13.3-bo'lim: Qisman hosilalarning talqini
Bu juda qisqa bo'lim va shu erda biz tan olishimiz mumkinki, bitta o'zgaruvchining funktsiyalari hosilalarining ikkita asosiy talqini hali ham qisman hosilalar uchun amal qiladi, albatta, bizda bir nechta o'zgaruvchilar mavjudligini hisobga olgan holda kichik o'zgartirishlar mavjud.
Biz allaqachon ko'rgan birinchi talqin va ikkalasidan ham muhimroqdir. Yagona o'zgaruvchilarning funktsiyalarida bo'lgani kabi, qisman hosilalar ham o'zgaruvchilar o'zgarganda funktsiyalarning o'zgarish tezligini ifodalaydi. Oldingida ko'rganimizdek, \({f_x}\left( {x,y} \right)\) \(x\) ni o'zgartirganda va \(y\) ni o'zgarmagan holda ushlab turganda \(f\left( {x,y} \right)\) funksiyasining o'zgarish tezligini ifodalaydi, \({f_y}\left( {x,y} \right)\) esa \(y\) ni o'zgartirib, \(x\) ni o'zgarmagan holda \(f\left( {x,y} \right)\) o'zgarish tezligini ifodalaydi.
- agar biz \(x\) ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(y\) ni o'zgarmagan holda ushlab tursak.
- agar biz \(y\) ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(x\) o'zgarmasligini ushlab tursak.
a agar biz \(x\) ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(y\) o'zgarmasligini ushlab tursak. Yechim
Bunday holda, bizga birinchi navbatda \({f_x}\left( {x,y} \right)\) va uning qiymati kerak bo'ladi.
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = \frac{{2x}}{{{y^3}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{f_x}\left( {2,5} \right) = \frac{4}{{125}} > 0\]Shunday qilib, \(x\) ga nisbatan qisman hosila ijobiy va shuning uchun biz \(y\) ni o'zgarmas holda ushlab tursak, funktsiya \(\left( {2,5} \right)\) da oshib boradi, chunki biz \(x\) ni o'zgartiramiz.
b agar biz \(y\)-ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(x\)-ni o'zgarmagan holda ushlab tursak. Yechim
Ushbu qism uchun bizga \({f_y}\left( {x,y} \right)\) va uning nuqtadagi qiymati kerak bo'ladi.
\[{f_y}\left( {x,y} \right) = - \frac{{3{x^2}}}{{{y^4}}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{f_y}\left( {2,5} \right) = - \frac{{12}}{{625}} < 0\]Bu yerda \(y\) ga nisbatan qisman hosila manfiy va shuning uchun funksiya \(\left( {2,5} \right)\) da kamayib bormoqda, chunki biz \(y\) ni o‘zgartiramiz va \(x\) ni o‘zgarmagan holda ushlab turamiz.
Shuni esda tutingki, ushbu misolda ko'rsatilgandek, bir nuqtada sobit \(y\) uchun funktsiya ortishi va sobit \(x\) uchun kamayishi mumkin. Buning yaxshi misolini ko'rish uchun quyidagi grafikni ko'rib chiqing.
Bu a ning grafigi giperbolik paraboloid va boshlang'ich qismida biz \(y\) o'qi bo'ylab harakat qilsak, grafik o'sib borishini va \(x\) o'qi bo'ylab harakat qilsak, grafik kamayishini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib, biz harakatlanayotgan yo'nalishga qarab bir nuqtada ham o'sib boruvchi, ham kamayuvchi grafaga ega bo'lish to'liq mumkin. Funktsiya har bir o'zgaruvchi o'zgargan nuqtada xuddi shunday harakat qilishini hech qachon kutmasligimiz kerak.
Keyingi talqin Calculus I sinfidagi standart talqinlardan biri edi. Biz Calculus I sinfidan bilamizki, \(f'\left( a \right)\) \(x = a\) da \(y = f\left( x \right)\) ga tangens chiziqning qiyaligini ifodalaydi. Xo'sh, \({f_x}\left( {a,b} \right)\) va \({f_y}\left( {a,b} \right)\) ham tangens chiziqlarning qiyaliklarini ifodalaydi. Bu erda farq ular tangens chiziqlarni ifodalovchi funktsiyalardir.
Qisman hosilalar - ning qiyaliklari izlar. \({f_x}\left( {a,b} \right)\) qisman hosilasi \(y = b\) tekisligi uchun \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida \(f\left( {x,y} \right)\) izining qiyaligidir. Xuddi shunday, \({f_y}\left( {a,b} \right)\) qisman hosilasi \(x = a\) tekisligi uchun \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida \(f\left( {x,y} \right)\) izining qiyaligidir.
Yechim
Oldingi maqolada biz \(x = 1\) va \(y = 2\) samolyotlarining izlarini chizgan edik. bo'limi va bular bu nuqta uchun ikkita izdir. Malumot uchun bu erda izlarning grafiklari keltirilgan.
