13.2-bo'lim: Qisman hosilalar
Endi biz chegaralar haqida qisqacha muhokama qilganimizdan so'ng, biz bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalarining hosilalarini olishga kirishamiz. Bir nechta o'zgaruvchining funksiyalarining hosilalarini olishni boshlashdan oldin, bir o'zgaruvchining funktsiyalari hosilalarining muhim talqinini eslaylik.
Eslatib o'tamiz, bitta o'zgaruvchining funksiyasi, \(f\left( x \right)\), hosilasi \(f'\left( x \right)\), \(x\) o'zgarishi bilan funksiyaning o'zgarish tezligini ifodalaydi. Bu lotinlarning muhim talqini va biz uni bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan yo'qotmoqchi emasmiz. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari bilan bog'liq muammo shundaki, bir nechta o'zgaruvchilar mavjud. Boshqacha qilib aytganda, agar biz o'zgaruvchilardan faqat bittasini o'zgartirishni xohlasak yoki ulardan bir nechtasini o'zgartirishni xohlasak nima qilamiz? Aslida, agar biz bir nechta o'zgaruvchilarni o'zgartirishga ruxsat beradigan bo'lsak, u holda ularni o'zgartirishning cheksiz ko'p usullari bo'ladi. Masalan, bitta o'zgaruvchi funktsiyadagi boshqa o'zgaruvchi(lar)ga qaraganda tezroq o'zgarishi mumkin. E'tibor bering, biz bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarni qanday o'zgartirishga ruxsat berganimizga qarab, funktsiya boshqacha tarzda o'zgarishi mumkin.
Biz ushbu holatlarning barchasini hal qilish uchun usullar va belgilarni ishlab chiqishimiz kerak. Ushbu bo'limda biz faqat bir vaqtning o'zida o'zgaruvchilardan birini o'zgartirishga e'tibor qaratamiz, qolgan o'zgaruvchi(lar) esa sobit bo'ladi. Biz bir nechta o'zgaruvchilarni keyinroq o'zgartirishga ruxsat berish bilan shug'ullanamiz bo'limi.
Biz o'zgaruvchilardan faqat bittasini o'zgartirishga ruxsat beramiz, chunki hosila olish endi juda oddiy jarayonga aylanadi. Keling, ushbu munozarani juda oddiy funktsiyadan boshlaylik.
Keling, \(f\left( {x,y} \right) = 2{x^2}{y^3}\) funksiyasidan boshlaylik va \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasida funksiyaning o‘zgarish tezligini aniqlaymiz, agar biz \(y\) ni o‘zgarmas holda ushlab tursak va \(x\) o‘zgarishiga ruxsat bersak va \(x\) ni o‘zgarmas holda ushlab tursak va \(y\) o‘zgarishiga ruxsat bersak.
Biz \(y\) ni o‘zgarmas holatda ushlab turish va \(x\) o‘zgarishiga ruxsat berish holatini ko‘rib chiqishdan boshlaymiz. Biz \(\left( {a,b} \right)\) funksiyasining o‘zgarish tezligiga qiziqqanimiz va \(y\) ni o‘zgarmas holatda ushlab turganimiz sababli, bizda doimo \(y = b\) bo‘ladi degan ma’noni anglatadi (agar bizda bunday bo‘lmasa, oxir-oqibat \(y\) nuqtaga o‘tish uchun o‘zgarishi kerak edi…). Buni qilish bizga faqat \(x\) ni o'z ichiga olgan funksiyani beradi va biz yangi funktsiyani quyidagicha belgilashimiz mumkin:
\[g\left( x \right) = f\left( {x,b} \right) = 2{x^2}{b^3}\]Endi bu bitta o'zgaruvchining funksiyasi va hozir biz so'ragan narsa \(g\left( x \right)\) ning \(x = a\) da o'zgarish tezligini aniqlashdir. Boshqacha qilib aytganda, biz \(g'\left( a \right)\) ni hisoblamoqchimiz va bu bitta o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lgani uchun biz buni qanday qilishni allaqachon bilamiz. Mana \(\left( {a,b} \right)\) da funksiyaning o‘zgarish tezligi, agar biz \(y\) ni sobit ushlab tursak va \(x\) o‘zgarishiga ruxsat bersak.
