2.5-bo'lim: Hisoblash chegaralari
Avvalgisida bo'limi foydalanishga imkon beruvchi funksiyalarning katta sinfi mavjudligini ko‘rdik
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]chegaralarni hisoblash uchun. Biroq, bu oson ishlamaydigan ko'plab cheklovlar mavjud. Ushbu bo'limning maqsadi - bu haqiqatdan foydalanishga imkon bermaydigan ba'zi cheklovlar bilan kurashish usullarini ishlab chiqish.
Keling, avval orqaga qaytaylik va biz ko'rib chiqqan birinchi chegaralardan birini ko'rib chiqaylik va uning aniq qiymatini hisoblaymiz va chegara uchun taxminimizni tasdiqlaymiz.
Yechim
Avval shuni ta'kidlaymizki, agar biz \(x = 2\) ni ulashga harakat qilsak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} = \frac{0}{0}\]Shunday qilib, biz chegarani baholash uchun faqat \(x = 2\)-ni ulay olmaymiz. Shunday qilib, biz boshqa biror narsa qilishimiz kerak.
Cheklovlarni baholashda har doim qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa bu funktsiyani iloji boricha soddalashtirishdir. Bunday holda, bu raqam va maxrajni koeffitsientga ajratishni anglatadi. Buni qilish,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 6}}{x}\end{align*}\]Shunday qilib, faktoring orqali biz \(x - 2\) ni ham suratdan, ham maxrajdan bekor qilishimiz mumkinligini ko'rdik. Buni amalga oshirgandan so'ng, biz endi \(x = 2\)-ni ulashimiz mumkin bo'lgan yangi ratsional ifodaga ega bo'ldik, chunki biz nolga bo'linish muammosini yo'qotdik. Shuning uchun chegara,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 6}}{x} = \frac{8}{2} = 4\]E'tibor bering, bu biz chegarani taxmin qilgan narsadir.
Ushbu misolni tark etishdan oldin, biz \(x = 2\)-ni asl chegaramizga ulay olmaganimizni muhokama qilaylik, lekin soddalashtirishni amalga oshirganimizdan so'ng, javob olish uchun \(x = 2\)-ni ulab oldik. Bir qarashda bu qarama-qarshilikdek tuyulishi mumkin.
Dastlabki chegarada biz \(x = 2\)-ni ulay olmadik, chunki bu bizga hech narsa qila olmaydigan 0/0 holatini berdi. Soddalashtirishni amalga oshirgandan so'ng, shuni ta'kidlashimiz mumkinki,
\[\frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} = \frac{{x + 6}}{x}\hspace{0.25in}{\mbox{provided }}x \ne 2\]Boshqacha qilib aytganda, \(x = 2\) dan tashqari ikkita tenglama bir xil qiymatlarni beradi va chegaralar faqat \(x = 2\) nuqtasi atrofida sodir bo'layotganiga taalluqli bo'lgani uchun ikkala tenglamaning chegarasi teng bo'ladi. Eng muhimi, soddalashtirilgan versiyada biz "etarlicha yaxshi" tenglamaga ega bo'lamiz va shuning uchun \(x = 2\) atrofida sodir bo'layotgan voqealar \(x = 2\) da sodir bo'layotgan narsalar bilan bir xil.
Shunday qilib, biz \(x = 2\) ni ulash orqali soddalashtirilgan versiya chegarasini olishimiz mumkin, garchi biz \(x = 2\) ni asl tenglamaga ulay olmasak ham va soddalashtirilgan tenglama chegarasining qiymati asl tenglamaning chegarasi bilan bir xil bo'ladi.
Yon eslatmada biz oldingi misolda dastlab olgan 0/0 deyiladi noaniq shakl. Bu shuni anglatadiki, biz ko'proq ish qilmagunimizcha, bu nima bo'lishini bilmaymiz. Odatda, maxrajdagi nol uning aniqlanmaganligini bildiradi. Biroq, bu faqat surat nolga teng bo'lmasa, to'g'ri bo'ladi. Bundan tashqari, hisoblagichdagi nol odatda kasrning nolga teng ekanligini bildiradi, agar maxraj ham nolga teng bo'lmasa. Xuddi shunday, agar biz nol haqida gapirmasak, o'z-o'zidan bo'lingan har qanday narsa 1 ga teng.
