko'rgan zahoti darhol taniy olishingizga ishonch hosil qiling.