\[g'\left( a \right) = 4a{b^3}\]Biz \(g'\left( a \right)\) deb nomlaymiz qisman hosila \(f\left( {x,y} \right)\)-ning \(x\)-ga nisbatan \(\left( {a,b} \right)\)-da va biz uni quyidagi tarzda belgilaymiz,
\[{f_x}\left( {a,b} \right) = 4a{b^3}\]Keling, buni boshqa yo'l bilan qilaylik. Endi biz \(x\)-ni o'zgarmas holatda ushlab turamiz va \(y\)-ning o'zgarishiga ruxsat beramiz. Biz buni xuddi shunday qilishimiz mumkin. Biz \(x\)-ni o'rnatganimiz sababli, u \(x = a\)-da o'rnatilishi kerak va shuning uchun biz \(y\)-ning yangi funktsiyasini aniqlashimiz va keyin buni har doim bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan qilganimizdek farqlashimiz mumkin.
Mana buning uchun ish,
\[h\left( y \right) = f\left( {a,y} \right) = 2{a^2}{y^3}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}h'\left( b \right) = 6{a^2}{b^2}\]Bunday holda biz \(h'\left( b \right)\) deb ataymiz qisman hosila \(\left( {a,b} \right)\) da \(y\) ga nisbatan \(f\left( {x,y} \right)\) va biz uni quyidagicha belgilaymiz,
\[{f_y}\left( {a,b} \right) = 6{a^2}{b^2}\]E'tibor bering, bu ikki qisman hosilalar ba'zan deyiladi birinchi tartibli qisman hosilalar. Xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyalarida bo'lgani kabi, biz ham barcha tartiblarning hosilalariga ega bo'lishimiz mumkin. Keyinchalik yuqori darajadagi hosilalarni ko'rib chiqamiz bo'limi.
E'tibor bering, qisman hosilalar uchun belgi bir o'zgaruvchining funktsiyalari hosilalari uchun belgidan farq qiladi. Bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan biz hosilani bitta tub son bilan belgilashimiz mumkin. Biroq, qisman hosilalar bilan biz har doim farqlanadigan o'zgaruvchini eslab qolishimiz kerak bo'ladi va shuning uchun biz farqlagan o'zgaruvchini pastga yozamiz. Tez orada biz qisman hosilalar uchun ham ba'zi muqobil yozuvlarni ko'ramiz.
Shuni ham yodda tutingki, biz odatda qisman hosilalar uchun \(\left( {a,b} \right)\) belgisidan foydalanmaymiz, chunki bu biz odatda bajarmaydigan muayyan nuqta bilan ishlayotganimizni anglatadi. Ko'proq standart belgilar \(\left( {x,y} \right)\) dan foydalanishni davom ettirishdir. Shunday qilib, yuqoridagi qisman hosilalar odatda quyidagicha yoziladi:
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = 4x{y^3}\hspace{0.5in}\text{va}\hspace{0.5in}{f_y}\left( {x,y} \right) = 6{x^2}{y^2}\]Endi, bu tezkor misol ko'rsatganidek, bir nechta o'zgaruvchining funksiyalarining hosilalarini olish bitta o'zgaruvchining hosilalarini olish bilan deyarli bir xil tarzda amalga oshiriladi. \({f_x}\left( {x,y} \right)\)-ni hisoblash uchun barcha \(y\)-larni doimiylar (yoki raqamlar) sifatida ko'rib chiqish va keyin har doimgidek \(x\)-ni farqlash kerak. Xuddi shunday, \({f_y}\left( {x,y} \right)\) ni hisoblash uchun biz barcha \(x\)-larni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz va keyin biz o'rganganimizdek \(y\)-ni farqlaymiz.
Har qanday misollarni ko'rib chiqishdan oldin, keling, qisman hosilalarning rasmiy ta'rifini, shuningdek, ba'zi bir muqobil yozuvlarni olib tashlaylik.
Yuqoridagi ikkita qisman hosilalarni bitta o'zgaruvchan funktsiyalarning hosilalari deb hisoblashimiz mumkinligi sababli, ularning har birining ta'rifi bitta o'zgaruvchili funktsiyalar uchun hosila ta'rifiga juda o'xshashligi ajablanarli emas. Mana biz yuqorida ko'rib chiqqan ikkita qisman hosilalarning rasmiy ta'riflari.