Shunday qilib, bu erda haqiqatan ham uchta raqobatlashuvchi "qoidalar" mavjud va qaysi biri g'alaba qozonishi aniq emas. Bundan tashqari, ularning hech biri g'olib chiqmasligi mumkin va biz aniqlanmagan, nol yoki bittadan butunlay boshqacha narsani olamiz. Biz, masalan, tasodifiy raqamni tanlash uchun undan 4 qiymatini olishimiz mumkin.
Tenglamani oddiygina baholashda 0/0 aniqlanmagan. Biroq, chegarani olishda, agar biz 0/0 olsak, biz turli xil javoblarni olishimiz mumkin va qaysi biri to'g'ri ekanligini bilishning yagona yo'li bu chegarani hisoblashdir.
Noaniq shakllarning yana ko'p turlari mavjud va biz keyingi bobda noaniq shakllarni batafsil muhokama qilamiz.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu holda biz ham 0/0 olamiz va faktoring, albatta, variant emas. Biroq, biz hali ham qila oladigan ba'zi soddalashtirishlar mavjud.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2{{\left( { - 3 + h} \right)}^2} - 18}}{h} & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\left( {9 - 6h + {h^2}} \right) - 18}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{18 - 12h + 2{h^2} - 18}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 12h + 2{h^2}}}{h}\end{align*}\]Shunday qilib, birinchi a'zoni ko'paytirgandan so'ng biz biroz bekor qilamiz va endi biz hisoblagichdagi \(h\) ni har ikkala shartdan ajratib olishimiz mumkin, bu esa maxrajdagi \(h\) ga qarshi bekor qilinadi va nolga bo'linish muammosi yo'qoladi va biz chegarani baholashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2{{\left( { - 3 + h} \right)}^2} - 18}}{h} & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 12h + 2{h^2}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left( { - 12 + 2h} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\, - 12 + 2h = - 12\end{align*}\]Yechim
Bu chegara oldingi ikkitasiga qaraganda bir oz ko'proq ish bo'ladi. Yana bir bor eslatib o'tamizki, agar biz chegarani baholashga harakat qilsak, biz 0/0 noaniq shaklni olamiz. Shuni ham yodda tutingki, ikkita misolning hech biri bu erda hech bo'lmaganda dastlab yordam bermaydi. Biz tenglamani faktorlarga ajrata olmaymiz va tenglamani soddalashtirish uchun biror narsani ko'paytirib bo'lmaydi.
Surat yoki maxrajda kvadrat ildiz bo'lsa, biz ratsionalizatsiya qilishga harakat qilamiz va bu yordam beradimi yoki yo'qmi. Eslatib o'tamiz, ratsionalizatsiya shundan foydalanadi
\[\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\]Shunday qilib, agar birinchi va/yoki ikkinchi atama kvadrat ildizga ega bo'lsa, ratsionalizatsiya ildiz (lar)ni yo'q qiladi. Bu mumkin chegarani baholashda yordam beradi.
Keling, bu holda hisoblagichni ratsionalizatsiya qilishga harakat qilaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{t - \sqrt {3t + 4} }}{{4 - t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{\left( {t - \sqrt {3t + 4} } \right)}}{{\left( {4 - t} \right)}}\,\frac{{\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}{{\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\]Esda tutingki, ratsionalizatsiya qilish uchun biz faqat hisoblagichni olamiz (chunki biz buni ratsionalizatsiya qilamiz), ikkinchi a'zodagi belgini o'zgartiramiz va pay va maxrajni ushbu yangi atama bilan ko'paytiramiz.
Keyinchalik, minus belgilarini diqqat bilan kuzatib, hisoblagichni ko'paytiramiz.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{t - \sqrt {3t + 4} }}{{4 - t}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{{t^2} - \left( {3t + 4} \right)}}{{\left( {4 - t} \right)\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{{t^2} - 3t - 4}}{{\left( {4 - t} \right)\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz maxrajni ham ko'paytirmadik. Aksariyat o'quvchilar Algebra darsidan chiqib, har doim bu narsalarni ko'paytirish uchun boshlariga urishadi. Biroq, bu holda ko'paytirish muammoni juda qiyinlashtiradi va oxirida siz baribir uni faktoringga aylantirasiz.
