7-bob: Integratsiya usullari
Ushbu bobda biz turli xil integratsiya usullarini ko'rib chiqamiz. Ularning adolatli soni bor va ba'zilari boshqalarga qaraganda osonroq bo'ladi. Bobning maqsadi sizga ushbu yangi texnikani o'rgatishdir va shuning uchun bu bobda siz asosiy integratsiya va integrallar bilan almashtirishlar haqida juda yaxshi bilimga ega ekanligingizni taxmin qiladi. Aslida, "oddiy" almashtirishlarni o'z ichiga olgan ko'pgina integrallar ko'rsatilgan almashtirish ishlariga ega bo'lmaydi. Integratsiyaning almashtirish qismini o'zingiz tekshirishingiz mumkin deb taxmin qilinadi.
Shuningdek, ushbu bobda bajarilgan integrallarning aksariyati noaniq integrallar bo'ladi. Bundan tashqari, siz noaniq integrallarni amalga oshirganingizdan so'ng, aniq integrallarni ham bajarishingiz mumkin deb taxmin qilinadi va shuning uchun bo'sh joyni tejash uchun biz asosan noaniq integrallarga e'tibor qaratamiz. Buning bitta istisnosi bor va bu Trigni almashtirish bo'limi va bu holda aniq integrallar bilan bog'liq ba'zi nozikliklar mavjud, biz ularga e'tibor berishimiz kerak. Bundan tashqari, aksariyat bo'limlarda ko'pi bilan bitta aniq integral misol bo'ladi va ba'zi bo'limlarda aniq integral misollar bo'lmaydi.
Mana, ushbu bobda yoritilgan mavzular ro'yxati.
Qismlar bo'yicha integratsiya - Ushbu bo'limda biz qismlar bo'yicha integratsiyani ko'rib chiqamiz. Ushbu sinfda biz ko'rib chiqadigan barcha usullardan bu o'quvchilar boshqa sinflarda yo'lda uchib ketishlari mumkin bo'lgan texnikadir. Shuningdek, biz qismlar formulasi bo'yicha integratsiyaning hosilasini beramiz.
Trig funksiyalarni o'z ichiga olgan integrallar – Ushbu bo'limda biz trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz sinuslar va kosinuslarning integratsiyalashgan mahsulotlarini, shuningdek, sekant va tangenslarning mahsulotlarini jamlaymiz. Shuningdek, biz trig funksiyalarining ayrim koeffitsientlari uchun ushbu trig funksiyalarining mahsulotlari uchun ishni qanday o‘zgartirishni qisqacha ko‘rib chiqamiz.
Triglarni almashtirish – Bu bo‘limda biz trig funksiyalarni o‘z ichiga oluvchi almashtirishlardan foydalanishni talab qiluvchi integrallarni (ham noaniq, ham aniq) va ulardan ma’lum integrallarni soddalashtirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Qisman kasrlar - Ushbu bo'limda biz qisman kasrlardan foydalanib, integrallarni ba'zi ratsional funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarni bajarishga imkon beradigan shaklga qayta yozamiz.
Ildizlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz ba'zan ildizlari bo'lgan integrallar bilan ishlatilishi mumkin bo'lgan almashtirishni ko'rib chiqamiz.
Kvadratlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz oldingi usullar darhol ishlamaydigan kvadratiklarni o'z ichiga olgan ba'zi integrallarni ko'rib chiqamiz. Ba'zi hollarda integralni bajarishimizdan oldin kvadratni manipulyatsiya qilish kerak. Biz ushbu bo'limda zarur bo'lgan bir nechta holatlarni ko'rib chiqamiz.
Integratsiya strategiyasi - Ushbu bo'limda biz integralni qanday baholashni aniqlash uchun umumiy ko'rsatmalar to'plamini beramiz. Bu erda berilgan ko'rsatmalar imkon qadar umumiy bo'lishi uchun Calculus I va Calculus II texnikasining aralashmasini o'z ichiga oladi. Shuni ham yodda tutingki, haqiqatan ham har doim ishlaydigan ko'rsatmalar to'plami mavjud emas va shuning uchun siz ushbu ko'rsatmalar to'plamiga rioya qilishda doimo moslashuvchan bo'lishingiz kerak.
Noto'g'ri integrallar - Ushbu bo'limda biz cheksiz integrallash intervalli integrallarni va bu bo'limda uzluksiz integralli integrallarni ko'rib chiqamiz. Birgalikda ular noto'g'ri integrallar deb ataladi va biz ko'rib turganimizdek, ular cheklangan (ya'ni cheksiz emas) qiymatga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ularning cheklangan qiymatlari bor yoki yo'qligini aniqlash, aslida, ushbu bo'limning asosiy mavzularidan biri bo'ladi.
Noto'g'ri integrallar uchun taqqoslash testi - Noto'g'ri integrallarni baholash har doim ham mumkin bo'lmaydi, ammo biz hali ham ularning yaqinlashish yoki ajralishlarini aniqlashimiz kerak (ya'ni, ular cheklangan qiymatga egami yoki yo'qmi). Shunday qilib, ushbu bo'limda biz noto'g'ri integrallarning yaqinlashish yoki uzoqlashishini aniqlash uchun taqqoslash testidan foydalanamiz.
Aniq integrallarni yaqinlashtirish - Ushbu bo'limda biz aniq integral qiymatini yaqinlashtirishning bir necha oddiy usullarini ko'rib chiqamiz. Har bir aniq integralni baholash mumkin emas (ya'ni, noaniq integralni bajarish mumkin emasligi sababli) va shunga qaramay, biz aniq integralning qiymatini bilishimiz kerak bo'lishi mumkin. Ushbu usullar bizga hech bo'lmaganda ko'p hollarda etarli bo'lishi mumkin bo'lgan taxminiy qiymatni olish imkonini beradi.