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h,y} \right) - f\left( {x,y} \right)}}{h}\hspace{0.5in}{f_y}\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x,y + h} \right) - f\left( {x,y} \right)}}{h}\]Agar siz eslash Chegaraning Hisob I ta'rifi ular tanish ko'rinishi kerak, chunki ular (ehtimol) aniq o'zgarish bilan Hisob I ta'rifiga juda yaqin.
Keling, qisman hosilalar uchun mumkin bo'lgan ba'zi muqobil belgilarni tez ko'rib chiqaylik. \(z = f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasini hisobga olgan holda, quyidagi barcha ekvivalent belgilar mavjud,
\[\begin{align*}{f_x}\left( {x,y} \right) & = {f_x} = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right) = {z_x} = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = {D_x}f\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = {f_y} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right) = {z_y} = \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = {D_y}f\end{align*}\]Qisman hosila uchun kasr yozuvi uchun qisman hosila va bitta o'zgaruvchili hisobdan oddiy hosila o'rtasidagi farqga e'tibor bering.
\[\begin{align*} & f\left( x \right)\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}& f'\left( x \right) & = \frac{{df}}{{dx}}\\ & f\left( {x,y} \right)\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in} & {f_x}\left( {x,y} \right) & = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\,\,\& \,\,\,{f_y}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\end{align*}\]OK, endi bir nechta misollar bilan ishlaylik. Ushbu misollar bilan ishlashda har doim yodda tutingki, biz qaysi o'zgaruvchiga nisbatan farqlashimizga juda katta e'tibor berishimiz kerak. Bu muhim, chunki biz boshqa barcha o'zgaruvchilarni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz va keyin hosila bilan xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyasi kabi davom etamiz. Agar buni eslay olsangiz, qisman hosilalarni yaratish, biz hisob-kitob Ida qilganimizdek, bitta oʻzgaruvchining funksiyalarining hosilalarini bajarishdan koʻra qiyinroq emasligini bilib olasiz.
- \(f\left( {x,y} \right) = {x^4} + 6\sqrt y - 10\)
- \(w = {x^2}y - 10{y^2}{z^3} + 43x - 7\tan \left( {4y} \right)\)
- \(\displaystyle h\left( {s,t} \right) = {t^7}\ln \left( {{s^2}} \right) + \frac{9}{{{t^3}}} - \sqrt[7]{{{s^4}}}\)
- \(\displaystyle f\left( {x,y} \right) = \cos \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}}\)
a \(f\left( {x,y} \right) = {x^4} + 6\sqrt y - 10\) Yechim
Keling, avval \(x\) ga nisbatan hosilani olaylik va shuni yodda tutamizki, biz shunday qilganimizda, barcha \(y\) lar doimiylar sifatida qabul qilinadi. \(x\) ga nisbatan qisman hosila:
\[{f_x}\left( {x,y} \right) = 4{x^3}\]E'tibor bering, bu holda ikkinchi va uchinchi atamalar nolga farqlanadi. Nima uchun uchinchi atama nolga tenglashtirilganligi aniq bo'lishi kerak. Bu doimiy va biz konstantalar har doim nolga farqlanishini bilamiz. Bu ikkinchi atamaning nolga farqlanishiga ham sababdir. Esda tutingki, biz \(x\) ga nisbatan farqlanayotganimiz uchun bu erda biz barcha \(y\) ni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz. Bu shuni anglatadiki, faqat \(y\) ni o'z ichiga olgan atamalar doimiylar sifatida ko'rib chiqiladi va shuning uchun nolga farqlanadi.
Keling, \(y\) ga nisbatan hosilani olaylik. Bu holda biz barcha \(x\) larni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz va shuning uchun birinchi atama faqat \(x\) ni o'z ichiga oladi va shuning uchun uchinchi atama kabi nolga farqlanadi. Mana \(y\) ga nisbatan qisman hosila.
\[{f_y}\left( {x,y} \right) = \frac{3}{{\sqrt y }}\]b \(w = {x^2}y - 10{y^2}{z^3} + 43x - 7\tan \left( {4y} \right)\) Yechim
Ushbu funktsiya yordamida biz hisoblash uchun uchta birinchi tartibli hosilalarga egamiz. Keling, avval \(x\) ga nisbatan qisman hosilani qilaylik. Biz \(x\) ga nisbatan farqlayotganimiz uchun biz barcha \(y\) va barcha \(z\) larni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz. Bu shuni anglatadiki, ikkinchi va to'rtinchi atamalar nolga farqlanadi, chunki ular faqat \(y\) va \(z\) ni o'z ichiga oladi.