Ushbu bosqichda biz deyarli tugatdik. E'tibor bering, biz suratni ko'paytiramiz, shuning uchun buni qilaylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{t - \sqrt {3t + 4} }}{{4 - t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{\left( {t - 4} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {4 - t} \right)\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, agar biz maxrajdagi birinchi haddan "-1" ni qo'shsak, biroz bekor qilishimiz mumkin. O'sha paytda nolga bo'linish muammosi yo'qoladi va biz chegarani baholashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{t - \sqrt {3t + 4} }}{{4 - t}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{\left( {t - 4} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{ - \left( {t - 4} \right)\left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{t + 1}}{{ - \left( {t + \sqrt {3t + 4} } \right)}}\\ & = - \frac{5}{8}\end{align*}\]E'tibor bering, agar biz maxrajni ko'paytirganimizda, biz buni bekor qila olmagan bo'lardik va ehtimol, ba'zi bir bekor qilish amalga oshirilishi mumkinligini ham ko'rmagan bo'lardik.
Shunday qilib, biz bir nechta chegaralarni ko'rib chiqdik, bunda baholash noaniq shaklni 0/0 berdi va endi bizda bu holatlarda sinab ko'rish uchun bir nechta narsa bor.
Keling, qismlarga bo'lingan funktsiyalarni o'z ichiga olgan ba'zi chegaralarni hisoblashda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan boshqa turdagi muammolarni ko'rib chiqaylik.
Quyidagi chegaralarni hisoblang.
- \(\mathop {\lim }\limits_{y \to 6} g\left( y \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{y \to - 2} g\left( y \right)\)
a \(\mathop {\lim }\limits_{y \to 6} g\left( y \right)\) Yechim
Bu holatda, albatta, ko'p narsa qilish kerak emas. Cheklovlarni amalga oshirayotganda, biz har doim ko'rib chiqilayotgan nuqtaning har ikki tomonida nima sodir bo'layotganiga qarashimiz kerakligini esga oling. Bu holda \(y = 6\) toʻliq funksiya uchun ikkinchi interval ichida boʻladi va shuning uchun \(y = 6\) ning har ikki tomonida \(y\) qiymatlari ham shu oraliq ichida joylashgan. Bu shuni anglatadiki, biz ushbu chegarani baholash uchun faqat faktdan foydalanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{y \to 6} g\left( y \right) & = \mathop {\lim }\limits_{y \to 6}( 1 - 3y)\\ & = - 17\end{align*}\]b \(\mathop {\lim }\limits_{y \to - 2} g\left( y \right)\) Yechim
Ushbu qism bu muammoning haqiqiy nuqtasidir. Bunday holda, biz chegara olmoqchi bo'lgan nuqta - bu ikki interval uchun kesish nuqtasi. Boshqacha qilib aytganda, biz faqat \(y = - 2\) ni ikkinchi qismga ulay olmaymiz, chunki bu intervalda \(y = - 2\) chap tomonidagi \(y\) qiymatlari mavjud emas va biz nuqtaning har ikki tomonida nima sodir bo‘layotganini bilishimiz kerak.
Ushbu qismni bajarish uchun biz bo'limdagi faktni eslab qolishimiz kerak bir tomonlama chegaralar Agar ikkita bir tomonlama chegara mavjud bo'lsa va bir xil bo'lsa, normal chegara ham mavjud bo'ladi va bir xil qiymatga ega bo'ladi.
E'tibor bering, bu erda ikkala bir tomonlama cheklovlar ham amalga oshirilishi mumkin, chunki biz ushbu nuqtaning faqat bir tomonini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, keling, ikkita bir tomonlama chegaralarni bajaramiz va biz nimaga erishamiz.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ - }} g\left( y \right) & = \mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ - }} ({y^2} + 5)\hspace{0.25in}{\mbox{since }}y \to {-2^ - }{\mbox{ implies }}y < - 2\\ & = 9\end{align*}\] \[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ + }} g\left( y \right) & = \mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ + }} (1 - 3y)\hspace{0.25in}{\mbox{since }}y \to {-2^ + }{\mbox{ implies }}y > - 2\\ & = 7\end{align*}\]Shunday qilib, bu holatda biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ - }} g\left( y \right) = 9 \ne 7 = \mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ + }} g\left( y \right)\]va shuning uchun ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil emas
\[\mathop {\lim }\limits_{y \to - 2} g\left( y \right)\]mavjud emas.