Keyinchalik, qiyaliklarni olishimiz uchun bizga ikkita qisman hosila kerak bo'ladi.
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = - 8x\hspace{0.5in}{f_y}\left( {x,y} \right) = - 2y\]Nishablarni olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu nuqtadagi qisman hosilalarni baholashdir.
\[{f_x}\left( {1,2} \right) = - 8\hspace{0.5in}{f_y}\left( {1,2} \right) = - 4\]Shunday qilib, \(y = 2\) tekisligi uchun \(z = 10 - 4{x^2} - {y^2}\) izi uchun \(\left( {1,2} \right)\) da tangens chizig'i -8 nishabga ega. Shuningdek, \(x = 1\) tekisligi uchun \(z = 10 - 4{x^2} - {y^2}\) ga iz uchun \(\left( {1,2} \right)\) da tangens chizig'i -4 nishabga ega.
Nihoyat, tangens chiziq tenglamalarini olish haqida qisqacha gapiraylik. Eslatib o'tamiz, chiziq tenglamasi 3 o'lchamli fazoda vektor tenglama bilan berilgan. Bundan tashqari, tenglamani olish uchun bizga chiziqdagi nuqta va chiziqqa parallel bo'lgan vektor kerak.
Gap oson. Nuqtaning \(x\)-\(y\) koordinatalarini bilganimiz uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa nuqtani olish uchun uni tenglamaga ulashdir. Demak, gap shundan iboratki,
\[\left( {a,b,f\left( {a,b} \right)} \right)\]Parallel (yoki tangens) vektor ham xuddi shunday oson. Sirt tenglamasini vektor funksiya sifatida quyidagicha yozishimiz mumkin,
\[\vec r\left( {x,y} \right) = \left\langle {x,y,z} \right\rangle = \left\langle {x,y,f\left( {x,y} \right)} \right\rangle \]We bilish Agar bizda bitta o'zgaruvchining vektor funksiyasi bo'lsa, vektor funktsiyasini farqlash orqali tangens vektorni olishimiz mumkin. Bu erda ham xuddi shunday bo'ladi. Agar biz \(x\) ga nisbatan farq qilsak, \(y = b\) tekisligi uchun izlarga teginish vektorini olamiz.i.e. sobit \(y\) uchun) va agar biz \(y\) ga nisbatan farq qilsak, \(x = a\) (yoki sobit \(x\)) tekisligi uchun izlarga teginish vektorini olamiz.
Demak, mana mana fiksatsiyalangan \(y\) bilan izlar uchun tangens vektori.
\[{\vec r_x}\left( {x,y} \right) = \left\langle {1,0,{f_x}\left( {x,y} \right)} \right\rangle \]Biz \(x\) ga nisbatan har bir komponentni ajratdik. Shunday qilib, birinchi komponent 1 ga, ikkinchisi esa nolga aylanadi, chunki biz \(x\) ga nisbatan farqlashda \(y\) ni doimiy deb hisoblaymiz. Uchinchi komponent funksiyaning \(x\) ga nisbatan qisman hosilasidir.
Ruxsat etilgan \(x\) bo'lgan izlar uchun tangens vektori,
\[{\vec r_y}\left( {x,y} \right) = \left\langle {0,1,{f_y}\left( {x,y} \right)} \right\rangle \]Ruxsat etilgan \(y\) bilan tangens chizig'i uchun tenglama quyidagicha bo'ladi:
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {a,b,f\left( {a,b} \right)} \right\rangle + t\left\langle {1,0,{f_x}\left( {a,b} \right)} \right\rangle \]va belgilangan \(x\) bilan izlarga teginish chizig'i,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {a,b,f\left( {a,b} \right)} \right\rangle + t\left\langle {0,1,{f_y}\left( {a,b} \right)} \right\rangle \]Yechim
Yuqoridagi formulalarga qiymatlar va funktsiyani ulashdan tashqari, bular bilan unchalik ko'p aloqasi yo'q. Biz oldingi misolda \(\left( {1,2} \right)\) da hosilalar va ularning qiymatlarini allaqachon hisoblab chiqdik va har bir izdagi nuqta:
\[\left( {1,2,f\left( {1,2} \right)} \right) = \left( {1,2,2} \right)\]Mana \(y = 2\) tekisligi uchun izga teguvchi chiziq tenglamasi.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {1,2,2} \right\rangle + t\left\langle {1,0, - 8} \right\rangle = \left\langle {1 + t,2,2 - 8t} \right\rangle \]Mana \(x = 1\) tekisligi uchun izga teguvchi chiziq tenglamasi.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {1,2,2} \right\rangle + t\left\langle {0,1, - 4} \right\rangle = \left\langle {1,2 + t,2 - 4t} \right\rangle \]