Bu birinchi atama \(x\) va \(y\) ni o'z ichiga oladi va shuning uchun biz \(x\) ga nisbatan differentsiallashganimizda \(y\) multiplikativ konstanta sifatida ko'rib chiqiladi va shuning uchun birinchi atama xuddi uchinchi haddan farqlanadigan kabi farqlanadi.
Mana \(x\) ga nisbatan qisman hosila.
\[\frac{{\partial w}}{{\partial x}} = 2xy + 43\]Keling, \(y\) ga nisbatan farqlaylik. Bu holda barcha \(x\) va \(z\) konstantalar sifatida qabul qilinadi. Bu shuni anglatadiki, uchinchi atama nolga farqlanadi, chunki u faqat \(x\) ni o'z ichiga oladi, birinchi a'zodagi \(x\) va ikkinchi a'zodagi \(z\) esa multiplikativ konstantalar sifatida ko'rib chiqiladi. Mana \(y\) ga nisbatan hosila.
\[\frac{{\partial w}}{{\partial y}} = {x^2} - 20y{z^3} - 28{\sec ^2}\left( {4y} \right)\]Va nihoyat, keling, \(z\) ga nisbatan hosilani olamiz. Atamalardan faqat bittasi \(z\) ni o'z ichiga olganligi sababli, bu lotindagi yagona nolga teng bo'lmagan atama bo'ladi. Shuningdek, ushbu atamadagi \(y\) ko'paytiruvchi konstantalar sifatida ko'rib chiqiladi. Mana \(z\) ga nisbatan hosila.
\[\frac{{\partial w}}{{\partial z}} = - 30{y^2}{z^2}\]c \(\displaystyle h\left( {s,t} \right) = {t^7}\ln \left( {{s^2}} \right) + \frac{9}{{{t^3}}} - \sqrt[7]{{{s^4}}}\) Yechim
Bu bilan biz birinchi ikkitasining tafsilotlarini keltirmaymiz. Hosila olishdan oldin, differentsiatsiya jarayonida bizga yordam berish uchun funksiyani biroz qayta yozamiz.
\[h\left( {s,t} \right) = {t^7}\ln \left( {{s^2}} \right) + 9{t^{ - 3}} - {s^{\frac{4}{7}}}\]Endi biz bu erda "standart" \(x\) va \(y\) o'rniga \(s\) va \(t\) dan foydalanayotganimiz muammo bo'lmasligi kerak. Xuddi shunday ishlaydi. Mana bu funksiya uchun ikkita hosila.
\[\begin{align*}{h_s}\left( {s,t} \right) & = \frac{{\partial h}}{{\partial s}} = {t^7}\left( {\frac{{2s}}{{{s^2}}}} \right) - \frac{4}{7}{s^{ - \frac{3}{7}}} = \frac{{2{t^7}}}{s} - \frac{4}{7}{s^{ - \frac{3}{7}}}\\ {h_t}\left( {s,t} \right) & = \frac{{\partial h}}{{\partial t}} = 7{t^6}\ln \left( {{s^2}} \right) - 27{t^{ - 4}}\end{align*}\]Tabiiy logarifmlarni qanday farqlashni unutmang.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {\ln g\left( x \right)} \right) = \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\]d \(\displaystyle f\left( {x,y} \right) = \cos \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}}\) Yechim
Endi biz hosila qoidasini derivativlar bilan unuta olmaymiz. Mahsulot qoidasi bu erda bir o'zgaruvchining funksiyalari bilan bir xil ishlaydi. Biz faqat qaysi o'zgaruvchiga nisbatan farqlayotganimizni eslab qolish uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Keling, \(x\) ga nisbatan farqlashdan boshlaylik. Bu holda kosinus ham, eksponensial ham \(x\) ni o'z ichiga oladi va shuning uchun biz haqiqatan ham \(x\) ni o'z ichiga olgan ikkita funktsiya mahsulotiga ega bo'ldik va shuning uchun biz buni hukm qilishimiz kerak. Mana \(x\) ga nisbatan hosila.