E'tibor bering, funktsiyaga juda oddiy o'zgartirish \(y = - 2\)-da chegara mavjud bo'lishiga olib keladi, shuning uchun quyidagi misolda ko'rsatilgandek bo'lak-bo'lak funktsiyadagi ushbu kesish nuqtalarida hech qachon mavjud bo'lmagan chegaralarga kirmang.
Yechim
Bu safar ikkita bir tomonlama chegaralar:
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ - }} g\left( y \right) & = \mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ - }} ({y^2} + 5)\hspace{0.25in}{\mbox{since }}y \to {-2^ - }{\mbox{ implies }}y < - 2\\ & = 9\end{align*}\] \[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ + }} g\left( y \right) & = \mathop {\lim }\limits_{y \to - {2^ + }} (3 - 3y)\hspace{0.25in}{\mbox{since }}y \to {-2^ + }{\mbox{ implies }}y > - 2\\ & = 9\end{align*}\]Bir tomonlama chegaralar bir xil, shuning uchun biz olamiz
\[\mathop {\lim }\limits_{y \to - 2} g\left( y \right) = 9\]Biz qilishimiz kerak bo'lgan yana bir chegara bor. Biroq, bizga buni amalga oshirishga yordam beradigan chegaralar haqida yangi fakt kerak bo'ladi.
Limitlar Tengsizliklarni saqlaydi
Agar \(f\left( x \right) \le g\left( x \right)\) barcha \(x\) uchun \([a, b]\) (ehtimol \(x = c\) dan tashqari) va \(a \le c \le b\) uchun,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to c} g\left( x \right)\]E'tibor bering, agar ikkala funktsiyani ham etarlicha yaxshi deb hisoblasak, bu fakt siz uchun ma'lum bo'lishi kerak. Agar ikkala funktsiya chegaraviy baholashdan foydalanish uchun "etarlicha yaxshi" bo'lsa haqiqat keyin bizda,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right) \le g\left( c \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} g\left( x \right)\]Tengsizlik to'g'ri, chunki biz \(c\) \(a\) va \(b\) o'rtasida joylashganligini bilamiz va bu diapazonda biz \(f\left( x \right) \le g\left( x \right)\) ni ham bilamiz.
Shuni esda tutingki, haqiqat haqiqat bo'lishi uchun bizga ikkita funktsiya etarli darajada yaxshi bo'lishi kerak emas, lekin bu haqiqatni tezda "oqlash" uchun yaxshi usulni taqdim etadi.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(f\left( x \right) \le g\left( x \right)\) ni \([a, b]\)-dagi barcha \(x\) uchun (ehtimol \(x = c\)-dan tashqari) deb taxmin qilgan edik. Cheklovlar \(x = c\)-da aslida nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaganligi sababli, biz ushbu aniq nuqtada ushlab turish uchun tengsizlikka muhtoj emasmiz. Bizga uni faqat \(x = c\) atrofida ushlab turish kerak, chunki bu cheklov haqida.
Quyidagi teoremani olish uchun bu faktni bir qadam oldinga olib borishimiz mumkin.
Siqish teoremasi
Aytaylik, \([a, b]\)-dagi barcha \(x\) uchun (ehtimol \(x = c\)-dan tashqari) bizda:
\[f\left( x \right) \le h\left( x \right) \le g\left( x \right)\]Shuningdek, deylik,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} g\left( x \right) = L\]ba'zi \(a \le c \le b\) uchun. Keyin,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to c} h\left( x \right) = L\]Oldingi faktda bo'lgani kabi, biz faqat \(f\left( x \right) \le h\left( x \right) \le g\left( x \right)\) \(x = c\) atrofida to'g'ri ekanligini bilishimiz kerak, chunki biz cheklovlar bilan ishlaymiz va ular faqat \(x = c\) atrofida nima sodir bo'layotgani bilan bog'liq, lekin \(x = c\) da nima sodir bo'layotgani emas.