\[\begin{align*}{f_x}\left( {x,y} \right) & = - \sin \left( {\frac{4}{x}} \right)\left( { - \frac{4}{{{x^2}}}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}} + \cos \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}}\left( {2xy} \right)\\ & = \frac{4}{{{x^2}}}\sin \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}} + 2xy\cos \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}}\end{align*}\]ni unutmang zanjir qoidasi bitta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun. Biz keyingi bobda ko'p o'zgaruvchili funksiyalar uchun murakkabroq ifodalar uchun zanjir qoidasini ko'rib chiqamiz. Biroq, bu vaqtda biz barcha \(y\)-larni doimiylar sifatida ko'rib chiqamiz va shuning uchun zanjir qoidasi Calculus I-da bo'lgani kabi ishlashda davom etadi.
Bundan tashqari, eksponensial funktsiyalarni qanday ajratishni unutmang,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\bf{e}}^{f\left( x \right)}}} \right) = f'\left( x \right){{\bf{e}}^{f\left( x \right)}}\]Keling, \(y\) ga nisbatan farqlaylik. Bunday holda, bizda tashvishlanadigan mahsulot qoidasi yo'q, chunki \(y\) ko'rsatadigan yagona joy eksponensialdir. Shuning uchun, \(x\) lar ushbu hosila uchun doimiylar sifatida qabul qilinganligi sababli, oldingi kosinus ham ko'paytiruvchi doimiy sifatida ko'rib chiqiladi. Mana \(y\) ga nisbatan hosila.
\[{f_y}\left( {x,y} \right) = \left( {{x^2} - 15{y^2}} \right)\cos \left( {\frac{4}{x}} \right){{\bf{e}}^{{x^2}y - 5{y^3}}}\]- \(\displaystyle z = \frac{{9u}}{{{u^2} + 5v}}\)
- \(\displaystyle g\left( {x,y,z} \right) = \frac{{x\sin \left( y \right)}}{{{z^2}}}\)
- \(z = \sqrt {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \)
a \(\displaystyle z = \frac{{9u}}{{{u^2} + 5v}}\) Yechim
Bundan tashqari, ko'rsatkich qoidasi haqida unuta olmaymiz. Buning uchun juda ko'p narsa yo'qligi sababli, biz shunchaki hosilalarni beramiz.
\[\begin{align*}{z_u} & = \frac{{9\left( {{u^2} + 5v} \right) - 9u\left( {2u} \right)}}{{{{\left( {{u^2} + 5v} \right)}^2}}} = \frac{{ - 9{u^2} + 45v}}{{{{\left( {{u^2} + 5v} \right)}^2}}}\\{z_v} & = \frac{{\left( 0 \right)\left( {{u^2} + 5v} \right) - 9u\left( 5 \right)}}{{{{\left( {{u^2} + 5v} \right)}^2}}} = \frac{{ - 45u}}{{{{\left( {{u^2} + 5v} \right)}^2}}}\end{align*}\]\(v\) ga nisbatan hosila bo'lsa, \(u\) doimiy ekanligini eslaylik, shuning uchun hisoblagichni farqlashda biz nolga erishamiz!
b \(\displaystyle g\left( {x,y,z} \right) = \frac{{x\sin \left( y \right)}}{{{z^2}}}\) Yechim
Endi biz ehtiyot bo'lishimiz kerak, ammo uni ishlatish kerak bo'lmaganda ko'rsatkich qoidasidan foydalanmaslik kerak. Bu holda bizda qism bor, ammo \(x\) va \(y\) faqat hisoblagichda, \(z\) esa faqat maxrajda paydo bo'lganligi sababli, bu haqiqatan ham qism qoidasi muammosi emas.
Keling, avval \(x\) va \(y\) ga nisbatan hosilalarni qilaylik. Ikkala holatda ham \(z\) doimiydir va shuning uchun bu maxraj doimiydir va shuning uchun biz bu haqda ko'p tashvishlanishga hojat yo'q. Mana bu ikki holat uchun hosilalar.
\[{g_x}\left( {x,y,z} \right) = \frac{{\sin \left( y \right)}}{{{z^2}}}\hspace{0.5in}{g_y}\left( {x,y,z} \right) = \frac{{x\cos \left( y \right)}}{{{z^2}}}\]Endi \(z\) ga nisbatan differensiallashda funktsiyani tezda qayta yozish orqali bo'lim qoidasidan qochishimiz mumkin. Mana \(z\) ga nisbatan qayta yozish va hosila.
\[\begin{align*}g\left( {x,y,z} \right) & = x\sin \left( y \right){z^{ - 2}}\\ {g_z}\left( {x,y,z} \right) & = - 2x\sin \left( y \right){z^{ - 3}} = - \frac{{2x\sin \left( y \right)}}{{{z^3}}}\end{align*}\]Biz oldinga bordik va hosil bo'lganini aytishimiz uchun "asl" shaklga qaytardik. Amalda, ehtimol, buni qilish kerak emas.
c \(z = \sqrt {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \) Yechim
Ushbu oxirgi qismda biz shunchaki tartibsiz zanjir qoidasi muammosini hal qilamiz. Biroq, agar sizda yaxshi ma'lumot bo'lsa Calculus I zanjir qoidasi bu unchalik qiyin muammo bo'lmasligi kerak. Mana ikkita hosila,
\[\begin{align*}{z_x} & = \frac{1}{2}{\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)\\ & = \frac{1}{2}{\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\left( {2x + \frac{5}{{5x - 3{y^2}}}} \right)\\ & = \left( {x + \frac{5}{{2\left( {5x - 3{y^2}} \right)}}} \right){\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\end{align*}\] \[\begin{align*}{z_y} & = \frac{1}{2}{\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)\\ & = \frac{1}{2}{\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\left( {\frac{{ - 6y}}{{5x - 3{y^2}}}} \right)\\ & = - \frac{{3y}}{{5x - 3{y^2}}}{\left( {{x^2} + \ln \left( {5x - 3{y^2}} \right)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\end{align*}\]Shunday qilib, qisman hosilalarga ba'zi misollar mavjud. Umid qilamizki, siz boshqa o'zgaruvchilarni doimiylar sifatida ko'rib chiqishni eslay olsak, ular bir o'zgaruvchining funktsiyalari hosilalari kabi ishlaydi. Shunday qilib, agar siz Calculus I hosilalarini qila olsangiz, asosiy qisman hosilalarni bajarishda juda qiyin bo'lmasligingiz kerak.
Ushbu bo'limda biz tezda ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy mavzu bor, ya'ni yashirin farqlash. Bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun yashirin differentsiatsiyaga kirishdan oldin, bir o'zgaruvchining funktsiyalari uchun yashirin differentsiatsiya qanday ishlashini eslaylik.
Yechim
Esda tutingki, buning kaliti har doim \(y\) ni \(x\) yoki \(y = y\left( x \right)\) funktsiyasi sifatida o'ylashdir va shuning uchun biz \(x\) ga nisbatan \(y\) ni o'z ichiga olgan atamani farqlaganimizda, biz zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi, bunda biz \(\frac{dy}{dx}\) (yoki \(y'\)) ko'paytuvchisini qo'shamiz.
Birinchi qadam \(x\) ga nisbatan ikkala tomonni farqlashdir.
\[12{y^3}\frac{{dy}}{{dx}} + 7{x^6} = 5\]Yakuniy qadam \(\frac{{dy}}{{dx}}\) ni hal qilishdir.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{5 - 7{x^6}}}{{12{y^3}}}\]Endi biz bu muammoni hal qildik, chunki yashirin differentsiatsiya bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari bilan bir xil tarzda ishlaydi. Agar bizda uchta o'zgaruvchining \(x\), \(y\) va \(z\) bo'yicha funksiyasi bo'lsa, biz \(z\) aslida \(x\) va \(y\) funksiyasi deb faraz qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, \(z = z\left( {x,y} \right)\). Keyin har doim \(z\)-ni \(x\)-ga nisbatan ajratsak, biz zanjir qoidasidan foydalanamiz va \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\)-ga qo'shamiz. Xuddi shunday, biz \(z\)-ni \(y\)-ga nisbatan farqlaganimizda, biz \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\)-ni qo'shamiz.
Keling, bir nechta yashirin farqlash muammolarini tezda ko'rib chiqaylik.