Endi, agar biz yana uchta funktsiyaning barchasini etarlicha yaxshi deb hisoblasak (yana siqish teoremasini to'g'ri qilish uchun bu shart emas, bu faqat vizualizatsiyaga yordam beradi), unda biz siqish teoremasi bizga aytayotgan narsaning qisqacha eskizini olishimiz mumkin. Quyidagi rasmda ushbu teoremada nima sodir bo'layotgani ko'rsatilgan.
Rasmdan ko'rishimiz mumkinki, agar \(f(x)\) va \(g(x)\) chegaralari \(x = c\) da teng bo'lsa, funktsiya qiymatlari \(x = c\) da ham teng bo'lishi kerak (bu erda biz funktsiyalarni "etarli darajada yaxshi" deb taxmin qilganimizdan foydalanamiz, bu Teorema uchun talab qilinmaydi). Biroq, \(h(x)\) bu nuqtada \(f(x)\) va \(g(x)\) o'rtasida "siqilgan"ligi sababli, \(h(x)\) bir xil qiymatga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun, bu nuqtada \(h(x)\) chegarasi ham bir xil bo'lishi kerak.
Squeeze teoremasi sifatida ham tanilgan Sendvich teoremasi va Chimchilash teoremasi.
Xo'sh, bu teoremadan qanday qilib chegaralar bilan yordam berishimiz mumkin? Teoremani amalda ko'rish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqamiz.
Yechim
Ushbu misolda oldingi misollarning hech biri bizga yordam bera olmaydi. Faktoring yoki soddalashtirish yo'q. Biz ratsionalizatsiya qila olmaymiz va bir tomonlama chegaralar ishlamaydi. Hatto bu chegara mavjud bo'ladimi degan savol ham bor, chunki bizda \(x=0\) da kosinus ichida nolga bo'linish mavjud.
E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa, biz kosinus haqida quyidagi faktni bilamiz.
\[ - 1 \le \cos \left( x \right) \le 1\]Bizning funktsiyamizda kosinusda faqat \(x\) mavjud emas, lekin agar biz \(x = 0\) dan qochsak, kosinusimiz uchun ham xuddi shunday deyishimiz mumkin.
\[ - 1 \le \cos \left( {\frac{1}{x}} \right) \le 1\]Bu erda \(x = 0\)-ga e'tibor bermaslik yaxshi, chunki biz cheklovni qo'llayapmiz va biz bilamizki, chegaralar ushbu nuqtada nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaydi, bu holda \(x = 0\).
Endi bizning kosinusimiz uchun yuqoridagi tengsizlikka ega bo'lsak, biz hamma narsani \(x^{2}\) ga ko'paytirishimiz va quyidagilarni olishimiz mumkin.
\[ - {x^2} \le {x^2}\cos \left( {\frac{1}{x}} \right) \le {x^2}\]Boshqacha qilib aytganda, biz o'zimizni qiziqtirgan funktsiyani hal qilish juda oson bo'lgan boshqa ikkita funktsiya o'rtasida siqib chiqarishga muvaffaq bo'ldik. Shunday qilib, ikkita tashqi funktsiyaning chegaralari.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - {x^2}} \right) = 0\]Bular bir xil va shuning uchun Squeeze teoremasi bo'yicha biz ham ega bo'lishimiz kerak,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\cos \left( {\frac{1}{x}} \right) = 0\]Buni uchta funktsiyaning grafigi bilan tekshirishimiz mumkin. Bu quyida ko'rsatilgan.
Ushbu bo'limda biz chegaralarni hisoblashda foydalanishimiz mumkin bo'lgan bir nechta vositalarni ko'rib chiqdik, ularda biz faqat ushbu nuqtadagi funktsiyani baholay olmaymiz. Ko'rib turganimizdek, keyingi bo'limlarda biz bajaradigan ko'plab cheklovlar ushbu vositalardan bir yoki bir nechtasini talab qiladi.