- \({x^3}{z^2} - 5x{y^5}z = {x^2} + {y^3}\)
- \({x^2}\sin \left( {2y - 5z} \right) = 1 + y\cos \left( {6zx} \right)\)
a \({x^3}{z^2} - 5x{y^5}z = {x^2} + {y^3}\) Yechim
Keling, \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) ni topishdan boshlaylik. Biz avval ikkala tomonni \(x\) bo'yicha farqlaymiz va \(z\) ni zanjir qoidasidan farqlaganimizda \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) ni qo'shishni unutmang.
\[3{x^2}{z^2} + 2{x^3}z\frac{{\partial z}}{{\partial x}} - 5{y^5}z - 5x{y^5}\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x\]Esda tutingki, biz \(z = z\left( {x,y} \right)\) deb taxmin qilganimizdan keyin \(x\) va \(z\) ning har qanday mahsuloti mahsulot bo'ladi va shuning uchun mahsulot qoidasi kerak bo'ladi!
Endi \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) ni hal qiling.
\[\begin{align*}\left( {2{x^3}z - 5x{y^5}} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial x}} & = 2x - 3{x^2}{z^2} + 5{y^5}z\\ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} & = \frac{{2x - 3{x^2}{z^2} + 5{y^5}z}}{{2{x^3}z - 5x{y^5}}}\end{align*}\]Endi biz \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\) uchun xuddi shu narsani qilamiz, bundan tashqari bu safar biz \(z\) ni zanjir qoidasidan farqlaganimizda \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\) ni qo‘shishni unutmasligimiz kerak.
\[\begin{align*}2{x^3}z\frac{{\partial z}}{{\partial y}} - 25x{y^4}z - 5x{y^5}\frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = 3{y^2}\\ \left( {2{x^3}z - 5x{y^5}} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = 3{y^2} + 25x{y^4}z\\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = \frac{{3{y^2} + 25x{y^4}z}}{{2{x^3}z - 5x{y^5}}}\end{align*}\]b \({x^2}\sin \left( {2y - 5z} \right) = 1 + y\cos \left( {6zx} \right)\) Yechim
Oldingi qismda qilganimizdek, bu funksiya uchun ham xuddi shunday qilamiz. Avval \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) ni topamiz.
\[2x\sin \left( {2y - 5z} \right) + {x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)\left( { - 5\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right) = - y\sin \left( {6zx} \right)\left( {6z + 6x\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)\]Har bir trig funksiyasi uchun zanjir qoidasini bajarishni unutmang va biz ichki funktsiyani kosinusda farqlayotganimizda mahsulot qoidasidan ham foydalanishimiz kerak bo'ladi. Endi \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) ni hal qilaylik.
\[\begin{align*}2x\sin \left( {2y - 5z} \right) - 5\frac{{\partial z}}{{\partial x}}{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right) & = - 6zy\sin \left( {6zx} \right) - 6yx\sin \left( {6zx} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\\ 2x\sin \left( {2y - 5z} \right) + 6zy\sin \left( {6zx} \right) & = \left( {5{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right) - 6yx\sin \left( {6zx} \right)} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\\ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} & = \frac{{2x\sin \left( {2y - 5z} \right) + 6zy\sin \left( {6zx} \right)}}{{5{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right) - 6yx\sin \left( {6zx} \right)}}\end{align*}\]Endi \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\)-ga g'amxo'rlik qilaylik. Bu birinchisiga qaraganda biroz osonroq bo'ladi.
\[\begin{align*}{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)\left( {2 - 5\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right) & = \cos \left( {6zx} \right) - y\sin \left( {6zx} \right)\left( {6x\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)\\ 2{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right) - 5{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = \cos \left( {6zx} \right) - 6xy\sin \left( {6zx} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\\ \left( {6xy\sin \left( {6zx} \right) - 5{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)} \right)\frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = \cos \left( {6zx} \right) - 2{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)\\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} & = \frac{{\cos \left( {6zx} \right) - 2{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)}}{{6xy\sin \left( {6zx} \right) - 5{x^2}\cos \left( {2y - 5z} \right)}}\end{align*}\]Bular uchun juda ko'p ish bor. Keyinchalik aniq farqlashning osonroq yo'lini ko'rib chiqamiz bo'limi.